精品解析：黑龙江省大兴安岭地区呼中区碧水、呼源中学 2025-2026学年九年级上学期12月联考数学试题

2025-2026学年上学期九年级12月月考 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列整式运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式运算的法则，包括合并同类项、同底数幂的乘除、积的乘方等，需逐一验证各选项是否符合初中数学教材中的运算法则． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误，不符合题意； B、，∴B错误，不符合题意； C、，∴C正确，符合题意； D、，∴D错误，不符合题意． 故选：C． 2. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，如果把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：“爱”字不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：“国”字不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：“敬”字不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：“业”字是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 3. 如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图，那么组成这个几何体的小正方体的个数最少与最多分别是（ ） A. 4，6 B. 4，7 C. 5，6 D. 5，7 【答案】B 【解析】 【分析】易得这个几何体共有2层，由主视图和左视图可得第一层最少的正方体的个数为3块，最多正方体的个数为6块，第二层只有一块，相加即可． 【详解】解：组成这个几何体的小正方体的个数最少为个小正方体， 最多为个小正方体． 故选B． 【点睛】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 4. 数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段。请根据如下某组数据的方差计算式：．你不能得到的有效信息是（ ）． A. 这组数据中位数是 B. 这组数据的平均数是 C. 这组数据的众数是 D. 这组数据的方差是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数，平均数，众数和方差，根据方差公式可得这一组数据为，，，，，再由中位数，平均数，众数和方差的定义逐项即可求解，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】根据方差公式可得这一组数据为，，，，， 、这组数据的中位数是，原选项不符合题意； 、这组数据的平均数是，原选项不符合题意； 、由于出现次数最多，则这组数据的众数是，原选项不符合题意； 、∵这组数据的平均数是， ∴， ∴原选项符合题意； 故选：． 5. 去年初冬流感爆发，某学校医务室统计，1名学生患了流感经过2轮传染后，共有100名学生患了流感，那么每轮传染中平均1个患者传染的人数为（ ） A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题．设每轮传染中平均1个患者传染的人数为x，根据传染模型，2轮后总患者数为，列方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均1个患者传染的人数为x． ∵ 初始患者1人， 第一轮后总患者数为：， 第二轮后总患者数为： ． 又∵ 2轮后总患者数为100， ∴ ， 解得，（舍）， 故每轮传染中平均1个患者传染的人数为9人． 故选：B． 6. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解问题，分式方程无解的情况通常包括解出的根使分母为零（增根）或化简后方程矛盾．本题通过去分母化简后，得到解，再令分母为零，求的值即可． 【详解】解：原方程可化为，且分母， 两边同乘，得， 展开右边：， 移项：， 化简：， ∴， 当方程无解时，解为增根，即， ∴，解得， 当时，使分母为零，方程无解， 其他值均使方程有解，故， 故选：A． 7. 某校开展以“迎2024巴黎奥运会”为主题的体育活动，计划拿出1800元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件150元，乙种奖品每件100元，则购买方案有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设购买件甲种奖品，件乙种奖品，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出，的值，进而可得出共有5种购买方案． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或或或， 共有5种购买方案． 故选：A． 8. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 其图象开口向上 B. 其图象的对称轴是直线 C. 其最大值为1 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由二次函数顶点式可知，，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为，当时，y随增大而减小，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴，开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为，最大值为， ∵， ∴当时，随的增大而减小； 故选：D． 9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上且AD＝BD，M是BD的中点，若AC＝8，BC＝4，则CM等于（ ） A B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出，设，则，再根据勾股定理列方程求解即可得出答案． 【详解】解：，M是BD的中点， ， 设，则， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 10. 如图，在菱形ABCD中，，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠GDB=∠GBD=30°，由三角形的内角和为180°就可以求出∠BGD的值；得出∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG，由直角三角形的性质就可以得出CG=2GD就可以得出BG+DG=CG；在直角三角形GBC中，CG＞BC=BD，故△BDF与△CGB不全等；由三角形的面积公式系可判断④． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD．∠A=∠BCD． ∵∠A=60°， ∴∠BCD=60°， ∴△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形． ∴∠ADB=∠ABD=60°，∠CDB=∠CBD=60°． ∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴∠BFD=∠DEB=90°， ∴∠GDB=∠GBD=30°， ∴∠BGD=180°-30°-30°=120°， 故①正确； ∵∠GDB=∠GBD=30°， ∴DG=BG， 在△CDG和△CBG中， ， ∴△CDG≌△CBG（SSS）， ∴∠DGC=∠BGC=60°． ∵∠BFD=∠DEB=90°，，， ∴∠GDC=∠GBC=90°， ∴∠GCD=30°， ∴CG=2GD=GD+GD， ∴CG=DG+BG． 故②正确． ∵△GBC为直角三角形， ∴CG＞BC， ∴CG≠BD， ∴△BDF与△CGB不全等． 故③错误； ∵sinA= ∴ ∵=AD•BF =AB× =， 故④正确； ∴正确有：①②④共三个． 故选：B． 【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 过度包装既浪费资源又污染环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨．用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 函数 中，自变量的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查求函数自变量取值范围，函数由二次根式和分式组成，需分别考虑二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零的条件，综合求解自变量取值范围即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得且， 故答案为：且． 13. 如图，已知，，请你添加一个条件____________，使(填一个即可)． 【答案】或或或（答案不唯一，正确即可） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知条件，可知，且，再增加一个条件使三角形全等即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， 添加或，则； 添加，则； 添加，则；． 故答案为：或或或（答案不唯一，正确即可） 14. 二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”成 如图，小鹏购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．从中随机抽取一张，不放回再从中随机抽取一张，抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，正确列出表格或画出树状图．根据题意，可以画出相应的树状图表示出所有等可能的结果，再找到抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的结果，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大暑用D表示， 画树状图如下， 由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中小鹏抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种， ∴小鹏抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是． 故答案为：． 15. 若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先对不等式进行求解，再根据不等式组的整数解有个即可解决问题，能根据不等式组整数解的个数建立关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题知，解不等式得，； 解不等式得，； ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， 故答案为：． 16. 如图，A是外一点，连接交于点B，D是的中点，C是上一点且满足，分别连接，若，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理等知识，先证明，再求出，根据圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵D是的中点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 故答案为： 17. 若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为__． 【答案】12 【解析】 【分析】设该圆锥的母线长为l，再根据圆锥的侧面展开图是一个半圆，这个半圆的弧长等于圆锥底面的周长，然后再根据扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，最后求解即可． 【详解】解：设该圆锥的母线长为， 根据题意得， 解得． 即该圆锥的母线长为12． 故填12． 【点睛】本题主要考查了圆锥的相关计算，圆锥的侧面展开图为一扇形且这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长． 18. 如图，在等腰直角三角形中，，为内一点，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】将绕点C顺时针旋转得，连接、、，可得、是等边三角形，得到，，将转化为，当B、P、M、N四点共线时，的值最小，最小值为的长，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：将绕点C顺时针旋转得，连接、、， ∴，，，， ∴、是等边三角形， ∴， ∴， ∴当B、P、M、N四点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了费马点问题，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键在于将绕点C顺时针旋转得，将三条线段的长转化到一条直线上． 19. 已知，四边形是矩形，，的平分线交边于点M，的平分线交边所在直线于点N，若，则边的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 先根据题意画出图形，设，过作，由矩形的性质可得、，再根据角平分线的性质定理可得；再说明，然后根据勾股定理可得，进而得到、，然后运用勾股定理列方程解答即可．同理求得点N在延长上的情况． 【详解】解：如图：当点N在线段上，设，过作， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵的平分线交边所在直线于点N，， ∴ ∵的平分线交边于点M， ∴， ∴ ∴，， ∴， 在中运用勾股定理可得： ，即， 解得：， ∴； 如图，当点N在的延长线上时，在上截取， ∵， ∴，解得：， ∴ 综上，边的长为或． 故答案为：或． 20. 如图，平面直角坐标系中，四边形的顶点，连接，为等边三角形， ，，作以下操作：将四边形绕点顺时针旋转得到四边形；将四边形绕点顺时针旋转得到四边形，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律问题，等边三角形的性质，旋转的性质等，由已知可得点的坐标与点的坐标相同，再根据旋转的性质及等边三角形的性质求出点的坐标即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴每旋转六次，点对应点的坐标便重复出现， 又∵， ∴点的坐标与点的坐标相同， ∵为等边三角形，， ∴当顺时针旋转次时，点在轴的负半轴上，四边形的位置如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本题满分60分） 21. 先化简，然后在的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】2（m+3）；8 【解析】 【分析】首先将括号里面的分式进行通分，然后将除法改成乘法进行约分化简，再在范围内选合适的整数代入求解即可，注意选取的m的值不能为2或3． 【详解】解：原式， 范围内的整数有：1、2、3， ，，， 只能取， 将代入得， 原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，注意在选取m的值时要考虑原式有意义的条件，即分式的分母不能为0，除数不能为0． 22. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点坐标分别为 ，，． （1）画出 关于轴对称的 （2）画出 绕点顺时针旋转后得到的； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图，旋转变换，弧长公式，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，确定绕点顺时针旋转后的对应点，然后连接起来即可； （3）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：即为所求，确定关于轴对称的对应点，然后连接起来即可； 【小问2详解】 解：如图所示；即为所求； 【小问3详解】 解：由勾股定理，得 ∴ 点 A 旋转到点的过程中所经过的路径长为 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线 经过，两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）点D的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先求出、的坐标，然后代入，求出、的值即可； （2）若是直角三角形，分两种情况讨论，或，利用直角的性质和构造相似三角形的方法分别求出点的坐标． 【小问1详解】 解：令，则， 则； 令，则， ，， 把，坐标代入， 得， 解得， 抛物线所对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，如图， ∵轴， ∴当时，轴， 即D纵坐标等于B点纵坐标， 当时，代入得： ， 解得， ∴； 当时， 作轴，轴， ∵， ∴， 又∵， ， 又∵， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 整理得 解得， 当时，代入， ∴； 综上所述D的坐标为或 ． 24. 某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A．羽毛球；B．乒乓球；C．篮球；D．排球；E．足球，要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： （1）将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中项目E对应的圆心角的度数为； （3）根据抽样调查结果，请估计该校七年级800名学生中选择项目B和C的总人数． 【答案】（1）见解析 （2） （3）估计该校七年级800名学生中选择项目B和C的总人数为360名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息的关联，理解抽样调查的意义，会用样本的某些特征估计总体的特征是解题的关键． （1）用条形统计图中项目C的具体人数除以扇形统计图中项目C所占的百分比求解即可； （2）根据条形统计图中项目的具体人数计算出项目占样本的百分比，再乘以求解即可； （3）用七年级学生的总人数800乘以样本中项目和项目总共占样本的百分比求解即可． 【小问1详解】 解：此次调查的总人数为（人）， D项目的人数有（人）， 补全条形统计图如图； 【小问2详解】 ， 故答案为：； 【小问3详解】 （名）． 答：估计该校七年级800名学生中选择项目B和C的总人数为360名． 25. 一辆轿车从市驶往市，1后一辆货车从市驶往市，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达B市停留一段时间后，按原路原速返回市，货车到达市比轿车返回市早2.5，轿车比货车每小时多行驶40，两车到达市后均停止行驶，两车距市的路程（单位：）与轿车行驶的时间（单位：）之间的函数图象如图所示： （1）轿车行驶的速度； （2）求轿车从市返回市时的函数解析式（不需要写出自变量取值范围）； （3）请直接写出货车出发多长时间，与轿车相距200． 【答案】（1）120 （2） （3）货车出发2或4或，与轿车相距200 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用； （1）设轿车行驶的速度为，则货车行驶的速度为，列式计算即可； （2）设轿车从B市返回A市时的函数解析式为，求出，代入计算即可； （3）设货车出发x小时，与轿车相距200，根据图中信息，分别在相遇前，相遇后列式计算即可． 【小问1详解】 解：设轿车行驶的速度为， 则货车行驶的速度为， ∴ 解得； 答：轿车行驶的速度为． 【小问2详解】 解：设轿车从B市返回A市时的函数解析式为． 轿车从B市返回A市所需时间为． 而货车速度为， 货车全程所需时间为， 轿车往返共用时间为， ， ， 所以． 带入解析式可得： ． 解得 ∴轿车从B市返回A市时的函数解析式为． 【小问3详解】 解：设货车出发x小时，与轿车相距200， 相遇前：；解得：． 相遇后：；解得：． 轿车返回过程中：当时， 两车距离， ∴ ∴， 答：货车出发2或4或，与轿车相距200． 26. 是等边三角形，D是边的中点，点E在直线上，将线段绕点E逆时针旋转到，连接． （1）当点E在线段上时，如图①，求证： （2）当点E在线段的延长线上时，如图②，请猜想并直接写出线段之间的数量关系；如图③，当点E在线段的延长线上时，请猜想并直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2）图②：，图③： 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）过作交于，由是等边三角形，可推出是等边三角形，则可证明，因为绕点E逆时针旋转到，则，，可证明，所以，又因为，，利用线段代换即可证明结论； （2）如图②；当点E在线段的延长线上时和如图③，当点E在线段的延长线上时，过作交直线于，类比（1）的方法分别进行猜想并证明即可． 【小问1详解】 证明：过作交于， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 即， ∵绕点E逆时针旋转到， ，， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：图②； 证明：过作交的延长线于， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 即， ∵绕点E逆时针旋转到， ，， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ∴； 图③∶； 证明：过作交延长线于， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 即， ∵绕点E逆时针旋转到， ，， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ∴． 27. 老友粉已入选广西非物质文化遗产名录．某便利店购进甲、乙两种品牌老友粉，已知甲种品牌老友粉比乙种品牌老友粉每袋进价少6元，购买2袋甲种品牌与3袋乙种品牌老友粉共需要 元． （1）求甲、乙两种品牌老友粉每袋的进价分别是多少元； （2）小李同学同时购买甲、乙两种品牌老友粉恰好用完元，那么他有哪几种购买方案？ （3）本次购进甲、乙两种品牌老友粉共袋，均按元出售，共获得利润不低于元，且甲种品牌老友粉不超过袋，若该批老友粉全部售完，有哪几种购买方案？该店应购进甲、乙两种品牌老友粉各多少袋才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）乙种品牌老友粉每袋的进价元，甲种品牌老友粉每袋的进价为6元 （2）有两种方案，分别为购买甲种品牌老友粉2袋，乙种品牌老友粉2袋或购买甲种品牌老友粉4袋，乙种品牌老友粉1袋 （3）方案一：甲种品牌老友粉袋，乙种品牌老友粉袋；方案二：甲种品牌老友粉袋，乙种品牌老友粉袋；方案三：甲种品牌老友粉袋，乙种品牌老友粉袋；方案三的利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）设乙品牌老友粉每袋进价元，则甲品牌老友粉每袋进价为元，由购买2袋甲品牌与3袋乙品牌老友粉共需要元，列出方程，即可求解； （2）设甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋，由购买甲、乙两种品牌老友粉恰好用完元，列出方程，即可求解； （3）设甲品牌老友粉袋，由共获得利润不低于元，且甲品牌老友粉不超过袋，列出不等式组，即可求解． 【小问1详解】 解：设乙品牌老友粉每袋进价元，则甲品牌老友粉每袋进价为元， 由题意可得：， 解得：， 答：乙品牌老友粉每袋进价元，则甲品牌老友粉每袋进价为6元， 【小问2详解】 解：设甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋， 由题意可得：， ， ，为正整数， ，或，， 答：有两种方案，分别为购买甲品牌老友粉2袋，乙品牌老友粉2袋或购买甲品牌老友粉4袋，乙品牌老友粉1袋； 【小问3详解】 解：设甲品牌老友粉袋，则乙品牌老友粉袋， 由题意可得：， 解得：， 为正整数， ，，， 方案一，甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋， 方案二、甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋， 方案三、甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋， 方案一的利润为元， 方案二的利润为元， 方案三的利润为元， 当甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋，才能获得最大利润，最大利润是元． 答：有三种方案，分别为方案一，甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋，方案二、甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋，方案三、甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋， 当甲品牌老友粉袋，乙品牌老友粉袋，才能获得最大利润，最大利润是元． 28. 如图，在平行四边形中，点，在轴上，点在第二象限内，与轴交于点，线段，的长分别是方程的两个根（）． （1）求点的坐标； （2）直线交轴于点，，直线以每秒个单位长度的速度沿轴负半轴运动，当直线过点时停止．设运动的时间为秒，直线扫过四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）点在轴上，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，当时， （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程得到、的长度，再结合点、在轴上的位置，确定坐标． （2）先确定直线的参数，再分直线平移时与图形的不同位置（和），通过几何图形的面积公式（梯形、三角形面积）推导与的函数关系． （3）先根据平行四边形性质确定点坐标，设，分“为对角线” “为对角线” “为对角线”三种情况，利用菱形“对角线中点重合、邻边相等”的性质，结合中点公式、勾股定理列方程求解点坐标． 【小问1详解】 解：解方程， 得，， ∵， ∴，， ∴点，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 将点代入得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 当时，设平移后的直线交，，于点，，．则，，， ∴， ∵， ∴， 设， 过点作于点．则是等腰直角三角形，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴ ； 当时，同理可得，．． ∴． ∴ ． 综上，当时，；当时，． 【小问3详解】 解：过点作于，则是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 情况：以为对角线， 菱形中，与的中点重合，且．中点为， ∴中点为，即，， 得，， ∵，，， ∴， 解得，则， 但此时与重合，不符合菱形（舍去）． 情况：以为对角线， 菱形中，与的中点重合，且， 中点坐标：中点为，中点为， ∴，， 得，， 邻边相等：， ，， ∴， 解得， 当时，，； 当时，，． 情况：以为对角线， 菱形中，与的中点重合，且， 中点坐标：中点为，中点为， ∴，， 得，， 邻边相等：， ， ， ∴， 解得， 当时，，； 当时，，． 综上，点的坐标为或或或 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、一元二次方程的解法、函数与几何图形的面积综合，熟练掌握几何图形的性质（等腰直角三角形边长关系、菱形的中点与边长性质）、分情况讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级12月月考 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列整式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形为（　　） A. B. C. D. 3. 如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图，那么组成这个几何体的小正方体的个数最少与最多分别是（ ） A. 4，6 B. 4，7 C. 5，6 D. 5，7 4. 数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段。请根据如下某组数据的方差计算式：．你不能得到的有效信息是（ ）． A. 这组数据的中位数是 B. 这组数据的平均数是 C. 这组数据的众数是 D. 这组数据的方差是 5. 去年初冬流感爆发，某学校医务室统计，1名学生患了流感经过2轮传染后，共有100名学生患了流感，那么每轮传染中平均1个患者传染的人数为（ ） A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人 6. 若关于分式方程无解，则的值是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 7. 某校开展以“迎2024巴黎奥运会”为主题的体育活动，计划拿出1800元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件150元，乙种奖品每件100元，则购买方案有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 8. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 其图象开口向上 B. 其图象的对称轴是直线 C. 其最大值为1 D. 当时，随的增大而减小 9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上且AD＝BD，M是BD中点，若AC＝8，BC＝4，则CM等于（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在菱形ABCD中，，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 过度包装既浪费资源又污染环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨．用科学记数法表示为____． 12. 函数 中，自变量的取值范围是___________． 13. 如图，已知，，请你添加一个条件____________，使(填一个即可)． 14. 二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”成 如图，小鹏购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．从中随机抽取一张，不放回再从中随机抽取一张，抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的概率是_________． 15. 若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是_____． 16. 如图，A是外一点，连接交于点B，D是的中点，C是上一点且满足，分别连接，若，则________． 17. 若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为__． 18. 如图，在等腰直角三角形中，，为内一点，则的最小值为___________． 19. 已知，四边形是矩形，，的平分线交边于点M，的平分线交边所在直线于点N，若，则边的长为______． 20. 如图，平面直角坐标系中，四边形的顶点，连接，为等边三角形， ，，作以下操作：将四边形绕点顺时针旋转得到四边形；将四边形绕点顺时针旋转得到四边形，则点的坐标为______． 三、解答题（本题满分60分） 21. 先化简，然后在的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点坐标分别为 ，，． （1）画出 关于轴对称的 （2）画出 绕点顺时针旋转后得到的； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线 经过，两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若是直角三角形，请直接写出点的坐标． 24. 某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A．羽毛球；B．乒乓球；C．篮球；D．排球；E．足球，要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： （1）将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中项目E对应的圆心角的度数为； （3）根据抽样调查结果，请估计该校七年级800名学生中选择项目B和C的总人数． 25. 一辆轿车从市驶往市，1后一辆货车从市驶往市，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达B市停留一段时间后，按原路原速返回市，货车到达市比轿车返回市早2.5，轿车比货车每小时多行驶40，两车到达市后均停止行驶，两车距市的路程（单位：）与轿车行驶的时间（单位：）之间的函数图象如图所示： （1）轿车行驶的速度； （2）求轿车从市返回市时的函数解析式（不需要写出自变量取值范围）； （3）请直接写出货车出发多长时间，与轿车相距200． 26. 是等边三角形，D是边中点，点E在直线上，将线段绕点E逆时针旋转到，连接． （1）当点E在线段上时，如图①，求证： （2）当点E在线段的延长线上时，如图②，请猜想并直接写出线段之间的数量关系；如图③，当点E在线段的延长线上时，请猜想并直接写出线段之间的数量关系． 27. 老友粉已入选广西非物质文化遗产名录．某便利店购进甲、乙两种品牌老友粉，已知甲种品牌老友粉比乙种品牌老友粉每袋进价少6元，购买2袋甲种品牌与3袋乙种品牌老友粉共需要 元． （1）求甲、乙两种品牌老友粉每袋的进价分别是多少元； （2）小李同学同时购买甲、乙两种品牌老友粉恰好用完元，那么他有哪几种购买方案？ （3）本次购进甲、乙两种品牌老友粉共袋，均按元出售，共获得利润不低于元，且甲种品牌老友粉不超过袋，若该批老友粉全部售完，有哪几种购买方案？该店应购进甲、乙两种品牌老友粉各多少袋才能获得最大利润？最大利润是多少？ 28. 如图，在平行四边形中，点，在轴上，点在第二象限内，与轴交于点，线段，长分别是方程的两个根（）． （1）求点的坐标； （2）直线交轴于点，，直线以每秒个单位长度的速度沿轴负半轴运动，当直线过点时停止．设运动的时间为秒，直线扫过四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）点在轴上，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $