精品解析：浙江省衢州市柯城区兴华中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年浙江省衢州市柯城区兴华中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国新能源汽车发展迅速，下列各图是国产新能源汽车图标，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A.是轴对称图形，不符合题意， B.不是轴对称图形，符合题意， C. 是轴对称图形，不符合题意， D. 是轴对称图形，不符合题意， 故选B 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 5，6，10 C. 5，5，11 D. 5，6，11 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系即可求解. 【详解】A选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形 B选项，，，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形 C选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形 D选项，，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形 故选B． 【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边. 3. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题关键． 根据不等式的性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，故此选项不符合题意； C、∵，∴，故此选项符合题意； D、∵，∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，判断各选项是否表示直角三角形即可． 【详解】A、设，，，则，，，不是直角三角形，符合题意； B、，，，是直角三角形，不符合题意； C、，且，，，是直角三角形，不符合题意； D、，，是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 5. 一个不等式的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据每个选项得出不等式的解集，然后问题可求解． 【详解】解：由数轴可知不等式的解集为， A、由可得，故不符合题意； B、由可得，故符合题意； C、由可得，故不符合题意； D、由可得，故不符合题意； 故选B． 6. 将一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，先由三角板中角度的特点得到，，再由三角形外角的性质得到，则由角的和差关系可得． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，过点P作于E，   根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于E，    ∵平分，，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（ ） A. 下滑时，的长度增大 B. 上升时，的长度减小 C. 只要滑动，的长度就变化 D. 无论怎样滑动，的长度不变 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可． 【详解】解：∵，P为的中点， ∴， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 9. 等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或2 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义．分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故选：D． 10. 如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点，若，E为中点，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据证明得出，根据勾股定理即可得出结果． 本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】解：为中点， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. x与3的和小于6，用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）”、“不超过（不低于）”、“至少”、“最多”等等文字，正确选择相对应的不等号．x与3的和表示为，“小于”用符号“”表示，由此可得不等式． 【详解】x与3的和表示为，由题意可列不等式为：． 故答案为：． 12. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 【答案】 ①. 两个角是对顶角 ②. 这两个角相等 【解析】 【分析】把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可． 【详解】解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等． 13. 如图，已知，若要使，不允许标注其他字母则添加的一个条件为______  ． 【答案】（或或（答案不唯一）） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法添加条件． 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】解：，， 当添加，； 当添加或时，； 当添加时，； 故答案为：（或或（答案不唯一）） 14. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连结CD，若 CD= AC，∠A=50°，则∠B=________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据垂直平分线的性质可得，最后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】，， ， ， 由作图过程可知，直线MN是BC的垂直平分线， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的作图与性质等知识点，掌握垂直平分线的作图与性质是解题关键． 15. 如图，在等腰三角形中，是底边上的高线，于点E，交于点F．若，，则的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】证明，即有，再根据“三线合一”的性质即可求解． 【详解】解：∵，是底边上的高线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵根据题意有，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键． 16. 已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则______  ，的长为______  ． 【答案】 ①. ②. 9或1 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：是等边三角形，点D是的中点， ，，， ，， ， ， ， ； 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交AC于点M， 由知为等边三角形， ，， 为等边的边的中点， ，， ， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或 故答案为：，9或 三、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解下列一元一次不等式． （1）； （2），并把解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2）， 不等式的解集表示在数轴上如下： 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 则； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 则 18. 如图，在正方形网格中点均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）作出关于直线的对称图形； （2）在直线上找一点，使最小． 【答案】（1） 就是所求作的三角形： （2）点即为所求： 【解析】 【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到关于直线的对称图形； （2）连接，交直线于，连接，则最小值等于的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在（1）的图中，连接，交直线于，点就是所求作的点， 理由如下： 连接，如图， 根据对称性得：， ∴， 当，，，三点共线时，即两点之间线段最短， 即图中的点就是所求作的点． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图、两点之间线段最短的知识，解题的关键是掌握轴对称的性质． 19. 如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 根据，可得，由可得，根据即可得出结论． 【详解】略 20. 如图，，垂足分别是E，F，求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中， ， ∴． （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用“”和“ ”证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据垂直的定义可得，然后结合已知条件运用即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1．在数轴上找出表示的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为______． （2）应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，踏板离地的垂直高度，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳的长．（作于D） 【答案】（1） （2）秋千绳的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，关键是正确理解题意，表示出，的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． （1）根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可． （2）设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论． 【小问1详解】 在中， ， ， 点表示的数是； 【小问2详解】 设秋千绳索的长度为， 由题意可得， 四边形为矩形，，，，， ，， 在中，， 即， 解得， 即的长度为， 答：绳索的长为． 22. 如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， （1）若，，求的度数； （2）若，，请用含x的代数式表示的度数； （3）由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1） （2） （3），理由如下： 由题意，设， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 【解析】 【分析】（1）依据题意，由是的一个外角，则，故，又是的一个外角，则，又，故，可得，结合，从而，最后可得，进而可以得解； （2）依据题意，类似（1），结合，，从而可以判断得解； （3）依据题意，结合（1）（2），设，类似（2）分析判断可以得解． 本题主要考查了三角形内角和定理、列代数式、三角形的外角性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【小问1详解】 解：是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 23. 如图①，已知点在线段上，在和中，，，且为的中点． （1）若的延长线交于点，求证：； （2）判断直线与的位置关系，并说明理由； （3）若将按如图②所示位置放置，使点在线段的延长线上（其它条件不变），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵为的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． （2） 解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰三角形，且是底边的中线， ∴． （3） 解：仍成立，证明如下： 作交的延长线于，连接，如图． ∴． 在与中， ∴， ∴． 又∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，且是底边的中线，． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定． （1）由可得，再根据平行线的性质，推出，根据推出，证出，因为，即可得到； （2）由（1）可知，，再由，可得，从而可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论； （3）作交的延长线于，连接，根据平行线的性质求出，根据证，推出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省衢州市柯城区兴华中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国新能源汽车发展迅速，下列各图是国产新能源汽车图标，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 5，6，10 C. 5，5，11 D. 5，6，11 3. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个不等式的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 6. 将一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 8. 如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（ ） A. 下滑时，的长度增大 B. 上升时，的长度减小 C. 只要滑动，的长度就变化 D. 无论怎样滑动，的长度不变 9. 等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或2 D. 或 10. 如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点，若，E为中点，则的长为（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. x与3的和小于6，用不等式表示为______． 12. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 13. 如图，已知，若要使，不允许标注其他字母则添加的一个条件为______  ． 14. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连结CD，若 CD= AC，∠A=50°，则∠B=________． 15. 如图，在等腰三角形中，是底边上的高线，于点E，交于点F．若，，则的长为___________． 16. 已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则______  ，的长为______  ． 三、解答题：本题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解下列一元一次不等式． （1）； （2），并把解集表示在数轴上． 18. 如图，在正方形网格中点均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）作出关于直线的对称图形； （2）在直线上找一点，使最小． 19. 如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 20. 如图，，垂足分别是E，F，求证： （1）； （2）． 21. 勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1．在数轴上找出表示的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为______． （2）应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，踏板离地的垂直高度，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳的长．（作于D） 22. 如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， （1）若，，求的度数； （2）若，，请用含x的代数式表示的度数； （3）由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 23. 如图①，已知点在线段上，在和中，，，且为的中点． （1）若的延长线交于点，求证：； （2）判断直线与的位置关系，并说明理由； （3）若将按如图②所示位置放置，使点在线段的延长线上（其它条件不变），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $