精品解析：江西省上饶市民校联盟2024-2025学年高二下学期阶段测试（四）数学试题

上饶市民校考试联盟 2024-2025学年下学期阶段测试（四） 高二数学试卷 命题人：鄱阳县饶州中学 黄森林 审题人：鄱阳县饶州中学 陈燕 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2、回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3、回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4、本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，若，则（ ） A B. C. 1 D. In2 2. 数列满足，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 3. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ） A. 24.5尺 B. 25.5尺 C. 37.5尺 D. 96尺 5. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A 1 B. C. 2 D. 3 7. 若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的最小值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. e 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 单调减区间是 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 当，时，函数在定义域上单调递减 C. 若，且，a的最小值是 D. 曲线是中心对称图形 11. 斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，.则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正项等比数列满足，，则______． 13. 已知函数在处取得极大值，则实数的值是__________. 14. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，，设． （1）求证：为等比数列，并求通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. （3）若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 17. 已知等差数列递增数列，且满足． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和，并求最大值、最小值． 18. 已知函数，其中， （1）求的最小值； （2）若，求的取值集合； （3）若，其中，求的最大值． 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）当时，求的解集； （3）若函数图象上有三个点，，，并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线在点处的切线斜率与，两点连线斜率的大小关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上饶市民校考试联盟 2024-2025学年下学期阶段测试（四） 高二数学试卷 命题人：鄱阳县饶州中学 黄森林 审题人：鄱阳县饶州中学 陈燕 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2、回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3、回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4、本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，若，则（ ） A. B. C. 1 D. In2 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，由将代入，即可求得. 【详解】函数，，则， 又，即，解得. 故选：C. 2. 数列满足，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列递推关系可求. 【详解】因为，故为奇数，故， 而为偶数，，因为偶数，故， 故选：B. 3. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义结合题意求解即可. 【详解】因为函数在处可导，且， 所以. 故选：B 4. 在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ） A. 24.5尺 B. 25.5尺 C. 37.5尺 D. 96尺 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列下标的性质，通过已知的两个和式来推导出第三个和式的值. 【详解】设这十二个节气的日影长依次成等差数列，其中冬至的日影长为， 由题意可得，冬至、立春、春分日影长之和为， 小寒、雨水、清明日影长之和为， 大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为， 所以． 故选：B． 5. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数几何意义可求得切线方程为，令，得到，结合累乘法，即可求得的结果，得到答案. 【详解】由函数，可得，所以， 即在点处的切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，可得， 所以. 故选：D. 6. 已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设底面边长为，则高，体积，设，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极大值点，从而求出. 【详解】设底面边长为，则高， 由，所以， 所以体积 ， 设，，则， 所以当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以当时取得极大值，即为最大值，此时该棱锥的体积最大， 此时. 故选：D． 7. 若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】切点为P，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图像可求得t的范围. 【详解】若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，， 由的图像得t的范围. 故答案为：D. 8. 已知函数，若，则的最小值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. e 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的零点，再根据得到与的关系，最后利用函数性质求出的最小值． 【详解】令，则或． 由可得；由，即，可得． 所以函数的零点为和． 因为恒成立，所以，即． 将代入，可得． 设，对求导，可得． 令，即，因为，所以，解得． 当时，，则，所以在上单调递减； 当时，，则，所以在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值，，即的最小值为1． 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 的单调减区间是 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出函数的单调区间，结合极值点的意义逐项判断. 【详解】观察导函数的图象，当或时，，当且仅当时取等号， 当时，，因此函数在是递增，在上递减， 不是极值点，是的极大值点，A错误，B正确； 的单调减区间是，，C正确，D错误. 故选：BC 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 当，时，函数在定义域上单调递减 C. 若，且，a的最小值是 D. 曲线是中心对称图形 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用对数的性质求函数的定义域，结合对数复合函数的单调性判断的单调性，对求导，问题化为在上恒成立求参数最小值，依次判断A、B、C；由判断D. 【详解】由解析式，即定义域为，A对； 若，，则， 而在上单调递增，且在定义域上单调递增， 所以在定义域上单调递增，B错； 若，则，故， 由，即在上恒成立， 而时取得最大值为，即，C对； 由， 所以，即关于中心对称，D对. 故选：ACD 11. 斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，.则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据递推式判断A、B、D；根据B的结论，结合累加法判断C； 【详解】由题设，，，A错； 由，则，故，B对； 由，结合B的结论有，，，， 所以，C对； ，D对； 故选：BCD 第Ⅱ卷（选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正项等比数列满足，，则______． 【答案】32 【解析】 【分析】根据等比数列定义及其通项公式列方程组即可求得结果. 【详解】设正项等比数列的公比为，可知； 因此可得，两式相除可得， 解得或； 可得或（舍）； 因此. 故答案为： 13. 已知函数在处取得极大值，则实数的值是__________. 【答案】3 【解析】 【分析】对函数求导，得，由题意得到或，将和分别代入导函数，用导数的方法判断函数单调性，确定在处的极值，即可得出结果. 【详解】由得， 因为函数在处取得极大值， 所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意； 故答案为：3 14. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分析函数的零点个数，利用导数法讨论函数的单调性与最值,再判断函数在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数的取值范围. 【详解】由题可得，函数最多只有一个零点. 若零点存在，则，解得， 又由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 且当时，， 所以最多有两个零点. 因为有三个零点，所以有两个零点， 则， 解得，所以实数的取值范围为. 综上可得：实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，，设． （1）求证：为等比数列，并求通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意推得，可得为等比数列，进而求得的通项公式； （2）利用分组求和法，结合等差数列与等比数列前项和公式即可求解． 【小问1详解】 由，又，所以 因为，所以， 所以，因．则， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 可得； 【小问2详解】 由（1）知，记数列的前项和为， ． 16. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. （3）若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用来求解，再进行检验即可； （2）利用第一问求的单调性判断最值； （3）函数，解不等式即可. 【小问1详解】 ，则， 因函数处取得极值， 则，得， 此时，， 得或，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，故. 【小问2详解】 由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，而， 则在区间上的最大值为和最小值. 【小问3详解】 令，则， 则与单调性相同， 因方程有三个不同的实数根， 则，得， 则实数的取值范围为. 17. 已知等差数列为递增数列，且满足． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和，并求最大值、最小值． 【答案】（1） （2），最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质可得，求出后可求公差和首项，从而可求通项； （2）利用裂项相消法可求，结合不等式的性质及数列的单调性可求的最值. 【小问1详解】 等差数列为递增数列，且满足，故， 即，解得，(不符合递增数列舍去)， 所以该数列的公差， 所以通项公式为． 【小问2详解】 由（1）可得， 又. 当为奇数时， 所以， 同理，当为偶数时， 故， 为奇数时，， 此时， 故的奇数项构成递减数列，故 为偶数时，， 此时， 故的偶数项构成递增数列，故 故的最大值为，最小值为． 18. 已知函数，其中， （1）求的最小值； （2）若，求的取值集合； （3）若，其中，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】(1)求导，判断单调性，求得最小值. (2) 恒成立，即令的最小值即可，再进行求解的最小值即可. (3)根据题意分离参数，求解最小值，通过换元，求导，求单调性来求解函数的最小值. 【小问1详解】 解：， ， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 【小问2详解】 恒成立，则恒成立即可 设 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，要使恒成立，即，则， 综上所述：的取值范围是． 【小问3详解】 （3）已知， 则恒成立， 即恒成立，等价于恒成立， 也就是恒成立． 令，令， 易知在上单调递增，且， 所以存在，使得，即， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 在上单调递减，所以 即，所以，所以， 又因为，所以的最大值为2． 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）当时，求的解集； （3）若函数图象上有三个点，，，并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线在点处的切线斜率与，两点连线斜率的大小关系． 【答案】（1）和 （2） （3）曲线在点处的切线斜率小于两点连线的斜率 【解析】 【分析】（1）求导，根据，令求得增区间； （2）当时，可判断在上单调递增，结合求解； （3）设出三点坐标，分别表示出曲线在点处切线斜率和两点连线斜率，通过作差比较，构造函数借助导数证明. 【小问1详解】 由，， 令，得或，由于，则， 令，解得或， 所以的单调增区间为和. 【小问2详解】 当时，，且， 又，即在上单调递增， 所以的解集为. 【小问3详解】 设，，，且，， 曲线在点处切线斜率为， 两点连线斜率为 ， ， 令，则， 令，， 则，令， ，即上单调递减， ，即， 所以在上单调递减，故， ，又，即， 所以，即， 所以曲线在点处切线斜率小于两点连线斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $