精品解析：江西省上饶市蓝天教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

余干县蓝天实验学校2024年春季 高二年级期中考试数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的. 1. 在数列，，，，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察总结规律，直接可写出第12个数. 【详解】观察可得，数列的第个数可以写为，所以第12个数为： . 故选：D 2. 下列数列中等差数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的定义判断. 【详解】对于A，，相邻两项的差为常数，是等差数列； 对于B，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于C，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于D，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 故选：A 3. 已知等比数列中，，公比，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，得到，即可求解. 【详解】由等比数列中，，公比， 又由，可得． 故选：B. 4. 在数列中，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐项计算，再根据数列的周期性求解即可. 【详解】由题意，，，，， 故数列满足，故. 故选：A 5. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求导法则进行计算，对四个选项一一作为判断. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，，C错误； D选项，，D正确． 故选：D． 6. 一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据导数的物理含义，即可求得答案. 【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为， 故，故时小球的瞬时速度为（）， 故选：A 7. 已知函数图象与直线相切于点，则（ ） A. 4 B. 8 C. 0 D. -8 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义直接求解出的值，再根据点在直线上求解出的值，即可计算出结果. 【详解】直线的斜率为4，直线与函数的图象相切于点， 根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以， 又点在函数的图象上，同时也在切线上，所以， ． 则． 故选：B． 8. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案. 【详解】因为，所以，令，则，． 故选：C 二.多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 9. 下列叙述不正确的是（ ） A. 1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B. 是等比数列 C. 数列0，1，2，3，…的通项公式为 D. 数列是递增数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据数列的概念判断A，当时可判断B，写出C的通项即可判断，利用作差法判断数列的单调性，即可判断D. 【详解】对于A：1，3，5，7与7，5，3，1显然不是相同的数列， 因为顺序不一样，故A错误； 对于B：当时常数数列不是等比数列，故B错误； 对于C：数列0，1，2，3，…的通项公式为，故C错误； 对于D：因为， 又，函数在上单调递增且， 所以，所以， 即， 所以数列是递增数列，故D正确. 故选：ABC 10. 数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，逐项验证判断即得. 【详解】对于A，，符合题意，A是； 对于B，，符合题意，B是； 对于C，，符合题意，C是； 对于D，，不符合题意，D不是. 故选：ABC 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的最小值为0 C. 的对称中心为 D. 方程有3个不同的解 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数考察函数的单调性及极值画出函数的大致图象，逐项判断，可判断A,B,D,对于C，利用中心对称定义进行判断即可. 【详解】对于A：，令或，令， 函数在上单调递增，在上单调递减，且， 可画出函数的大致图象如图所示，故A正确； 对于B：此函数无最小值，故B错误； 对于C：根据解析式易知，故C正确； 对于D：根据图象可知有2个不同的解，故D错误， 故选:AC． 三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 在数列中，，则通项公式___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法求数列的通项公式，同时右边求和时需要利用裂项相消法求和. 【详解】因为，即 则， ， 所以 ， 即， 又因为，所以， 故答案为： 13. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】由函数图象的单调性可得其导数的正负，即可解出该不等式. 【详解】由的图象可得在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，，当x∈时，， 因为，所以或， 即或或，解得或， 所以原不等式的解集为． 故答案为：. 14. 已知数列的前n项和为，若，且，则__________，__________． 【答案】 ①. 3 ②. 90 【解析】 【分析】利用数列性质求出列的周期为2，再进一步即可求出，即可． 【详解】当时，可得，当时，可得，依次可求得， 依此类推可知该数列的周期为2，所以，． 故答案为：3；90 四．解答题（本大题共 6 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 数列的通项公式是. （1）这个数列的第4项是多少？ （2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 【答案】（1） （2）是，第16项 【解析】 【分析】（1）利用数列的通项公式能求出这个数列的第4项； （2）令，求出方程的解，即可判断． 【小问1详解】 解：数列的通项公式是． 这个数列的第4项是：． 【小问2详解】 解：令，即， 解得或（舍， 是这个数列的项，是第16项． 16. 已知，. （1）求数列的通项公式; （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义判断数列，根据首项，公差求数列的通项公式即可； （2）根据等差数列求和公式求出前项和即可. 【小问1详解】 因为，，又， 由等差数列的定义知是首项为，公差为的等差数列， 故数列的通项公式为. 小问2详解】 由等差数列的求和公式可得：，所以 17. 等比数列的公比为2，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)运用等差中项求出 ，再根据等比数列的通项公式求出 ； (2)根据条件求出 的通项公式，再分组求和. 【小问1详解】 已知等比数列的公比为2，且成等差数列， ， ， 解得， ； 【小问2详解】 ， . ； 综上， 18. 已知函数，点在曲线上． （1）求函数的解析式； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）求曲线过点的切线方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据函数过点，代入即可求解； （2）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而利于点斜式求出切线方程； （3）设切点坐标为，切线的斜率为，表示出切线方程，再利用点在切线上，解出，从而得到切线方程. 【小问1详解】 当时，， 所以 【小问2详解】 由（1）可知：， 则点处的切线的斜率为， 所以切线方程：，即； 【小问3详解】 设切点坐标为，切线的斜率为， 所以切线方程为：， 将点代入切线方程得：，则， 解得或， 所以切线方程为：或. 19. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导函数，进而分析导函数的正负区间与单调区间； （2）先求出函数的导函数；再分和两种情况，再每一种情况中借助导数即可解答； （3）先根据函数在处取得极值得出；再将问题“对，恒成立”转化“对，恒成立”；最后构造函数，并利用导数求出即可解答. 【小问1详解】 当时，，， 令可得，故当时，单调递减； 当时，单调递增； 故递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 由可得：函数定义域为，. 当时，，此时函数在定义域上单调递减； 当时，令，解得；令，解得， 此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上可得：当时，函数在定义域上单调递减； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问3详解】 因为函数在处取得极值， 所以，即，解得. 此时， 令，解得；令，解得， 所以函数在处取得极值，故. 所以. 因为对，恒成立， 所以对，恒成立. 令，则. 令，解得；令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，解得：. 所以实数b的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 余干县蓝天实验学校2024年春季 高二年级期中考试数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的. 1. 在数列，，，，…中，根据前5项的规律写出的第12个数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列数列中等差数列的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列中，，公比，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 在数列中，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数图象与直线相切于点，则（ ） A. 4 B. 8 C. 0 D. -8 8. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 二.多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 9. 下列叙述不正确的是（ ） A. 1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B. 是等比数列 C. 数列0，1，2，3，…的通项公式为 D. 数列是递增数列 10. 数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的最小值为0 C. 对称中心为 D. 方程有3个不同的解 三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 在数列中，，则通项公式___________． 13. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ____． 14. 已知数列的前n项和为，若，且，则__________，__________． 四．解答题（本大题共 6 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 数列的通项公式是. （1）这个数列的第4项是多少？ （2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 16. 已知，. （1）求数列的通项公式; （2）求数列的前项和. 17. 等比数列的公比为2，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 已知函数，点在曲线上． （1）求函数的解析式； （2）求曲线在点处切线方程； （3）求曲线过点的切线方程． 19 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$