精品解析：江苏省扬州市江都区第三中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

江都区第三中学2025—2026学年第一学期八年级数学学科期中考试 一、选择题（每题3分，共计24分，把正确答案填在答题纸相应的位置上） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 以下五个数：，，，，，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的定义，先化简算术平方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数是否为无理数，即可作答． 【详解】解：，8不是无理数， ，，都不是无理数， 都是无理数， 即无理数的个数是2， 故选：B 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据勾股定理逆定理及勾股数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是勾股数，故选项A不符合题意； B、，，不是正整数，不满足勾股数的定义，故选项B不符合题意； C、，不是正整数，不满足勾股数的定义，故选项C不符合题意； D、，且都是正整数，是勾股数，故选项D符合题意． 故选：D． 4. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根的概念．算术平方根为非负数，而立方根可为负数．选项A、B、C均混淆了算术平方根与平方根的区别，选项D正确。 【详解】解：A、∵，∴A错误； B、∵，∴B错误； C、∵，∴C错误； D、∵，∴D正确。 故选：D． 5. 用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是( ) A. SSS B. SAS C. HL D. ASA 【答案】C 【解析】 【分析】利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，进而得出答案. 【详解】在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠MOP＝∠NOP，∴OP是∠AOB的平分线，故答案选C. 【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定条件，解本题的要点在于熟知全等三角形的判定条件. 6. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，各个象限内点的坐标的特点；第一象限的点的横坐标和纵坐标都是正数；第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数；第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数；第四象限的点的横坐标为正数，纵坐标为负数；分析点P的横坐标和纵坐标的符号即可确定P点所在象限． 【详解】解：的横坐标，是负数，纵坐标，是正数， ∴P点一定在第二象限， 故选：B． 7. 如图，已知中，，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．连，过点作于点D，即可得到是等边三角形，然后根据的直角三角形的性质和勾股定理求出和的长，即可得到的值，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，（负值舍去）， 连接，过点作于点D， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：A． 8. 如图，在三角形中，，，平分，交于E，点G是上的一点，且，连交于P，连，下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，根据全等三角形的性质与判定，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴可知所在直线垂直平分， ∴， ∴，，故错误； ∵， ∴， 由上可知：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故正确； 综上：正确， 故选：． 二、填空题（每空3分，共计30分，将答案填在答题纸相应的位置上） 9. 已知点和关于轴对称，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了关于y轴对称的点的坐标性质，代数式求值， 根据关于y轴对称的点的坐标性质，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可确定，，再计算代数式的值． 【详解】∵点和关于轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 10. 在两个连续整数a和b之间，即a＜＜b，则a+b=_________． 【答案】7． 【解析】 【分析】与10相邻，且能开平方的整数是9和16，所以 ＜＜ ，所以3＜＜4，由此可以得出a、b的值，然后求和即可. 【详解】∵＜＜，∴3＜＜4；故a=3，b=4；因此a+b=3+4=7． 故答案为7． 【点睛】本题考查估算无理数的大小．正确估算是解题的关键. 11. 近似数是精确到_______位． 【答案】百 【解析】 【分析】本题考查近似数的精确位判断，需要将科学记数法还原为原数，再根据最后一个有效数字所在的数位确定精确度． 【详解】解：，有效数字3位于百位，故精确到百位． 故答案为：百． 12. 已知，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，求代数式的值，先根据，，得出，从而求出，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知一个直角三角形的面积为6，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为_______． 【答案】5cm 【解析】 【分析】设两直角边为x和y，则xy=6，x+y=7．再利用完全平方公式的变形求解 再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：设两直角边为x和y，则xy=6，x+y=7． ∴xy=12， ∴（x+y）2=49， ∴x2+y2+2xy=49． ∴x2+y2=49-2xy=25． ∴斜边长=（cm）； 故答案为：5cm． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟悉完全平方公式的变形以及勾股定理的应用． 14. 今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为______尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设尺， 由题意得，尺，尺，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴尺， ∴这根绳索的长度为尺， 故答案为：． 15. 如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点坐标为，将绕点顺时针旋转60°，则旋转后点的对应点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 如图所示，过点B作于H，先由等边三角形的性质得到，，再由旋转的性质得到，进而证明，再求出的长即可求出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点B作于H．    ∵，是等边三角形， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为_____． 【答案】3.5 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理得到，求出，然后由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理即可求出的长，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3.5． 17. 如图，在中，，动点P在边上，从点A向点B运动，且速度为，设运动的时间为秒．当为等腰三角形时，t的值为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 分三种情况：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】解：①当时，如图1， 过点C作于点D， ∵， ∴， ， ∴， 解得：， ∴， 此时； ∴， ∴； ②当时，， ∴； ③当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，t的值为或或． 故答案为：或或 18. 如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、两点之间线段最短、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．根据折叠的性质，得，故，，当点落在上时，，此时的值最小，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 如图1，由翻折得， ∵， ∴， ∴， ∴当点落在上时，，此时的值最小， 如图2，当点落在上时，则， 作于点F，于点E，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共计96分，将解答过程写在答题纸相应的位置上） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，绝对值，算术平方根和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简算术平方根，然后计算加减即可； （2）先化简绝对值，计算立方根和算术平方根，再进行加减运算． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查利用开平方和开立方解方程， （1）移项后开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）移项后开立方即可得出一个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得：或； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：． 21. 已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求平方根，求立方根，无理数的估算， （1），先根据立方根求出a，算术平方根求出b，再估算无理数可得c，然后代入求解即可； （2），将数值代入计算，再求出平方根即可． 【小问1详解】 解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， 解得． ∵，c是的整数部分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， 9的平方根是， 平方根是． 22. 在平面直角坐标系中，点的坐标是． （1）若点在轴上，求点的坐标． （2）若点在第三象限，且点到轴的距离与到轴的距离相等，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标的特点，点到坐标轴的距离相等，解绝对值方程，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据点在轴上，横坐标为0，建立方程解答． （2）根据题意，得，解答即可． 【小问1详解】 解：点的坐标是且在轴上， 故， 解得， 故， 故点的坐标为． 【小问2详解】 解：因为点在第三象限，且点到轴的距离与到轴的距离相等， 故， 故或， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不在第三象限，不符合题意； 故． 23. 如图是由小正方形组成的网格，的三个顶点都在小正方形的格点上，在网格上建立平面直角坐标系．已知． （1）取一点，将平移至，其中点的对应点为，点B的对应点为E，点C的对应点为F，请在图中画出； （2）的面积为 ． （3）若在轴上存在一点，使是以为腰的等腰三角形，写出所有点的坐标： ． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）7 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移和等腰三角形的存在性问题，勾股定理，解题的关键是掌握平移的性质和等腰三角形的分类讨论方法． （1）先确定平移规律，再根据规律平移、点，画出； （2）利用割补法求解即可； （3）先计算的长度，根据等腰三角形的定义分情况求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为； 【小问3详解】 解：∵ ∴， 当时， 由三线合一得，； 当时， 当点G在点B左边时，；当点G在点B右边时，； 综上，点的坐标为或或． 24. 如图，在中， （1）尺规作图：在线段上找一点M，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，若，，求． 【答案】（1） 如图所示，点M就是所要找的点． （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，勾股定理： （1）作的中垂线交于点即可，根据中垂线的性质得到，勾股定理得到，即可得到； （2）设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴ ∵的垂直平分线交于点M， ． 设，则． 在中，， 由勾股定理得：， 解得， 即的长为． 25. 如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点． （1）求证：≌； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ∴， 即， 在和中， ， ≌； （2） 【解析】 【分析】由，得出，再利用“”即可证明≌； 由，，得出，由外角的性质得出，由全等三角形的性质得出，由外角的性质得出，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ∴. 是的外角， ∴. ≌， ∴， ∵是的外角， ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平角的定义，三角形外角的性质，灵活选择判定定理是解题的关键． 26. 如图，直线交轴于点，交轴于点，且满足． （1）________，________； （2）如图1，若点的坐标是，且于点交于点， ①求证：； ②点的坐标是________； （3）如图2，上有一个定点，点的坐标为为轴正半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，与的面积分别记为，式子的值是否发生改变？若发生改变，直接写出该式子的值的变化范围：若不发生改变，直接写出该式子的值． 【答案】（1）4， （2）①证明：∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ② （3）的值不发生改变，等于4． 【解析】 【分析】本题主要考查了图形与坐标、全等三角形的判定和性质、非负数的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接根据非负性的性质求解即可； （2）①先说明，再证明、，易证，然后根据全等三角形的性质即可证明结论；②先说明，再根据全等三角形的性质可得，然后结合点P的位置即可解答； （3）如图：连接．证明可得， 再根据以及三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：4，． 【小问2详解】 ①略 ②∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：的值不发生改变，等于4． 如图：连接． ∵， ，， ∴D是的中点 ∵，， ∴，，， ∴，，， ∴． ∵即， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点． 【概念理解】 （1）如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，则、、这三个点中是关于点的勾股点的有 （填“、、”）； 【问题探究】 （2）如图3，为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角（点、、顺时针排列），，连接，，求证：点为关于点的勾股点． 【拓展应用】 （3）是长方形内一点，且点是关于点的勾股点，如图4，若，，求的度数． 【答案】（1）； （2）证明：∵和为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P为关于点D的勾股点． （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理进行计算，再判断即可． （2）证明，得出，，证明，则结论得证． （3）由长方形性质得，可得；根据勾股数得，又因为，即得．设，根据和，结合，可用α表示的三个内角，利用三角形内角和为等量关系列方程，即求出α进而求出． 【详解】解：（1）如图，连接， ∴，，， ∴， 连接， ∵，， ∴， 连接， ∴，，， ∴， ∴、、这三个点中是关于点的勾股点的有． （2）略 （3）∵点C是关于点A的勾股点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的定义与性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 28. 如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于8个单位长度． （1）m的值为_________； （2）在x轴上是否存在点M，使的面积的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图②，把线段向上平移2个单位得到线段，连接，，交y轴于点G，过点C作于点D，将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形和长方形重叠面积为1时，求此时点M的坐标． 【答案】（1） （2）存在点M，点M的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）根据坐标轴上A，B两点间的距离等于8个单位长度，列出方程，计算求解即可； （2）根据题意先确定的面积，进而求出的面积，利用的面积公式进行求解计算即可； （3）设经过秒后长方形和长方形重叠面积为1，分情况讨论当长方形和长方形重叠部分在长方形左侧或右侧时的情况，由重叠面积为，列出方程计算求解即可． 【小问1详解】 解：点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于8个单位长度， ，， ， 解得， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：点M存在； 、， ， 的面积的面积， ， 当点M在x轴上时，设， ， ， ， 或， 答：存在点M，点M的坐标为或； 【小问3详解】 解：设经过秒后长方形和长方形重叠面积为1， 由题意可知，秒后，点、、， 当长方形和长方形重叠部分在长方形左侧时， 高必为2， 底为， ， ， 点也运动秒， ， 点在上， ； 当长方形和长方形重叠部分在长方形右侧时， 高必为2， 底为， ， ， 点也运动秒， ， ， 点在上， ，即， 综上所述，点M的坐标为：或． 答：点M的坐标为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江都区第三中学2025—2026学年第一学期八年级数学学科期中考试 一、选择题（每题3分，共计24分，把正确答案填在答题纸相应的位置上） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下五个数：，，，，，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是( ) A. SSS B. SAS C. HL D. ASA 6. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，已知中，，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 8. 如图，在三角形中，，，平分，交于E，点G是上的一点，且，连交于P，连，下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（每空3分，共计30分，将答案填在答题纸相应的位置上） 9. 已知点和关于轴对称，则的值为_______． 10. 在两个连续整数a和b之间，即a＜＜b，则a+b=_________． 11. 近似数是精确到_______位． 12. 已知，则___________ 13. 已知一个直角三角形的面积为6，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为_______． 14. 今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为______尺． 15. 如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点坐标为，将绕点顺时针旋转60°，则旋转后点的对应点的坐标为___________． 16. 如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为_____． 17. 如图，在中，，动点P在边上，从点A向点B运动，且速度为，设运动的时间为秒．当为等腰三角形时，t的值为_____． 18. 如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ___________． 三、解答题（共计96分，将解答过程写在答题纸相应的位置上） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 22. 在平面直角坐标系中，点的坐标是． （1）若点在轴上，求点的坐标． （2）若点在第三象限，且点到轴的距离与到轴的距离相等，求的值． 23. 如图是由小正方形组成的网格，的三个顶点都在小正方形的格点上，在网格上建立平面直角坐标系．已知． （1）取一点，将平移至，其中点的对应点为，点B的对应点为E，点C的对应点为F，请在图中画出； （2）的面积为 ． （3）若在轴上存在一点，使是以为腰的等腰三角形，写出所有点的坐标： ． 24. 如图，在中， （1）尺规作图：在线段上找一点M，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，若，，求． 25. 如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点． （1）求证：≌； （2）若，求的度数． 26. 如图，直线交轴于点，交轴于点，且满足． （1）________，________； （2）如图1，若点的坐标是，且于点交于点， ①求证：； ②点的坐标是________； （3）如图2，上有一个定点，点的坐标为为轴正半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，与的面积分别记为，式子的值是否发生改变？若发生改变，直接写出该式子的值的变化范围：若不发生改变，直接写出该式子的值． 27. 如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点． 【概念理解】 （1）如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，则、、这三个点中是关于点的勾股点的有 （填“、、”）； 【问题探究】 （2）如图3，为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角（点、、顺时针排列），，连接，，求证：点为关于点的勾股点． 【拓展应用】 （3）是长方形内一点，且点是关于点的勾股点，如图4，若，，求的度数． 28. 如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于8个单位长度． （1）m的值为_________； （2）在x轴上是否存在点M，使的面积的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图②，把线段向上平移2个单位得到线段，连接，，交y轴于点G，过点C作于点D，将长方形和长方形分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，当长方形和长方形重叠面积为1时，求此时点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $