精品解析：广西壮族自治区桂林市阶段性联考2025-2026学年高一上学期12月教学质量检测数学试题

2025年秋季学期高一年级12月教学质量检测 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章到第五章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的定义即可求解. 【详解】因为，所以． 故选：C 2. 已知函数，则（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件利用分段函数的性质求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D. 3. 已知实数满足，则的最大值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D 4. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性可得， 根据对数函数的单调性可得 ， 从而可判断. 【详解】因为， 即，. 所以． 故选：A. 5. 当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数单调性，以及函数的特殊值即可确定出结果. 【详解】因为，所以，函数是增函数，排除AB选项 因为，所以，当时，，排除 D选项. 故选：C 6. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分必要性的定义及指数函数的性质判断条件间的关系. 【详解】当时，，此时， 当时，，此时， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 7. 若函数在上存在零点，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的零点存在性定理即可求解. 【详解】令，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，因此函数在上为增函数， 因此，函数在上存在零点的充要条件是且， 所以，即，解得 故选：B 8. 已知函数，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析已知函数的奇偶性及单调性，再利用性质求解题设不等式即可. 【详解】函数的定义域为R， 由，可知函数是奇函数， 而函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 故不等式， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，且，则的值可以为（　　） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意，讨论参数列方程求参数值，即可得. 【详解】因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，，令，得，令，得， 故的值可以为. 故选：ABD 10. 已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数的类型设，结合已知列方程求参数值，即可得解析式. 【详解】设，则， 因为，所以，解得或， 所以或. 故选：AC 11. 已知函数满足对任意的，都有，且，则（　　） A. B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题目条件采用赋值法逐一判断选项. 【详解】令，得，因为，所以A正确． 令，得，所以，则是偶函数，B正确，C错误． 令，得，所以， 所以，即D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数在上单调递减，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数为幂函数，结合其区间单调性列方程求参数值即可. 【详解】由题意，解得， 此时在上单调递减，满足， 所以. 故答案为： 13. 如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 【答案】 ①. 10 ②. 8 【解析】 【分析】根据已知可得，应用基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得. 【详解】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 14. 若函数满足是奇函数，则我们称是“基移奇函数”，点为“基移奇函数”的“基点”．已知函数是“基移奇函数”，则的“基点”坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】函数可化简变形为，并理解题意，根据“基移奇函数”的定义可知为奇函数，从而得出其“基点”坐标. 【详解】已知函数是“基移奇函数”， ， 移项得. 令，则 因为函数是奇函数，所以是奇函数， 与定义对比可得. 则的“基点”坐标为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合． （1）求； （2）求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合，再由集合的交运算求； （2）法一：应用集合的交、补运算求，法二：由集合的运算性质有，应用集合的交并补运算求. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 法一：因为，所以或， 同理可得，所以. 法二：因为，所以， 因为，所以. 16. （1）计算：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）1. 【解析】 【分析】（1）应用有理数指数幂的运算性质化简求值； （2）由指对数关系得，再由对数的运算性质求值. 【详解】（1） . （2）因为，所以，所以， 所以. 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）当时，求的零点； （3）若在上的最大值与最小值之差为2，求的值． 【答案】（1）（-3，6） （2）-2和5. （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义域真数部分大于求的定义域； （2）根据对数函数的运算法则求出的零点； （3）通过对数函数的单调性，讨论的取值范围使得在上的最大值与最小值之差为. 【小问1详解】 由题意可得， 解得，则的定义域为， 【小问2详解】 令，得， 所以，所以，即， 解得或，即的零点是和. 【小问3详解】 由题意可得 设，因为，所以. ①当时，是上的减函数， 因为在上的最大值与最小值之差为， 所以，，即，解得 ②当时，是上的增函数， 因为在上的最大值与最小值之差为2，所以， ，即，解得， 综上，或. 18. 某食品加工厂加工某食品，每月需要投入固定成本14万元，每加工万千克该食品，需另投入成本万元，根据以往的经验可知.已知加工后的该食品每千克的售价为10元，且该食品厂每月加工的这种食品能全部售完． （1）写出该食品加工厂加工这种食品的月利润（单位：万元）关于月加工量（单位：万千克）的函数关系式； （2）当该食品加工厂每月加工该食品的月利润为正数时，求该食品加工厂每月加工该食品的质量的取值范围； （3）求该食品加工厂加工这种食品月利润的最大值．（总收入=总成本＋利润） 【答案】（1） （2） （3）18万元 【解析】 【分析】（1）根据题设列式求解即可； （2）根据题意可得或，进而求解即可； （3）结合二次函数和基本不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，； 当时， 故. 【小问2详解】 由题意可得或， 解得或，即所求的取值范围为. 【小问3详解】 当时，函数， 则在上单调递增， 故时， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 即时，. 因为，所以当月加工量为10万千克时，该食品加工厂加工这种食品的月利润取得最大值，最大值为18万元. 19. 已知函数是定义在上的偶函数． （1）判断函数在上的单调性，并根据函数单调性的定义证明你的结论； （2）求函数零点的个数； （3）设函数，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1） 因为是上的偶函数，所以，即， 所以对恒成立，则， 在上单调递增，证明如下： 对任意的，， 因为，所以，所以， 即，故在上单调递增； （2）2个； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性质列方程求参数值，再由单调性的定义证明区间单调性； （2）问题化为与图象的交点个数，结合指对数函数的性质研究函数的图象性质，数形结合判断零点个数； （3）问题化为在上的最大值，利用二次函数的性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得，而， 由（2）且是偶函数，得在上单调递减， 因为在上单调递增，且， 的大致图象如下， 由图可知，与的图象有2个交点，则零点的个数为2； 【小问3详解】 由（2）知在上单调递减，则在上的最大值为， 因为对任意的，存在，使得成立， 所以在上的最大值，而的图象开口向上且关于对称． 当，即时，，则，解得， 当，即时，，则，解得， 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期高一年级12月教学质量检测 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章到第五章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 已知实数满足，则的最大值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知，则（　　） A. B. C. D. 5. 当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　） A. B. C. D. 6. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若函数在上存在零点，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，且，则的值可以为（　　） A. 0 B. 1 C. D. 10. 已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A. B. C. D. 11. 已知函数满足对任意的，都有，且，则（　　） A. B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数在上单调递减，则___________． 13. 如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 14. 若函数满足是奇函数，则我们称是“基移奇函数”，点为“基移奇函数”的“基点”．已知函数是“基移奇函数”，则的“基点”坐标为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合． （1）求； （2）求． 16. （1）计算：． （2）已知，求的值． 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）当时，求的零点； （3）若在上的最大值与最小值之差为2，求的值． 18. 某食品加工厂加工某食品，每月需要投入固定成本14万元，每加工万千克该食品，需另投入成本万元，根据以往的经验可知.已知加工后的该食品每千克的售价为10元，且该食品厂每月加工的这种食品能全部售完． （1）写出该食品加工厂加工这种食品的月利润（单位：万元）关于月加工量（单位：万千克）的函数关系式； （2）当该食品加工厂每月加工该食品的月利润为正数时，求该食品加工厂每月加工该食品的质量的取值范围； （3）求该食品加工厂加工这种食品月利润的最大值．（总收入=总成本＋利润） 19. 已知函数是定义在上的偶函数． （1）判断函数在上的单调性，并根据函数单调性的定义证明你的结论； （2）求函数零点的个数； （3）设函数，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $