精品解析：河南省平顶山市鲁山县第七教研区2025-2026学年九年级上学期12月期末数学试题

2025-2026上学期鲁山县第七教研区期末联考 九年级数学 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图．熟练掌握从前面看到的是主视图，从左边看到的是左视图是解题的关键． 根据从前面看到的是主视图，从左边看到的是左视图对各选项进行判断即可． 【详解】解：由题意知，A中主视图与左视图不相同，符合要求； B、C、D中主视图与左视图相同，不符合要求； 故选：A． 2. 关于方程的描述，下列说法错误的是（ ） A. 它是一元二次方程 B. 解方程时，方程两边先同时除以 C. 它有两个不相等的实数根 D. 用因式分解法解此方程最适宜 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，根据一元二次方程的定义、解法及根的判别式逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：、方程整理得为， 故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意； 、解方程时，方程两边先同时除以，会漏解， 故该说法错误，符合题意； 、由得： ， 故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意； 、用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意； 故选：． 3. 如图，这是某商店售卖的花架简图，其中，则的长为（） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练运用相似三角形的性质和判定是解题的关键． 由，得出利用相似三角形性质，可求出的长． 【详解】解：∵， 即 ∴的长是． 故选：C． 4. 如果的压力作用于物体上，产生的压强要大于，则下列关于物体受力面积的说法正确的是（ ） A. 小于 B. 大于 C. 小于 D. 大于 【答案】A 【解析】 【分析】根据压力压强受力面积之间的关系即可求出答案. 【详解】解：假设为， 为， . ， . 故选：A. 【点睛】本题考查的是反比例函数值的取值范围，解题的关键是要知道压力压强受力面积之间的关系以及越大，越小 5. 如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（　　）． A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，据此即可作答． 【详解】解：∵任意将其中1张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了简单概率的计算，明确题意，知道只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，是解答本题的关键． 6. 如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P＝(　　) A. 90° B. 45° C. 30° D. 22.5° 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图的过程知道：AP是∠CAD的角平分线，根据角平分线的性质解答． 【详解】解：∵正方形ABCD，∴∠DAC=∠BAC=45°,AD∥CP,由作图可知AP为∠DAC的平分线，∴∠DAP=∠DAC=22.5°, ∵AD∥CP, ∴∠P=∠DAP=22.5°,故答案为22.5°. 【点睛】本题考查了作图，角平分线的性质，根据作图的步骤推知AP是∠CAP的角平分线，是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，，将以原点O为位似中心，各边长缩小到原来的后得到，点对应点为点，则点坐标为（　　） A. B. C 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵将以原点O为位似中心，各边长缩小到原来的后得到，点， ∴点坐标为或， 即或， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 8. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 9. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. B. 1 C. 15 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系，结合一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，四边形是菱形，如图，连接，，而点G是的中点，可得为菱形对角线的交点，，当时，最小，再利用等面积法求解最小值即可． 【详解】解：∵，， ∴是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形菱形， 如图，连接，，而点G是中点， ∴为菱形对角线的交点，， ∴当时，最小， ∵即矩形的面积为12，， ∴，， ∴， ∴， 由菱形的性质可得：， ∴， ∴，即的最小值为1． 故选A 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含义，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 二、填空题（每小题3分，共15 分） 11. 一元二次方程6x2+2x=-2的二次项系数、一次项系数、常数项之和是________． 【答案】 【解析】 【分析】将原方程变形为，得出二次项系数、一次项系数、常数项相加即可． 【详解】解：原方程变形为， 二次项系数为、一次项系数为、常数项为， 二次项系数、一次项系数、常数项之和为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的有关概念，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 12. 如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件________，使为矩形． 【答案】或（或或或）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，根据矩形的判定推理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形； 当（或或或）时，平行四边形是矩形； 故答案为：或（或或或）（答案不唯一） ． 13. 如图是用7块相同的小长方体搭成的几何体，若拿走一块长方体后，该几何体的主视图和左视图都没改变，则这块长方体的序号是____________． 【答案】⑤ 【解析】 【分析】根据题意把分别使主视图或左视图不变的情况找到，再选择共同都有的即可． 【详解】解：由图可知，拿走一块长方体后，要使得主视图没改变，可以是：③、⑤， 拿走一块长方体后，要使得左视图没改变，可以是：④、⑤， 故若拿走一块长方体后，该几何体的主视图和左视图都没改变只有：⑤， 故答案为：⑤． 【点睛】本题考查了三视图，解题的关键是掌握画一个几何体的三视图． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意可设点P的坐标为，则，把代入一次函数解析式中求出m的值进而求出点P的坐标，再求出k的值即可． 【详解】解：∵轴于点轴于点， ∴点P的横纵坐标相同， ∴可设点P的坐标为， ∵为的中点， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点P的坐标是解题的关键． 15. 如图，在△ABC中．以点B为圆心，以BC为半径作弧，分别交AC、AB于点D，E，连接DE，若DE＝DC，AE＝4．AD＝5，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD．先证明△BDE≌△BDC(SAS)，然后证明△AED∽△ADB，求出AB、BE，即可解决问题． 【详解】连接BD， ∵ED＝DC， ∴， ∴∠CBD＝∠DBE， ∵BE＝BD＝BC， 在△BDE和△BDC中 ， ∴△BDE≌△BDC(SAS)， ∴∠BED＝∠BDE＝∠BDC＝∠BCD， ∵∠AED+∠BED＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°， ∴∠AED＝∠ADB， ∵∠A＝∠A， ∴△AED∽△ADB， ∴， ∴， ∴AB＝， ∴BE＝AB﹣AE＝ ∴S△AED：S△BED＝4：＝16：9， ∴S△ADE：S四边形BCDE＝16：18， ∴S△AED：S△ABC＝16：(16+18)＝8：17, 故答案为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（共8小题，满分75 分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解： ∴， 即 ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ， ∴或， 17. 如图所示是由若干个相同的小正方体组成的几何体． （1）该几何体由______个小正方体组成； （2）在虚线网格中画出该几何体的三视图． 【答案】（1）8 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据几何体的特征判断即可； （2）根据三视图的定义画出图形即可． 【小问1详解】 这个几何体有8个小正方形组成． 故答案为：8； 【小问2详解】 三视图如图所示． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型． 18. 郑东新区有着丰富的旅游资源，小明决定利用一天时间来郑东新区游玩，通过查阅资料，小明制定了如下游玩计划：上午从3个自然景点（A．北龙湖湿地公园B．郑州之林C．郑州市森林公园）中随机选取一个游玩，下午再从2个人文景点（D．河南自然博物馆；E．河南省科技馆新馆）中随机选取一个去参观. （1）小明从自然景点中选中“郑州之林”的概率是______； （2）用树状图或表格求小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，正确理解题意并画出树状图是解题的关键． （1）根据概率的计算公式计算，即得答案； （2）先画出树状图，再列举事件总的可能性结果及符合条件的等可能结果，最后根据概率的计算公式计算，即得答案． 【小问1详解】 解：明从自然景点中选中“郑州之林”的概率 ； 故答案为： ； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的结果数为，所以小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率． 19. 如图，点E，F分别在正方形的边，上，延长到点G使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）本题考查正方形的性质及三角形全等的判定，根据正方形的性质得到，，结合判定即可得到证明； （2）本题考查正方形的性质，三角形全等的性质与判定及三角形内角和定理，根据得到，从而得到，得到，结合即可得到答案； 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在与中， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 已知关于的方程 （1）求证：无论p去何值，方程总有两个不相等的实数根 （2）若，设方程的两个实数根分别为，，求的值 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先把方程化为，再根据方程有两个不相等的实数根可得，即可得出结论； （2）由根与系数的关系可得，即可得出结论． 【小问1详解】 关于的方程， ， ， 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 当时，原方程可化为， 根据根与系数的关系得，， ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 21. 定义：如图①，若点P在的边上，且满足，则称点P为的“理想点”． （1）如图②，若点D是的边的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由． （2）在中，，，，若点D在边上，且是的“理想点”，求的长． 【答案】（1）是，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，当在上时，证明是边上的高，根据面积法可求长度． 【小问1详解】 解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； 【小问2详解】 在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 22. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为． （1）求反比例函数的关系式； （2）设点在反比例函数图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点的坐标． 【答案】（1）y （2）或 【解析】 【分析】（1）过点作轴的垂线，垂足为，由点的坐标，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，可得三点共线，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出的值； （2）设点M的坐标，根据的面积是菱形面积的，列方程解出即可． 【小问1详解】 解：过点作轴的垂线，垂足为，则，如图1所示． ∵点的坐标为， ， ∵四边形为菱形， ， 三点共线， ∴点坐标为． ∵点在反比例函数y的图象上， ； ∴y； 【小问2详解】 解：由（1）知：反比例函数的关系式为y， 设点的坐标为， 的面积是菱形面积的， ， ， 或， 或． 【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形和三角形的面积等知识，解题的关键是：（1）利用勾股定理及菱形的性质，找出点的坐标；（2）根据反比例函数解析式设点的坐标，列方程解决问题． 23. 如图1，在矩形中，已知．，点E、F分别是、的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现： ①当时，＝　 　；②当时，＝　 　； （2）拓展探究： 将绕点C按顺时针方向旋转到如图2的位置，求此时的值； （3）问题解决： 当旋转至A、F、E三点共线时，求线段的长（写出必要的解题过程）． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据矩形中， ．，，运用勾股定理得到，当时，根据E、F分别是、的中点，得到，，即可求得；②当时，由，得到； （2）连接，根据旋转性质得到，结合，推出，推出； （3）根据，求出，根据，得到，当点F在线段上时， 结合，得到，得到；当点F在线段延长线上时，得到，得到． 【小问1详解】 解：（1）①当时，见题干图1， ∵矩形中， ．，， ∴， ∵点E、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 故答案为：； ②当时，如图1， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 如图2，连接， 由旋转知，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 A、F、E三点共线时，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当点F在线段上时，如图3， ∵， ∴， ∴； 当点F在线段延长线上时，如图4， ， ∴； 故的长度为或． 【点睛】本题主要考查了四边形和三角形旋转的综合．解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形．注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026上学期鲁山县第七教研区期末联考 九年级数学 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（ ） A B. C. D. 2. 关于方程的描述，下列说法错误的是（ ） A. 它一元二次方程 B. 解方程时，方程两边先同时除以 C. 它有两个不相等的实数根 D. 用因式分解法解此方程最适宜 3. 如图，这是某商店售卖花架简图，其中，则的长为（） A. B. C. D. 4. 如果的压力作用于物体上，产生的压强要大于，则下列关于物体受力面积的说法正确的是（ ） A. 小于 B. 大于 C. 小于 D. 大于 5. 如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（　　）． A. 1 B. C. D. 6. 如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P＝(　　) A. 90° B. 45° C. 30° D. 22.5° 7. 如图，在平面直角坐标系中，，将以原点O为位似中心，各边长缩小到原来的后得到，点对应点为点，则点坐标为（　　） A. B. C. 或 D. 或 8. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 9. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A B. 1 C. 15 D. 17 10. 如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 3 二、填空题（每小题3分，共15 分） 11. 一元二次方程6x2+2x=-2的二次项系数、一次项系数、常数项之和是________． 12. 如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件________，使为矩形． 13. 如图是用7块相同的小长方体搭成的几何体，若拿走一块长方体后，该几何体的主视图和左视图都没改变，则这块长方体的序号是____________． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点．一次函数与交于点，若为的中点，则的值为_______． 15. 如图，在△ABC中．以点B为圆心，以BC为半径作弧，分别交AC、AB于点D，E，连接DE，若DE＝DC，AE＝4．AD＝5，则＝_____． 三、解答题（共8小题，满分75 分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 17. 如图所示是由若干个相同的小正方体组成的几何体． （1）该几何体由______个小正方体组成； （2）在虚线网格中画出该几何体的三视图． 18. 郑东新区有着丰富的旅游资源，小明决定利用一天时间来郑东新区游玩，通过查阅资料，小明制定了如下游玩计划：上午从3个自然景点（A．北龙湖湿地公园B．郑州之林C．郑州市森林公园）中随机选取一个游玩，下午再从2个人文景点（D．河南自然博物馆；E．河南省科技馆新馆）中随机选取一个去参观. （1）小明从自然景点中选中“郑州之林”的概率是______； （2）用树状图或表格求小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率． 19. 如图，点E，F分别在正方形的边，上，延长到点G使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 已知关于的方程 （1）求证：无论p去何值，方程总有两个不相等的实数根 （2）若，设方程的两个实数根分别为，，求的值 21. 定义：如图①，若点P在的边上，且满足，则称点P为的“理想点”． （1）如图②，若点D是边的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由． （2）在中，，，，若点D在边上，且是的“理想点”，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为． （1）求反比例函数的关系式； （2）设点在反比例函数图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点的坐标． 23. 如图1，在矩形中，已知．，点E、F分别是、的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现： ①当时，＝　 　；②当时，＝　 　； （2）拓展探究： 将绕点C按顺时针方向旋转到如图2的位置，求此时的值； （3）问题解决： 当旋转至A、F、E三点共线时，求线段的长（写出必要的解题过程）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $