5.4问题解决策略：直观分析 课件- 2025--2026学年北师大版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的“直观分析”问题解决策略，通过“服装销售问题”导入，引导学生识别已知量与未知量，梳理等量关系，借助表格、示意图等工具衔接方程基础，搭建从实际问题到数学模型的学习支架。 其亮点在于分场景匹配直观工具，如利润问题用流程框图与表格，行程问题用线段图，重叠计数用韦恩图，体现数学眼光中的几何直观与抽象能力。通过错误标注纠正认知偏差，培养数学思维的推理意识，分层作业强化数学语言的模型意识。学生能提升问题分析能力，教师可获得结构化教学流程与多样化工具示例，提高教学效率。

第五章一元一次方程 5.4 问题解决策略：直观分析 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 新知探究 05 课堂小结 06 作业布置 Contents 目录 01 教学目标 会用示意图、表格、韦恩图等工具，理清实际问题中的数量关系，列一元一次方程求解。 01 通过自主研学、小组讨论，掌握“直观分析”的问题解决策略，提升逻辑分析能力。 02 体会数学与生活的联系，感受“直观工具”简化复杂问题的价值。 03 3 02 新知导入 阅读课本中“服装销售问题”，回答： （1）问题涉及的量有哪些？已知量、未知量分别是什么？ （2）用文字描述该问题的等量关系。 （3）可以用什么方式展示这些量的关系？ （4）尝试写出该问题的方程（不求解）。 在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰。实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略。 4 03 新知讲解 商品利润＝售价－进价 （核心等量关系，利润是售价与成本的差值）。 商品利润率＝（利润÷进价）×100% （利润率反映利润占成本的比例，需转化为百分数）。 5 03 新知讲解 问题： 一家商店将某种服装按成本价提高 40% 后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？ 理解问题 （1）这个问题中涉及哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？ 6 涉及的量：成本价、提价率、标价、折扣、售价、利润； 已知量：提价40%、八折优惠、每件获利15元； 未知量：每件服装的成本价。 03 新知讲解 问题： 一家商店将某种服装按成本价提高 40% 后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？ 7 （2）你能用文字语言描述这个问题中所蕴含的等量关系吗？ 03 新知讲解 涉及的量：成本价、提价率、标价、折扣、售价、利润； 已知量：提价40%、八折优惠、每件获利15元； 未知量：每件服装的成本价。 售价 - 成本价 = 利润； 售价 = 标价 × 折扣，标价 = 成本价 ×（1 + 40%）。 8 （3）采用什么方式可以更清楚地展示这个问题中各个量之间的关系？ 03 新知讲解 可通过表格梳理各量的表达式，或框图示意图 9 03 新知讲解 成本价 标价 售价 x 40% 提价 （1+40%）x 80% 打折或减价 （1+40%）x 利润15 （1+40%）x 10 03 新知讲解 数量 表达式 成本 标价 售价 利润 售价成本 11 03 新知讲解 （1）想象一下商店从进货、标价到销售获利的过程，你能用示意图直观地表示这一过程吗？ 拟订计划 成本价→打八折→售价 12 03 新知讲解 （2）根据自己画的示意图，你能写出哪些等量关系？ 拟订计划 标价 = 成本价 × 40% 利润 = 标价 - 成本价 标价 = 成本价 ×（1 + 40%） 利润 = 售价 - 成本价 13 03 新知讲解 （3）设这种服装每件的成本为 x 元，你能用含 x 的代数式表示其他量吗？根据自己写出的等量关系，你能列出怎样的方程？ 拟订计划 标价：80% 元 标价： 元 售价： 元 方程： 14 03 新知讲解 写出你的解决方案，并与同伴进行交流 实施计划 小明用图5-6所示的框图直观地表示了商店从进货、标价到销售获利的过程，并将问题中的数量信息标注在框图中。据此，他列出了方程 解这个方程，得 因此，这种服装每件的成本是125元。 15 知识点总结与辨析 核心关系（利润问题）： ① 标价 = 成本×(1+提价率)（提价用“+”，降价用“-”）； ② 售价 = 标价×折扣（八折=0.8，九五折=0.95）； ③ 利润 = 售价 - 成本（盈利为正，亏损为负）。 03 新知讲解 16 拓展题：某笔记本按成本提价30%标价，七折卖出后亏损2元，求成本价。 解析： 设成本为元，标价，售价。 等量关系：成本 - 售价 = 亏损 → 求解： → 元。 03 新知讲解 17 （1）你是用怎样的示意图表示商店从进货、标价到销售获利全过程的？与同伴交流不同示意图的优缺点。 回顾反思 ①用流程框图来表示全过程： ②表格示意图（把成本、标价、售价对应的表达式列在表格里）。 03 新知讲解 18 流程框图： 优点：能清楚看到“进货→标价→销售”的步骤顺序，过程很连贯； 缺点：不太方便直接把每个量的代数式写在图里，需要额外标注。 不同示意图优缺点： 表格示意图： 优点：能把每个量（成本、标价、售价）和对应的表达式一一对应，看数值关系很清楚； 缺点：看不出步骤之间的先后变化，像“先提价再打折”的顺序体现得不明显。 03 新知讲解 19 （2）示意图对解决这类问题有什么作用？请举例说明。 示意图的作用是把问题里绕来绕去的数量关系变直观，避免搞混各个量的联系。 借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题。 03 新知讲解 20 04 新知探究 请用直观分析策略解答下列问题 1．某单位的四幢宿舍楼在一条直线上，现要在这四幢宿舍楼之间建一个超市，使得四幢宿舍楼到超市的距离之和最短。超市应建在什么位置？ A B C D ? P 21 04 新知探究 分析逻辑：设超市位置为，距离和为。 其中（到的总长度，是固定值）； 的最小值出现在位于、之间（含、本身）时（此时，是到的最短距离）。 结论：超市应建在第二幢与第三幢宿舍楼之间（包含这两幢楼的位置）。 22 04 新知探究 2.小明和爸爸周末骑自行车去郊外游玩，小明和爸爸分别以 和 的速度沿相同路线骑行，爸爸先骑行了 ，然后立即掉转车头，仍以 速度往回骑（小明仍按原速度向前骑行），直到与小明会合。会合时他们骑行了多长时间？ 11km 相遇 起点 23 04 新知探究 等量关系：小明骑行的路程 + 爸爸往回骑行的路程 = 爸爸先骑的11km 求解过程： 设会合时间为t小时，列方程：10t+12t=11 计算得：22t=11 ⇒ t=0.5小时 24 04 新知探究 3．五个人聚会，如果每两个人要握一次手，那么五个人共握多少次手？ ① ② ③ ④ ⑤ ① ② ③ ④ ⑤ 25 04 新知探究 分析逻辑：避免重复计算（如①和②握过，就不再算②和①）： ①和②③④⑤握（4次）， ②和③④⑤握（3次）， ③和④⑤握（2次）， ④和⑤握（1次）。 总次数：次 26 04 新知探究 4．一次测试共有两道题，全班有45名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有27人，两道题都答对的有20人，那么两道题都答错的有多少人？ 32人 27人 20人 答对第二题 答对第一题 两道都答对 27 04 新知探究 只答对第一题： 只答对第二题：人 至少答对一题的人数：人 两道都答错的人数：人 28 04 新知探究 5.某公司办公大楼共5层，公司要召开会议。 （1）如果从1层到5层每层参会人数分别为2，1，2，1，1，那么要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在几层？你是怎样思考的？ 29 04 新知探究 拟定开会楼层 计算各楼层的总距离 总距离之和 1 2 3 4 5 12 9 8 11 16 会议地点设在3层 参会人数分别为2，1，2，1，1 30 04 新知探究 （2）如果从1层到5层每层参会人数分别为2，2，1，2，1呢？ 拟定开会楼层 计算各楼层的总距离 总距离之和 1 2 3 4 5 14 10 10 11 21 会议地点设在2层或3层 31 04 新知探究 （3）如果从1层到5层每层参会人数分别为18，14，10，10，11呢？你是如何解决的？ 拟定开会楼层 计算各楼层的总距离 总距离之和 1 2 3 4 5 108 81 82 103 144 32 04 新知探究 做题方法总结 核心是“选对直观工具→梳理数量关系→列式计算”： ①选直观工具： 直线位置优化（如宿舍楼、会议地点）：用直线示意图/表格； 行程问题：用线段图； 两两组合（如握手）：用连线示意图； 重叠计数（如答题情况）：用韦恩图。 ②梳理关系：通过工具明确“路程和/差、距离和、组合次数、集合重叠”等核心关系； ③计算求解：根据梳理的关系，列方程/算式计算结果。 33 05 课堂小结 直观分析 工具 解题步骤 数学方法 包括示意图（流程框图、线段图）、表格、韦恩图等，明确不同工具的适用场景。 审→设→列→解→验→答 实际情境→ 抽象为数学模型→ 求解方程→ 验证结果是否符合实际→ 回归实际问题解答； 工具：线段图、环形图 基础练习 1.商场某商品按原售价七五折出售亏损25元，九折出售盈利20元，原售价为（ ） A.230元 B.250元 C.270元 D.300元 2.某商品按成本提40%标价，八折卖出获利15元，成本价为（ ） A.115元 B.120元 C.125元 D.150元 3.豆角原价5元/千克，小王买打八折；另一人少买5kg、原价买，还多花10元，小王购买质量为（ ） A.20kg B.25kg C.30kg D.35kg 06 作业布置 D C D 35 4.某人按一年定期存入银行一笔钱，年利率为1.2%，到期扣除利息的20%个人所得税后，本息和为3533.6元，求存入金额。 解析：设存入银行的本金为元： 利息（税前）： 实际利息（税后）： 等量关系：本息和=本金+实际利息，列方程： 求解： 答：存入银行的金额为3500元。 06 作业布置 36 能力提升 5.某公司甲、乙两种贷款共180万元，年利息6.2万元，甲利率3.8%、乙利率3%，甲贷款数额是___________万元。 06 作业布置 100 37 06 作业布置 6.甲、乙两件服装的成本共500元，甲按50%利润定价、乙按40%利润定价，均九折出售后获利157元，求甲、乙成本。 解析：设甲服装成本为元，则乙服装成本为元： 甲的标价：，九折售价： 乙的标价：，九折售价： 等量关系：总售价-总成本=总利润，列方程： 求解：化简得，乙成本为元 答：甲服装成本300元，乙服装成本200元。 38 7.商场家电按进价提20%标价，元旦九折销售： (1) 电视机进价2500元，求标价和利润； (2) 冰箱促销后获利300元，求进价。 解析：(1)标价：元 九折售价：元 利润：元 (2)设冰箱进价为元： 标价：，九折售价： 等量关系：售价-进价=利润，列方程： 求解： 答：(1) 标价3000元，利润200元；(2) 冰箱进价3750元。 06 作业布置 39 06 作业布置 8.甲处6人、乙处10人、丙处8人，支援后人数比2:3:4，设甲支援后2x： 填表； 支援丙的人数是乙的2倍，求各支援人数。   甲处 乙处 丙处 支援后总人数       支援人数 40 06 作业布置 解析(1) 填表： (2)等量关系：支援丙的人数=支援乙的人数×2，列方程： 4x-8=2(3x-10) 求解：4x-8=6x-20 ⇒ 2x=12 ⇒ x=6 支援甲：2×6-6=6人；支援乙：3×6-10=8人； 支援丙：4×6-8=16人 答：支援甲6人、乙8人、丙16人。   甲处 乙处 丙处 支援后总人数 2x 3x 4x 支援人数 2x-6 3x-10 4x-8 41 06 作业布置 拓展练习 9.五只雀、六只燕共重16两，互换1只质量相等，求雀、燕每只的重量。 解析：设每只雀重x两，每只燕重y两： 等量关系1：5雀+6燕=16两，列方程：5x+6y=16 等量关系2：互换1只后质量相等（4雀+1燕=1雀+5燕） 42 06 作业布置 解：设每只雀重两，每只燕重两。 列方程：，化简得 将代入： 则 答：每只雀重两，每只燕重两。 43 $