专题12 一元一次方程实际应用的四类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建三阶训练体系，聚焦一元一次方程实际应用四类核心题型，通过分类讨论与方程建模培养抽象能力与模型意识，实现方法迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心解法|分类讨论为底线原则|构建方程应用通用思维框架| |销售盈亏问题|1典例+3变式|等量关系列方程|从利润率到促销方案的递进| |方案选择问题|1典例+3变式|方程与分类讨论结合|优惠方案比较与最优决策建模| |水电气费问题|1典例+3变式|阶梯收费标准应用|分段计费中的数量关系抽象| |行程问题|1典例+3变式|追及/相遇等量关系|环形跑道到分段变速的逻辑拓展| |压轴挑战|10道综合题|多情境综合应用|融合四类题型的复杂问题解决|

专题12 一元一次方程实际应用的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、销售盈亏问题 题型二、方案选择问题 题型三、水电气费用问题 题型四、行程问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元一次方程应用是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕销售盈亏、方案选择、水电气费及行程问题展开，解题贯穿基本底线原则：分类讨论。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、销售盈亏问题 典例1“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为，含油率为．“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”的平均每公顷产量提高了，含油率提高了10个百分点．某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少2公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了． (1)这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？ (2)去年和今年该村将所产的油全部制作成压榨菜籽油，然后以每千克15元的价格被批发商收购，批发商去年将菜籽油按收购价提高定价，且全部售出．由于销售火爆，批发商今年每千克再提高2元定价，也全部售出，且今年比去年多盈利63900元，求a的值． 题型模版 1.特征：销售盈亏问题. 2.方法：关键是根据等量关系列出方程求解． 变式1-1保康市场销售某种商品，分为A、B两种款式，已知A款商品每个的进价是50元，售价是80元，B款商品每个的售价是60元，可盈利．提示：利润率×进价=售价−进价． (1)A款商品每个的利润率是 ，B款商品每个的进价是 元． (2)该市场购进A、B两款商品共计200个，总进货款8400元，请你计算一下A、B两款商品各进货多少个？ (3)春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动（打折前一次性购物总金额）： ①不超过900元，不优惠 ②超过900元，但不超过1200元，按总售价打九折 ③超过1200元，其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折优惠， 小张按照优惠活动方案在该市场购买A款商品若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该市场购买了多少个A款商品？ 变式1-2怀远石榴是蚌埠市名优特产，其中“玉石籽”石榴和“玛瑙籽”石榴深受市场青睐．年怀远某石榴种植户科学种植了亩玉石籽石榴和亩玛瑙籽石榴，已知平均每亩玉石籽的产量是每亩玛瑙籽产量的倍，两种石榴总产量为千克．两种石榴的销售规格及售价如下表： 品种 包装规格 售价 玉石籽 千克/箱 元/箱 玛瑙籽 千克/箱 元/箱 根据以上信息，回答下列问题： (1)求该种植户收获玉石籽和玛瑙籽石榴各多少千克？ (2)若销售这两种石榴共m箱，总销售额为元，求销售玉石籽石榴的箱数（用含的代数式表示）． (3)该种植户分两次售完所有石榴：第一次销售两种石榴共箱，第二次销售时，对剩余的玉石籽石榴打八折促销，玛瑙籽石榴保持原价．已知第二次的销售额比第一次多元，求第一次销售玉石籽石榴多少箱？ 变式1-3完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 类型二、方案选择问题 典例2学校举行迎新活动，需要购买中国结，已知A型中国结的单价比B型中国结的单价多9元，购买15个A型中国结与20个B型中国结所花费用相等． (1)问A、B型两种中国结的单价分别是多少元？ (2)由于活动方案改变，还需购买单价为20元/个的C型中国结，若三种中国结都要买，在总经费不变且用完的情况下，需要减少A，B型两种中国结的购买数量，其中B型中国结的减少数量是A型中国结减少数量的2倍．设A型中国结减少m个． ①求B型、C型中国结分别购买多少个？（用含m的代数式表示） ②如何购买可以买到中国结的总数量最多，请给出购买方案． 题型模版 1.特征：方案选择问题． 2.方法：根据题意列出方程和分类讨论是关键． 变式2-1在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、幸福、团圆、美满等美好的祝愿．劳动课上，王老师带领同学们编中国结．已知编一个大中国结比编一个小中国结需要多用的绳．王老师编3个大中国结和7个小中国结，共计用绳． (1)求王老师编一个大中国结和一个小中国结各需用绳多少m？ (2)按照王老师的方法，七1班40名同学快速行动起来，其中男生编小中国结，女生编大中国结，每位男生一节课可以编3个小中国结，每位女生一节课可以编2个大中国结，全班编完后发现小中国结的数量是大中国结的2.5倍．求七1班男生，女生各有多少人？ (3)王老师计划号召七年级同学们编500个中国结，其中大中国结个，并按照1个大中国结配2个流苏，1个小中国结配1个流苏的方式，配好后进行义卖．王老师去某商店采购绳子和流苏，其中绳子1元/米，流苏0.5元/个．店老板给出两种优惠方案： 方案一：超过1000元减220元． 方案二：一次性购物达到1000元，全场打九折． 请问：当的值为多少时，两种方案的费用相同． 变式2-2元旦期间，某商场销售纪念品，为了吸引顾客，推出了2种不同的优惠方案（两种方案不能叠加享受）： 方案一 不超过元的部分 九折 超过元但不超过元的部分 八折 超过元的部分 七折 方案二 消费每满减30（如消费就只用付，依此类推） (1)甲去商场购买纪念品，原总价为1100元，则甲选择哪种方案更划算，请说明理由； (2)乙去商场购买纪念品，选择方案二付款，一共花了1025元，试求乙购买纪念品的原总价； (3)若甲乙两人一同去商场购买纪念品，已知甲选择方案一购买，乙选择方案二购买，他们所购纪念品原总价的和为1500元，且乙所购纪念品的原总价高于甲．店员建议他们两人组合，一次性购买所有纪念品，并且选择最优惠的购买方案，这样比两人各自购买实际付款总额少90元．那么甲乙各自所购纪念品的原总价分别是多少元？ 变式2-3小王与家人去某火锅店吃火锅．火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张80元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部折． 小王点了270元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了224元 (1)根据题意，若用方式一买单，应付款________元；的值为_________ (2)若小王点了285元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小王一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 题型三、水电气费问题 典例3某市某公司燃气收费标准如表： 表某市某燃气公司收费标准 收费方式 年用气量（立方米） 费用（元/立方米） 第一档 不超过250的部分 3.4 第二档 超过250且不超过360的部分 4.0 第三档 超过360的部分 5.1 针对多人口家庭的用气需求，该市推出“一户多人口”燃气收费普惠政策： 人口超过4人的家庭，每增加1人，每户每档年用气量增加60立方米． 例如，某居民家有6口人，申请政策后，各档年用气量（立方米）范围调整为： 第一档，不超过370的部分； 第二档，超过370且不超过480的部分； 第三档，超过480的部分． (1)居民甲家有4口人， ①若年用气量为230立方米，则应缴燃气费______元． ②已知居民甲家一年的燃气费为1050元，求居民甲家的年用气量． (2)居民乙家有5口人，年用气量为a立方米，其中a超过360且不超过400．若居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省多少燃气费？（用含a的代数式表示） 题型模版 1.特征：水电气费问题 2.方法：熟练掌握阶梯收费标准，列式计算，列一元一次方程计算，分类讨论，是解决本题的关键 变式3-1某市为了增强市民节约用水的意识，自来水公司实行阶梯收费，具体收费标准如下： 每月用水量 收费标准 第一阶梯 不超过10吨 1.8元/吨 第二阶梯 10吨以上至20吨的部分 2.7元/吨 第三阶梯 20吨以上的部分 5.4元/吨 (1)已知小明家6月份用水15吨，则小明家6月份应交水费__________元； (2)已知小亮家7月份用水量为吨，按照第三阶梯交费，则小亮家7月份应交水费__________元（用含的代数式表示）； (3)已知小华家6月份和7月份共用水40吨，其中7月份用水量超过6月份，两月共交纳水费103.5元．小华家6月份，7月份各用水多少吨？ 变式3-2某市公布的居民用电阶梯电价方案如下： 收费方式 月用电量 费用 第一档 不超过度 元/度 第二档 超过度但不超过度的部分 元/度 第三档 超过度的部分 元/度 (1)若小华家某月用电量是度，则这个月的电费为_______元；（用含的代数式表示） (2)若小华家9月份的电费为元，求小华家9月份的用电量； (3)居民根据用电情况，可以申请“峰谷电价”，其收费方式如下： 高峰时段：8：00～22：00，其电价在各档电价基础上加价元/度； 低谷时段：8：00～22：00以外的时间，其电价在各档电价基础上降价元/度． 高峰时段与低谷时段电费分别按调价后的阶梯电价计费．已知小华家10月份的用电量为度，且高峰时段的用电量大于度，他家申请“峰谷电价”后，能节约元，请求出小华家10月份高峰时段、低谷时段的用电量． 变式3-3某市居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费 不超过部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 (1)小亮家2025年用水量为，应缴纳水费 元； (2)小红家2025年缴水费960元，该家庭实际用水量是多少？ (3)小华家和小强家2025年的用水量共，且小华家用水量比小强家多，两家共缴纳水费2240元，求小华家和小强家的用水量分别为多少？ 题型四、行程问题 典例4 在环形跑道上赛跑时，我们常说“套圈”这个词，它的意思是：两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，快者每追上慢者一次，就说明快者比慢者多跑一整圈（即环形跑道的周长）． 请根据上述说明，解决以下问题： (1)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，出发200秒后，甲第一次追上乙，求乙的速度； (2)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、不同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，甲第40秒第一次追上乙，第240秒第二次追上乙，求出发时两人相距多少米？ 题型模版 1.特征：行程问题. 2.方法：解题的关键是根据题意建立等量关系． 变式4-1【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 变式4-2马术三项训练场由三段组成，依次是盛装舞步、越野赛和场地障碍赛．已知场地障碍赛段长度是盛装舞步段长度的2倍，甲、乙两教练分别从训练场的首末两个端头同时出发查看场地情况，甲教练在盛装舞步段的速度是每分钟40米，进入越野赛段后速度提高了；乙教练在场地障碍赛段的速度是每分钟60米，进入越野赛段后速度降低了；当甲教练刚好查看到越野赛段的处时与乙教练相遇． (1)设盛装舞步段长度为米，越野赛段长度为米，且，求的值． (2)如果甲、乙两教练从出发到相遇的时间为3分钟40秒，求马术三项训练场的总长度． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．A，B，C三地顺次在一条笔直的公路上，A，B两地的距离比B，C两地的距离多，且A，C两地的距离为2100千米． (1)求A，B两地的距离？ (2)王师傅开一辆货车从A地去B地，李师傅开小轿车从C地开车去A地，两车的速度比为，若两车出发后10小时相遇，求两车的速度各是多少？ (3)在（2）的条件下，两车出发四小时后，小张开一辆越野车以100千米/小时的速度从B地出发去A地，当李师傅离B地的距离比王师傅和小张之间的距离少时，求此时小张出发了多少时间？ 2．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 3．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 4．【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． 【方案预设】 (1)预设方案：叶老师将乙送到车站后，回去接甲，再将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案：叶老师骑摩托车带着乙出发的同时甲步行出发．将乙送到车站后，回去接甲并将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (3)预设方案：叶老师骑摩托车行驶送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，与此同时，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求的值． 5．一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件的部分 元/件 超过100件不超过300件的部分 元/件 超过300件的部分 元/件 (1)小明买这种商品花了590元，列方程求购买这种商品多少件？ (2)若小明花了n元（），恰好购买件这种商品，求n的值． 6．某杭帮菜品牌店为了吸引顾客，特推出两种优惠方式（不能同时使用）： 方案 优惠内容 方案A：购代金券 购买“90代100”（实付90元获得100元代金券），消费每满100元可使用1张代金券，单桌最多使用3张． 方案B：会员打折 花9.9元购买会员卡，付款时可享受所有菜品、酒水8.5折优惠． 小明第一次到该店消费，请根据以上方案，解决下列问题： (1)若小明在该店消费160元，用方案A购买了一张代金券，求实际付款多少元？ (2)若小明用方案B实际付款210.5元（含会员卡费用），优惠前消费金额为多少元？ (3)若消费金额超过200元，小明发现用方案A比方案B实付金额贵了13元，优惠前消费金额为多少元？（结果精确到个位） 7．某家火锅店，推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一：“70元抵100元的全场通用代金券”（即面值100元的代金券实付70元就能获得），店家规定代金券等同现金使用，一次消费最多可用3张代金券，而且使用代金券的金额不能超过消费总金额，使用代金券抵扣后不足的部分消费者需另行支付． 方式二：除锅底不打折外，其余菜品全部a折． (1)若小李一家消费总金额为140元，用方式一买单，请问他们实际付款多少元； (2)若小李一家点了200元菜品，加上40元的锅底一起用方式二买单，实际需要支付160元，请求出方式二中a的值； (3)小李一家来到火锅店后，点了一份40元的锅底和其他菜品，用餐完后买单时，聪明的小李通过计算发现，如果选择优惠方式一，即使充分享用了代金券，也比方式二要多支付50元，请运用（2）条件下求出的a值，计算小李一家消费总金额为多少元？ 8．【问题情境】 小韩和同学们在周末相约去一家餐厅吃饭，下表为该餐厅的部分菜单： 种类 配餐 价格/元 优惠活动 A套餐 1份盖饭 20 套餐 1份盖饭＋1杯饮料 28 消费满150元，减24元；消费满300元，减48元， 依此类推 套餐 1份盖饭＋1杯饮料＋1份小菜 32 小韩记录了大家的点餐种类，并根据菜单一次性点好．已知他们点的餐共有11份盖饭，杯饮料和6份小菜． 【数学思考】 （1）他们共点了_____份套餐（用含的代数式表示）： 【问题解决】 （2）若他们所点的套餐中共有7杯饮料，求他们实际消费的金额； （3）若优惠后他们共花费268元，请求出他们的套餐是如何搭配的 9．在月日国际数学日到来之际，某校计划开展趣味数学活动，欲购买华容道板和魔方作为活动道具，、两家商店的优惠方案如下表： A商店 B商店 华容道板（标价） 元／个 元／个 魔方（标价） 元／个 元／个 优惠方案 所有商品折出售 买个华容道板送个魔方 该校将购买华容道板个，魔方若干（多于个）． (1)当需要购买个魔方时，若两种道具全部在商店购买，则还需单独购买魔方多少个． (2)当购买魔方的数量是多少个时，单独在A商店或者B商店购买所有道具的总费用相同？ (3)假如你是购买道具的负责人，在购买两种活动道具的数量是（1）中的条件下，且可到两家商店自由选购，请你设计一种购买方案，使总费用最少，最少总费用是多少？ 10．【提出问题】 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”．根据以下素材，探索小明家水费与用水量情况． 下表是“阶梯收费”标准，其中水费=自来水费+污水处理费，每月水费以整数立方米水量计费． 收费标准 年用水量 水费（元） 自来水费（元） 污水处理费（元） 第一阶梯 不超过 2.6 1.65 0.95 第二阶梯 超过但不超过的部分 3.95 3.0 第三阶梯 超过的部分 7.8 6.85 【理解问题】 若1月至11月累计用水量为，12月用水量为，则12月水费为（元）． 【解决问题】 任务1：已知2025年11月用水量在第一阶梯，且水费为65元，求11月污水处理费多少元? 任务2：2025年12月用水量，若第一阶梯用水量比第二阶梯少，用的代数式表示12月水费． 任务3：2025年12月水费70.9元，用水量，求小明家2025年全年水费多少元? 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 一元一次方程实际应用的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、销售盈亏问题 题型二、方案选择问题 题型三、水电气费用问题 题型四、行程问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元一次方程应用是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕销售盈亏、方案选择、水电气费及行程问题展开，解题贯穿基本底线原则：分类讨论。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、销售盈亏问题 典例1“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为，含油率为．“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”的平均每公顷产量提高了，含油率提高了10个百分点．某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，虽然种植面积比去年减少2公顷，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了． (1)这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？ (2)去年和今年该村将所产的油全部制作成压榨菜籽油，然后以每千克15元的价格被批发商收购，批发商去年将菜籽油按收购价提高定价，且全部售出．由于销售火爆，批发商今年每千克再提高2元定价，也全部售出，且今年比去年多盈利63900元，求a的值． 【答案】(1)这个村去年和今年种植油菜的面积分别为20公顷，18公顷 (2)a的值是20 【分析】（1）设去年该村种植油菜x公顷，则今年该村种植油菜公顷，根据含油率和总产油量的变化情况，列一元一次方程求解即可； （2）先求出去年和今年该村所产油菜籽的总产油量，以及去年和今年每千克盈利，再结合今年比去年多盈利63900元，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设去年该村种植油菜x公顷，则今年该村种植油菜公顷， 由题意得，， 解得：， 则今年种植面积为：（公顷）， 答：这个村去年和今年种植油菜的面积分别为20公顷，18公顷． （2）解：由题意可知，去年该村所产油菜籽的总产油量为， 今年该村所产油菜籽的总产油量为， 批发商去年每千克盈利（元）， 批发商今年每千克盈利（元）， 则， 解得： ∴a的值是20． 题型模版 1.特征：销售盈亏问题. 2.方法：关键是根据等量关系列出方程求解． 变式1-1保康市场销售某种商品，分为A、B两种款式，已知A款商品每个的进价是50元，售价是80元，B款商品每个的售价是60元，可盈利．提示：利润率×进价=售价−进价． (1)A款商品每个的利润率是 ，B款商品每个的进价是 元． (2)该市场购进A、B两款商品共计200个，总进货款8400元，请你计算一下A、B两款商品各进货多少个？ (3)春节临近，该市场推出如下的优惠促销活动（打折前一次性购物总金额）： ①不超过900元，不优惠 ②超过900元，但不超过1200元，按总售价打九折 ③超过1200元，其中1200元部分八折优惠，超过1200元的部分打六折优惠， 小张按照优惠活动方案在该市场购买A款商品若干个，实际付款金额为1008元，请你通过计算分析，小张在该市场购买了多少个A款商品？ 【答案】(1)，40 (2)购进40个A款商品，160个B款商品 (3)小张在该市场购买了14或16个A款商品 【分析】本题考查了利润率的计算，一元一次方程的应用及根据不同优惠方案进行分类讨论计算． （1）利用利润率公式和售价与进价的关系计算； （2）设未知数，根据进货款列方程求解； （3）依据不同打折规则分类计算并列出方程求购买数量． 【详解】（1）解：A款商品每个的利润率：， B款商品每个的进价：（元）， 故答案为：，40． （2）解：设购进x个A款商品，则购进个B款商品， 根据题意，得， 解得， ∴， 即购进40个A款商品，160个B款商品． （3）解：设A款商品原付款金额为y元， ∵， ∴进行如下分类： ①当时，， 解得，则（个）； ②当时，， 解得，则（个）， 即小张在该市场购买了14或16个A款商品． 变式1-2怀远石榴是蚌埠市名优特产，其中“玉石籽”石榴和“玛瑙籽”石榴深受市场青睐．年怀远某石榴种植户科学种植了亩玉石籽石榴和亩玛瑙籽石榴，已知平均每亩玉石籽的产量是每亩玛瑙籽产量的倍，两种石榴总产量为千克．两种石榴的销售规格及售价如下表： 品种 包装规格 售价 玉石籽 千克/箱 元/箱 玛瑙籽 千克/箱 元/箱 根据以上信息，回答下列问题： (1)求该种植户收获玉石籽和玛瑙籽石榴各多少千克？ (2)若销售这两种石榴共m箱，总销售额为元，求销售玉石籽石榴的箱数（用含的代数式表示）． (3)该种植户分两次售完所有石榴：第一次销售两种石榴共箱，第二次销售时，对剩余的玉石籽石榴打八折促销，玛瑙籽石榴保持原价．已知第二次的销售额比第一次多元，求第一次销售玉石籽石榴多少箱？ 【答案】(1)玉石籽石榴千克，玛瑙籽石榴千克 (2) (3)箱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程求解． （1）设每亩玛瑙籽石榴的产量为千克，则每亩玉石籽石榴的产量为千克，再根据“两种石榴总产量为千克”列方程求解即可； （2）设销售玉石籽石榴的箱数为箱，则销售玛瑙籽石榴的箱数为箱，可列方程求解即可； （3）先计算两种石榴的总箱数，设第一次销售玉石籽石榴箱，则第一次销售玛瑙籽石榴箱，分别表示第一次和第二次(玉石籽打八折，玛瑙籽原价)的销售额，根据“第二次销售额比第一次多元”建立等式，求解得到第一次销售玉石籽石榴的箱数． 【详解】（1）解：设每亩玛瑙籽石榴的产量为千克，则每亩玉石籽石榴的产量为千克， 由题可得，， 解得，， 答：该种植户收获玉石籽石榴千克，玛瑙籽石榴千克； （2）设销售玉石籽石榴的箱数为箱，则销售玛瑙籽石榴的箱数为箱， 由题可得，， 化简得， 即， 答：销售玉石籽石榴的箱数为箱； （3）根据题意得，玉石籽石榴总箱数为箱，玛瑙籽石榴总箱数为箱，故总箱数为箱， 设第一次销售玉石籽石榴箱，则第一次销售玛瑙籽石榴箱， 第一次销售额：（元）， 第二次销售玉石籽石榴箱(打八折，每箱元)，第二次销售玛瑙籽石榴（原价，每箱元）， 第二次销售额：， 根据题意列方程： ， 解得， 答：第一次销售玉石籽石榴箱． 变式1-3完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某店家以每副100元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ (3)该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】(1)安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； (2) (3)剩余的镜架应打五折出售． 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， ， 答：安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）根据题意得： 答：售出的每一副镜架的利润率是； （3）设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得：， 整理得 解得， 答：剩余的镜架应打五折出售． 类型二、方案选择问题 典例2学校举行迎新活动，需要购买中国结，已知A型中国结的单价比B型中国结的单价多9元，购买15个A型中国结与20个B型中国结所花费用相等． (1)问A、B型两种中国结的单价分别是多少元？ (2)由于活动方案改变，还需购买单价为20元/个的C型中国结，若三种中国结都要买，在总经费不变且用完的情况下，需要减少A，B型两种中国结的购买数量，其中B型中国结的减少数量是A型中国结减少数量的2倍．设A型中国结减少m个． ①求B型、C型中国结分别购买多少个？（用含m的代数式表示） ②如何购买可以买到中国结的总数量最多，请给出购买方案． 【答案】(1)A单价为36元/个，B单价为27元/个 (2)①B种中国结购买个；C种中国结购买个；②购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式的表示及方案选择问题． （1）设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个，根据A、B种中国结费用相同列方程求单价即可； （2）①先计算出总费用，根据A种中国结数量得到B种中国结和C种中国结购买数量表达式； ②由①计算中国结总数，再由三种中国结的个数都是正整数得到m的取值，当时，总数达到最多，为47个，从而得到A、B、C种中国结购买数量． 【详解】（1）解：设B种中国结单价为x元/个，则A种中国结单价为元/个， 则根据题意可得， 解得， ∴A单价为36元/个，B单价为27元/个． （2）解：①∵原计划购买15个A型中国结和20个B型中国结，现计划用这笔总经费购买三种中国结， ∴原计划总费用为（元）， ∵A种中国结减少m个，则B种中国结减少个， ∴B种中国结购买个， C种中国结购买数量为： ； ②中国结总数， 三种中国结的个数都是正整数， ， 故当时，总数达到最多，为47个， 购买A种中国结7个， B种中国结4个，C种中国结36个时，可购买中国结总数达到最多，为47个． 题型模版 1.特征：方案选择问题． 2.方法：根据题意列出方程和分类讨论是关键． 变式2-1在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、幸福、团圆、美满等美好的祝愿．劳动课上，王老师带领同学们编中国结．已知编一个大中国结比编一个小中国结需要多用的绳．王老师编3个大中国结和7个小中国结，共计用绳． (1)求王老师编一个大中国结和一个小中国结各需用绳多少m？ (2)按照王老师的方法，七1班40名同学快速行动起来，其中男生编小中国结，女生编大中国结，每位男生一节课可以编3个小中国结，每位女生一节课可以编2个大中国结，全班编完后发现小中国结的数量是大中国结的2.5倍．求七1班男生，女生各有多少人？ (3)王老师计划号召七年级同学们编500个中国结，其中大中国结个，并按照1个大中国结配2个流苏，1个小中国结配1个流苏的方式，配好后进行义卖．王老师去某商店采购绳子和流苏，其中绳子1元/米，流苏0.5元/个．店老板给出两种优惠方案： 方案一：超过1000元减220元． 方案二：一次性购物达到1000元，全场打九折． 请问：当的值为多少时，两种方案的费用相同． 【答案】(1) 王老师编一个大中国结需用绳，一个小中国结需用绳 (2) 七1班男生有25人，女生有15人 (3) 当m的值为300时，两种方案的费用相同 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；能找出等量关系式是解题的关键． （1）设王老师编一个小中国结需用绳，则编一个大中国结需用绳，根据“王老师编3个大中国结和7个小中国结，共计用绳”可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即王老师编一个小中国结所需绳长），再将其代入中，即可求出王老师编一个大中国结所需绳长； （2）设班男生有y人，则女生有人，根据全班编完后发现小中国结的数量是大中国结的2.5倍，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值（即七1班男生人数），再将其代入中，即可求出七1班女生人数； （3）利用总价=单价×数量，结合店老板给出的两种优惠方案，可用含m的代数式表示出选择各方案所需费用，令其相等，可求出m的值即可． 【详解】（1）解：设王老师编一个小中国结用绳，编一个大中国结用绳， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：王老师编一个大中国结和一个小中国结各需用绳和． （2）解：设七1班男生有人，则女生有人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：七1班男生，女生各有25人，15人． （3）解：无优惠费用： 方案一费用：． 方案二费用：． 当两种方案的费用相同时， ， 解得， 答：当的值为300时，两种方案的费用相同． 变式2-2元旦期间，某商场销售纪念品，为了吸引顾客，推出了2种不同的优惠方案（两种方案不能叠加享受）： 方案一 不超过元的部分 九折 超过元但不超过元的部分 八折 超过元的部分 七折 方案二 消费每满减30 （如消费就只用付，依此类推） (1)甲去商场购买纪念品，原总价为1100元，则甲选择哪种方案更划算，请说明理由； (2)乙去商场购买纪念品，选择方案二付款，一共花了1025元，试求乙购买纪念品的原总价； (3)若甲乙两人一同去商场购买纪念品，已知甲选择方案一购买，乙选择方案二购买，他们所购纪念品原总价的和为1500元，且乙所购纪念品的原总价高于甲．店员建议他们两人组合，一次性购买所有纪念品，并且选择最优惠的购买方案，这样比两人各自购买实际付款总额少90元．那么甲乙各自所购纪念品的原总价分别是多少元？ 【答案】(1)方案一更划算，理由： 方案一费用：元 方案二费用：元 方案一更划算 (2)1175元或1205元 (3)甲原总价为300元时，乙总价为1200元；甲原总价为700元时，乙总价为800元 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程和分类讨论是关键． （1）分别求出方案一和方案二的费用比较即可； （2）设纪念品原总价为元．分两种情况列出方程并解方程即可； （3）分情况列出方程，解方程并检验即可． 【详解】（1）略 （2）解：设纪念品原总价为元． 当时， 解得     当时， 解得     答：纪念品的原总价为1175元或1205元． （3）解：总价为1500，一次性付费， 方案一：元 方案二：元 方案一更优惠，一次性购买花费1200元 则各自购买实际总额需付元 设甲原总价为m元，则乙总价为元， 乙所购纪念品原总价高于甲 ①当时 解得（舍去）     ②当时     解得，则元     ③当时 解得（舍去）     ④当时 解得（舍去） ⑤当时 解得，则元 答：甲原总价为300元时，乙总价为1200元；甲原总价为700元时，乙总价为800元． 变式2-3小王与家人去某火锅店吃火锅．火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张80元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部折． 小王点了270元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了224元 (1)根据题意，若用方式一买单，应付款________元；的值为_________ (2)若小王点了285元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小王一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 【答案】(1)230；8 (2)方式二更优惠 (3)点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等． 【分析】本题考查了一元一次方程应用题中的方案选择类问题，解题的关键是列出每种方案费用的表达式． （1）依题意，直接求解即可； （2）根据两种付款方式计算出付款，再比较即可得解； （3）根据、、、四种情况求出两种方式付款，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵菜品总价270元，其中锅底40元，∴其余菜品（元）， 又每次最多用3张100元代金券，270元最多用2张代金券，每张代金券80元， 所以代金券花费元， 剩余（元）需现场支付， 方式一总付款为（元）； 方式二总付款为224元，则有：，解得：， 故答案为：230；8； （2）解：方式一付款：∵菜品总价285元，最多用2张代金券， ∴代金券花费（元），剩余（元）， ∴总付款（元）；方式二付款： ∵菜品价格为（元），打8折后：（元）， ∴总付款（元），∴，所以方式二更优惠； （3）解：设菜品总价为元（含40元锅底），其余菜品为元．分情况讨论： 情况1： 方式一无法使用代金券，付款元； 方式二付款元； 根据题意可得方程：，解得：； 情况2： 方式一用1张代金券，付款元； 方式二付款元． 根据题意得方程：；解得： ； 情况3： 方式一用2张代金券，付款元． 方式二付款元． 根据题意得方程，解得 ； 情况4： 方式一用3张代金券，付款元， 方式二付款元， 根据题意得方程：，解得：． 综上，点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等． 题型三、水电气费问题 典例3某市某公司燃气收费标准如表： 表某市某燃气公司收费标准 收费方式 年用气量（立方米） 费用（元/立方米） 第一档 不超过250的部分 3.4 第二档 超过250且不超过360的部分 4.0 第三档 超过360的部分 5.1 针对多人口家庭的用气需求，该市推出“一户多人口”燃气收费普惠政策： 人口超过4人的家庭，每增加1人，每户每档年用气量增加60立方米． 例如，某居民家有6口人，申请政策后，各档年用气量（立方米）范围调整为： 第一档，不超过370的部分； 第二档，超过370且不超过480的部分； 第三档，超过480的部分． (1)居民甲家有4口人， ①若年用气量为230立方米，则应缴燃气费______元． ②已知居民甲家一年的燃气费为1050元，求居民甲家的年用气量． (2)居民乙家有5口人，年用气量为a立方米，其中a超过360且不超过400．若居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省多少燃气费？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)①782；②居民甲家的年用气量为300立方米； (2)居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省元燃气费． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出未申请政策前及申请政策后一年的燃气费． （1）①利用应缴燃气费居民甲家的年用气量，即可求出结论； ②设居民甲家的年用气量为x立方米，根据居民甲家一年的燃气费为1050元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据燃气收费标准，用含a的代数式表示出未申请政策前及申请政策后一年的燃气费，二者作差后，即可求出结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：（元）， ∴应缴燃气费782元． 故答案为：782； ②设居民甲家的年用气量为x立方米， ∵（元），（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：居民甲家的年用气量为300立方米； （2）解：根据题意得： 未申请政策前一年的燃气费为 （元）； 申请政策后一年的燃气费为 （元）， ∴（元）． 答：居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省元燃气费． 题型模版 1.特征：水电气费问题 2.方法：熟练掌握阶梯收费标准，列式计算，列一元一次方程计算，分类讨论，是解决本题的关键 变式3-1某市为了增强市民节约用水的意识，自来水公司实行阶梯收费，具体收费标准如下： 每月用水量 收费标准 第一阶梯 不超过10吨 1.8元/吨 第二阶梯 10吨以上至20吨的部分 2.7元/吨 第三阶梯 20吨以上的部分 5.4元/吨 (1)已知小明家6月份用水15吨，则小明家6月份应交水费__________元； (2)已知小亮家7月份用水量为吨，按照第三阶梯交费，则小亮家7月份应交水费__________元（用含的代数式表示）； (3)已知小华家6月份和7月份共用水40吨，其中7月份用水量超过6月份，两月共交纳水费103.5元．小华家6月份，7月份各用水多少吨？ 【答案】(1)31.5 (2)（5.4a－63） (3)6月份用水15吨，7月份用水25吨 【分析】（1）根据第一阶梯每月用水量不超过10吨的收费标准是1.8元/吨，第二阶梯10吨以上至20吨的部分收费标准是2.7元/吨列式计算即可； （2）根据三个阶梯的收费标准，列式化简即可； （3）设小华家6月份用水x吨， 7月份用水吨， 7月份用水量超过6月份，得，则,根据两月共交纳水费103.5元，分当时， 当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由表可知，每月用水量不超过10吨的收费标准是1.8元/吨，10吨以上至20吨的部分的收费标准为2.7元/吨， 小明家6月份用水15吨，则小明家6月份应交水费 （元）； 故答案为：31.5； （2）解：∵小亮家7月份用水量为吨，按照第三阶梯交费， 第三阶梯20吨以上的部分收费标准为5.4元/吨， ∴ 故答案为：； （3）解：设小华家6月份用水x吨，则7月份用水吨， ∵7月份用水量超过6月份， ∴， 解得，则, 当时，， 解得，舍去； 当时，， 解得，符合题意， ∴， 答：小华家6月份，7月份各用水15吨、25吨． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用——阶梯收费，熟练掌握阶梯收费标准，列式计算，列一元一次方程计算，分类讨论，是解决本题的关键． 变式3-2某市公布的居民用电阶梯电价方案如下： 收费方式 月用电量 费用 第一档 不超过度 元/度 第二档 超过度但不超过度的部分 元/度 第三档 超过度的部分 元/度 (1)若小华家某月用电量是度，则这个月的电费为_______元；（用含的代数式表示） (2)若小华家9月份的电费为元，求小华家9月份的用电量； (3)居民根据用电情况，可以申请“峰谷电价”，其收费方式如下： 高峰时段：8：00～22：00，其电价在各档电价基础上加价元/度； 低谷时段：8：00～22：00以外的时间，其电价在各档电价基础上降价元/度． 高峰时段与低谷时段电费分别按调价后的阶梯电价计费．已知小华家10月份的用电量为度，且高峰时段的用电量大于度，他家申请“峰谷电价”后，能节约元，请求出小华家10月份高峰时段、低谷时段的用电量． 【答案】(1) (2)小华家月份的用电量为度 (3)小华家月份高峰时段的用电量是度，低谷时段的用电量是度 【分析】（1）根据题干所给计费方法列代数式即可； （2）先判断收费方式在哪一档，然后列方程求解即可； （3）根据申请“峰谷电价”后，能节约元，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：设小华家月份的用电量为度． ∵，，， ∴， 根据题意，得， 解得， 答：小华家月份的用电量为度； （3）解：因为小华家10月份的用电量为度，且高峰时段的用电量大于度，， 所以低谷时段的用电量小于度． 设小华家月份高峰时段的用电量是度，则低谷时段的用电量是度． 根据题意，得 解得， ， 答：小华家月份高峰时段的用电量是度，低谷时段的用电量是度． 【点睛】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，关键是理解阶梯电价、峰谷电价的计费规则． 变式3-3某市居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费 不超过部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 (1)小亮家2025年用水量为，应缴纳水费 元； (2)小红家2025年缴水费960元，该家庭实际用水量是多少？ (3)小华家和小强家2025年的用水量共，且小华家用水量比小强家多，两家共缴纳水费2240元，求小华家和小强家的用水量分别为多少？ 【答案】(1)300 (2) (3)小华家用水量，小强家用水量 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，有理数的四则混合运算的应用，解题的关键是正确理解题意，正确运用分类讨论和方程的思想求解． （1）用水量未超过，按3元计算； （2）水费960元介于540元和1020元之间，说明用水量在到之间，列方程求解； （3）设小强家用水量为，则小华家用水量为，然后分两种情况讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：用水量，则水费（元）， 故答案为：300； （2）解：（元） （元） （元） ， 小红家2025年实际用水量应为“超过但不超过”这种情况． 设用水量，水费， ∴ 解得 答：实际用水量为； （3）解：设小强家用水量为，则小华家用水量为， 当时，则小华家用水量超过 由题意得，， 解得，不符合题意，舍； 当时，则小华家用水量超过， 由题意得，， 解得，符合题意， 则小华家用水量为， 答：小华家用水量，小强家用水量． 题型四、行程问题 典例4 在环形跑道上赛跑时，我们常说“套圈”这个词，它的意思是：两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，快者每追上慢者一次，就说明快者比慢者多跑一整圈（即环形跑道的周长）． 请根据上述说明，解决以下问题： (1)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，出发200秒后，甲第一次追上乙，求乙的速度； (2)在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时、不同地、沿环形跑道逆时针同向出发，已知甲、乙的速度之和为10米/秒，甲第40秒第一次追上乙，第240秒第二次追上乙，求出发时两人相距多少米？ 【答案】(1)乙的速度为4米/秒． (2)出发时两人相距80米 【分析】（1）设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒，根据甲追上乙时，甲比乙多走400米建立方程求解即可； （2）设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒，根据从第一次相遇开始到第二次相遇甲比乙多走400米建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 根据题意，得， 解得， 答：乙的速度为4米/秒； （2）解：设乙的速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 根据题意，得， 解得， 所以 所以甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒， （米） 答：出发时两人相距80米． 题型模版 1.特征：行程问题. 2.方法：解题的关键是根据题意建立等量关系． 变式4-1【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先送乙到车站，再原路返回接同时出发正在步行的甲，最后送甲到车站，三段行程时间相加即可； （2）先送乙后将其放下，再返程与步行的甲相遇，最后载甲到车站，根据摩托车总行驶时间列方程求解． 【详解】（1）解：叶老师送乙到车站的时间为，此时甲步行的路程为， 叶老师和甲的距离为 ， 叶老师返回接甲，相向而行，相遇时间为， 相遇后叶老师送甲到车站的时间与相等，即， 总时间． （2）解：叶老师送乙小时，行驶路程为，此时甲步行路程为， 叶老师与甲的距离为， 叶老师返回与甲相遇的时间为，相遇时甲一共步行的路程为 ，剩余到车站的路程为， 叶老师送甲到车站的时间为， 根据摩托车总行驶时间列方程得，解得． 变式4-2马术三项训练场由三段组成，依次是盛装舞步、越野赛和场地障碍赛．已知场地障碍赛段长度是盛装舞步段长度的2倍，甲、乙两教练分别从训练场的首末两个端头同时出发查看场地情况，甲教练在盛装舞步段的速度是每分钟40米，进入越野赛段后速度提高了；乙教练在场地障碍赛段的速度是每分钟60米，进入越野赛段后速度降低了；当甲教练刚好查看到越野赛段的处时与乙教练相遇． (1)设盛装舞步段长度为米，越野赛段长度为米，且，求的值． (2)如果甲、乙两教练从出发到相遇的时间为3分钟40秒，求马术三项训练场的总长度． 【答案】(1) (2) 马术三项训练场的总长度为米 【分析】（1）根据时间相等的关系结合即可求出； （2）将相遇时间换算为分钟后，代入时间公式结合第一问得到的与的关系求出和，再计算三段总长度即可． 【详解】（1）解：由题意得，场地障碍赛段长度为米，甲在越野赛段的速度为米/分钟，乙在越野赛段的速度为米/分， 相遇时，甲走完全部盛装舞步段，且走了越野赛段的，因此甲的运动时间为 ， 相遇时，乙走完全部场地障碍赛段，且走了越野赛段的，因此乙的运动时间为， 甲乙同时出发，相遇时运动时间相等， ，代入，得 ， ∴两边同除以，得， 解得； （2）解：3分钟40秒换算为分钟是分钟，即， 由第一问得，代入的表达式得，解得， 则， 训练场总长度为（米）． 答：马术三项训练场的总长度为米． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．A，B，C三地顺次在一条笔直的公路上，A，B两地的距离比B，C两地的距离多，且A，C两地的距离为2100千米． (1)求A，B两地的距离？ (2)王师傅开一辆货车从A地去B地，李师傅开小轿车从C地开车去A地，两车的速度比为，若两车出发后10小时相遇，求两车的速度各是多少？ (3)在（2）的条件下，两车出发四小时后，小张开一辆越野车以100千米/小时的速度从B地出发去A地，当李师傅离B地的距离比王师傅和小张之间的距离少时，求此时小张出发了多少时间？ 【答案】(1)1200千米 (2)两车的速度分别为90千米/小时，120千米/小时 (3)小张出发了3或小时 【分析】（1）设B，C两地的距离为x千米，则A，B两地的距离为千米，根据题意，列出方程，求解即可； （2）设货车的速度为千米/小时，则小轿车的速度为千米/小时，根据题意，列出方程，求解即可； （3）设小张出发了m小时，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设B，C两地的距离为x千米，则A，B两地的距离为千米， 依题意得：， 解得， 所以A，B两地的距离为千米； （2）设货车的速度为千米/小时，则小轿车的速度为千米/小时， 依题意可得：， 解得， ，， 所以两车的速度分别为90千米/小时，120千米/小时； （3）设小张出发了m小时， 由题意可得：， 整理得， 则或， 解得或， 所以小张出发了3或小时． 2．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 【答案】(1)五个数的和是15的5倍 (2) (3)有 (4)十字形框中的五个数之和不能等于2022，能等于2025 【分析】本题考查了探索数字的规律，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加，然后除以5，即可得出结论； （2）根据（1）的结论即可得； （3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出其余4个数，将这5个数相加即可得解； （4）用2022除以5，得2022不是5的倍数，则十字框中的五数之和不能为2022，用2025除以5，得2025是5的倍数，则可得十字框中的五数之和能为2025． 【详解】（1）解：，即五个数的和是15的5倍； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数可以表示为： ，，，，则它们的和为； （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，，由题意得，因此这五个数之和还是中间数的5倍； （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵， ∴2022不是5的倍数， ∴5个数的和不能是2022， ∵， ∴2025是5的倍数，且405在第三列， ∴5个数的和能等于2025． 3．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 【答案】(1)第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． (2)30 【分析】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元，根据第二批数量比第一批少，列方程求解． （2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元；第二批的数量90箱，但是出现了的损耗，即售出数量为购进数量的，则只能卖出72箱．售价下降，即售价为元．总收入减去总成本等于利润1716元，列方程求解． 【详解】（1）解：设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元， 根据题意可得：，即， 解得：， 第二批单价：（元）， 答：第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． （2）解：第一批水果的购买数量：（箱）， 第一批水果的无损耗收入：（元）， 第二批水果的购买数量：（箱）， 第二批水果的售出数量：（箱）， 成本：（元）， 根据题意可得：， 解得：， 答：的值是30． 4．【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． 【方案预设】 (1)预设方案：叶老师将乙送到车站后，回去接甲，再将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案：叶老师骑摩托车带着乙出发的同时甲步行出发．将乙送到车站后，回去接甲并将甲送到车站．求方案中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (3)预设方案：叶老师骑摩托车行驶送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，与此同时，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先送乙到车站，再原路返回接原地未动的甲，最后送甲到车站，三段行程时间相加即可； （2）叶老师送乙到车站时甲同步步行，之后返程与甲相向而行后相遇，再载甲去车站，将送乙、返程相遇、送甲三段时间求和即可； （3）先送乙后将其放下，再返程与步行的甲相遇，最后载甲到车站，根据摩托车总行驶时间列方程求解． 【详解】（1）解：据题可知，叶老师将乙同学送到车站所需时间为， 叶老师送完乙同学后返回所需时间为， 叶老师再将甲同学送到车站所需时间为， 综上，叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间为． （2）解：据题可知，叶老师将乙同学送到车站所需时间为， 此时叶老师与甲同学之间的距离为， 则叶老师返程接甲所需时间为， 叶老师接到甲时，甲距离学校，距离车站， 故叶老师从相遇点将甲送到车站所需时间为， 综上，叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间为． （3）解：当叶老师将学生乙送到路上某一处时，叶老师与甲同学的距离为， 叶老师返回接甲所需的时间为， 甲同学在叶老师返程过程中又前进了， 此时甲同学距离车站， 则叶老师从相遇点送甲同学到车站的时间为， 由叶老师骑摩托车一共行驶， 可得， 解得． 5．一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件的部分 元/件 超过100件不超过300件的部分 元/件 超过300件的部分 元/件 (1)小明买这种商品花了590元，列方程求购买这种商品多少件？ (2)若小明花了n元（），恰好购买件这种商品，求n的值． 【答案】(1)购买这种商品250件 (2)的值为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．判断购买商品所在的档，并能根据不同的档计算花费是解决本题的关键． （1）先判断购买件数的范围，在根据所在档计算花费； （2）根据：购买件商品的花费，列出关于n的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设购买这种商品x件， 购买100件的费用为（元），购买300件的费用为（元）， ∵， ∴， 根据题意，， 解得， 答：购买这种商品250件； （2）解：当时， 根据题意，得 解得：（不合题意，舍去）， 当时， 根据题意，得 解得：． 答：n的值为1000． 6．某杭帮菜品牌店为了吸引顾客，特推出两种优惠方式（不能同时使用）： 方案 优惠内容 方案A：购代金券 购买“90代100”（实付90元获得100元代金券），消费每满100元可使用1张代金券，单桌最多使用3张． 方案B：会员打折 花9.9元购买会员卡，付款时可享受所有菜品、酒水8.5折优惠． 小明第一次到该店消费，请根据以上方案，解决下列问题： (1)若小明在该店消费160元，用方案A购买了一张代金券，求实际付款多少元？ (2)若小明用方案B实际付款210.5元（含会员卡费用），优惠前消费金额为多少元？ (3)若消费金额超过200元，小明发现用方案A比方案B实付金额贵了13元，优惠前消费金额为多少元？（结果精确到个位） 【答案】(1)150元 (2)236元 (3)286元或353元 【分析】（1）1张100元代金券，购买代金券花费90元 ，求出剩余需支付的现金，再加上购买代金券的费用，则可得实际付款总额． （2）设优惠前消费金额为x元 ，根据方案B的优惠方式列方程求出x的值即可． （3）设优惠前消费金额为x元 分两种情况讨论：①当时，可得方程；②当时，可得方程：．求出x的值即可． 本题考查一元一次方程的应用，理解题目中的两个方案的优惠方式是解题关键． 【详解】（1）解：消费160元可使用1张100元代金券，购买代金券花费90元 ， 剩余需支付的现金为：（元）， ∴实际付款总额为：（元）， 答：实际付款150元． （2）解： 设优惠前消费金额为x元 ，方案B中，根据题意得 ， ， 解得． 答：优惠前消费金额为236元． （3）解： 设优惠前消费金额为x元，分两种情况讨论： ①当时 方案A实际付款为： ， 方案B实际付款为： ， 根据题意列方程： ， 解得， 286在范围内，符合条件； ②当时 ， 方案A实际付款为： ， 方案B实际付款为：， 根据题意列方程：， 解得， ，符合条件． 答：优惠前消费金额为286元或353元． 7．某家火锅店，推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一：“70元抵100元的全场通用代金券”（即面值100元的代金券实付70元就能获得），店家规定代金券等同现金使用，一次消费最多可用3张代金券，而且使用代金券的金额不能超过消费总金额，使用代金券抵扣后不足的部分消费者需另行支付． 方式二：除锅底不打折外，其余菜品全部a折． (1)若小李一家消费总金额为140元，用方式一买单，请问他们实际付款多少元； (2)若小李一家点了200元菜品，加上40元的锅底一起用方式二买单，实际需要支付160元，请求出方式二中a的值； (3)小李一家来到火锅店后，点了一份40元的锅底和其他菜品，用餐完后买单时，聪明的小李通过计算发现，如果选择优惠方式一，即使充分享用了代金券，也比方式二要多支付50元，请运用（2）条件下求出的a值，计算小李一家消费总金额为多少元？ 【答案】(1)他们实际付款元 (2) (3)小李一家消费总金额为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据消费总金额为140元，只能使用一张“70元抵100元的全场通用代金券”，据此列式计算，即可作答； （2）根据方式二：除锅底不打折外，其余菜品全部a折，进行列方程，再求解方程，即可作答； （3）要注意分类讨论，即能使用一张代金券、两张代金券、三张代金券等情况，分别进行列方程，再求出的值，即可作答． 【详解】（1）解：∵小李一家消费总金额为140元，用方式一买单，且， ∴（元）， 即他们实际付款元； （2）解：∵小李一家点了200元菜品，加上40元的锅底，用方式二买单，实际需要支付160元， ∴， 解得， 即除锅底不打折外，其余菜品全部6折； （3）解：依题意， 设小李一家消费总金额为元， 当时， 由题意得，， 解得： (舍去)； 当时，由题意得，， 解得： (舍去)； 当时，由题意得，， 解得：， ∴小李一家消费总金额为元. 8．【问题情境】 小韩和同学们在周末相约去一家餐厅吃饭，下表为该餐厅的部分菜单： 种类 配餐 价格/元 优惠活动 A套餐 1份盖饭 20 套餐 1份盖饭＋1杯饮料 28 消费满150元，减24元；消费满300元，减48元，依此类推 套餐 1份盖饭＋1杯饮料＋1份小菜 32 小韩记录了大家的点餐种类，并根据菜单一次性点好．已知他们点的餐共有11份盖饭，杯饮料和6份小菜． 【数学思考】 （1）他们共点了_____份套餐（用含的代数式表示）： 【问题解决】 （2）若他们所点的套餐中共有7杯饮料，求他们实际消费的金额； （3）若优惠后他们共花费268元，请求出他们的套餐是如何搭配的 【答案】（1）；（2）276元；（3）点了5份套餐，6份套餐 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的列出代数式和方程是解题的关键： （1）根据小菜的数量确定套餐中饮料的数量，再用总的饮料的数量减去套餐的数量求出套餐的数量即可； （2）根据套餐中共有7杯饮料，求出3种套餐的数量，进而求出实际消费的金额即可； （3）分优惠24元和优惠48元，两种情况列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：他们共点了份套餐，份套餐． 故答案为：； （2）根据题意得，套餐原价为： （元）， 此时A套餐不参与优惠，则参与优惠的金额为（元）， 所以B、C套餐优惠后的金额为（元）， 故实际消费的金额为（元）． 答：他们实际消费的金额为276元； （3）当优惠24元时，， 解得 （份），（份）； 当优惠48元时，， 解得 （份），（份）． 此时，，不够300元，不符合题意舍去， 综上，他们的套餐搭配的方案为：5份A套餐，6份C套餐． 9．在月日国际数学日到来之际，某校计划开展趣味数学活动，欲购买华容道板和魔方作为活动道具，、两家商店的优惠方案如下表： A商店 B商店 华容道板（标价） 元／个 元／个 魔方（标价） 元／个 元／个 优惠方案 所有商品折出售 买个华容道板送个魔方 该校将购买华容道板个，魔方若干（多于个）． (1)当需要购买个魔方时，若两种道具全部在商店购买，则还需单独购买魔方多少个． (2)当购买魔方的数量是多少个时，单独在A商店或者B商店购买所有道具的总费用相同？ (3)假如你是购买道具的负责人，在购买两种活动道具的数量是（1）中的条件下，且可到两家商店自由选购，请你设计一种购买方案，使总费用最少，最少总费用是多少？ 【答案】(1) (2)个 (3)在商店购买个华容道板，获送个魔方；在商店购买剩余个魔方，最少总费用为元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、列代数式．解决本题的关键是根据两个商店的优惠方案列代数式表示出在两个商店购买道具所需要的费用，再根据费用之间的关系列方程求解． (1)根据商店的优惠方案，求出购买个华容道板时赠送魔方的个数，用减去赠送的魔方的个数即为还需单独购买的魔方的个数； (2)列代数式表示出、商店所需费用，根据两个商店所需总费用相等列方程求解； (3)最佳方案是在商店购买个华容道板，获赠个魔方，在商店购买剩余个魔方，根据两个商店的优惠方案计算出所需费用即可． 【详解】（1）解：买个华容道板，商店买送， 可获赠魔方个， 需购买个魔方， 还需单独购买个； （2）解：设购买魔方个, 商店总费用：， 商店总费用：， 解方程：， 解得： 答：当购买个魔方时，两商店总费用相同； （3）解：方案：在商店购买个华容道板，获赠个魔方，在商店购买剩余个魔方， 总费用：（元）， 答：最少总费用为元． 10．【提出问题】 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”．根据以下素材，探索小明家水费与用水量情况． 下表是“阶梯收费”标准，其中水费=自来水费+污水处理费，每月水费以整数立方米水量计费． 收费标准 年用水量 水费（元） 自来水费（元） 污水处理费（元） 第一阶梯 不超过 2.6 1.65 0.95 第二阶梯 超过但不超过的部分 3.95 3.0 第三阶梯 超过的部分 7.8 6.85 【理解问题】 若1月至11月累计用水量为，12月用水量为，则12月水费为（元）． 【解决问题】 任务1：已知2025年11月用水量在第一阶梯，且水费为65元，求11月污水处理费多少元? 任务2：2025年12月用水量，若第一阶梯用水量比第二阶梯少，用的代数式表示12月水费． 任务3：2025年12月水费70.9元，用水量，求小明家2025年全年水费多少元? 【答案】任务1：23.75元 任务2：当时，水费为元；当时，水费为元 任务3：679.3元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用． 任务1：利用第一阶梯水费单价求出11月用水量，再结合污水处理费单价计算污水处理费． 任务2：根据“第一阶梯用水量比第二阶梯少”的条件，分12月用水量仅跨第一、第二阶梯和跨三个阶梯两种情况，分别推导水费的代数式． 任务3：通过设未知数列方程求出12月中第一阶梯用水量，进而得到前11个月累计用水量，再计算全年水费． 【详解】任务1：解：已知11月用水量在第一阶梯，水费单价为2.6元．11月用水量为． 11月污水处理费为（元）． 答：11月污水处理费为23.75元． 任务2：解：设12月用水量中第一阶梯部分为，第二阶梯部分为．由题意得． 情况一：12月用水量仅跨越第一、第二阶梯，即且． 将代入，得，． 由得， 由得， 解得． 此时12月水费为元，其中 ． 情况二：12月用水量跨越第一、第二、第三阶梯，即． 则， 第三阶梯部分为（）． 此时12月水费为 元，其中． 任务3：解：设12月用水量中第一阶梯部分为，则第二阶梯部分为． 根据题意列方程． 去括号得． 移项合并同类项得． 解得．前11个月累计年用水量为． 前11个月水费为（元）． 全年水费为（元）． 答：小明家2025年全年水费为元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $