精品解析：浙江省温州市瑞安六校联考2025--2026学年上学期九年级期末数学试卷

2025学年第一学期初中数学九年级期末检测试卷 时间：100分钟 满分：120分 2025.11 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 将抛物线向下平移个单位长度，得到抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、2、 4. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 5. 如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，将不规则图案放在边长为2cm的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据．据此估计点落在不规则图案上的概率约为（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，弦与弦交于点且，．已知，，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 9. 如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（ ） A. B. C. D. 10. 一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（ ） A. 4cm B. C. 3cm D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的顶点坐标为______． 12. 一个不透明袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为______． 13. 如图，在中，，半径，则所对的长为______cm． 14. 已知抛物线的部分图象如图所示，顶点，与轴右侧交于点．当时，的取值范围为______． 15. 已知抛物线，当时，的取值范围为______． 16. 如图，在中，为钝角，，，，则______．是边上一点，作点关于直线的对称点，连接，若，则的长为______． 三、解答题（本题有8小题，17-21题各8分，22，23题各10分，24题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知，满足， （1）求的值； （2）若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． 18. 小滨和小江一起进行摸球游戏：在一个不透明的箱子中放有2个白球和2个黑球，小球除颜色不同外其余都相同． 小滨：从该箱子中随机摸出一个球，摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同． 小江：从该箱子中随机摸出一个球后不放回，摇匀后再从中摸出一个球．摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同． 请判断小滨和小江的说法是否正确，并说明理由． 19. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连结． （1）求的度数； （2）若，求图中阴影部分面积． 20. 在一节数学实践课里，老师布置了如下任务：在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺，在图中的线段上找一点，连结，使平分的周长； 如图1为小瑞作法，其作法是否正确______（填正确或错误），并说明理由． 21. 根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： （1）在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 22. 如图，在中，，，，作，垂足为点． （1）求线段的长； （2）点是上的一点，满足，连接交于点，求． 23. 已知二次函数的解析式为． （1）若， ①直接写出二次函数的顶点坐标______； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； （2）当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值． 24. 如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． （1）求证：． （2）如图2，若，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期初中数学九年级期末检测试卷 时间：100分钟 满分：120分 2025.11 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） 1. 已知的半径为3，点P在内，则的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径即可解答． 【详解】解：的半径为3，点P在内， ， 的长可能是2． 故选：A． 2. 将抛物线向下平移个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由抛物线平移规律：“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝x2向下平移3个单位可得到函数， 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键． 3. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、2、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，能成比例； B．，不能成比例； C．能成比例； D．，能成比例． 故选B 4. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补，即可作答． 【详解】解：四边形内接于，若， ， 故选：D． 5. 如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，将不规则图案放在边长为2cm的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据．据此估计点落在不规则图案上的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，正确理解折线统计图的含义是解题的关键． 根据折线统计图可知，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，根据概率的定义进行解答即可． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着实验次数的增加，频率稳定于左右，根据概率的定义，当试验次数足够大时，频率趋近于概率， 因此可估计点落在不规则图案上的概率约为， 故选：C． 6. 如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据正方形的性质求面积，由频率估计概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 用随机点估计不规则图形面积的方法，基于比例关系求解． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：C． 7. 抛物线经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据三个点的横坐标分别计算出它们所对应的纵坐标，根据计算结果比较大小． 详解】解： 抛物线， 对于点 ， 有； 对于点 ， 有； 对于点 ， 有； ， ， 即 ． 故选：D． 8. 如图，在中，弦与弦交于点且，．已知，，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据同弧所对圆周角相等证得，进而证得，根据相似三角形的性质证得，列式求出的长，结合，求出的长即可． 【详解】解：弦与弦交于点， ， ， ， ， ，，， 、， ， 或， 当时，，当时，， ， ， 故选：A． 9. 如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要运用垂径定理和勾股定理求解．过点O作于点K，连接，由垂径定理求出，确定，根据题意，最后利用勾股定理即可计算． 【详解】解：∵直径为圆形干果盘， ∴， 如图，过点O作于点K，连接， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ，即， 解得：． 故选∶A． 10. 一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（ ） A. 4cm B. C. 3cm D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 延长、交于点，连接，根据题意可得，进而证得，根据平行线等分线段定理可证得，设，则，进而证得，根据相似三角形的性质可求出的值，再证明，利用相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：延长、交于点，连接，如图： 设，则， 解得 、 故选：D． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，的顶点坐标为，根据顶点式的意义直接解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故答案为：． 12. 一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，简单的概率计算，熟练掌握分式方程的应用．简单的概率计算是解题的关键． 设白球的个数为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设白球的个数为， 依题意得，， 解得，， 经检验，是分式方程的解，且符合要求； 故答案为：4． 13. 如图，在中，，半径，则所对的长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、扇形弧长公式，熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键． 根据圆周角定理可得，利用扇形弧长公式求出长即可． 【详解】解：在中，， 则， 因此所对的长为：， 故答案为：． 14. 已知抛物线的部分图象如图所示，顶点，与轴右侧交于点．当时，的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的顶点坐标，写出顶点式，再将代入求出，从而可得出抛物线的解析式，再求出抛物线与轴的另一个交点即可求解． 【详解】解：∵抛物线的部分图象如图所示，顶点， ∴抛物线的解析式为， ∵与轴右侧交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 取，则， 解得：，， ∴当时，的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了把化成顶点式，的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题，根据交点确定不等式的解集等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 15. 已知抛物线，当时，的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为3， 将代入得， 将代入得， ∴当时，， 故答案为：． 16. 如图，在中，为钝角，，，，则______．是边上一点，作点关于直线的对称点，连接，若，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，对称的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）过作于，，交延长线于，根据等腰直角三角形的性质得到，，，勾股定理列方程可求出x，进而再用勾股定理可求． （2）由已知条件可推得，因为，由勾股定理可求出，进而可知，再根据勾股定理求得长即可． 【详解】解：过作于，作，交延长线于， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， 则， ∵， ∴， ， ∴或4， 由勾股定理得或． ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∵为钝角， ∴， ∵， ∴； ∵关于直线的对称点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：， 三、解答题（本题有8小题，17-21题各8分，22，23题各10分，24题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知，满足， （1）求值； （2）若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）设 ，则，，然后代入即可求解； （）由（）得，，则，所以，，，又线段是线段，的比例中项，所以， 然后求出的值即可． 【小问1详解】 解：设，则，， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得，， ∵， ∴， ∴，，， ∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∴（负值已舍去）． 18. 小滨和小江一起进行摸球游戏：在一个不透明的箱子中放有2个白球和2个黑球，小球除颜色不同外其余都相同． 小滨：从该箱子中随机摸出一个球，摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同． 小江：从该箱子中随机摸出一个球后不放回，摇匀后再从中摸出一个球．摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同． 请判断小滨和小江的说法是否正确，并说明理由． 【答案】小滨的说法正确，小江的说法不正确．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．从该箱子中随机摸出一个球，共有4种等可能的结果，其中摸出白球的结果有2种，摸出黑球的结果有2种，再利用概率公式可得摸出白球的概率和摸出黑球的概率，进而可得结论；列表可得出所有等可能的结果数以及摸出一白一黑的小球的结果数和摸出颜色相同的小球的结果数，再利用概率公式可得摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率，进而可得结论． 【详解】解：小滨的说法正确，小江的说法不正确． 理由：从该箱子中随机摸出一个球，共有4种等可能的结果，其中摸出白球的结果有2种，摸出黑球的结果有2种， ∴摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， ∴摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同， 故小滨的说法正确． 列表如下： 白 白 黑 黑 白 （白，白） （白，黑） （白，黑） 白 （白，白） （白，黑） （白，黑） 黑 （黑，白） （黑，白） （黑，黑） 黑 （黑，白） （黑，白） （黑，黑） 共有12种等可能的结果，其中摸出一白一黑的小球的结果有8种，摸出颜色相同的小球的结果有4种， ∴摸出一白一黑的小球的概率为，摸出颜色相同的小球的概率为， ∴摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率不相同， 故小江的说法不正确． 19. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连结． （1）求的度数； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． （1）先求出的度数，再由得出，最后利用外角性质即可得答案； （2）过点作于点，将阴影部分的面积转化为扇形与的面积之差即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 在一节数学实践课里，老师布置了如下任务：在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺，在图中的线段上找一点，连结，使平分的周长； 如图1为小瑞的作法，其作法是否正确______（填正确或错误），并说明理由． 【答案】正确，理由见解析 【解析】 【分析】利用网络，结合勾股定理，分别求出相关线段的长，再证明，列出比例式分别求得、，再说明平分的周长． 【详解】解：正确 ，理由如下： 如图， 由题意得：， ， ， ，， ， ∴， ∴， ∴ ∴， 即平分的周长， ∴小瑞作法正确， 故答案为：正确． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，无刻度直尺作图，利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 21. 根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： （1）在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 【答案】（1） （2）火球会落在城墙内 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练根据已知条件列出二次函数表达式是解题的关键． （1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设出顶点式，将原点坐标代入表达式，求出的值，进而得出抛物线的函数表达式； （2）根据题意可得石块发射距离的范围为，分别求出当和时，对应的值，与进行比较，确定火球是否落在城墙内即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线方程为， 由于抛物线过原点， 则， 解得， 因此，石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：火球会落在城墙内，理由如下： 城墙其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米， 则石块发射距离的范围为， 当时，， 当时，， 由于石块高度均高于城墙， 因此，火球会落在城墙内． 22. 如图，在中，，，，作，垂足为点． （1）求线段的长； （2）点是上的一点，满足，连接交于点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理和相似三角形的判定是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理求出，利用等面积法求出的长，在中，根据勾股定理求得线段的长即可； （2）过点作于点，证得，根据相似三角形的性质证得，再证得，利用相似三角形的性质求出的值即可． 【小问1详解】 解：在中，，， 由勾股定理得，， 则， 即， 解得， 在中，由勾股定理得，， 因此，线段的长为； 【小问2详解】 解：过点作于点， 、， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 已知二次函数的解析式为． （1）若， ①直接写出二次函数的顶点坐标______； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； （2）当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值． 【答案】（1）①；② （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． （1）①将m的值代入为，转化为顶点式为，由此求解即可； ②先求出，再根据可得，由此求解即可； （2）将二次函数转化为顶点式为，对对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，当时，函数在区间上单调递减，最大值为，最小值为，根据题意列方程求解，当时，再分和两种情况讨论最小值，由此求解即可． 【小问1详解】 解：①若，则， 则二次函数的顶点坐标为； 故答案为：； ②， ， ，， ， ， 即； 【小问2详解】 ， 抛物线的对称轴为直线， 在中 ①当时， 时，最大值为， 时，最小值为， ， ，（舍去）， ②当时，即时， 时，最大值为， 时，最小值为， 此时，不符合题意； ③当时， 时，最大值为， 时，最小值为， ， （舍去），（舍去）， 综上所述，． 24. 如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． （1）求证：． （2）如图2，若，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）连接，由为的直径，弦，得，再根据角的关系即可的结论；； （2）根据题意证得，再证得即可得到结论； （3）连结，由及角的关系得，设根据列方程，再根据即可求出的长． 【小问1详解】 解：连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 【小问2详解】 ， ， 【小问3详解】 连接， ， ， ， ∴，设， 解得： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $