23.3方差讲义 2025-2026学年冀教版数学九年级上册

本讲义聚焦“方差”核心知识点，系统梳理方差的定义（衡量数据波动大小的统计量）、计算步骤（求平均数后偏差平方和除以数据个数）、意义（反映离散程度，方差大波动大）及性质（加减常数方差不变，乘除常数方差变倍数），构建从概念到应用的学习支架。 资料特色在于分层设计，针对基础薄弱学生，结合生活实例（如用水量调查、射击成绩分析）设题，通过导图梳理知识，培养抽象能力（从实际问题抽象数量关系）、推理意识（利用性质计算方差）与数据观念（用方差做决策）。课中辅助分层教学，课后通过题型练习查漏补缺，提升应用能力。

23.3方差 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 方差的定义 方差是衡量一组数据波动大小的统计量。设有( n )个数据，它们的平均数为，则方差定义为： . 方差的计算步骤 1. 求平均数：先计算这组数据的平均数； 2. 求方差：将偏差平方和除以数据个数( n )，得到方差。 方差的意义 方差反映了数据相对于平均数的离散程度。方差越大，数据的波动越大，越不稳定；方差越小，数据的波动越小，越稳定。 方差的性质 · 若一组数据中的每个数据都加上（或减去）同一个常数( a )，方差不变； · 若一组数据中的每个数据都乘以（或除以）同一个不为0的常数( b )，方差变为原来的倍（或倍）。 型 习 练 题 求方差 1．已知一组数据的方差为4，则另一组数据的方差为（　　　） A．11 B．9 C．16 D．4 【答案】C 【分析】本题考查方差的变换规律，涉及的知识点是“方差的性质：若一组数据的方差为，则数据的方差为（常数不影响方差的倍数变化，仅影响）”．解题方法是直接利用方差的变换公式计算新数据的方差；解题关键是牢记方差的变换规律，区分“加减常数不改变方差，乘除常数对方差的影响是平方倍”．易错点是混淆方差与平均数的变换规律，误将常数的影响计入方差．解题思路为：根据已知数据的方差，结合新数据的变换形式（乘加），利用方差变换公式计算新方差． 【详解】已知原数据的方差为． 对于新数据， 根据方差的性质：若原数据方差为， 则数据的方差为． 此处， 因此新数据的方差为： 故选C． 2．地球是我们唯一的家园，爱护地球是每一个人应尽的义务．4月22 日“世界地球日”来临之际，为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭某月的用水量，统计结果如表所示，则这组数据的方差是 （   ） 月用水量/吨 6 8 9 10 户数 2 3 6 9 A．1.6 B．1.5 C．1.4 D．1.3 【答案】B 【分析】本题考查数据的方差计算，先计算总户数和平均用水量，再应用方差公式求解． 【详解】解：平均用水量， 方差 ， ∴ 这组数据的方差是1.5， 故选：B． 3．为了解“家务劳动”落实情况，某初级中学随机抽查30名学生每周平均家务劳动的时间，并将结果绘制成如图所示的统计图（部分污损）．关于家务劳动时间的统计量中，与被污损数据无关的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的定义，熟练掌握以上定义是解题的关键． 分别根据平均数，中位数，众数，方差的定义，结合统计图的信息逐项判断能否计算得到即可． 【详解】解：根据统计图可知，每周平均家务劳动的时间3小时人数为5人，4小时人数为11人，不确定5小时和6小时的人数，所以平均数和方差无法计算； 因为随机抽查30名学生，可知5小时和6小时的总人数为，所以无法确定众数；而中位数为第15和16的平均值，所以中位数为； 故选：B． 4．一组数据16，32，32，36，46，7，42进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】该题考查了平均数、中位数、众数、方差，平均数、中位数、方差都依赖于被涂污数字，而众数由于被涂污数字的个位是7，与已知数据的个位都不同，因此不会影响众数． 【详解】解：∵ 被涂污数字可表示为（为的整数），其个位数字为7，而已知数据16、32、32、36、42、46的个位数字均为2或6，没有个位为7的数， ∴ 无论x取何值，被涂污数字均不等于已知数据中的任何数． 又∵ 已知数据中众数为32（出现2次），其他数均出现1次， ∴ 加入被涂污数字后，众数仍为32，与被涂污数字无关．而平均数、中位数、方差均与被涂污数字有关． 故选：C． 5．若一组数据4，5，，6，7的平均数是5，则这组数据的方差为（　　）． A．4 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平均数和方差，熟练掌握平均数和方差的计算方法是解题的关键． 先根据平均数求出，再用方差的公式解题即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：， ∴这组数据的方差为：． 故选：C ． 根据方差判断稳定性 6．某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学的六次模拟成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查方差，折线统计图，掌握方差越大，数据的波动程度越大；方差越小，数据的波动程度越小是解决问题的关键．解题思路是通过观察折线统计图中甲乙成绩的波动幅度，判断方差的大小关系． 【详解】解：从折线统计图中可以看出，甲的成绩折线波动幅度较小，乙的成绩折线波动幅度较大， 根据方差的意义，数据波动幅度越小，方差越小；波动幅度越大，方差越大， ∴甲的方差小于乙的方差，即． 故选：B． 7．某校九年级的甲，乙两名学生都进行了两次中考数学模拟测试，下列关于他们测试成绩的平均数和方差的描述中，能说明甲的成绩较好且更稳定的是（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了平均数和方差的意义，根据平均数和方差的意义，平均数越大表示成绩越好，方差越小表示成绩越稳定．据此求解即可． 【详解】∵平均数越大，成绩越好；方差越小，成绩越稳定． ∴要说明甲的成绩较好且更稳定， 需满足 且 ． 故选C． 8．从甲、乙两队中各随机挑选8人对同一目标射击，甲队8人射中靶数的方差为，乙队8人射中靶数的方差为，则可作出估计（    ） A．乙队的射击水平高于甲队 B．甲队的射击水平高于乙队 C．乙队的射击水平比甲队稳定 D．甲队的射击水平比乙队稳定 【答案】D 【分析】本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定. 根据方差的意义即可得正确选项． 【详解】解：根据方差的定义，方差越小数据越稳定， ∵， ∴方差小的为甲， 所以成绩比较稳定的是甲． 故选：D． 9．甲、乙、丙、丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数（秒）及方差（秒）如下表所示．如果从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，那么应该选的同学是（   ） 甲 乙 丙 丁 7 7 2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查平均数和方差的应用：平均数反映整体水平，方差反映波动程度；选择时先依据平均数筛选，再根据方差确定稳定性． 成绩较好要求平均时间短，状态稳定要求方差小．先比较平均数，甲和乙平均数较小，优于丙和丁；再比较方差，乙的方差小于甲的方差，因此乙更稳定． 【详解】解：∵甲和乙的平均数均为7秒，丙和丁的平均数为秒， ∴成绩较好的同学是甲或乙． ∵乙的方差为，甲的方差为， ∴乙的成绩更稳定． ∴应该选乙． 故选：B． 10．如图所示的是小明和小华两人10次射箭的成绩情况统计图．由图可知，射箭成绩的方差较小的是（    ） A．小明 B．小华 C．两人一样 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了方差的意义，掌握方差越小，数据的波动越小是解题的关键． 通过观察统计图中两人成绩的波动情况，依据方差的意义来判断谁的方差较小． 【详解】解：观察统计图可知，小明的成绩波动比小华小， 方差是反映数据波动大小的量，波动越小，方差越小， 射箭成绩的方差较小的是小明． 故选：A． 运用方差做决策 11．A、B、C、D四名同学参加数学竞赛选拔赛，每人10次考试成绩的平均数（单位：分）和方差如下表所示： A B C D 95 90 85 83 0.11 0.73 0.18 3.12 观察上表，从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学代表学校参加比赛，应该选择（   ） A．A同学 B．B同学 C．C同学 D．D同学 【答案】A 【分析】此题考查了平均数和方差，解答本题的关键是明确方差的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 首先比较平均数，选平均数较大的并且方差小的参赛发挥更稳定． 【详解】解：由表知A、B的平均数较大， ∴从A、B中选择一人参加比赛， ∵A的方差较小， ∴选择A同学参加比赛， 故选：A． 12．下列是一组数据：2，2，2，3，4，7，9，9，114514，可以较好反映这组数据平均水平的关于此数据的值是（    ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【答案】D 【分析】本题考查利用中位数作决策，掌握中位数的意义是解决本题的关键． 根据平均数，众数，中位数和方差表示的意义和影响因素进行判断即可． 【详解】解：2，2，2，3，4，7，9，9，114514， 众数为2，数值过小，不能很好地反映这组数据平均水平， 方差表示波动情况，它和平均数一样受极端值的影响大，不能很好地表示平均水平， ∴中位数不受极端值影响，能较好地代表中间位置， 故选D． 13．第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办，中国代表团取得优异成绩．为了让学生更好地了解奥运会，某学校组织了一次关于“奥运会”的知识竞赛，在竞赛的半决赛中，某年级4个班的成绩统计结果如下表： 班级 一班 二班 三班 四班 平均分 方差 要从4个班中选出一个班代表年级参加决赛，选出参赛较为合理的班级是（   ） A．一班 B．二班 C．三班 D．四班 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平均数和方差的意义等知识内容，正确掌握平均数和方差的内容是解题的关键．先从平均数分析，取平均数高的，再结合方差分析，方差越小，成绩越稳定，取方差小的即可． 【详解】解：∵， ∴选一班和二班代表， 又∵，方差越小，成绩越稳定， ∴选二班参赛比较合理， 故选：B． 14．若要从甲、乙、丙、丁四名种子选手中选出一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是9环，方差分别为 你认为派谁去参赛更合适（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查方差，根据方差越小，成绩越稳定即可判断． 【详解】解：， ， 乙的成绩最稳定， 又他们的平均成绩都是9环， 派乙去参赛更合适． 故选：B． 15．三个旅游团游客年龄的方差分别是：，，，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择(    ) A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．甲乙丙均可以 【答案】A 【分析】本题主要考查了方差的意义，根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵，，， ∴，导游小方应该选择甲团． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.3方差 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 方差的定义 方差是衡量一组数据波动大小的统计量。设有( n )个数据，它们的平均数为，则方差定义为： . 方差的计算步骤 1. 求平均数：先计算这组数据的平均数； 2. 求方差：将偏差平方和除以数据个数( n )，得到方差。 方差的意义 方差反映了数据相对于平均数的离散程度。方差越大，数据的波动越大，越不稳定；方差越小，数据的波动越小，越稳定。 方差的性质 · 若一组数据中的每个数据都加上（或减去）同一个常数( a )，方差不变； · 若一组数据中的每个数据都乘以（或除以）同一个不为0的常数( b )，方差变为原来的倍（或倍）。 型 习 练 题 求方差 1．已知一组数据的方差为4，则另一组数据的方差为（　　　） A．11 B．9 C．16 D．4 2．地球是我们唯一的家园，爱护地球是每一个人应尽的义务．4月22 日“世界地球日”来临之际，为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭某月的用水量，统计结果如表所示，则这组数据的方差是 （   ） 月用水量/吨 6 8 9 10 户数 2 3 6 9 A．1.6 B．1.5 C．1.4 D．1.3 3．为了解“家务劳动”落实情况，某初级中学随机抽查30名学生每周平均家务劳动的时间，并将结果绘制成如图所示的统计图（部分污损）．关于家务劳动时间的统计量中，与被污损数据无关的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 4．一组数据16，32，32，36，46，7，42进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 5．若一组数据4，5，，6，7的平均数是5，则这组数据的方差为（　　）． A．4 B．5 C．2 D． 根据方差判断稳定性 6．某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，两位同学的六次模拟成绩如图所示，甲、乙两位同学成绩的方差分别记为，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 7．某校九年级的甲，乙两名学生都进行了两次中考数学模拟测试，下列关于他们测试成绩的平均数和方差的描述中，能说明甲的成绩较好且更稳定的是（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 8．从甲、乙两队中各随机挑选8人对同一目标射击，甲队8人射中靶数的方差为，乙队8人射中靶数的方差为，则可作出估计（    ） A．乙队的射击水平高于甲队 B．甲队的射击水平高于乙队 C．乙队的射击水平比甲队稳定 D．甲队的射击水平比乙队稳定 9．甲、乙、丙、丁四位同学本学期5次50米短跑成绩的平均数（秒）及方差（秒）如下表所示．如果从这四位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，那么应该选的同学是（   ） 甲 乙 丙 丁 7 7 2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．如图所示的是小明和小华两人10次射箭的成绩情况统计图．由图可知，射箭成绩的方差较小的是（    ） A．小明 B．小华 C．两人一样 D．无法确定 运用方差做决策 11．A、B、C、D四名同学参加数学竞赛选拔赛，每人10次考试成绩的平均数（单位：分）和方差如下表所示： A B C D 95 90 85 83 0.11 0.73 0.18 3.12 观察上表，从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学代表学校参加比赛，应该选择（   ） A．A同学 B．B同学 C．C同学 D．D同学 12．下列是一组数据：2，2，2，3，4，7，9，9，114514，可以较好反映这组数据平均水平的关于此数据的值是（    ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 13．第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举办，中国代表团取得优异成绩．为了让学生更好地了解奥运会，某学校组织了一次关于“奥运会”的知识竞赛，在竞赛的半决赛中，某年级4个班的成绩统计结果如下表： 班级 一班 二班 三班 四班 平均分 方差 要从4个班中选出一个班代表年级参加决赛，选出参赛较为合理的班级是（   ） A．一班 B．二班 C．三班 D．四班 14．若要从甲、乙、丙、丁四名种子选手中选出一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是9环，方差分别为 你认为派谁去参赛更合适（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 15．三个旅游团游客年龄的方差分别是：，，，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择(    ) A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．甲乙丙均可以 学科网（北京）股份有限公司 $