精品解析：湖北省江夏一中、汉阳一中、洪山高中2025-2026学年高二上学期12月检测数学试卷

高二数学 一､选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，由直线斜率求倾斜角. 【详解】将直线的方程化为斜截式：，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，又， 所以. 故选：B. 2. 若实数满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数形结合的思想，将问题转化为求直线在轴上的截距的最值问题，计算即可. 【详解】易知表示圆心为坐标原点，半径为2的圆， 设，即，为该直线在纵轴上的截距， 当直线与圆相切时，截距可取到最值， 此时原点到直线的距离为， 所以的最大值为. 故选：B 3. 数列满足，（），则等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由递推公式推得数列的周期，利用周期性求值. 【详解】由递推公式，，， 所以数列的周期为，所以， 故选：C. 4. 已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量关系找到相关点的坐标关系，再代入相关点坐标即可得动点轨迹方程. 【详解】设，，由，得： ，则有， 因为为圆上任意一点， 所以，代入可得： ，整理得：， 即方程就是动点的轨迹方程. 故选：A 5. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可求得，利用前项和公式可求得，进而求得公差，利用等差数列的通项公式可求得. 【详解】设等差数列的公差为，由，可得，解得， 由，得，所以， 所以，解得，所以， 所以. 故选：B. 6. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值， 故选：B 7. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义可得，又，可得，又当轴时最小，可得，即，可得，结合即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由已知，设，则，， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时，所以， 又，则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：B. 8. 已知为坐标原点，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，设出直线方程并与抛物线方程联立求出，再利用抛物线定义，结合基本不等式求出最小值. 【详解】抛物线的焦点， 设直线的方程为，， 由，消去得， ， 则，， 由，得，解得， 抛物线的准线方程为， ，， 于是， 则， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：C 二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 过定点 B. 圆与轴相交于两个不同点 C. 若与圆相交，则 D. 若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 【答案】AC 【解析】 【分析】令，得，分析可判断A正误；求出圆的圆心和半径，分析可判断B的正误；由题意，圆心到直线的距离，代入点到直线距离公式，即可判断C的正误；分析可得圆心在直线上，代入计算，可判断D的正误. 【详解】选项A：令，得，易知直线过定点，故A正确； 选项B：整理圆的方程，得，则圆心到轴的距离为4，又，所以圆与轴相切，故B错误； 选项C：设圆心到直线的距离为，可得，解得，故C正确； 选项D：因为圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，所以圆心在直线上，则，解出，故D错误. 故选：AC. 10. 已知，动点满足直线与的斜率乘积恒为，设点的运动轨迹为曲线，过点的直线与曲线的另一个交点为，则（ ） A. 面积的最大值为 B. 不存在点，使得 C. 点的轨迹方程为 D. 若过原点，则的最小值为1 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意求出轨迹方程，判断C；对于A，当动点运动到上下顶点时，面积的最大，易得面积的最大值为，故A正确；对于B，由余弦定理求出，再结合基本不等式求出的范围即可得解；对于D，因点与点关于原点对称，则四边形为平行四边形，则，利用基本不等式及椭圆的定义即可求得. 【详解】对于C，因为与的斜率乘积恒为， 所以，即，故C错误； 对于A，已知， 即为椭圆的左右焦点， 的面积， 所以当点为与轴的交点时的面积最大， 此时，即面积的最大值为，故A正确； 对于B，由余弦定理得 ， 因为， 则，当且仅当时等号成立， 所以， 因为在上单调递减，且， 所以，则存在点，使得，故B错误； 对于D，若过原点，则与点关于原点对称， 则四边形为平行四边形，则， 因， 则 ， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：AD． 11. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 中最小项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意作差可计算得，，所以数列是递减的等差数列，可判断A；利用等差数列前项和公式计算可判断B；根据等差数列的性质计算可判断C；根据已知条件结合不等式的性质计算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 由，所以，所以，且， 所以数列是递减的等差数列，且， 则当时，最大，故A正确； 对于B，由上述分析可知，当时，单调递减， 且，， 所以使得成立的最小自然数，故B正确； 对于C，由，且， 所以，即，故C错误； 对于D，因为当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以； 且，， 则有，， 所以，即， 所以中最小项为，故D正确． 故选：ABD． 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知直线与曲线有两个交点，则k的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出图象，求出直线和半圆相切时的斜率，结合交点个数可求答案. 【详解】整理可得，直线恒过点， 如图， 设直线是过且与半圆相切的直线，则，解得或（舍）， 因为直线与曲线有两个交点，所以k的取值范围为. 故答案为： 13. 十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为“斐波那契”数列.已知数列为“斐波那契”数列，数列的前项和为，若，则______（用含的式子表示）. 【答案】 【解析】 【分析】根据数列每一项都等于它前两项的和规律，写出前2024项，各式左、右两边分别相加，即可得到之间的关系，即可得出. 【详解】由已知得，，…，， 以上各式左、右两边分别相加，化简得， 即， 又，， 所以. 故答案为：m+1 14. 若点在椭圆上，则称点为点一个“椭点”.已知直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以线段为直径的圆经过坐标原点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的性质可确定，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，代入等式即可构造方程求得结果. 【详解】设，，则，， 以线段为直径的圆经过坐标原点，， 由得：， ，即， ，， ， ，解得：（满足）， 的值为. 故答案为：. 四､解答题：共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）在数列中依次取出下标能被4除余1的项组成数列，记的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据条件列出方程求公差即可得解； （2）由题意可证明数列为等差数列，利用求和公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以，所以， 所以. 【小问2详解】 由题意，， 所以， 故， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， ， 所以. 16. 已知圆，直线 （1）求证：直线恒过定点； （2）当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值； （3）当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将方程变换为，即可求解直线的定点； （2）当时，此时圆心到直线的距离最大，利用斜率公式，即可求解； （3）由几何关系，将面积的最小值转化为求点到直线距离的最小值. 【小问1详解】 证明：由得 由 得 所以直线恒过定点； 【小问2详解】 由（1）知，当时，圆心到直线的距离取得最大值 易知圆心为 因为 所以 即 解得 【小问3详解】 当时，直线的方程为，故可设 圆的半径 圆心到直线的距离 所以 所以 即四边形面积的最小值为 17. 已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． （1）求抛物线的标准方程及其准线方程． （2）求证：为定值． （3）求证：直线过定点，并求出该定点． 【答案】（1）标准方程为，准线方程为； （2）证明见解析； （3）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标求解即可； （2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （3）直线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，代入计算即可得证． 【小问1详解】 由题意知抛物线的标准方程为（）且， ∴，抛物线的标准方程为，准线方程为； 【小问2详解】 设点P的坐标为，， 由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为，则切线的方程为， 联立方程组，消去，得， ∴得（*）， 又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； 【小问3详解】 由题知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，整理得，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 代入有， ∴， ∴且， ∴，故直线过定点． 18. 如图，平行六面体的所有棱长均为1，，，平面平面，点，满足，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）是否存在点在线段上，使得点到平面距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接交于，证得，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. （3）设，表示出，利用空间向量法得到方程，解得的值，即可得解. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接交于，连接，， 因为，，所以，所以， 即，又，所以， 由于，，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 连接，因为平面平面，且，平面平面，平面， 所以平面，由于， 所以，，， 由余弦定理得， 所以，所以，则 ， 如图以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 由得， 从而 设平面的一个法向量为， 则，可取， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 【小问3详解】 设，因为，， 所以， 所以， 则点到平面的距离， 解得或（舍去）， 所以时使得点到平面的距离为. 19. 已知A，B分别为椭圆：的左顶点和下顶点，T为直线上的动点. （1）求的最小值； （2）设直线TA与椭圆的另一交点为D，直线TB与椭圆的另一交点为C.当四边形ABCD为梯形时，求点T的坐标； （3）已知直线l：（）与圆F：交于M，N两点，与椭圆交于P，Q两点，其中M，P在第一象限，d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k，使得取得最大值？若存在，求出k；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示，转化为二次函数求最值； （2）首先利用点的坐标表示直线和的直线方程，并与椭圆方程联立，求点和点的坐标，利用平行线的性质，转化为坐标关系式，即可求解； （3）一个在椭圆外，一个在椭圆内，一个在内，一个在外， 利用直线与椭圆相交得交点坐标关系，结合点到直线距离公式得关于的关系式，利用基本不等式得最值即可得结论. 【小问1详解】 设，，， ， 当时，的最小值为； 【小问2详解】 ，与椭圆：联立， ，即， ，得， ，与椭圆：联立， ，， 得， 因为四边形为梯形，所以，所以， 于是，即， 整理，整理为， 解得：， 故存在点，使得四边形为梯形； 【小问3详解】 由题设可知，一个在椭圆外，一个在椭圆内，一个在内，一个在外， 在直线上四点满足：, 由，消去得， 恒成立， 设，， 由根与系数的关系，得，， ， 所以，点到的距离， 则， 当且仅当，即时等号成立， 验证可知满足题意，因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一､选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若实数满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 3. 数列满足，（），则等于（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 6. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 过定点 B. 圆与轴相交于两个不同点 C. 若与圆相交，则 D. 若圆上点关于直线的对称点仍在圆上，则 10. 已知，动点满足直线与的斜率乘积恒为，设点的运动轨迹为曲线，过点的直线与曲线的另一个交点为，则（ ） A. 面积的最大值为 B. 不存在点，使得 C. 点的轨迹方程为 D. 若过原点，则的最小值为1 11. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 中最小项为 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知直线与曲线有两个交点，则k的取值范围为__________. 13. 十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为“斐波那契”数列.已知数列为“斐波那契”数列，数列的前项和为，若，则______（用含的式子表示）. 14. 若点在椭圆上，则称点为点的一个“椭点”.已知直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以线段为直径的圆经过坐标原点，则的值为_____． 四､解答题：共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）在数列中依次取出下标能被4除余1的项组成数列，记的前项和为，求. 16. 已知圆，直线 （1）求证：直线恒过定点； （2）当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值； （3）当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最小值． 17. 已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． （1）求抛物线的标准方程及其准线方程． （2）求证：为定值． （3）求证：直线过定点，并求出该定点． 18. 如图，平行六面体的所有棱长均为1，，，平面平面，点，满足，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）是否存在点在线段上，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知A，B分别为椭圆：左顶点和下顶点，T为直线上的动点. （1）求最小值； （2）设直线TA与椭圆的另一交点为D，直线TB与椭圆的另一交点为C.当四边形ABCD为梯形时，求点T的坐标； （3）已知直线l：（）与圆F：交于M，N两点，与椭圆交于P，Q两点，其中M，P在第一象限，d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k，使得取得最大值？若存在，求出k；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $