湖南长沙市第二十六中学（湖南师大附中雨花学校）2026届高三全真模拟适应性考试数学试题

**基本信息** 2026届高三数学三模卷以创新情境与能力梯度为核心，如欧拉常数近似计算（第7题）、牛顿迭代法应用（第14题）等，融合数学文化与实际问题，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、向量、函数切线、概率路线|第8题移动路线概率，考察数学建模与逻辑推理| |填空题|3/15|椭圆中点、三角函数性质、牛顿迭代法|第14题结合算法思想，培养数学应用意识| |解答题|5/77|立体几何折叠、解三角形、椭圆变换、导数综合|第17题通勤拥堵概率，第18题椭圆伸缩变换，突出实际应用与创新思维|

2026届高三全真模拟适应性考试 数学 1.答案：C 解析：数据共5个，从小到大排列后中间第3个数为7，中位数是7。 2.【答案】A 【详解】由， 又，则，故. 3.【答案】C 【详解】由，， . 4.【答案】B 【解析】由，可得， 则，又， 则所求切线方程为，即． 故选：B． 5.【答案】D 【分析】先求得的最大值，再由二倍角公式得出的最小值． 【详解】圆的圆心C的坐标为，半径为1． 因为PA，PB为圆C的切线，切点分别为A，B， 所以，，，， 所以，． 当时，取最小值，，此时取最大值， 又，函数在上单调递增，即取最大值，此时取最大值， 又，所以． 6.【答案】A 【分析】利用导数分析的单调性及最值，根据指对互化，利用函数同构得，结合的单调性及取值情况，得到的关系，从而可得，结合的最小值，求得的最小值. 【详解】函数的定义域为，. 当时，；当时，. 在上单调递减，在上单调递增.在处取得最小值. 又当时，，且， 若，，则， 所以，即. 所以. 所以当，即时，取得最小值，最小值为. 7.【答案】C 【解析】设，则， 因为， 可知数列为递增数列， 且， ， 可知，所以. 故选：C. 8.【答案】A 【解析】由题意可知， 则，， 则①正确；显然，故②正确； 因为，经过数字5的路线共有条. 理由:如上树状图所示，分别计算1-5的路线共有5条，5-11的路线共有13条， 利用分步乘法计数原理可得，过数字5的路线共有条. 则，故③正确； 同理可得即有，故④错误. 故选:A． 9.【答案】ABD 【解析】对于A，或，故A正确． 对于B，方法：，，，所以以3为周期，所以，故B正确． 方法二（复数的三角表示）：，所以的模为1，辐角为，则的模为1，辐角为， 所以．故B正确． 对于C，取，，则，此时，故C错误． 对于D，，，所以，故D正确． 故选：ABD 10.【答案】ABC 【分析】先按总对数减相交、平行对数算出异面直线对数判断A；再建系用向量垂直得轨迹方程，确定轨迹是直线判断B；线面角正切值与到距离成反比，用点到直线距离求最小值得最大值判断C；最后联立垂直条件与轨迹方程，判别式大于说明存在点，判断D错误，整体用空间向量与解析几何方法逐一验证选项． 【详解】 对于A，长方体共有12条棱和4条体对角线，共16条直线， 总直线对：， 相交直线对：每个顶点有条棱相交，个顶点共； 体对角线相交于中心，共，每条体对角线与6条棱相交，共，总计， 平行直线对：每组平行棱有4条，共3组（长、宽、高），每组，共；体对角线无平行， 所以异面直线对：，A正确； 对于B，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ，，，设， ，， 由，得， 化简得，在平面内，这是一条直线方程， 所以点P在底面上的轨迹是一条直线，B正确； 对于C，直线和平面所成角为，设， ， 要使最大，即求最小， 而是到原点的距离， 的最小值为原点到直线的距离， ，此时的最大值是，正确； 对于D，，， 若，则，即， 联立，消去，得， ，有实数解， 所以存在点，D错误． 11.【答案】ABC 【分析】A.由求解判断；B.由C的焦距为2判断；C.由和求解判断；D.结合，由判断. 【详解】由题意得，则，A正确． 由题意知，故C的焦距为2，与m的取值无关，B正确． 由，解得，又，所以m的取值范围为，C正确． 假设存在实数，使得点在C上，则，． 当时，，则， 所以在上无实数解，D错误． 12.【答案】 【分析】连接与椭圆的右焦点，与的中点，结合相似三角形与椭圆的定义求解即可. 【详解】由已知得：， 设椭圆的右焦点为，的中点为，连接和（如图所示）， 因为在以为圆心，为半径的圆上，所以， 又为的中点，为的中点，所以， 由椭圆的定义知：. 13.【答案】 【解析】易得，由，有， 即对任意的实数m，在内都满足， 故，则， 由在上单调递减，则，即， 当ω>0时，由于f（x）在R上的单调递减区间为， 令k=0.有，则； 令k=1，有，则； 令k=2，有，无解， 故， 同理，当ω<0时，有， 综上，. 故答案为：. 14.【答案】 3 1 【解析】易知，设切点为， 由切线几何意义得斜率为，故切线方程为， 由给定定义知在该直线上，代入直线得， 当时，易知，故的1次近似值为， 由得，， ， 而函数的零点为，且， 故在上单调递增，且，， 故，由零点存在性定理得， 由题意得，故，而是整数，故， 故答案为：3；1 15.【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在原正方形中，分别是，的中点， ，，， 平面，平面， 平面， 平面， . （2），， 就是二面角的平面角，即， 如图，以为原点，为轴，为轴，过作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， ，原正方形边长为，，分别是，的中点， ，，，， ，， ，即， ，， ，即， 是的中点， ，即， 设，即，三棱锥的体积为， ，, ， 平面，， ， ， ，解得，即， 平面过直线且与直线平行， 设平面的法向量， ，， ，即， 令，可得，，即， 平面在的平面上， 平面的法向量， 平面与平面所成角，. 16.【解析】（1）由余弦定理，， 化简得， 所以， 因为，所以 （2）由正弦定理：， 则，， 由（1），故 因为，则， 所以，即周长范围是． 17.【解析】（1）因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是和，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是：×＋×＝， 故李先生的小孩能够按时到校的概率是1－＝. （2）甲到丙没有遇到拥堵的概率是，丙到甲没有遇到拥堵的概率也是， 甲到乙遇到拥堵的概率是×＋×＋×＝，甲到乙没有遇到拥堵的概率是1－＝， ∴李先生上班途中均没有遇到拥堵的概率是××＝<0.7， 所以李先生没有七成把握能够按时上班． （3）依题意X可以取0，1，2. P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝；P(X＝2)＝×＝. 分布列是： X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 18.【解析】（1）设上两点的坐标为，； 经伸缩变换后变为，， 则；； ，；则． （2）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆； 椭圆变换得到了以原点为圆心的圆； P，Q，R，S变换得到，，，． O，，均在中垂线上，则O，，共线． ，，则， 则，， 则轨迹方程为：， 代入，，则S轨迹方程为：． （3）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆， 点A变换得到了， 即为，并设B，C变换得到了，． 熟知：在单位圆内接三角形中，面积最大为内接正三角形． 则，分别为绕O点逆时针和顺时针旋转120°得到． 则，坐标分别为，． 即为，， 即B、C坐标分别为，， 单位圆内接正三角形面积为，则△ABC面积为． 综上，所求B，C坐标分别为，或其交换，△ABC面积最大值为． 19.【解析】（1）， 由题知，即，即. （2）①的定义域为，而， 若，则，此时无最小值，不合题意，故. 令，得， 当单调递减， 当单调递增， 所以. 的定义域为，而. 当单调递减， 当单调递增， 所以. 因为和有相同的最小值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上，. ②， 且在上单调递减，在上单调递增； 在上单调递减，在上单调递增，且. 当时，此时， 显然与两条曲线和共有0个交点，不符合题意； 当时，此时， 故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1； 当时，首先，证明与曲线有2个交点， 即证明有2个零点，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为， (令，则)， 所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且 只存在1个零点，设为. 其次，证明与曲线和有2个交点， 即证明有2个零点，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为， （令，则） 所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为， 再次，证明存在，使得， 因为，所以， 若，则，即， 所以只需证明在上有解即可， 即在上有零点， 因为， 所以在上存在零点，取一零点为，令即可， 此时取 则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点， 最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列， 因为 所以， 又因为在上单调递减，即，所以， 同理，因为， 又因为在上单调递增，即，所以， 又因为，所以， 即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026届高三全真模拟适应性考试 科目：数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3.本试题卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 姓　 名_____________________ 准考证号______________________ 祝 你 考 试 顺 利 ！ 高三数学试题 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 2026届高三全真模拟适应性考试 数学 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一组数据：3，5，7，9，11，这组数据的中位数是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 2.在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 3.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4.函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5.已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6.已知函数，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．-1 D． 7.正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（    ） （参考数据：，，） A．10 B．9 C．8 D．7 8.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（    ） ①，②，③，④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知复数，，，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10.如图，在长方体中，，，点P是平面上的动点，满足（    ） A．长方体各棱、体对角线所在的条直线中,共有对异面直线 B．点P在底面上的轨迹是一条直线 C．若角是直线和平面所成角,则的最大值是 D．不存在点,使得 11.已知双曲线C：，则下列结论正确的是（   ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值无关 C．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 D．存在实数，使得点在C上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知点在椭圆上，的左焦点为，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的值为_______. 13.已知函数，若对任意的实数m，在的值域均为，且在上单调递减，则ω的范围为 . 14.牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，在点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.设的零点为r，取，则r的1次近似值为 ；若为r的n次近似值，设，，数列的前n项积为.若任意，恒成立，则整数的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.如图1，分别为边长为4的正方形三边的中点.将四边形沿着线段EF折起(如图2)，且点M是线段上一点. (1)求证:； (2)若二面角的大小为 且三棱锥M-DFG的体积为 设过直线且与直线平行的平面为，求平面与平面所成角的余弦值. 16.在的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，． (1)求角A的大小； (2)求周长的范围． 17.市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到． (1)求李先生的小孩按时到校的概率； (2)李先生是否有七成把握能够按时上班？ (3)设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值． 18.对于椭圆，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题． (1)在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足的关系； (2)设动点P在椭圆上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程； (3)点）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值． 19.已知函数和． (1)若曲线数与在处切线的斜率相等，求的值； (2)若函数与有相同的最小值． ①求的值； ②证明：存在直线，其与两条曲线与共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标成等差数列． $