精品解析：辽宁省鞍山市部分学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（B）

2025—2026学年度上学期月考试卷高二数学（B） 时间：120分钟 满分：150分 命题范围：选择性必修一+选择性必修二：第三章，第四章第一节 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在三棱锥中，若，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件根据数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B 2. 3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（ ）种． A. 36 B. 108 C. 120 D. 144 【答案】D 【解析】 【分析】分步骤分析，利用排列组合的乘法原理来计算即可． 【详解】总共有3个男同学，排头必须是男同学，所以排头的选择有种， 所以排尾只能从剩余2个男同学选取，有种， 最后剩余4人安排在中间4个位置，有种，所以一共有种． 故选：D． 3. 已知为实数，椭圆的离心率为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先判断椭圆焦点位置，然后根据离心率的公式列方程求解即可. 【详解】因为该方程为椭圆方程，所以且，解得， ，所以，， 则，所以， 由题意得，解得. 故选：D. 4. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：C. 5. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由渐近线斜率求离心率. 【详解】直线的斜率为，所以双曲线一条渐近线的斜率为-3， 即，所以离心率. 故选：A. 6. 若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得展开式的通项，分别求得和的系数，列出方程，即可求得的取值. 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得，所以展开式的的系数为， 令，可得，所以展开式的的系数为， 因为展开式中的系数比的系数小300，可得， 即，解得或， 又因为，所以. 故选：A. 7. 甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率公式，计算即可得出答案. 【详解】设这三人中仅有两人获得一等奖为事件A， 则. 故选：B 8. 已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为直线AF的倾斜角为，轴， ， 所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分..在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（ ） A. 若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案 B. 若每人分得2本，则有90种方案 C. 若三人分得书本数互不相同，则有360种方案 D. 共有450种分配方案 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用分组分配问题的解法即可得解. 【详解】对于A，甲1本､乙2本､丙3本，方案数为，故A正确； 对于B，每人2本，方案数为，故B正确； 对于C，书本数互不相同（即1，2，3），所以方案数为，故C正确； 对于D，分三类：第一类，每人2本，方案数为90种；第二类，一人1本，一人2本，一人3本，方案数为360种； 第三类，一人4本，另外两人各1本，方案数为， 故总的分配方案数为种，故D错误. 故选：ABC. 10. 如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（ ） A. 长为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为一组基底，将用基底表示，得，利用数量积的运算即可求解，进而判断A，先求，利用向量的夹角公式即可判断B，计算和即可判断CD. 【详解】由题意有：，所以 ，所以，故A正确； ，所以，所以 ， 所以，故B错误； 由，， 所以 ，所以，故C正确； 由，所以，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知抛物线（）过点，则下列结论正确的是（ ） A. 点P到抛物线焦点的距离为 B. 过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则的面积为 C. 过点P与抛物线相切的直线方程为 D. 过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值 【答案】BC 【解析】 【分析】由抛物线过点可得抛物线的方程，求出焦点的坐标及准线方程，由抛物线的性质可判断A；求出直线的方程与抛物线联立，求得交点的坐标，进而求出的面积，判断B；设直线方程为，与抛物线方程联立求得斜率，进而可得在处的切线方程，从而判断C；设直线的方程为抛物线联立求出的坐标，同理求出的坐标，进而求出直线的斜率，从而可判断D． 【详解】由抛物线过点，所以，所以， 所以抛物线的方程为：； 可得抛物线的焦点的坐标为：，准线方程为：， 对于A，由抛物线的性质可得到焦点的距离为，故A错误； 对于B，可得直线的斜率，所以直线的方程为：， 代入抛物线的方程可得：，解得， 所以，故B正确； 对于C，过点P与抛物线相切的直线斜率存在，设直线方程为， 与联立，得：， 所以，解得，所以切线方程为，故C正确； 对于D，设直线的方程为：， 与抛物线联立可得， 所以，所以， 代入直线中可得，即， 直线的方程为：， 代入抛物线的方程，可得，所以，即， 代入直线的方程可得，所以， 所以为定值，故D错误． 故答案为：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项是__________． 【答案】15 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，根据指数为可得结果. 【详解】的展开式的通项公式为， 由得，， ∴展开式中的常数项是. 故答案为：15. 13. 若直线l：被圆C：截得的弦长为，则______. 【答案】10 【解析】 【分析】由圆方程得出圆心和半径，再由弦长公式以及点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得， 所以圆心到直线的距离，解得或. 因为，所以， 故答案为：10. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，，则的离心率______． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线定义结合条件求出，再由余弦定理即可得到的方程，即可求其离心率. 【详解】如图，设．则．由双曲线定义可得．即， 所以，，又，． 在中，由余弦定理得， 解得，故的离心率． 四､解答题：本题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. 甲、乙两人参加面试，每人需回答2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是0.7，乙答对每道题目的概率都是0.6，不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响 （1）求甲只答对第二题的概率； （2）求甲乙两人答对题目数之和为1的概率. 【答案】（1）0.21 （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）根据相互独立事件以及互斥事件的概率性质即可求解. 【小问1详解】 设 “甲只答对第二题”，则, 【小问2详解】 记 “甲只答对一道题”， “乙只答对一道题”， “甲两道题都答错”， “乙两道题都答错”， 故,, ,, 记 “甲乙两人答对题目数之和为1”， 由于事件相互独立，事件相互独立， 则 16. 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，M是圆C上的动点，，P是线段的中点. （1）求圆C的标准方程； （2）求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】（1）； （2）轨迹方程是，表示以点为圆心，半径为的圆. 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程，代入两点坐标，利用圆心在直线上建立方程组，求解即得； （2）利用相关点法即可求得点P的轨迹方程，并说明其形状. 【小问1详解】 设圆的标准方程为. 由题意可得，解得 , 则圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，而 ， 因为是线段的中点，所以，即得 (*) . 因为点在圆上，所以， 将(*) 代入上式，可得， 整理得， 即点的轨迹方程是， 它表示以点为圆心，半径为的圆. 17. 已知椭圆的离心率为，短轴长为. （1）求C的方程； （2）若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而解出即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出的面积，建立方程即可求解. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 则椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设， 联立，得， 则，解得， 且， 所以， 点到直线的距离为， 则，解得或，满足， 则或. 18. 已知双曲线C：的右顶点为，且双曲线C的一条渐近线恰好与直线垂直. （1）求双曲线C的方程 （2）若直线：与双曲线C的右支交于A，B两点，点F为双曲线C的右焦点，点D在双曲线C上，且轴.求证：直线过点F. 【答案】（1） （2） 由（）可知，右焦点F的坐标为（2，0）， 由题意可知直线的斜率存在且不为0，∴， 设，，则， 由（）可知，双曲线的渐近线方程为， 又直线与双曲线的右支交于A，B两点，则，即，且直线过定点作出图像如上， 联立消去得， 则，得， ，，则， 又，∴，， ∴， ∴，又，有公共点F， ∴B，F，D三点共线，∴直线过点F 【解析】 【分析】（1）由双曲线的定义和渐近线的方程求出即可； （2）画出图像，设，，直曲联立，得到用纵坐标表示的韦达定理，再用坐标写出向量，，利用向量共线的充分必要条件证明三点共线即可. 【小问1详解】 由右顶点为，得， 由双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直， 得，即，∴， ∴双曲线C的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】第一问由双曲线的性质和渐近线的定义直接得到；第二问先根据直线过定点且与双曲线有两个交点确定直线的大致位置，在设出，，坐标，直曲联立得到关于的韦达定理，然后再由向量共线的充分必要条件证明点在直线上. 19. 如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设平面的一个法向量为，则， 设，则，，可得， 又因为，则，可得. 且平面，所以平面. （2） （3） 存在，线段的长为 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）求平面的法向量，利用空间向量求面面夹角的余弦值，进而可得正弦值； （3）设，由线面角的向量求法求出，得到坐标，求出长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 设平面的一个法向量为，则， 设，则，，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 可得， 所以平面与平面夹角正弦值为. 【小问3详解】 设， 则，可得， 因为平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 当时，，则； 当时，，则； 综上，即在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时线段的长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期月考试卷高二数学（B） 时间：120分钟 满分：150分 命题范围：选择性必修一+选择性必修二：第三章，第四章第一节 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在三棱锥中，若，，，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 2. 3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（ ）种． A. 36 B. 108 C. 120 D. 144 3. 已知为实数，椭圆的离心率为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 2 6. 若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. 6 D. 4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分..在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（ ） A. 若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案 B. 若每人分得2本，则有90种方案 C. 若三人分得书本数互不相同，则有360种方案 D. 共有450种分配方案 10. 如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（ ） A. 长为 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 11. 已知抛物线（）过点，则下列结论正确的是（ ） A. 点P到抛物线焦点的距离为 B. 过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则的面积为 C. 过点P与抛物线相切的直线方程为 D. 过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项是__________． 13. 若直线l：被圆C：截得的弦长为，则______. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，，则的离心率______． 四､解答题：本题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. 甲、乙两人参加面试，每人需回答2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是0.7，乙答对每道题目的概率都是0.6，不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响 （1）求甲只答对第二题的概率； （2）求甲乙两人答对题目数之和为1的概率. 16. 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，M是圆C上的动点，，P是线段的中点. （1）求圆C的标准方程； （2）求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 17. 已知椭圆的离心率为，短轴长为. （1）求C的方程； （2）若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 18. 已知双曲线C：的右顶点为，且双曲线C的一条渐近线恰好与直线垂直. （1）求双曲线C的方程 （2）若直线：与双曲线C的右支交于A，B两点，点F为双曲线C的右焦点，点D在双曲线C上，且轴.求证：直线过点F. 19. 如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $