期末总复习讲义07直角三角形 【知识点梳理+题型概括+易错题集锦】 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学讲义以直角三角形为核心，通过知识梳理表格系统整合“两锐角互余、含30°锐角、斜边中线”三大知识点及对应题型，结合射影图形、“8”字形图等模型图呈现知识脉络，清晰展现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层例题设计，如“含30°锐角”性质直接应用与辅助线构造题，培养几何直观与推理能力，易错题集锦涵盖选择、填空、解答题，助力学生自主查漏，教师可借分层题型实施精准教学，提升不同层次学生解题能力。

第7课 直角三角形 期末总复习 【沪教版】 知识梳理 知识点 相关题型 两个锐角互余 利用直角三角形的两个锐角互余进行计算、证明 利用两个锐角互余来判定直角三角形 含30的锐角 直接利用直角三角形的性质进行计算、证明 作辅助线构造直角三角形，再利用性质进行计算、证明 斜边中线 利用斜边中线计算相关的角度 利用斜边中线来进行线段倍分的计算、证明 知识点01 两锐角互余 1. 直角三角形的性质——两个锐角互余 ①基本图形 已知△ABC中，∠C=90，则∠A+∠B=90 ②两个锐角互余的常见模型 射影图形 “8”字形图 A字形图 旋转图形 ∠A=∠1 ∠B=∠ 2 ∵∠A+∠ACE=90 ∠B+∠BCD=90 ∴∠A=∠B ∵∠A+∠B=90 ∠A+∠1=90 ∴∠B=∠1 ∵∠1+∠ACD=90 ∠2+∠ACD=90 ∴∠1=∠2 2. 直角三角形的判定——有两个锐角互余的三角形是直角三角形 △ABC中，∵∠A+∠B=90∴∠ACB=90 例题讲解 【题型1：两个锐角互余】 【例1】如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是 ． 【分析】本题主要考查折叠，平行线的性质，直角三角形两锐角互余（∠BEC=90-∠B´CE），掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键． 根据长方形的性质，折叠的性质得到，根据平行线的性质，直角三角形两锐角互余得到，化简即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【变式1】已知：如图，在中，，，若，则 ． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】如图，，若，且，则的度数为 ． 【分析】此题考查了直角三角形两锐角互余，全等三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据直角三角形两锐角互余得到，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 【题型2：高线+角平分线】 【例2】如图，分别是△ABC的角平分线和高线，且，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，是基础题，准确识图找出各角度之间的关系是解题的关键． 根据三角形的内角和等于求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】∠DAE=是该模型的一个基本结论 【变式1】如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知，求的度数． 【分析】利用三角形内角和定理可求出，结合角平分线的定义可得出，利用三角形外角性质可求出，再利用直角三角形角性质可求出． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵于E， ∴． ∴． 【点睛】∠DPE=是该模型的一个基本结论 【题型3：用两锐角互余来判定直角三角形（垂直）】 【例3】如图， ，直线分别交、于点，，平分，FG平分∠CFE，则∠EGF= ．   【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的判定. 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，FG平分∠CFE ∴， ∴∠GEF+∠GFE=90 ∴. 【变式1】如图，是的高，为上一点，交于，且有，，则与的位置关系为 ． 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．发现并利用两个直角三角形全等是解题的关键． 证明，可得，由可推出，即可证得结论． 【详解】解：猜想：． 理由：是的高， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 知识点02 含有30锐角的直角三角形 1. 性质： 直角三角形中30的锐角所对的直角边等于斜边的一半. 逆定理：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30. 2. 性质的应用 本性质是证明线段倍分关系的一个重要途径. 3. 解题策略： 遇到30就要联想到对边等于斜边的一半，如果图中没有直角三角形常常要添加辅助线构造直角三角形. 例题讲解 【题型1：直接利用直角三角形的性质解题】 【例1】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在中，，点是斜边中点，作，交直线于点． (1)若，求线段的长； (2)当点在线段上时，设，求关于的函数解析式； (3)若，求的长． 【答案】(1)2 (2) (3)或 【分析】（1）根据点是斜边中点，，得到是线段的垂直平分线，于是得到，，结合，，得到，，于是得到，根据得线段，解答即可； （2）根据题意，得，且，结合，得到，利用勾股定理，解答即可； （3）根据，分点E在上或延长线上，得到或，利用勾股定理求的长． 【详解】（1）解：∵点是斜边中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． （2）解：∵点是斜边中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， 根据勾股定理，得， 解得． 故关于的函数解析式． （3）解：如图2，当点E在上， ∵， ∴， ∴． 故的长为． 如图3，当点E在的延长线上， ∵， ∴， ∴． 故的长为或． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，函数的应用，熟练掌握勾股定理，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，，D为的中点，于D．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形30度角的性质，连接，根据等边对等角得到；由线段中垂线的性质得到，即可得到，求出，根据直角三角形的性质得到． 【详解】证明：连接． ∵ ∴； ∵D为中点， ∴（中垂线性质） ∴； ∴ ∴． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于(    ) A．或 B． C． D．或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质与判定以及三角形外角的性质，正确的分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，为等腰三角形腰上的高，并且，取边中点E，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴顶角， 当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图， 为等腰三角形腰上的高，并且， 同理可得， ∴顶角， 故选：D． 【点睛】性质的逆命题也是真命题. 【题型2：作辅助线构造直角三角形解题】 【例2】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图1，在中，点为边上的点（与，不重合），，且，连接，连接交于点． (1)求证：平分； (2)如图3，若，当是等腰三角形时，求的值． 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）由手拉手全等证明，得到，进而得到，即可得证； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵，，且，， ∴， ∵， ∴， 同（1）法可知：， 当为等腰三角形时，分两种情况： ①当时，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，则：， ∴， ∴，， ∴， 作于点， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】看到30，就要习惯性地联想直角三角形. 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图所示，在中，，，，是的角平分线． (1)求的长； (2)若点在线段上，是直角三角形，求的长； (3)若点在射线上，是等腰三角形，直接写出的长． 【分析】如下图所示，过点作，，根据是的角平分线，可知，根据可得，根据等腰直角三角形的性质可得； 是直角三角形，有两种情况，一种情况是时，另一种情况是，分情况求出线段的长度即可； 是等腰三角形，有三种情况，第一种情况是当点在线段上，；第二种情况是；第三种情况是当点在线段的延长线上时，． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作，， 是的角平分线， ，， ， ， 在中，，，， ， ， ， 解得：， ∵，， ， 在中，； （2）解：如下图所示，当时， 是的角平分线， ， ； 如下图所示，当时，， 由可知， ， 在中，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，(舍去)， ， ， ， 综上所述，当或时，是直角三角形； （3）解：如下图所示，当点在线段上，时， 由可知， 则， ； 如下图所示，当点在线段上，时，过点作， 则有， 设，则， 在中，， ， 解得：，(舍去)， ， 则； 如下图所示，当点在线段的延长线上时，， 则． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或或． 【点睛】解决本题的关键是根据分类讨论的思想，分情况讨论． 知识点03 直角三角形斜边上的中线 1.性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.性质的应用 基本结论：CD=AD=BD=AB; 易被忽略的结论：∠A=∠ACD ，∠B=∠BCD；ACD=BCD 3.性质的拓展：若DC=DB，则必然有DA=DC； 4.性质的逆定理：若CD=AD=BD，则△ABC是直角三角形. 例题讲解 【题型1：有关角度的计算和证明】 【例1】如图，在Rt中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形的外角性质．利用直角三角形斜边中线的性质，求得，利用三角形的外角性质求得，据此求解即可． 【详解】解：，是边上的中线， ， ， ， ， ， ， 故选： B． 【变式1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半， 根据等腰三角形的性质可得和直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，即可得到结论． 【详解】解：∵，点E为边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D为边上的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在四边形中，， E为对角线的中点，连接．若， 则的度数为 °． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即，由等边对等角可得，设，则，再根据三角形外角的性质以及角的和差可得，最后根据等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， E为对角线的中点， ∴，即 ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：35． 【题型2：有关线段倍长的计算和证明】 【例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知：如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且垂直平分于点． (1)判断与之间的数量关系？并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质，等边对等角． （1）连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，即可； （2）根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形的外角性质可得，可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接， 是边上的高线， ， 是边上的中线， ， 垂直平分， ， ； （2）解：，， ， ， ． ， ， ， ， 即的度数为． 【变式1】（25-26八年级上·上海静安·月考）如图，四边形中，，相交于点，，、分别是、的中点，，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据直角三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·四川绵阳·月考）如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定及性质，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，，，由垂直平分线的性质得到，，从而由的周长是得到，根据，结合，，可得，证明，，得到，再由等腰三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长是，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴点H是的中点， ∴． 故答案为：6． 易错题集锦 一、单选题 1．如图，已知于点，于点，，则的度数是(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，先证明，可得，从而可得，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．如图，在于D，是的平分线，且交于P，如果，则的长为（        ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】先利用三角形内角和和角平分线定义计算出，则，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 在Rt△PBD中，， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查直角三角形的性质和角平分线的性质，掌握角直角三角形斜边和直角边的关系为解题关键． 3．如图，，，，则下列结论错误的是（　　） A．是等边三角形 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的判定和性质，以及外角的性质，以及的直角三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴是等边三角形， 选项正确，不符合题意； B、∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； 选项正确，不符合题意； C、∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 选项正确，不符合题意； D、∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，的直角三角形以及勾股定理解三角形．熟练掌握相关知识点是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考常考题型． 4．如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（   ） A． B．是的平分线 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，先根据垂直平分线的性质判断A选项；然后利用等边对等角得到，即可判断B选项；根据角的直角三角形的性质判断C选项；然后根据高相等的两三角形的面积比等于底的比判断D选项解答即可． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，是的平分线，故B、C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 5．如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形两锐角互余及全等三角形的判定与性质．先通过角平分线的定义及直角三角形两锐角互余得出的度数，再过点M作交于点E，证明得到，，由M是的中点得出，再证明，得出，，最终经过计算可求得结果． 【详解】解：∵平分，且， ∴， 又∵， ∴， 如图，过点M作交于点E， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵M是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．如图，在中，，，是边上的中点，点、分别是、边上的动点，与相交于点且．则下列个结论：①是等腰三角形：②；③；④四边形的面积会发生改变，其中正确的结论有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质得到线段与角的等量关系，结合角的代换证明三角形全等，进而推导相关结论并分析面积变化． 【详解】解：，是边上的中点， ， ， 又， ， ， ， 又， ，， ， 在和中， ， ， 是等腰三角形， ①正确； ，， ， ，， ， ②正确； ， ， ， ③正确； ， ， 为定值， ④错误． 故选：． 二、填空题 7．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到，交AC于点D，若，则∠A= ° 【答案】55 【分析】根据旋转的性质可得，，再由直角三角形两锐角互余，即可求解． 【详解】解：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到 ∴，， ∵， ∴ ∴∠A=55°． 故答案为：55 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，直角三角形两锐角的关系，熟练掌握旋转的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 8．如图，把绕点C顺时针旋转得到，此时于点D，已知，则的度数是 ． 【答案】/39度 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵绕点C顺时针旋转得到，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，平分，且，点为上任意点，于，交于，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，含的直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，过点作于，由角平分线的性质得出，然后求出，则，由勾股定理求得，又，所以，则有，同理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵平分，， ∴， ∵平分，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 10．如图，在中，，，于，平分． (1)求的度数； (2)填空：若、的度数分别是、，则的度数为_____________（用含、的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义及角度计算；解题的关键是熟练运用三角形内角和求出相关角，再通过角平分线和高线的性质进行角度转换；易错点是在计算过程中忽略角度关系或代数化简错误． （1）利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线定义得到的度数，由垂直定义得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出的度数，可通过与的差求得． （2）思路与（1）一致，根据题意用用含、的代数式表示即可． 【详解】（1）解：，， ． 是的平分线， ． ， ， ， ． （2），， ． 是的平分线， ． ， ， ， ．   故． 11．如图，中，是边上的高，是的平分线，交边于点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据直角三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理得出，再根据角平分线的性质得出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 12．如图，在中，，， (1)尺规作图，在上找一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)的长度为． 【分析】本题考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别以点，为圆心，大于为半径画弧，然后连接两弧的交点，交于点，再连接； （2）由，，则，根据作图可知，，则，求得，最后通过角所对直角边是斜边的一半即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：∵，， ∴， 由作图可知，点F在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为． 13．如图，在△中，，，，垂足分别为、，且点是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一． （1）根据垂直的定义得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到； （2）根据三线合一可知点是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，即可求出的周长． 【详解】（1）证明：，， ， 是的中点， ， ∴； （2）解：，， 点是的中点， ， ， ， 的周长． 14．如图，在和中，，E是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形斜边中线定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，然后可得，，进而根据三角形内角和可进行求解． 【详解】（1）证明：∵在和中，，E是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 15．（1）如图1，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接． ①证明：；②求的度数； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接． ①直接写出的度数为___________； ②若，，求的面积． 【答案】（1）①见解析；②；（2）①；②； 【分析】（1）①要证明，需根据等边三角形的性质找到对应边相等和对应角相等，利用判定定理证明．②求的度数，可先由全等得到角的关系，再结合等边三角形的内角以及平角的性质计算． （2）①求的度数，类似（1）的思路，先证明三角形全等，再结合等腰直角三角形的性质和角的关系求解．②求的面积，需先求出的长度，再结合高（可由等腰直角三角形的性质得到），利用三角形面积公式计算． 【详解】解：（1）①和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ②为等边三角形， ， ， ， ， ； （2）①和均为等腰直角三角形，， ，， ，即， 在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形 ， ， ， ； ②为等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 16．在中，， (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，点D为中点，连接，过A作于E，交于点F，求证：； 【分析】本题考查了等腰三角形，含角的直角三角形，三角形内角和，平行线的性质，外角的性质和全等三角形的判定与性质的知识，掌握以上知识并正确作出辅助线是解答本题的关键； （1）根据等腰三角形和三角形内角和的知识进行作答，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的知识可求得，再通过同角的余角相等，可得，然后证明，得到， ，再证得，然后证明，得到，然后等量变换即可求解； 【详解】（1）解：已知在中，， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，且， 设，则，可得： ， 解得：， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为中点， ∴， 过点作 ，交的延长线于，如图： ， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴（直角三角形两锐角互余）， ∵， ∴， ∴（同角的余角相等）， 在和中： ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； 17．如图，在中，，点是上的一点，过点作，交于点，延长和交于点 (1)求证： (2)若，，是的中点，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，根据对顶角相等可得，则，最后根据等腰三角形的判定即可得证； （2）先求出，则，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，． 18．如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作等边三角形，连接，， (1)当是等腰三角形时，___________； (2)求证：； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)的最小值为． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含度直角三角形的性质，垂线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是等边三角形，则，又是边上的高，所以，由是等腰三角形，则，然后通过角度和差即可求解； （）由是等边三角形，是等边三角形，得，，，然后通过“”即可求证； （）由等边三角形性质可得，，又是边上的高，所以，，由全等三角形性质可得，故有当时，最小，最后通过含度直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是边上的高， ∴，， 由（）得，， ∴， ∴当时，最小，最小值为， ∴的最小值为． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7课 直角三角形 期末总复习 【沪教版】 知识梳理 知识点 相关题型 两个锐角互余 利用直角三角形的两个锐角互余进行计算、证明 利用两个锐角互余来判定直角三角形 含30的锐角 直接利用直角三角形的性质进行计算、证明 作辅助线构造直角三角形，再利用性质进行计算、证明 斜边中线 利用斜边中线计算相关的角度 利用斜边中线来进行线段倍分的计算、证明 知识点01 两锐角互余 1. 直角三角形的性质——两个锐角互余 ①基本图形 已知△ABC中，∠C=90，则∠A+∠B=90 ②两个锐角互余的常见模型 射影图形 “8”字形图 A字形图 旋转图形 ∠A=∠1 ∠B=∠ 2 ∵∠A+∠ACE=90 ∠B+∠BCD=90 ∴∠A=∠B ∵∠A+∠B=90 ∠A+∠1=90 ∴∠B=∠1 ∵∠1+∠ACD=90 ∠2+∠ACD=90 ∴∠1=∠2 2. 直角三角形的判定——有两个锐角互余的三角形是直角三角形 △ABC中，∵∠A+∠B=90∴∠ACB=90 例题讲解 【题型1：两个锐角互余】 【例1】如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是 ． 【变式1】已知：如图，在中，，，若，则 ． 【变式2】如图，，若，且，则的度数为 ． 【题型2：高线+角平分线】 【例2】如图，分别是△ABC的角平分线和高线，且，则 ． 【变式1】如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知，求的度数． 【题型3：用两锐角互余来判定直角三角形（垂直）】 【例3】如图， ，直线分别交、于点，，平分，FG平分∠CFE，则∠EGF= ．   【变式1】如图，是的高，为上一点，交于，且有，，则与的位置关系为 ． 知识点02 含有30锐角的直角三角形 1. 性质： 直角三角形中30的锐角所对的直角边等于斜边的一半. 逆定理：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30. 2. 性质的应用 本性质是证明线段倍分关系的一个重要途径. 3. 解题策略： 遇到30，就要联想到对边等于斜边的一半，如果图中没有直角三角形常常要添加辅助线构造直角三角形. 例题讲解 【题型1：直接利用直角三角形的性质解题】 【例1】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在中，，点是斜边中点，作，交直线于点． (1)若，求线段的长； (2)当点在线段上时，设，求关于的函数解析式； (3)若，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，，D为的中点，于D．求证：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于(    ) A．或 B． C． D．或 【题型2：作辅助线构造直角三角形解题】 【例2】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图1，在中，点为边上的点（与，不重合），，且，连接，连接交于点． (1)求证：平分； (2)如图3，若，当是等腰三角形时，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图所示，在中，，，，是的角平分线． (1)求的长； (2)若点在线段上，是直角三角形，求的长； (3)若点在射线上，是等腰三角形，直接写出的长． 知识点03 直角三角形斜边上的中线 1.性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.性质的应用 基本结论：CD=AD=BD=AB; 易被忽略的结论：∠A=∠ACD ，∠B=∠BCD；ACD=BCD 3.性质的拓展：若DC=DB，则必然有DA=DC； 4.性质的逆定理：若CD=AD=BD，则△ABC是直角三角形. 例题讲解 【题型1：有关角度的计算和证明】 【例1】如图，在Rt中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在四边形中，， E为对角线的中点，连接．若， 则的度数为 °． 【题型2：有关线段倍长的计算和证明】 【例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知：如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且垂直平分于点． (1)判断与之间的数量关系？并说明理由； (2)若，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·上海静安·月考）如图，四边形中，，相交于点，，、分别是、的中点，，，则的值为 ． 【变式2】（25-26八年级上·四川绵阳·月考）如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则 ． 易错题集锦 一、单选题 1．如图，已知于点，于点，，则的度数是(    )    A． B． C． D． 2．如图，在于D，是的平分线，且交于P，如果，则的长为（        ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．如图，，，，则下列结论错误的是（　　） A．是等边三角形 B． C． D． 4．如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（   ） A． B．是的平分线 C． D． 5．如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，是边上的中点，点、分别是、边上的动点，与相交于点且．则下列个结论：①是等腰三角形：②；③；④四边形的面积会发生改变，其中正确的结论有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 7．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到，交AC于点D，若，则∠A= ° 8．如图，把绕点C顺时针旋转得到，此时于点D，已知，则的度数是 ． 9．如图，平分，且，点为上任意点，于，交于，若，则的长为 ． 三、解答题 10．如图，在中，，，于，平分． (1)求的度数； (2)填空：若、的度数分别是、，则的度数为_____________（用含、的代数式表示）． 11．如图，中，是边上的高，是的平分线，交边于点，，求的度数． 12．如图，在中，，， (1)尺规作图，在上找一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的长度． 13．如图，在△中，，，，垂足分别为、，且点是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 14．如图，在和中，，E是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 15．（1）如图1，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接． ①证明：；②求的度数； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接． ①直接写出的度数为___________； ②若，，求的面积． 16．在中，， (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，点D为中点，连接，过A作于E，交于点F，求证：； 17．如图，在中，，点是上的一点，过点作，交于点，延长和交于点 (1)求证： (2)若，，是的中点，求的长． 18．如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作等边三角形，连接，， (1)当是等腰三角形时，___________； (2)求证：； (3)求的最小值． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $