第09讲 直角三角形与角平分线（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年沪教版五四制八年级数学上册满分全攻略备考系列

第09讲 直角三角形与角平分线（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1．直角三角形的性质 2．直角三角形全等的判定 3．角平分线的性质 题型巩固 一、直角三角形的两个锐角互余 二、锐角互余的三角形是直角三角形 三、斜边的中线等于斜边的一半 四、用HL证全等 五、全等的性质和HL综合 六、作角平分线(尺规作图) 七、角平分线的性质定理 八、角平分线的判定定理 九、角平分线性质的实际应用 分层强化 一、单选题（4） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1．直角三角形的性质 性质1：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质2：两个锐角互余的三角形是直角三角形. 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点2．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，A B C A′ B′ C′ ∴Rt△ABC≌ Rt△ A′B′C′(HL). 知识点3．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长； ②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等； ③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言： 如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 角平分线的判定：在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 题型巩固 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1．若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质，利用直角三角形两锐角互余的性质求解，熟练掌握直角三角形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角的度数为， 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海·期中）在中，，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据直角三角形两个锐角互余得到，结合已知条件，不难求得的度数． 【详解】解：在中，，因此， 又， 将两式相加，得：， 即， 所以， 故答案为：． 3．如图，中，，过点作，垂足为点．求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直定义，直角三角形性质，掌握知识点的应用是解题的关键．过点作交于，由等腰三角形性质可得，然后由，，故有，，进而得，然后即可求证． 【详解】证明：过点作交于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型二、锐角互余的三角形是直角三角形 4．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法． 根据各选项角的度数的关系求出角，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴为直角三角形， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∴为直角三角形， 故②正确，符合题意； ③∵， ∴，， ∴不是直角三角形， 故③错误，不符合题意； ④∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故④正确，符合题意； ⑤∵， ∴， ∴不是直角三角形， 故⑤错误，不符合题意； 综上，符合题意的选项为①②④， 故选：C． 5．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是 三角形． 【答案】直角 【知识点】三角形内角和定理的应用、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 6．如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 【详解】证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 题型三、斜边的中线等于斜边的一半 7．（25-26八年级上·上海·期中）如图，，E为的中点，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质．根据直角三角形斜边上中线的性质得，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，E为的中点， ∴和均为直角三角形，且点E是公共斜边的中点， ∴， ∴， 故选：A． 8．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在某探究课上，老师带领同学们做了一个实验：拿两块的三角板，将的直角顶点放在的斜边的中点处,设则此时重叠的部分四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，由题意易得，，，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点是斜边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积为和的面积和， ∴； 故答案为． 9．如图，在四边形中，，O为的中点，证明： 【答案】证明见解析 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，熟练掌握运用两个性质是解题关键． 根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可得，利用等边对等角即可证明． 【详解】证明：∵是直角三角形，O为的中点， ∴， ∵是直角三角形，O为的中点， ∴， ∴， ∴． 题型四、用HL证全等 10．下列结论中不正确的是（ ） A．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等 B．一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．逐条排除． 【详解】解：A、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，符合AAS，能判定全等； B、一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形符合ASA或AAS，能判定全等； C、两锐角对应相等的两个直角三角形，不符合全等判定，不能判定全等； D、有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形，符合HL，能判定全等． 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；判断两个三角形全等，至少应有一条对应边相等参与其中，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证． 11．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    【答案】 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线． 过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明， 可得，即平分，因此这种画法的依据是． 【详解】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．    ∵尺的宽度相等， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴平分， 画法的依据是：． 故答案为：． 12．如图，在△ABC中， (1)用直尺和圆规分别作∠ACB的平分线、线段AB的中垂线、它们的交点M（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M）； (2)过点M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：BE＝AF． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用HL证全等（HL）、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）利用尺规作出的角平分线，线段的中垂线即可； （2）证明，可得． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：证明：如图，连接，， 点在的垂直平分线上， ， 平分，，， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型五、全等的性质和HL综合 13．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）如图，两点分别在射线上，点在的内部，且，垂足分别为点，且，若，则的长为（    ） A．10 B．13 C．15 D．17 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明得到，则，进一步证明得到，则． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 14．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，点D、A、E在直线m上，于点D，于点E，且．若，则              【答案】8 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用HL判定直角三角形的全等是解题的关键． 根据，得，再结合已知可推出，最后由全等三角形的性质，即可计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 15．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，和交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由“”可证，可得． 【详解】证明：， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． ． 题型六、作角平分线(尺规作图) 16．（22-23八年级上·上海长宁·期中）如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接； ②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、； ③连接交于点． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】利用基本作图可知，为的平分线，又，可得出，从而可得出；由，得出垂直平分，根据等腰三角形的性质可得出；根据已知条件不能判断． 【详解】解：由作图步骤可得：是的角平分线，则， 又 ∴， ∴，，故A正确； ∵， ∴垂直平分，则，， 故B，C选项正确， 没有条件能得出， 故选：D． 【点睛】本题考查了基本作图-作已知角的角平分线，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图的步骤是解题的关键． 17．尺规作图要求： a、过直线外一点作这条直线的垂线； b、作线段的垂直平分线； c、过直线上一点作这条直线的垂线； d、作角的平分线． 其中与a、b、c、d四个作图要求依次对应的图形是 ．（填序号） 【答案】②③④① 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】根据基本作图进行判断． 【详解】解：a，过直线外一点作这条直线的垂线，如图②； b，作线段的垂直平分线，如图③； c、过直线上一点作这条直线的垂线，如图④； d、作角的平分线．如图①． 故答案为：②③④①． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质． 18．（2024八年级上·上海·专题练习）尺规作图．如图，已知和C、D两点，求作一点P，使，且P到两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作角平分线，根据点P满足，得到点 P在线段的垂直平分线上， 又P到两边的距离相等 ，得到点P在的角平分线上，作图即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 题型七、角平分线的性质定理 19．（24-25八年级上·上海·单元测试）如图，在中，，的平分线交于点D，，，则的面积是（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】过D作于E，根据角平分线性质求出，根据三角形的面积求出即可．本题考查了角平分线的性质．熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键． 【详解】 如图，过D作于E， ， ， 平分， ， ， 故选B． 20．（24-25八年级上·上海·月考）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    【答案】/ 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，    ∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为；． 21．如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90∘，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.求证：AB=AC+CD． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】根据已知AC=BC，∠C=90，可得出DE=EB，再利用AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，可证明△ACD≌△AED，然后利用全等三角形的对应边相等和等量代换即可证明AB=AC+CD． 【详解】证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°， ∴∠ABC=45°， 又∵DE⊥AB，垂足为E， ∴∠B=∠EDB=45°， ∴DE=EB， 又∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°， ∴DE=CD． 在Rt△ACD与Rt△AED中， ∵， ∴△ACD≌△AED， ∴AC=AE，CD=DE， ∴AB=AE+EB=AC+CD． 【点睛】此题考查学生对等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，证明此题的关键是证明△ACD≌△AED，此题难度不大，属于基础题． 题型八、角平分线的判定定理 22．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若点O到的三边的距离相等，则点O为（   ） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三边上高的交点 C．三角形三个内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】此题主要考查三角形的内角的角平分线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质． 根据三角形的内角角平分线的性质即可判断． 【详解】解：到三角形三边距离相等的点应是这个三角形的三个内角的平分线的交点， 故选：C． 23．平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 ． 【答案】角平分线 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】根据角平分线的判定可知． 【详解】解：根据角平分线的判定可知：平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线， 故答案为：角平分线． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，解题关键是明确在角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 24．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，已知，，垂足分别为点，，且，与相交于点，连．求证：平分． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查三角形全等判定与性质，角平分线判定，掌握三角形全等判定与性质，角平分线判定是解题关键．根据垂直的定义得到，根据判定，得出，根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 题型九、角平分线性质的实际应用 25．如图,三条相互交叉的公路交于A、B、C三点,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址是△ABC的（   ） A．三边高的交点 B．三边中垂线交点 C．三边中线交点 D．三内角平分线交点 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】到三条公路的距离相等的点是△ABC的三内角平分线交点，外角角平分线的交点也可. 【详解】根据题意，得 到三条公路的距离相等的点是△ABC的三内角平分线交点 故答案为D. 【点睛】此题主要考查角平分线的性质，这是一道生活联系实际的题，熟练掌握，即可解题. 26．已知，△ABC的周长为16，∠A，∠B的角平分线交点到AB的距离为2，则△ABC的面积为 【答案】16 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：设∠A和∠B的平分线相交于P，P到边AB的距离为2， ∴点P到AC、BC的距离为2， ∵△ABC的周长为16， ∴△ABC的面积=×AB×2+×BC×2+×AC×2=×(AB+BC+AC)×2=×16×2=16． 故答案为16． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并判断出点P到三角形三边的距离相等是解题的关键． 27．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【答案】 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积． 【详解】如图，过点O分别作于点E，于点F， 分别平分，， ， 同理， 的周长是21， ， ． 分层强化 一、单选题 1．如图，是斜边上的中线，且，则（   ） A．14 B．13 C．7 D．3.5 【答案】A 【分析】本题考查斜边上的中线，根据斜边上的中线等于斜边的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是斜边上的中线，且， ∴； 故选A． 2．如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的角平分线上是解题的关键，利用角平分线的判定方法判定平分，即可求解． 【详解】解：∵为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， 故选：D． 3．如图，、，垂足分别为E、F，若，，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法；根据证明，即可判断①；根据，，且，得出平分，即可判断②；根据全等三角形的性质得出，根据，即可等量代换得到，结合即可判断③；通过证明，得出，则，即可得出，即可判断④． 【详解】解： ， 在和中， ， ， ，故正确； 且， 平分，故正确； ∵， ， 又， ， 而， 结论错误； 在和中， ， ， ， ， ， 即，故正确； 综上所述，正确的有①②④． 故选：B． 4．如图，在中，F是高，的交点，，，，则线段的长度为（    ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质，能熟练利用全等三角形的判定及性质进行求解是解题的关键．结合直角三角形的特征，由判定，再由全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：F是高，的交点， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 二、填空题 5．在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余解答即可求解，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 6．如图，在中，点为的中点，连接，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，在中，点为的中点，则，然后代入即可求解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵在中，点为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，已知在与中，．要利用“HL”判定，还需添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（或） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，解决本题的关键是掌握HL判断直角三角形全等的方法. 本题要判定，已知故添加或后可根据判定三角形全等. 【详解】解：若添加. 在和中， 若添加. 在和中， 故答案为：或． 8．如图，在中，，于点，交于点．若，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握斜边直角边的证明方法是解题的关键．连接，先证明，推出，最后利用解得答案． 【详解】解：连接，如图所示： ，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 9．已知一直角三角形斜边上的中线是3.5，斜边上的高是2，则这个直角三角形的面积是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到斜边的长，再根据三角形面积公式计算即可解答． 【详解】解：根据题意可得：直角三角形的斜边长为， ∴其面积为：． 故答案为：7． 10．如图，，，，，垂足分别为D、E，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，余角的含义，由三角形外角的性质求出是解答本题的关键. 由得，由得，从而，又因为，所以根据三角形外角的性质求出即可求解. 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 故答案为： 11．如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 12．如图，在中，是的平分线，是的边上的中线，如果的面积是，则的面积是 ． 【答案】10 【分析】根据角平分线的性质作辅助线，，得出，再由三角形的面积先求出，然后再根据三角形的中线的性质即可解决本题． 【详解】解：如图所示，过点D作于点M，于点N， ∵是的平分线， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角平分线上的点到角的两边的距离相等． 13．如图，是的高，为上一点，交于，且有，，则与的位置关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．发现并利用两个直角三角形全等是解题的关键． 证明，可得，由可推出，即可证得结论． 【详解】解：猜想：． 理由：是的高， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键． 根据长方形的性质，折叠的性质得到，根据平行线的性质，直角三角形两锐角互余得到，化简即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 15．如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，⑤平分，其中结论正确的有 ．（写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的判定定理等知识．①先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可判断①正确；②设与交于点，先根据全等三角形的性质可得，再根据对顶角相等、三角形的内角和定理即可判断②正确；③假设，从而可得，根据三角形的内角和定理可得，再根据角的和差可得，由此即可判断③错误；④过点作于点，于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理即可判断④正确；没有理由能判断平分． 【详解】解：①∵， ，即， 在和中， ， ∴， ∴，结论①正确； ②如图1，设与交于点， ∵， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， ，结论②正确； ③假设， ， ∴， ∴， ∵， ∴，根据已知条件无法得出这个结论， 即假设不成立，结论③错误； ④如图2，过点作于点，于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，，且点在的内部， ∴平分，结论④正确； 没有理由能判断平分，结论⑤错误． 综上，结论正确的有①②④， 故答案为：①②④． 16．如图，在直角三角形中，，D在边上，E在边上，且，则 ． 【答案】5 【分析】在上截取，连接，先根据三角形的外角性质和直角三角形锐角互余证明，再根据全等三角形的性质证明，最后由求解即可． 【详解】解：在上截取，连接， 设，则由题意得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题 17．如图，点在的平分线上，过点作于点，于点，点在边上，且．求点到射线的距离． 【答案】1 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质得到，求得，从而得到P到的距离． 【详解】解：在的平分线上，于点，于点， ， ， ， 点到射线的距离是线段的长，是1． 18．如图，在中，，垂足为点，点在上，连接，，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据，得，运用证明，即可得出． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． 19．如图，已知是的中线，于E，于F， 且， 求证： (1)是的平分线； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形判定定理是本题解题的关键． （1）可由得到，得出，再由得到，得出，即可证明． （2）根据全等三角形的性质得出，再结合得出． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴． 在和中 ∴， ∴（全等三角形的对应边相等） 在和中， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等），即是的平分线． （2）证明：∵（已证）， ∴（全等三角形的对应边相等）． 又∵（已知）， ∴． 20．如图，，，，垂足分别为点，，且．证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用可证明，则，再由线段的和差关系可证明结论； （2）利用证明，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21．如图，在中，，点在边上，交的延长线于． (1)若是的角平分线，说明与的数量关系； (2)若点同时在的垂直平分线上，求证； (3)若，是的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用直角三角形的性质得到，即可得出结论； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （3）通过证明得到，再通过证明得到，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是△的角平分线， ∴， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵点同时在的垂直平分线上， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解：在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．如图，在和中，，连接交于点F，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）设交于点I，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，则； （2）作于点H，于点J，由，，且，，得，则，所以点A在的平分线上，则平分． 【详解】（1）解：设交于点I， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． （2）证明：作于点H，于点J， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点A在的平分线上， ∴平分． 23．（1）如图①，作的两个内角的平分线，设交点为O，点O在的平分线上吗？试说明你的猜想，你又有什么新的发现？ （2）如图②，作的两个内角的外角平分线，设交点为O，点O在的平分线上吗？试说明你的猜想，你又有什么新的发现？ （3）你能用你的发现解决下面的实际问题吗？如图③，直线表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个？ 【答案】（1）图见解析，点O在的角平分线上；三角形的三条内角平分线相交于一点，点O到三角形三条边的距离相等；（2）图见解析，点O在的角平分线上；点O到三角形三条边的距离相等；（3）图见解析，4个 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解答的关键． （1）根据角平分线的作法作出图形，再根据到角两边距离相等的点在角的平分线上证出点O在的角平分线上； （2）根据角平分线的作法作出图形，再根据到角两边距离相等的点在角的平分线上证出点O在的角平分线上； （3）分别画出三角形内角的平分线，再画出三角形外角的平分线，角平分线的交点即为所求． 【详解】解：（1）如图①，点O在的角平分线上，说明如下： 过O作，，， ∵O在的平分线上， ∴， ∵O在的平分线上， ∴， ∴， ∴O也在的平分线上； 新发现：三角形的三条内角平分线相交于一点，点O到三角形三条边的距离相等； （2）如图②，点O在的角平分线上． 过O作，，， ∵O在的平分线上， ∴， ∵O在的平分线上， ∴， ∴， ∴O也在的平分线上； 新发现：点O到三角形三条边的距离相等； （3）如图③，符合条件的点有4个：点G，H，I，J． 24．如图1，，点A，D在上，点B，C在上，平分，与交于点 (1)若，线段与相等吗？请说明理由． (2)如图2，在的条件下，，E为上一点，且，求的长． (3)如图3，过点D作于点F，H为上一动点，G为上一动点．当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)线段与相等，详见解析 (2)8 (3)，详见解析 【分析】先证明，进而可依据判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出答案； 过点D作于点H，根据角平分线性质得，依据判定和全等得，则，再证明和全等得，则，由此即可得出的长； 在的延长线上截取，连接，证明和全等得，，由此根据已知条件得，进而依据判定和全等得，然后根据即可得出这三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：线段与相等，理由如下： ， ， 在中，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ； （2）过点D作于点H，如图2所示： ，， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3），，这三者之间的数量关系是：，理由如下： 在的延长线上截取，连接，如图3所示： 平分，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 直角三角形与角平分线（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1．直角三角形的性质 2．直角三角形全等的判定 3．角平分线的性质 题型巩固 一、直角三角形的两个锐角互余 二、锐角互余的三角形是直角三角形 三、斜边的中线等于斜边的一半 四、用HL证全等 五、全等的性质和HL综合 六、作角平分线(尺规作图) 七、角平分线的性质定理 八、角平分线的判定定理 九、角平分线性质的实际应用 分层强化 一、单选题（4） 二、填空题（12） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1．直角三角形的性质 性质1：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质2：两个锐角互余的三角形是直角三角形. 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点2．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，A B C A′ B′ C′ ∴Rt△ABC≌ Rt△ A′B′C′(HL). 知识点3．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长； ②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等； ③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言： 如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 角平分线的判定：在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平分线上. 题型巩固 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1．若直角三角形的一个锐角为，则另一个锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）在中，，，则的度数为 ． 3．如图，中，，过点作，垂足为点．求证：． 题型二、锐角互余的三角形是直角三角形 4．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是 三角形． 6．如图，平分．求证：是直角三角形． 题型三、斜边的中线等于斜边的一半 7．（25-26八年级上·上海·期中）如图，，E为的中点，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在某探究课上，老师带领同学们做了一个实验：拿两块的三角板，将的直角顶点放在的斜边的中点处,设则此时重叠的部分四边形的面积为 ． 9．如图，在四边形中，，O为的中点，证明： 题型四、用HL证全等 10．下列结论中不正确的是（ ） A．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等 B．一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 11．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    12．如图，在△ABC中， (1)用直尺和圆规分别作∠ACB的平分线、线段AB的中垂线、它们的交点M（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M）； (2)过点M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：BE＝AF． 题型五、全等的性质和HL综合 13．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）如图，两点分别在射线上，点在的内部，且，垂足分别为点，且，若，则的长为（    ） A．10 B．13 C．15 D．17 14．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，点D、A、E在直线m上，于点D，于点E，且．若，则              15．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，和交于点，，．求证：． 题型六、作角平分线(尺规作图) 16．（22-23八年级上·上海长宁·期中）如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接； ②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、； ③连接交于点． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．． 17．尺规作图要求： a、过直线外一点作这条直线的垂线； b、作线段的垂直平分线； c、过直线上一点作这条直线的垂线； d、作角的平分线． 其中与a、b、c、d四个作图要求依次对应的图形是 ．（填序号） 18．（2024八年级上·上海·专题练习）尺规作图．如图，已知和C、D两点，求作一点P，使，且P到两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹） 题型七、角平分线的性质定理 19．（24-25八年级上·上海·单元测试）如图，在中，，的平分线交于点D，，，则的面积是（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 20．（24-25八年级上·上海·月考）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    21．如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90∘，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.求证：AB=AC+CD． 题型八、角平分线的判定定理 22．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若点O到的三边的距离相等，则点O为（   ） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三边上高的交点 C．三角形三个内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 23．平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 ． 24．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，已知，，垂足分别为点，，且，与相交于点，连．求证：平分． 题型九、角平分线性质的实际应用 25．如图,三条相互交叉的公路交于A、B、C三点,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址是△ABC的（   ） A．三边高的交点 B．三边中垂线交点 C．三边中线交点 D．三内角平分线交点 26．已知，△ABC的周长为16，∠A，∠B的角平分线交点到AB的距离为2，则△ABC的面积为 27．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 分层强化 一、单选题 1．如图，是斜边上的中线，且，则（   ） A．14 B．13 C．7 D．3.5 2．如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，、，垂足分别为E、F，若，，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4．如图，在中，F是高，的交点，，，，则线段的长度为（    ） A．2 B．1 C．4 D．3 二、填空题 5．在中，，，则 ． 6．如图，在中，点为的中点，连接，且，则 ． 7．如图，已知在与中，．要利用“HL”判定，还需添加的条件是 （写出一种情况即可）． 8．如图，在中，，于点，交于点．若，，，则 ． 9．已知一直角三角形斜边上的中线是3.5，斜边上的高是2，则这个直角三角形的面积是 ． 10．如图，，，，，垂足分别为D、E，，则 ． 11．如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则 ． 12．如图，在中，是的平分线，是的边上的中线，如果的面积是，则的面积是 ． 13．如图，是的高，为上一点，交于，且有，，则与的位置关系为 ． 14．如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与A，重合）为折痕，得到，连接，设，的度数分别为，，若，则，之间的数量关系是 ． 15．如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，⑤平分，其中结论正确的有 ．（写序号） 16．如图，在直角三角形中，，D在边上，E在边上，且，则 ． 三、解答题 17．如图，点在的平分线上，过点作于点，于点，点在边上，且．求点到射线的距离． 18．如图，在中，，垂足为点，点在上，连接，，．求证：． 19．如图，已知是的中线，于E，于F， 且， 求证： (1)是的平分线； (2)． 20．如图，，，，垂足分别为点，，且．证明： (1)； (2)． 21．如图，在中，，点在边上，交的延长线于． (1)若是的角平分线，说明与的数量关系； (2)若点同时在的垂直平分线上，求证； (3)若，是的角平分线，直接写出与的数量关系． 22．如图，在和中，，连接交于点F，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 23．（1）如图①，作的两个内角的平分线，设交点为O，点O在的平分线上吗？试说明你的猜想，你又有什么新的发现？ （2）如图②，作的两个内角的外角平分线，设交点为O，点O在的平分线上吗？试说明你的猜想，你又有什么新的发现？ （3）你能用你的发现解决下面的实际问题吗？如图③，直线表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个？ 24．如图1，，点A，D在上，点B，C在上，平分，与交于点 (1)若，线段与相等吗？请说明理由． (2)如图2，在的条件下，，E为上一点，且，求的长． (3)如图3，过点D作于点F，H为上一动点，G为上一动点．当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $