专题02 构造等腰三角形+手拉手模型（四大题型）（高效培优专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题02 构造等腰三角形+手拉手模型 题型一：角平分线+垂线构造等腰三角形 题型二：等腰三角形+平行线构造等腰三角形 题型三：倍角关系构造等腰三角形 题型四：等腰三角形手拉手模型 题型一：角平分线+垂线构造等腰三角形 1.如图，为内一点，连接，且平分，连接，延长交于点，若，则的长为（） A．4 B． C．5 D．7 2.如图，中，，平分交于、于．求证： (1)； (2)． 3.【问题情境】（1）如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 4.【基础再现】 （1）如图1，在中，平分交于点E，于点D，延长交于点F． 求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，在中，，，平分交于点E，交延长线于点D． 求证：． 【实际应用】 （3）如图3，海岸边上一观测点B与码头C相距海里近海域内一灯塔D与观测点B相距海里，且．某科考船从码头C出发，沿方向（）以10海里/小时的速度行驶到点A处时，测得，求科考船从码头C行至A处所用的时间． 5.情境观察：（1）如图①，在中，，，垂足分别为与交于点．直接写出线段与线段的数量关系是 ； 问题探究：（2）如图②，在中，平分，，垂足为与交于点．直接写出线段与线段的数量关系 ； 拓展延伸：（3）如图③，在中，，点在上，，，垂足为与交于点．探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 6.情境观察：    如图1，中，，，，，垂足分别为D、E，与交于点F． ①写出图1中所有的全等三角形 ； ②线段与线段的数量关系是 ． 问题探究： 如图2，中，，，平分，，垂足为D，与交于点E．求证：． 拓展延伸： 如图3，中，，，点D在上， ，，垂足为E，与交于点F．求证：． 题型二：等腰三角形+平行线构造等腰三角形 条件 𝑨𝑩=𝑨𝑪  策略 作腰的平行线 _____ 作底边的平行线 结论 △𝑩𝑫𝑬 是等腰三角形 △𝑨𝑫𝑬 是等腰三角形 7．（22-23八年级下·安徽池州·开学考试）如图，点在等边三角形的边上，点在的延长线上，，交于点，．    (1)求证：； (2)若，求的长． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，点D在边上，点E在的延长线上，且，连接交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点G，若．求的长． 9.如图，在中，，，点从点出发沿线段向点移动，点同时从点出发沿线段的延长线移动，点与点移动的速度相同，线段与线段相交于点 (1)如图①，当，时，求证：； (2)如图②，过点作于点，在移动的过程中，的长是否发生变化，若改变，请说明理由；若不变，请求出其值． 10．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）已知为等边三角形，点从点出发，沿射线运动，速度为，同时，点从出发以与点相同的速度沿方向在射线上运动，连接，与直线相交于点． (1)如图，当点为边的中点，且的边长为时． ①求的长； ②求的长； (2)在点的运动过程中，过点作直线的垂线，垂足为，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 11．如图，在中，，，平分，交于点． (1)求证：． (2)如图，若的角平分线交于点，求证：． (3)如图，若的外角平分线交的延长线于点，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 12．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知在等边中，点D在上，点E在的延长线上，且． (1)【问题发现】如图1，当点D为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：　　　　．（填“”“”或“”） (2)【类比探究】如图2，当点D为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：　　　　（填“”“”或“”）．理由如下：过点D作，交于点M……请你完成后面的解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，已知点D是等边的边的中点，，点P，Q分别为射线上一动点，且，若，求的长． 13.综合与实践 在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形图形变换的探究，已知为等边三角形． (1)如图1，点是边上一动点，过点作平行于，交于点，判断的形状，并说明理由； (2)老师提出新问题：如图2，点为边上的动点，且，点为边上的动点，且，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由．全班同学经过讨论后认为要想证明这两个角的数量关系，应添加辅助线．小明认为应该过点作，交于点．小刚认为应该过点作，交于点．请你从小明和小刚添加的辅助线中选择一种方法完成上面的猜想与证明： (3)某小组同学继续探究，如图3，当点在直线上运动，且，点在边的延长线上运动时，连接，以为边，在右侧作等边三角形，连接．直接写出线段与线段的数量关系． 题型三：倍角关系构造等腰三角形 在中，>. 方法一：如图①，外构等腰三角形，作 . 方法二：如图②，内构等腰三角形，作 . 方法三：如图③，作平分 . 14．如图，ADBC于D，且DC=AB+BD,若,求的度数. 15．数学课上，黄老师出了这样一道题：如图，在中，于D，已知， 求证：．    小徐的思路是：在上截取，连接． 请你根据小徐的思路，补全图形并完成以下推理（数学依据只需注明①②）． ，（依据①：__________________） ，（依据②：__________________） 继续证明如下： 题型四：等腰三角形手拉手模型 16．（22-23八年级上·安徽六安·阶段练习）如图所示，，，点，，在一条直线上，若，，则的长为（　　） A．2 B．5 C．8 D．15 17．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作，使，，连接． (1)当点在线段上时，如图1，证明：且； (2)当点在线段的延长线上时，如图2，判断线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由． 18．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）如图，点C在线段上，分别以、为边在的同一侧作等边和等边，与相交于点O，交于点M，交于点N． (1)求证：； (2)求的度数； (3)连接．若M为的中点，，求的长． 19．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等的三角形，那么把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______． (2)如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，为等腰直角三角形，，，求证：． 20．（22-23八年级上·安徽淮北·阶段练习）在等腰中，，点D在上，延长至点E，使，连接． (1)若， ①如图1，求证：； ②如图2，将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，使点A，D，E三点在一条直线上，判定的形状，并说明理由． (2)若，如图3，（1）中①的结论是否成立？若不成立，请给出，之间的数量关系；若成立，请给出证明． 21．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：； (2)如图2，若，，试探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，D，F分别为边上的点，且和互为“兄弟三角形”，若B，F，E三点在一条直线上，，求的面积． 22．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． (1)如图1，当点D在线段BC上时，∠BAC＝90°． ①求证：BD＝CE； ②∠BCE＝______°； (2)设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，求证； ②当点D在射线BC的反向延长线上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 23．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，并当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等的三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1，在和中，，连接，当点落在边上，且三点共线时，则在这个“手拉手”图形中，可得的度数为．请证明这个结论； (2)【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，求的度数； (3)【解决问题】如图3，，试探究与的数量关系． 24.如图，已知线段、，分别以、为边作等边三角形与，直线、交于点F，    (1)如图1，若点A、C、B在一条直线上，请直接写出的度数； (2)如图2，改变C点位置，使点E与点F恰好重合，此时的度数是否与（1）中结论一致？说明理由； (3)改变C点位置，得到如图3，连接，试求的度数． 25．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图（1），在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边在的右侧作等腰直角，，，解答下列问题： (1)如果． ①当点D在线段上时（与点B不重合），请直接写出线段与之间的数量关系为 ；位置关系为 ；（不用证明） ②当点D在线段的延长线上时，如图（3），①中的结论是否仍然成立，请写出结论并说明理由． (2)如果 ，，点D在线段上运动． 试探究：当满足一个什么条件时，（点C、E重合除外）？请写出条件，并借助图（4）简述成立的理由． 26．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）在和中，，，，连接，． (1)求证：； (2)若和 均为等边三角形，作直线，点 C 在直线l上且点 D 在 右侧，的延长线交l于E，连接，． ①求证：点D 在线段的垂直平分线上； ②若 斜边上的高为2，点C在直线l上运动，则 的最小值 = ． 27．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图1，判断的形状，并说明理由； (2)如图1，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图2，，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02构造等腰三角形+手拉手模型 题型归纳 题型一：角平分线+垂线构造等腰三角形 题型二：等腰三角形+平行线构造等腰三角形 题型三：倍角关系构造等腰三角形 题型四：等腰三角形手拉手模型 题型专练 题型一：角平分线+垂线构造等腰三角形 M 延长AP,交ON于点BA 0 B N OP为角平分线，AP⊥OP 等腰三角形OAB 1.如图，D为ABC内一点，连接CD,且CD平分∠ACB,连接BD,BD⊥CD,延长BD交AC于点E,若 ∠A=∠ABE,BD=1,BC=3,则AC的长为() B A.4 B. c.5 D.7 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，证明 △ABE是等腰三角形，得到AE=BE,由角平分线的性质得到LECD=∠BCD,再证明△EDC≌△BDC,得 到DE=BD,EC=BC,即可求解，掌握相关知识是解题的关键， 【详解】解：：∠A=LABE, △ABE是等腰三角形， :.AE BE, 'BD⊥CD, ∴.∠EDC=∠BDC=90°， :CD平分∠ACB, .∠ECD=∠BCD, 在△EDC和△BDC中， 1/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠EDC=∠BDC=90° CD=CD ∠ECD=∠BCD △EDC≌△BDC(ASA, ·DE=BD,EC=BC, BD=1,BC=3, :DE=BD=1,EC=BC=3, AE=BE DE BD=2, :.AC=AE+EC=5, 故选：C 2.如图，ABC中，LABC=2LC,BE平分∠ABC交AC于E、AD⊥BE于D.求证： A E D 中 (1)AC-BE=AE (2)AC=2BD. 【详解】(1)证明：过点A作AF∥BC,交BD的延长线于F, ∴∠F=∠DBC,∠FAE=∠C, A F D B C ∠ABC=2LC,BE平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC=∠C, .BE=CE, :AE AC-CE=AC-BE. 2)由(1)得：∠F=∠DBC,∠FAE=∠C,∠ABD=∠DBC=∠C, ∴.∠ABD=∠F,∠EAF=∠F, :AB=AF,AE FE, AD⊥BE, ..BD=DF = 2 2/46 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BE=CE, :AC=AE +CE=BE +EF BF =2BD 3.【问题情境】(1)如图1，OP平分∠MON,A为OM上一点，过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC 交ON于点B,可直接根据一（填字母依据）证明△A0C≌△B0C; 【类比解答】(2)如图2，在ABC中，∠B+∠BAC=I30°，CD平分∠ACB,AE⊥CD于点E,延长 AE交BC于点F,求∠AFC的度数： 【实际应用】(3)图3是一块肥沃的三角形土地，其中边AB与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块 直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取∠ABC的平分线BD;②过点A作 AD⊥BD于点D.己知BC=15,AB=10,ABC的面积为30，请直接写出△ABD的面积； 【拓展延伸】(4)如图4，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,交CD的 延长线上于点E,试探究BE和CD之间的数量关系，并证明你的结论. M N 图1 图2 图3 图4 【详解】解：(1)：OP平分∠M0N, ∠A0C=∠BOC :AC⊥OP ÷∠AC0=∠BC0=90° 又：0C=0C △A0C≌aB0C(ASA); (2)同(1)可得，△AEC≌△FEC .ZEAC ZEFC ∠B+∠BAC=130° .∠B+∠BAF+∠EAC=130 .∠B+∠BAF+∠EFC=130° ∴.∠EFC+LEFC=130° ∠EFC=65°； (3)如图所示，延长AD交BC于点E 3/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D 图3 同(1)可得，△ABD≌△EBD :AB=BE =10,AD=DE :BC=15 .EC=BC-BE=15-10=5 :CE=51 BE102 SMACE=1 S。ABE 2 :ABC的面积为30 S.ACE+S.BE=30 2 SABE=30×号=20 AD=DE ∴△ABD的面积= 254e=10 (4)CD=2BE,理由如下： 如图：延长BE交CA延长线于F, :CD平分∠ACB, .LFCE=∠BCE, 在△CEF和aCEB中， 「∠FCE=∠BCE CE=CE ∠CEF=∠CEB=90° .△CEF≌ACEB(ASA), .FE=BE,即BF=2BE, :∠DAC=∠CEF=90°， 4/46 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 LACD+LF=∠ABF+∠F=90°， ∠ACD=∠ABF, 在△ACD和△ABF中， ∠ACD=∠ABF AC=AB ∠CAD=∠BAF=90° ·△ACD≌△ABF(ASA), .CD=BF, .CD=2BE. 4.【基础再现】 (1)如图1，在ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E,AD⊥CE于点D,延长AD交BC于点F. D B 图1 求证：AD=DF. 【拓展延伸】 (2)如图2，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CE平分∠ACB交AB于点E,BD⊥CE交CE延长线 于点D A ● D B 图2 求证：CE=2BD. 【实际应用】 (3)如图3，海岸边上一观测点B与码头C相距3.6海里近海域内一灯塔D与观测点B相距1.2海里，且 ∠BDC=90°.某科考船从码头C出发，沿CA方向(LDCA=LDCB)以10海里/小时的速度行驶到点A 处时，测得∠ABC=3∠A,求科考船从码头C行至A处所用的时间. D 图3 【详解】证明：(1)：CE平分∠ACB交AB于点E,AD⊥CE于点D, 5/46 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·.∠ACE=∠BCE,∠ADC=∠CDF=90°， :CD=CD, :△ACD≌AFCD(ASA, ·AD=DF; (2)延长BD,CA至点F, F E 图2 由(1)同理可证：△BCD≌△FCD, :BD FD, :BF =2BD, :BD⊥CE, .∠BDE=90°=LCAE, :∠DEB=LAEC, .∠ABF=∠ACE, 又：AB=AC,LBAF=180°-LCAB=90°=LCAE, △EAC≌△FAB ASA, :CE BF, .CE=2BD; (3)延长BD交AC于点E, 图3 由(1)同理可证：△BCD≌△ECD(ASA), .BC=CE,DE=BD,∠CBE=∠CEB, :∠CBE=∠CEB=∠A+∠ABE,∠ABC=∠ABE+∠CBE=3∠A, ∴∠ABE+∠ABE+∠A=3LA, ∠ABE=∠A, .AE=BE =2BD 6/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AC=CE+AE=BC+2BD=3.6+2×1.2=6, :科考船从码头C行至A处所用的时间为6÷10=0.6（小时）； 答：科考船从码头C行至A处所用的时间为0.6小时. 5.情境观察：(1)如图①，在ABC中，AB=AC,∠BAC=45°，CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分别为D,E,CD 与AE交于点F,直接写出线段AF与线段CE的数量关系是 问题探究：(2)如图②，在ABC中，∠BAC=45°，AB=BC,AD平分∠BAC,CD⊥AD,垂足为D,AD与 BC交于点E,直接写出线段AE与线段CD的数量关系 拓展延伸：(3)如图③，在ABC中，∠A=45°，AB=BC,点D在AC上，∠EDC=∠BAC,DE⊥CE, 2 垂足为E,DE与BC交于点F,探究线段DF与线段CE的数量关系，并说明理由. 图1 图2 图3 【详解】解：情境观察：：AB=AC,AE⊥BC, :BE=CE=1BC: 2 :∠BAC=45°，∠ADC=90°， ∴△ACD为等腰直角三角形， :AD=CD, :∠ADC=∠AEB=∠BDC=90°， .∠B+∠BCD=∠B+∠BAE=90°， .∠BCD=∠BAE, △ADF≌ACDB; .AF =BC, BE=CE=1BC, 2 .AF 2CE. ·线段AF与线段CE的数量关系是：AF=2CE; 故答案为：AF=2CE. 问题探究： 证明：延长AB、CD交于点G,如图2所示： 7/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E G 图2 :AD平分∠BAC, ∠CAD=∠GAD, :AD⊥CD, .∠ADC=∠ADG=90°， 在△ADC和△ADG中， I∠ADC=∠ADG AD=AD ∠CAD=∠GAD .△ADC≌△ADG(ASA, ∴CD=GD,即CG=2CD, :∠BAC=45°，AB=BC, .∠ABC=90°， ∠CBG=90°， LG+LBCG=90°， :∠G+∠BAE=90°， .∠BAE=∠BCG, 在△ABE和△CBG中， ∠ABE=∠CBG=90 AB=CB ∠BAE=∠BCG △ABE≌ACBG(ASA, .AE=CG=2CD,即AE=2CD; 拓展延伸： 解：作DG⊥BC交CE的延长线于G,交BC于点H,如图3所示： 8/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D H C 图3 :ABC中，∠BAC=45°，AB=BC, ABC为等腰直角三角形， .∠ABC=90°， ∠DHC=∠ABC=90°， .AB∥DG, .∠CDH=∠BAC=45°， 1 :∠EDC=三∠BAC, :∠EDC=2 ∠CDH, .ZCDE ZGDE :∠CED=∠GED=90°，DE=DE, ·△CED≌aGED, :CE =GE, .CG=2CE, :∠DHC=90°，∠CDH=45°， ∴△DHC为等腰直角三角形， .DH=CH, :∠G+LGCH=LG+LHDF=90°， .∠GCH=∠HDF, :∠DHF=∠CHG=90°， ∴△DHF≌aCHG, .DF=CG, DF =2CE. 6.情境观察： 9/46 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A BL E 图1 图2 图3 如图1，ABC中，AB=AC,∠BAC=45°，CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分别为D、E,CD与AE交于点F. ①写出图1中所有的全等三角形 ②线段AF与线段CE的数量关系是， 问题探究： 如图2，ABC中，∠BAC=45°，AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足为D,AD与BC交于点E. 求证：AE=2CD. 拓展延伸： 如图3， ABC中，∠B4C=45,AB=BC,点D在4C上，∠EDC=B4C,DE1CE,垂足为E, DE与BC交于点F.求证：DF=2CE. .BE=CE=BC, 2 AE AE, △ABE≌△ACE; :∠BAC=45°，∠ADC=90°， ·△ACD为等腰直角三角形， .AD=CD, :∠ADC=∠AEB=∠BDC=90°， ∠B+∠BCD=∠B+∠BAE=90°， .∠BCD=∠BAE, ∴△ADF≌△CDB; :图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE,△ADF≌△CDB; 故答案为：△ABE≌△ACE,△ADF≌aCDB; ②：△ADF≌△CDB, .AF =BC, BE=CE=1BC, 2 .AF 2CE. 10/46