数学一模提分卷01（广东专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，，所以， 所以. 故选：B 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对数函数是上的减函数，所以由，得，则； 因为指数函数是上的增函数， 所以由，得，则， 由此，. 故选：B. 3．设，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【详解】， 即， 解得：，所以，所以. 故选：B. 4．记为的任意一种排列，则使得为偶数的排列种数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】A 【详解】因为只有为偶数， 所以使得为偶数的排列种数为. 故选：A 5．已知函数图象的对称轴方程为，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】A 【详解】由，其中， 因函数图象的对称轴方程为， 可得的最小正周期为,即，故. 因函数图象的对称轴方程为，则， 取，可得，即， 解得.此时，,经验证满足题设. 则 故选：A. 6．设线段，点从点出发沿线段向点运动，其任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离，已知与运动时间满足，其中为常数，为自然对数的底数.点从点出发沿射线作匀速运动，两点同时出发且初始速度相同.当的长度分别为与时，的长度分别为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】设，则.当时，点在点处，其尚未经过的距离为线段的总长度， 即，解得，即.因为点在任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离， 设点在时刻的速度为，即，所以点的初始速度为. 又两点同时出发且初始速度相同，故点的速度，则. 当的长度为时，时间为，代入中，得，即，两边取自然对数，得. 同理，当的长度为时，时间为，得.当时，点走过的距离为， 同理，当时，点走过的距离为， 故， 故选：C. 7．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，设，，则， 因为，所以，在中，，所以，化简得，则，， 在中，，所以，即，所以离心率. 故选：D 8．设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，所以在上单调递增， B选项，由，即，可得，故B错误； C选项，由，即，可得，故C正确； A选项，因为，不妨设（为常数）， 即（为常数），所以，令，故，当时，为常数函数，此时，即，所以，故A错误； D选项，根据上述分析，，（为常数）， 故，，令，， 当时，，在上单调递减，所以，则，故D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现2点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件A与B互斥. D．对于随机事件A与B，若，，则事件A与B独立. 【答案】ABD 【详解】对于A，因为随机变量，所以，故，故A正确； 对于B，因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称， 又因为，所以，所以，故B正确. 对于C，抛掷两次，第一次为2点，第二次出现3点，则事件A，B同时发生，故A，B不互斥，故C错误. 对于D，，又， 所以，即事件A与B相互独立，故D正确； 故选：ABD. 10．已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（   ） A．直线过定点 B．的最小值为2 C．的取值范围为 D．当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 【答案】ACD 【详解】对于选项A，直线，， ，，直线过定点，选项A正确； 对于选项B，的圆心为，半径为， 直线过定点，过定点的直径是最长的弦， 过定点且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长是最短的弦， 定点到圆心的距离为， 的最小值为，选项B错误； 对于选项C，，， ， ，，， ， ，，，选项C正确； 对于选项D，圆上恰有三个点到直线的距离等于， 圆心到直线的距离等于，，圆心圆心到直线的距离，，选项D正确. 故选：ACD. 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．对任意实数，函数都存在三个零点 B．存在实数使得直线是函数的切线 C．对任意实数，过原点都可作三条直线与函数相切 D．当时，直线与函数图象交点的横坐标之和为3 【答案】ABD 【详解】A：因为，记， 所以有两个不等实根，当和时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减； 由三次函数的性质可知，当时，，当时，，且， 由零点的存在性定理可知，在，，上均存在零点， 结合的单调性可知，总存在三个零点，故A正确； B：设切点为， 所以，化简可得， 当时，解得；当时，解得；当，代入解得， 所以存在或使得是的切线，故B正确； C：显然不是切点，设切点， 由题可知，化简可得， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 此时至多一个解，即此时至多有一条过点的切线，故C错误； D：当时，，， 所以，所以关于点成中心对称， 又因为， 令，解得，所以直线经过定点，定点即为的对称中心， 因为直线的斜率，且，所以， 在同一平面直角坐标系中作出和直线的图象，如下图所示， 由图象可知，与交于三点，显然关于对称， 所以，所以，故D正确； 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，含项的系数是 ． 【答案】 【详解】根据二项式定理，的通项为. 原式可分成和两部分： 对于，求项（即）： ，因此项的系数是6. 同理，对于，求项（即）： ，因此项的系数是24. 将两部分的项系数相加：. 故答案为：. 13．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，若圆台上、下底面面积之比为1：4，则圆台的体积与球体积之比为 . 【答案】 【详解】作出示意图如图所示： 因为圆台上、下底面面积之比为1：4，所以圆台上、下底面圆的半径之比为1：2， 设圆台上底面圆的半径为，则圆台下底面圆的半径为， 由题意可得圆台的高为， 则圆台的体积为， 因为下底面过球心，所以球的半径为，所以球的体积为， 所以. 故答案为：. 14．函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】， 令，，因为定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数，所以在区间上的最大值与最小值之和为0， 则函数在区间上的最大值与最小值之和为2，即． 又，， 所以 ， 当且仅当，，即，，等号成立． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）由题意. 所以数列，其前项和为. 当时，； 当时，. 时，上式亦成立. 所以，. （2）， 所以. 16．（15分）强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 (1)若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； (2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 【答案】(1)（i）；（ⅱ），7.5 (2)答案见解析 【详解】（1）（i）根据表格中的数据，可得，解得. （ⅱ），， 所以. 故所求经验回归方程为， 当时，， 所以当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5； （2）该考生通过甲高校的考试科目数为X，则， 则. 设该考生通过乙高校的考试科目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以， 当时，此时，得， 当时，此时，又，得， 当时，此时，又，得， 所以，当时，该考生报考甲高校或乙高校都可以； 当时，该考生更应报考甲高校； 当时，该考生更应报考乙高校. 17．（15分）在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点. (1)设， （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2) 【详解】（1）（ⅰ）在中，，，所以. 因为，，所以， 所以. 又因为，平面，， 所以平面. （ⅱ）. （2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为，则，，，. 所以.平面的法向量为. 设直线与平面所成角为，则. 设， 设， 所以，（当且仅当，即时取等号），即. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 18．（17分）已知圆为原点，为圆上的动点，，点的轨迹为曲线，过点作点作圆的切线交曲线于A、B两点，过点作圆异于的切线交曲线于另一点，过点作圆异于的切线交轨迹于另一点． (1)求点的轨迹曲线的方程； (2)当斜率都存在时，求的斜率之积； (3)求四边形ABCD面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设点，则由得， 即，， 又在圆上，故，即， 化简得，即为轨迹的方程． （2）设的斜率分别为， 由点在轨迹上得，即，① 设的方程为，由过点得，② 由与圆相切得点到的距离为，即，即，③ 将②代入③得，即， 同理， 为方程的两根， 即的斜率之积为． （3）当斜率都存在时，将的方程代入， 整理得， 故， ， ， 即，同理可得，即A、O、C共线，B、O、D也共线， 由对称性可知四边形ABCD为菱形， 接下来有两种解法可供选择： 解法1: ， 由于，即函数值域为，则， ， ，故． 当其中一个斜率不存在或者为0时，由对称性可知为等腰直角三角形， 此时的菱形ABCD为正方形，其面积为8， 综上所述，四边形ABCD面积的取值范围是． 解法2：由及等面积法得，及， 变形得， ，即， （当且仅当时等号成立） 即． 又由于，由柯西不等式得 ，（当且仅当时等号成立） 即，即， ，故． 19．（17分）点P是不在曲线上的一点，点Q在曲线上，若对于曲线上任意一点A，都成立不等式，则称Q是P在上的主射影； 曲线：和：，点在上，点在上，证明： (1)若，则有且仅有一点Q，使得Q是P在上的主射影； (2)若； （i）在第二象限内，不存在使得Q是P在上的主射影的点Q； （ii）有且仅有一点Q，使得Q是P在上的主射影，且直线的斜率随b的增大而增大. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 设，时，单调递增， ，时，，可知： 存在唯一的，使，即有且仅有一点，使得是在上的主射影 （2）（ⅰ）只要证明在没有零点 时，若，则 时，若，则，在无极值点 （ii），可以视为的二次函数， 时，单调递增，而时，，可知有唯一零点， 时，有极小值点， 另一方面：存在，使得，由（i）可知， 注意到：，即， 而，， 可知在单调递增，有且仅有一个零点， 综上，就证明了在曲线上存在唯一一点Q，使得Q是P在上的主射影； 设对于每个，有，则，即， 可知，要证明直线的斜率随的增大而增大，只要证明a随b的增大而增大， 设，适合条件，，， 记， ，而， 也就是， 可知在单调递增，于是， 这样就证明了：a，b的对应关系是一一对应的，同时a随b的增大而增大. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分 ，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ______________ ______ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 p 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][Cg[D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C[D] 7[A][B][C][D] 說 4[A][B][C[D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C[D] 10[A[B][C[D] 11[AJ[B][C[D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 12 1 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) B B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．设，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D．4 4．记为的任意一种排列，则使得为偶数的排列种数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．18 5．已知函数图象的对称轴方程为，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 6．设线段，点从点出发沿线段向点运动，其任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离，已知与运动时间满足，其中为常数，为自然对数的底数.点从点出发沿射线作匀速运动，两点同时出发且初始速度相同.当的长度分别为与时，的长度分别为，则（    ） A． B． C．2 D．4 7．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现2点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件A与B互斥. D．对于随机事件A与B，若，，则事件A与B独立. 10．已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（   ） A．直线过定点 B．的最小值为2 C．的取值范围为 D．当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．对任意实数，函数都存在三个零点 B．存在实数使得直线是函数的切线 C．对任意实数，过原点都可作三条直线与函数相切 D．当时，直线与函数图象交点的横坐标之和为3 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，含项的系数是 ． 13．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，若圆台上、下底面面积之比为1：4，则圆台的体积与球体积之比为 . 14．函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 16．（15分）强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 (1)若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； (2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 17．（15分）在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点. (1)设， （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积； (2) 求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 18．（17分）已知圆为原点，为圆上的动点，，点的轨迹为曲线，过点作点作圆的切线交曲线于A、B两点，过点作圆异于的切线交曲线于另一点，过点作圆异于的切线交轨迹于另一点． (1)求点的轨迹曲线的方程； (2)当斜率都存在时，求的斜率之积； (3)求四边形ABCD面积的取值范围． 19．（17分）点P是不在曲线上的一点，点Q在曲线上，若对于曲线上任意一点A，都成立不等式，则称Q是P在上的主射影； 曲线：和：，点在上，点在上，证明： (1)若，则有且仅有一点Q，使得Q是P在上的主射影； (2)若； （i）在第二象限内，不存在使得Q是P在上的主射影的点Q； （ii）有且仅有一点Q，使得Q是P在上的主射影，且直线的斜率随b的增大而增大. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．设，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D．4 4．记为的任意一种排列，则使得为偶数的排列种数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．18 5．已知函数图象的对称轴方程为，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 6．设线段，点从点出发沿线段向点运动，其任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离，已知与运动时间满足，其中为常数，为自然对数的底数.点从点出发沿射线作匀速运动，两点同时出发且初始速度相同.当的长度分别为与时，的长度分别为，则（    ） A． B． C．2 D．4 7．已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现2点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件A与B互斥. D．对于随机事件A与B，若，，则事件A与B独立. 10．已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（   ） A．直线过定点 B．的最小值为2 C．的取值范围为 D．当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．对任意实数，函数都存在三个零点 B．存在实数使得直线是函数的切线 C．对任意实数，过原点都可作三条直线与函数相切 D．当时，直线与函数图象交点的横坐标之和为3 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，含项的系数是 ． 13．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，若圆台上、下底面面积之比为1：4，则圆台的体积与球体积之比为 . 14．函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 16．（15分）强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 (1)若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； (2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 17．（15分）在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点. (1)设， （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积； (2) 求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 18．（17分）已知圆为原点，为圆上的动点，，点的轨迹为曲线，过点作点作圆的切线交曲线于A、B两点，过点作圆异于的切线交曲线于另一点，过点作圆异于的切线交轨迹于另一点． (1)求点的轨迹曲线的方程； (2)当斜率都存在时，求的斜率之积； (3)求四边形ABCD面积的取值范围． 19．（17分）点P是不在曲线上的一点，点Q在曲线上，若对于曲线上任意一点A，都成立不等式，则称Q是P在上的主射影； 曲线：和：，点在上，点在上，证明： (1)若，则有且仅有一点Q，使得Q是P在上的主射影； (2)若； （i）在第二象限内，不存在使得Q是P在上的主射影的点Q； （ii）有且仅有一点Q，使得Q是P在上的主射影，且直线的斜率随b的增大而增大. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B B A A C D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）由题意.所以数列，其前项和为. 当时，；（1分） 当时，.（3分）时，上式亦成立. 所以，. （2），（6分） 所以.（13分） 16．（15分） 【答案】(1)（i）；（ⅱ），7.5 (2)答案见解析 【详解】（1）（i）根据表格中的数据，可得，解得.（1分） （ⅱ），，（3分） 所以.故所求经验回归方程为，（4分） 当时，， 所以当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5；（5分） （2）该考生通过甲高校的考试科目数为X，则，（7分） 则. 设该考生通过乙高校的考试科目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，（8分） ， ， ， ， 所以，（10分） 当时，此时，得， 当时，此时，又，得，（11分） 当时，此时，又，得，（12分） 所以，当时，该考生报考甲高校或乙高校都可以；（13分） 当时，该考生更应报考甲高校； 当时，该考生更应报考乙高校.（15分） 17．（15分） 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2) 【详解】（1）（ⅰ）在中，，，所以. 因为，，所以， 所以. 又因为，平面，， 所以平面. （ⅱ）.（4分） （2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为，则，，，.（6分） 所以.平面的法向量为. 设直线与平面所成角为，则.（8分） 设， 设，（10分） 所以，（当且仅当，即时取等号），即.（14分） 直线与平面所成角的正弦值的最大值为.（15分） 18．（17分）已知圆为原点，为圆上的动点，，点的轨迹为曲线，过点作点作圆的切线交曲线于A、B两点，过点作圆异于的切线交曲线于另一点，过点作圆异于的切线交轨迹于另一点． (1)求点的轨迹曲线的方程； (2)当斜率都存在时，求的斜率之积； (3)求四边形ABCD面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设点，则由得，即，， 又在圆上，故，即， 化简得，即为轨迹的方程．（4分） （2）设的斜率分别为， 由点在轨迹上得，即，① 设的方程为，由过点得，② 由与圆相切得点到的距离为，即，即，③ 将②代入③得，即， 同理， 为方程的两根， 即的斜率之积为．（8分） （3）当斜率都存在时，将的方程代入， 整理得， 故，（9分） ， ，（17分） 即，同理可得，即A、O、C共线，B、O、D也共线， 由对称性可知四边形ABCD为菱形， 接下来有两种解法可供选择： 解法1: ， 由于，即函数值域为，则， ， ，故． 当其中一个斜率不存在或者为0时，由对称性可知为等腰直角三角形， 此时的菱形ABCD为正方形，其面积为8， 综上所述，四边形ABCD面积的取值范围是． 解法2：由及等面积法得，及， 变形得， ，即， （当且仅当时等号成立） 即．又由于，由柯西不等式得 ，（当且仅当时等号成立） 即，即， ，故． 19．（17分） 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 设，时，单调递增， ，时，，可知： 存在唯一的，使，即有且仅有一点，使得是在上的主射影（4分） （2）（ⅰ）只要证明在没有零点 时，若，则 时，若，则，在无极值点（6分） （ii），可以视为的二次函数， 时，单调递增，而时，，可知有唯一零点， 时，有极小值点， 另一方面：存在，使得，由（i）可知， 注意到：，即， 而，，（8分） 可知在单调递增，有且仅有一个零点， 综上，就证明了在曲线上存在唯一一点Q，使得Q是P在上的主射影；（10分） 设对于每个，有，则，即， 可知，要证明直线的斜率随的增大而增大，只要证明a随b的增大而增大， 设，适合条件，，， 记，（12分） ，而， 也就是， 可知在单调递增，于是，（16分） 这样就证明了：a，b的对应关系是一一对应的，同时a随b的增大而增大.（17分） 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $