专题19 三角恒等变换 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角恒等变换高考核心考点，系统整合两角和差公式、二倍角公式、降次公式及辅助角公式，构建“公式梳理-题型突破-方法总结”的知识网络。通过考点分类讲解、典型例题示范、近三年新课标真题训练等环节，帮助学生突破公式逆用、角的变换等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“数学思维”培养为核心，创新采用“公式逆用与变形训练”“角的拆配技巧归纳”等教学策略，如在角的变换题型中总结“α=(α+β)-β”等拆角方法，结合辅助角公式化简的步骤化指导，提升学生运算推理能力。设置分层练习与真题即时反馈，确保高效突破重点，为教师把控复习节奏、学生提升应考能力提供有力支持。

专题19三角恒等变换 知识点一：两角和与差的正余弦与正切 ①sin(a±β)=sina cos B±cosa sinβ； ②cos(a±β)=cosa cos B干sina sin阝； ③tan(a±β)= tana±tanB 变形tano±tanB=tan(a±B)1千tana tan B) 1年tan a tanβ 知识点二：二倍角公式 ①sin2a=2 sina cosa; 2 cos 2a cos2 a-sin2 a =2cos2 a-1=1-2sin2a 2tan d ③tan2a= 1-tan2a 知识点三：降次（幂）公式 sina cosa=sin2;sin1-cos2a 2 -;cos2a=1+cos2a 2 2 知识点四：辅助角公式 asina+bcosa=Va2+b2sim(a+p)(其中sinp= b Va+cosp= 0 【典型例题】 题型一：两角和与差的三角函数公式 【例1-H川（①）已知sina=号cosB=-昌a,B均为第二象限角.则 cos(a-β= sin(a+)= (2)(2024年新课标I卷)已知cos(a+)=m,tana tan B=2,则cos(a-B)=(） A.-3m B c.3 D.3m 【例12】(224年全国甲卷)已知in5,则tama+） cosa A.2W3+1 B.23-1 c.3 D.1-3 2 1 【变式1-1】(2023年新课标1卷)已知sin(a-B)= 5 .cosa sin=名则cosl2a+20)={） A 1 B·9 1 C.-9 D 【变式12】(2023年新课标川卷)已知a为锐角，c0sa-1+ ,则sing=（） 4 2 A.3-V5 B.1+5 C.3-5 D.-1+5 8 8 4 4 题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式 【例2-1】求下列各式的值 (1)1+nu5 1-tan15 (2)sin35cos25°+sin55°cos65°， (3)cos28°cos73°+cos62cos17°. 【例2-2】化简： (1)sinx-3 cosx: (2)是cosx-与sinx: (3)V3sin号+cos晓： 4号sn年-刘+9co-x 方法总结 1.运用两角和与差的三角函数公式时，不仅要熟练、准确，还要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变 形应用不仅能开拓思路，而且能提高从正向思维向逆向思维转化的能力 2 2.在化简asinx十bcoSx时，要清楚如何求辅助角p的值， 题型三：角的变换问题 【例3】(1)已知0<&<受<B<T,cosB=-青，sin(a+)=日，则sina= (2)已知tan(a&+)=号，tan(B-)=音，则tan(等+ca= 方法总结 常用的拆角、配角技巧 (1)2a=(a+B)+(-B) (2)a=(a+B)-B=(c-)+B: 3)B=9-=(a+2p)-(a+ (4)a-B=(a-y+(y-B).晋+&=号-（晋- 积化和差公式 sin·cosB=sin(a+)+sim(a-β] cosa.sinB=sin a+B)-sin(a-B) cos·cosB=[cos(a+)+cos(a-β sina·sinB=-[cos(a+β)-co(a-β) 【例4(2023年新课标1卷)已知sin(a-B)= =3.cosa sin B=1 6则cos2a+2p)=（）. A. B. 9 D. 3 专题19三角恒等变换 例11【解析】(1)因为sina=号·cosB=一是&，B均为第二象限角， 所以cosa=--（)-务8=h-（-}=青 所以cos(a-B)=cosacos+-sinasinB=-器 sin(a+B)=sinacos+cosasin=- (2)因为cosa+B)=m,所以cosa cos B-sina sin B=m, 而tan a tan B=2,所以sina sin B=2 cosa cos B, 故cosa cos阝-2 cosa cos B=m即c0sac0s阝=-m, 从而sina sin B=-2m,故cosa-B)=-3m,故选：A 例1-2【解析】因为cosa cosa-sina 所以、1 √3 1-tan o -=√5，→tana=1- 3 所以ana+=ana+=2V5-l,故选：B +4=1-tand 变式11【解行l因为sa-p)-i-i号面cin-名因此n号 1 sin(a+B)=sina cos B+cosa sin B F议cos(2a+20)=cos2a+B)=1-2sin2(a+B)=1-2x=。故选： 变式12【解析】因为cosa=1-2sin2g-1+5 24 而a为锐角 解得： sin -5 5- √5-1.故选：D. 16 4 例2-1【解析】(1) 1+tan15 1-tan15 -an45=tan45+159=tan60°=V5 tan45'+tan15' 62)5n35cos25°+sih5'cos65°=sin35cos25°+c0s353tn25°=sin35'+25=sn60°=9 (3)cos2 2co7g°+c0s62c0s17r=cos28cos73°+sin28sin73°=cog7g°-29=cos45°-号 创2-2【解折1（q①sinx-V5cosx=2月sinx-号CO=2six-青) 2号cosx-号snx=VF（9cosx-a5inN=5sm月- （3)V5sin号+cos-29sn+cos-2sin佳+ 4导sn手-+9c专-=号n传-+号o年-=号sn3- 例3【解析】(1)由于0<a<号<B<元，c0sB=-青.故sin8=1-（-割-29 由 号<a+B<要， sin(a+同-号故coa+-=-h-图--9 则 sina=sml(a+B-月=sin(a+cosB-cos(a+sing=号×(-)-(（-9x9= 2) :罩+a=(a+)-(B-) tar臣+=are+可-e-= 閤詩是 例4【解析l由积化和差公式，可得cosasinB=sim(a+B)-sin(a-B刃 即吉=sin(ca+)-】解得sin(a+)=号， 所以cos(2&+20)=1-2sin{a+B)=1-2×号=青故选B 5