精品解析：江西省九江市永修县第三中学2025--2026学年上学期七年级数学 质量检测试卷（二）

2025-2026学年度上学期阶段（二）质量评估试卷 八年级 数学 考生须知： 1、全卷满分120分，考试时间120分钟； 2、试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3、请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比。选项A是分数，B和D是整数，均为有理数；选项C是5的平方根，5不是完全平方数，故为无理数。 【详解】∵ A. 是分数，属于有理数； B. ，是整数，属于有理数； C. ，5不是完全平方数，故为无理数； D. ，是整数，属于有理数。 ∴ 无理数是C。 2. 平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点所在的象限，根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，其中第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵第四象限的点需满足，， ∴A、，，在第四象限，符合题意； B、，，不在第四象限，不符合题意； C、，，不在第四象限，不符合题意； D、，，不在第四象限，不符合题意． 故选：A． 3. 下列各组数中，是方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把各项中与的值代入方程检验即可． 【详解】解：A.将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； B. 将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； C. 将代入得，，该选项是方程的解，符合题意； D. 将代入得，，该选项不是方程的解，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，点在数轴上表示的数为，过点作数轴的垂线段，且，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，数轴与实数，根据勾股定理计算即可，掌握勾股定理，数轴与实数的关系是解题的关键． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 故选：． 5. 关于一次函数，下列表述不正确的是（ ） A. 把一次函数图象向下平移3个单位长度，可得到函数； B. 函数图象经过一、二、四象限； C. 图象与两坐标轴围成的三角形面积为9； D. 函数随增大而减小． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及一次函数的性质，根据所给一次函数解析式，结合一次函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度后，所得函数为，故A选项不符合题意． 因为一次函数与y轴的交点坐标为，且y随x的增大而减小， 所以此函数的图象经过第一、二、四象限，故B选项不符合题意． 因为一次函数与坐标轴的交点坐标为和， 则图象与两坐标轴围成的三角形面积为：，故C选项符合题意． 因为一次函数中y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：C． 6. 勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（ ） A. 3 种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查二元一次方程的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键． 设购买笔的数量为x，本子的数量为y，根据题意列出方程，其中x和y均为正整数，然后求解即可． 【详解】解：设购买笔的数量为x，本子的数量为y， ∵ 总价30元，笔单价3元，本子单价2元， ∴ ，x、y为正整数， ∴为整数， ∴ 为偶数，故x为偶数， ∵购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品， ∴ x的取值范围为且x为偶数， 当时，； 时，； 时，； 时，； ∴共有4种购买方案， 故选：B． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】，一个无理数a与的积是有理数，那么即可判断a与是同类二次根式，即可写出a的值，答案不唯一． 【详解】解：∵， ∴由题意得一个无理数a与的积是有理数， ∴a与是同类二次根式，答案不唯一． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质，解题的关键是掌握有理数和无理数的基本定义以及同类二次根式的积为有理数即可． 8. 已知点与点关于轴对称，则的结果为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，已知字母的值求代数式的值．根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：3 9. 如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列二元一次方程组，解题关键是要读懂题干配图．根据题意和图，找出合适的等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：由题意和图可得， ． 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1） ∴关于x，y的方程组的解是 故答案为． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 11. 一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，读懂题意是解题的关键．根据树的高度随月份增加而增长，初始高度为，每月增长，即可列出关系式． 【详解】解：树现在高，每月长高， 个月后增长的高度为， 因此总高度为：． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，点在一次函数 的图象上，则当为直角三角形时，点的坐标是___________． 【答案】(0，0)或(2，2)或(-2，-2) 【解析】 【分析】作出图形，分别以A、B、P为直角顶点三种情况讨论，利用勾股定理即可求解． 【详解】令，则，令，则， ∴A(，0)，B(，4)， ∵点P在一次函数 的图象上， ∴设点的坐标为(x，x)， =， ， =， ①当∠ABP=90时， 根据勾股定理得：，即， 解得： ∴点的坐标为(2，2)； ②当∠BAP=90时， 根据勾股定理得：，即， 解得： ∴点的坐标为(-2，-2)； ③当∠APB=90时，此时点P与点O重合， ∴点的坐标为(0，0)； 综上，点的坐标为(0，0)或(2，2)或(-2，-2)． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，采用了分类讨论的思想，与方程相结合是解决问题的关键． 三．解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，解二元一次方程组，掌握实数的混合运算法则，解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键． （1）先计算立方根和算术平方根及绝对值，再进行加减计算即可； （2）根据代入消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：∵， ∴把代入，得， ∴， 解得， 则， 方程组的解为． 14. 已知y是关于x的正比例函数，当时，． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若点是该函数图象上的一点，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义与性质，待定系数法求解析式； （1）设正比例函数的解析式为：，将点代入解析式即可求解； （2）将点代入（1）中解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：设正比例函数的解析式为：， 将点代入解析式可得：， 解得：， y关于x的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：把点代入得：， 解得：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）在平面直角坐标系中画出关于轴对称的； 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了网格中的图形的轴对称，关于坐标轴对称时点的坐标变化规律，解题的关键是正确的画出图形． （1）先描出点，点点，，再依次连接即可； （2）根据轴对称的性质，画出轴对称图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知a，b为两个连续的正整数，且，c是的小数部分． （1）______，______，=______． （2）求的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确的估算无理数的大小是解题的关键； （1）先估算出的取值范围，求得a、b的值，估算的范围，得出的值； （2）将（1）中的值代入进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：∵， ∴ 17. 某公司组织员工去三星堆参观，现有，两种客车可以租用．已知辆客车和辆客车可以坐人，辆客车和辆客车坐的人数一样多．求，两种客车分别可坐多少人？ 【答案】种客车可坐人，种客车可坐人 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组解决问题．先设种客车可坐人，种客车可坐人，再根据题意，得，最后解方程组即可． 【详解】解：设种客车可坐人，种客车可坐人， 根据题意，得， 解得：． 答：种客车可坐人，种客车可坐人． 四．解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，是边上一点，连接，已知，，． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求的长． 【答案】（1）是直角三角形，理由见解答 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，从而可得，然后利用平角定义可得，即可解答； （2）设，则，然后在中，利用勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 解：是直角三角形， 理由：在中，．，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 是直角三角形； 【小问2详解】 解：设，则， ， ， 在中，， ， ， 即． 19. 某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． （1）分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式； （2）某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】（1） （2）选择方案二更优惠， 当时，， ． ， 选择方案二更优惠． 【解析】 【分析】本题考查了函数的表达式，函数值的计算与比较，熟练掌握函数的表达式，求函数值是解题的关键 （1）方案一每人打九折，直接计算总费用；方案二前10人原价，超过部分打八折，分段计算后合并． （2）代入计算两种方案的总费用，比较大小后得出结论． 【小问1详解】 解：票价为150元/张，方案一：每人票价打九折，此时单价为元， 故； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，此时费用为元，超过10人的部分的费用为， 总费用为：． 【小问2详解】 略 20. 在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题． 【类比观察】（1）求下列方程组的解 方程组的解为：________； 方程组的解为：________； 【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________； 【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】（1）；；（2）相同；相同；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法． （1）用加减消元法求出方程组的解即可； （2）根据方程组的解得出规律即可； （3）根据解析（2）得出的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； ， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； （2）两个方程组的未知数的系数相同；两个方程组的解相同； （3）∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足：， 解得：； 五．解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． ()设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； ()过作，垂足为，证明四边形为长方形，得出，由勾股定理得，即可得解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． 【小问2详解】 过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退． 22. 已知两地之间有一条长的高速公路．甲、乙两车分别从两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． （1）________，________； （2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； （3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【答案】（1）2，5 （2） （3）甲车距A地的路程为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键． （1）先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出m的值，再用m的值加3即可得n的值； （2）由（1）得和，再运用待定系数法求解即可； （3）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论． 【小问1详解】 解：根据题意得，（时） （时） 故答案为：2，5； 【小问2详解】 由（1）得和， 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 则有：， 解得， 甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式 【小问3详解】 甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为千米， ∴乙车的速度为：（千米/时） ∴乙车行完全程用时为： （时） ∵ ∴当时，千米， 即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为千米． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】： （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点． ①求点A和点B的坐标，并计算的长度． ②是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，求的最小值． 【模型拓展】： （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点．将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线对应的函数表达式． 【答案】（1）①；②；（2） 【解析】 【分析】（1）①一次函数，令求得点B的坐标；令求得点A的坐标，再根据两点之间的距离公式计算即可． ②点到直线的距离最短为垂线，根据垂直求得，结合证得，得到，利用勾股定理即可求得的长； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； 【详解】解：（1）①对于， 当时，， 令时，，则， 即，， ∴； ②因为A是定点，当时，有最小值，如图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的最小值为． （2）过B作交直线l于C，过C作轴于D， 则， ∴， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转得到直线l， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴，， 当时，，当时，由得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线l对应的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线l对应的函数表达式为； 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理和旋转的性质，了解一次函数的性质和旋转性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期阶段（二）质量评估试卷 八年级 数学 考生须知： 1、全卷满分120分，考试时间120分钟； 2、试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3、请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，是方程的解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点在数轴上表示的数为，过点作数轴的垂线段，且，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 5. 关于一次函数，下列表述不正确的是（ ） A. 把一次函数图象向下平移3个单位长度，可得到函数； B. 函数图象经过一、二、四象限； C. 图象与两坐标轴围成的三角形面积为9； D. 函数随增大而减小． 6. 勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（ ） A. 3 种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是______． 8. 已知点与点关于轴对称，则的结果为_______． 9. 如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为______． 10. 在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是________． 11. 一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为_______． 12. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，，点在一次函数 的图象上，则当为直角三角形时，点的坐标是___________． 三．解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2） 14. 已知y是关于x的正比例函数，当时，． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若点是该函数图象上的一点，求a的值． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）在平面直角坐标系中画出关于轴对称的； 16. 已知a，b为两个连续的正整数，且，c是的小数部分． （1）______，______，=______． （2）求的值． 17. 某公司组织员工去三星堆参观，现有，两种客车可以租用．已知辆客车和辆客车可以坐人，辆客车和辆客车坐的人数一样多．求，两种客车分别可坐多少人？ 四．解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，是边上一点，连接，已知，，． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求的长． 19. 某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案： 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． （1）分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式； （2）某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 20. 在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题． 【类比观察】（1）求下列方程组的解 方程组的解为：________； 方程组的解为：________； 【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________； 【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 五．解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 22. 已知两地之间有一条长的高速公路．甲、乙两车分别从两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． （1）________，________； （2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； （3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】： （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点． ①求点A和点B的坐标，并计算的长度． ②是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，求的最小值． 【模型拓展】： （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点．将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线对应的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $