24.4一元二次方程的应用（基础篇）练习2025-2026学年冀教版数学九年级上册

24.4一元二次方程的应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1. 审题：仔细阅读题目，明确题意，找出已知量和未知量，以及它们之间的关系。 2. 设元：选择一个合适的未知量用字母表示（如(x)），必要时设出辅助未知数。 3. 列方程：根据题目中的等量关系，列出一元二次方程。 4. 解方程：求出所列方程的解。 5. 检验：检验方程的解是否符合题意（包括是否为原方程的解以及是否符合实际意义）。 6. 作答：写出完整的答案。 二、常见实际应用类型及等量关系 1. 增长率（下降率）问题 · 基本公式：若基数为(a)，平均增长率为(x)，经过(n)次增长后，结果为(b)，则： （若为下降率，则公式为：） · 示例：某工厂去年的利润为(100)万元，今年比去年增长了(x)，预计明年的增长率在今年的基础上再提高(2%)，若明年利润为(121)万元，可列方程：。 2. 面积问题 · 核心思路：根据图形面积公式（如长方形面积=长×宽，正方形面积=边长²，圆面积等），结合题目中图形的变化（如拼接、裁剪、扩建等），找出等量关系。 · 示例：一个长方形花坛，长比宽多(3m)，如果将长和宽都增加(2m)，则面积增加，设宽为(x m)，可列方程：。 3. 利润问题 · 基本公式： ① 总利润=单个利润×销售量； ② 单个利润=售价 - 成本价； ③ 销售量往往与售价相关（如售价提高，销售量降低）。 · 示例：某商品进价为(20)元/件，售价为(30)元/件时，每天可售出(100)件，若售价每上涨(1)元，销售量减少(5)件，设售价上涨(x)元，每天总利润为(y)元，则，若求最大利润，可将方程化为顶点式求解。 4. 数字问题 · 表示方法：若一个两位数，十位数字为(a)，个位数字为(b)，则这个两位数可表示为(10a + b)；同理，三位数为(100a + 10b + c)。 · 示例：一个两位数，两个数字之和为(12)，交换十位与个位数字后，新数比原数大(18)，设原数个位数字为(x)，则十位数字为(12 - x)，原数为(10(12 - x) + x)，新数为(10x + (12 - x))，可列方程：。 5. 行程问题（特殊类型） · 适用场景：涉及“相遇后相距”“追及后相距”或“往返运动”中与二次方程相关的问题（较少见，需结合具体情境）。 · 示例：甲、乙两车分别从(A)、(B)两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为(60km/h)，乙车速度为(40km/h)，(A)、(B)两地相距(200km)，两车出发后(t)小时相距(50km)，可列方程：（相遇前相距）或（相遇后相距）。 三、注意事项 1. 单位统一：在设元、列方程时，确保所有量的单位一致（如长度单位均用(m)或(cm)，时间单位均用(h)或(min)等）。 2. 解的合理性：解出方程后，需检验解是否为正数（如长度、时间、数量等不能为负数），是否符合实际情境（如人数为整数）。 3. 等量关系的准确性：仔细分析题目中的关键词（如“增加到”“增加了”“比……多”“是……的几倍”等），避免因理解偏差导致等量关系错误。 型 习 练 题 传播问题 1．实验中学数学“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，在第二轮传染中新增210人感染“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（   ） A． B． C． D． 3．有一人患流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感．如果不及时控制，第三轮传染后的患病总人数为（    ） A．216人 B．226人 C．236人 D．246人 4．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 5．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 增长率问题 6．开春以来，某楼盘为了促销，对商品房连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为a元/平方米，原价为b元/平方米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．自“千年窑火•建窑建盏”传统柴烧龙窑开窑节创办以来，建盏销售额屡创新高，第一季度销售额达90万元，三个季度销售额一共327.6万元．设平均每季度销售额的增长率为x，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 8．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（    ） A． B． C． D． 9．某新能源企业今年第一季度生产钠离子电池的成本是520万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度生产钠离子电池的成本是390万元，设该企业每个季度相比上季度生产钠离子电池成本的平均下降率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．今年10月25日是首个法定的台湾光复纪念日．数据显示，2023年大陆赴台游客为22.6万人次，预计2025年全年将达到165万人次．设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则下列方程中，能刻画这一情境中的等量关系的是（    ） A． B． C． D． 数字问题 11．如图是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（    ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上这个数的相反数，再加2，运算结果等于这个数的两倍．深度思考中… A．2 B．2或1 C． D．2或 12．若两个相邻正偶数的积是，则这两个正偶数的和为（   ） A． B． C． D． 13．两个连续奇数的积是.下列的各数中，是这两个数中的一个的是（   ） A． B．5 C．17 D． 14．五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数．小星设这五个连续整数中第一个数为，根据题意列出关于的一元二次方程为，并列表如下： … … 则这五个数中，第一个数是（    ） A． B． C．或 D． 15．若某三个连续偶数的平方和等于56，则这三个数是(    ) A．2、4、6 B．4、6、8 C．、、或2、4、6 D．、、或4、6、8 营销问题 16．文明交通从“头”做起，幸“盔”有你．某商店购进了一批某品牌头盔，该品牌头盔每个的成本为30元，经市场调研发现，当每个头盔的售价为40元时，月销售量为300个，在此基础上，每个头盔的售价每上涨1元，则月销售量减少10个．若既要销售此品牌头盔的月利润刚好达到3840元，又要尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个的售价应上涨多少元？ 17．某水果商场经销一种高档水果，10月份销售600千克，12月份销售726千克．且10月到12月销售量的月增长率相同． (1)求该高档水果销售量的月增长率． (2)如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，出售价格每涨价0.2元，日销售量将减少4千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 18．第31届世界大学生运动会在成都举办，某网上经销商在第一季度电商节期间推出吉祥物“蓉宝”公仔．该公仔每件的进价为30元，第一季度经调查发现：公仔每件的售价为50元时，该季度共卖出256件，第二季度、第三季度销量持续增长，结果第三季度共卖出了400件． (1)请求出第二季度、第三季度销量的平均增长率是多少？ (2)第四季度开始，为了回馈体育迷，经销商决定在卖出400件的基础上进行降价销售．已知公仔的单价每降低1元，便可多卖出5件．如果该经销商仍想获利4500元，那么每件公仔应降价多少元？ 19．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 20．2025年世运会将在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 工程问题 21．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 22．列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 23．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 24．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 25．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 行程问题 26．一辆正以8米/秒的速度沿直线行驶汽车，突然速度每秒增加1米/秒． (1)汽车行驶5秒时的速度为______米/秒． (2)求汽车行驶了18米时的速度． (3)当汽车行驶了x秒，行驶的距离为y米时，直接写出y关于x的函数解析式． （提示：距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 27．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 28．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 29．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 30．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 图表信息题 31．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 32．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 33．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 34．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 35．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 其他问题 36．芯片目前是全球紧缺资源，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线．开工第一季度生产万个，第三季度生产万个．试回答下列问题： (1)求前三季度生产量的平均增长率． (2)经调查发现，1条生产线最大产能是万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 37．高邮是一座历史悠久，文化底蕴深厚的国家历史文化名城，拥有独特的非物质文化遗产，文化名人辈出．某公司组织一批员工到高邮游玩，支付给旅行社29250元．该旅行社的收费标准如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元 求该公司参加旅游的员工人数． 38．某校组织学生到一片荒地上进行植树活动，原计划植树8行10列，后来增加了40棵树，为了美观起见，要求增加的行数、列数相同．请问增加了多少行？ 39．已知，分别求出满足下列条件的的值： (1)与的值互为相反数； (2)的值比的值大3． 40．某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音乐节奏动态调整．在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵．当音乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵．该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4．求此次参加表演的机器人的总个数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.4一元二次方程的应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1. 审题：仔细阅读题目，明确题意，找出已知量和未知量，以及它们之间的关系。 2. 设元：选择一个合适的未知量用字母表示（如(x)），必要时设出辅助未知数。 3. 列方程：根据题目中的等量关系，列出一元二次方程。 4. 解方程：求出所列方程的解。 5. 检验：检验方程的解是否符合题意（包括是否为原方程的解以及是否符合实际意义）。 6. 作答：写出完整的答案。 二、常见实际应用类型及等量关系 1. 增长率（下降率）问题 · 基本公式：若基数为(a)，平均增长率为(x)，经过(n)次增长后，结果为(b)，则： （若为下降率，则公式为：） · 示例：某工厂去年的利润为(100)万元，今年比去年增长了(x)，预计明年的增长率在今年的基础上再提高(2%)，若明年利润为(121)万元，可列方程：。 2. 面积问题 · 核心思路：根据图形面积公式（如长方形面积=长×宽，正方形面积=边长²，圆面积等），结合题目中图形的变化（如拼接、裁剪、扩建等），找出等量关系。 · 示例：一个长方形花坛，长比宽多(3m)，如果将长和宽都增加(2m)，则面积增加，设宽为(x m)，可列方程：。 3. 利润问题 · 基本公式： ① 总利润=单个利润×销售量； ② 单个利润=售价 - 成本价； ③ 销售量往往与售价相关（如售价提高，销售量降低）。 · 示例：某商品进价为(20)元/件，售价为(30)元/件时，每天可售出(100)件，若售价每上涨(1)元，销售量减少(5)件，设售价上涨(x)元，每天总利润为(y)元，则，若求最大利润，可将方程化为顶点式求解。 4. 数字问题 · 表示方法：若一个两位数，十位数字为(a)，个位数字为(b)，则这个两位数可表示为(10a + b)；同理，三位数为(100a + 10b + c)。 · 示例：一个两位数，两个数字之和为(12)，交换十位与个位数字后，新数比原数大(18)，设原数个位数字为(x)，则十位数字为(12 - x)，原数为(10(12 - x) + x)，新数为(10x + (12 - x))，可列方程：。 5. 行程问题（特殊类型） · 适用场景：涉及“相遇后相距”“追及后相距”或“往返运动”中与二次方程相关的问题（较少见，需结合具体情境）。 · 示例：甲、乙两车分别从(A)、(B)两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为(60km/h)，乙车速度为(40km/h)，(A)、(B)两地相距(200km)，两车出发后(t)小时相距(50km)，可列方程：（相遇前相距）或（相遇后相距）。 三、注意事项 1. 单位统一：在设元、列方程时，确保所有量的单位一致（如长度单位均用(m)或(cm)，时间单位均用(h)或(min)等）。 2. 解的合理性：解出方程后，需检验解是否为正数（如长度、时间、数量等不能为负数），是否符合实际情境（如人数为整数）。 3. 等量关系的准确性：仔细分析题目中的关键词（如“增加到”“增加了”“比……多”“是……的几倍”等），避免因理解偏差导致等量关系错误。 型 习 练 题 传播问题 1．实验中学数学“研学”活动小组在一次野外实践时发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是得出量与量之间的等量关系，建立一元二次方程，设每个支干长出的小分支个数为，根据主干、支干和小分支的总数为57，列出方程求解． 【详解】解：设每个支干长出的小分支个数为． ∵ 主干1个，支干个，小分支个， ∴， 即， 解得（舍去）， ∴ 小分支个数为7， 故选：B． 2．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，在第二轮传染中新增210人感染“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． 设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，第二轮新增感染者数由第一轮后的感染者数乘以传染人数x得到，即，且等于210，因此直接列出方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人． 初始感染者数为1， 第一轮后感染者总数为， 第二轮新增感染者数为， ∵ 第二轮新增210人感染， ∴． 故选：D． 3．有一人患流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感．如果不及时控制，第三轮传染后的患病总人数为（    ） A．216人 B．226人 C．236人 D．246人 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每轮传染中平均每人传染x人，根据两轮传染后总人数为36人，列出方程求解x，再计算第三轮新传染人数，加上原有人数得到总人数，即可作答． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x人， ∵初始1人患流感， ∴第一轮后患病人数为人，第二轮后患病人数为人， 依题意，得， 解得或（舍去）， ∵两轮后患病人数为36人， ∴第三轮新传染人数为：（人）， 故选：A． 4．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． 初始1人患流感，每轮传染中平均一人传染x人，则第一轮后总人数为，第二轮后总人数为，然后根据两轮后共有81个人患了流感列方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， ∵初始患病人数为1， ∴第一轮传染后，总患病人数为， 第二轮传染时，有人每人传染x人， ∴新传染人数为， ∴第二轮后总患病人数为． 故选：B． 5．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 根据流感传染模型，起始1人患病，每轮传染中每人传染x人，两轮后总患病人数为，据此列方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染x人，根据题意得， ∵ 起始患病人数为1， 第一轮后患病人数为：， 第二轮后患病人数为：， 又∵ 两轮后总患病人数为49， ∴ ， 故选：B． 增长率问题 6．开春以来，某楼盘为了促销，对商品房连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为a元/平方米，原价为b元/平方米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，平均增长率问题，解题的关键是明确原价、降价百分数与降价后价格的关系．根据价降的百分率求出两次降价后的价格，进而列出方程． 【详解】解：原价为b，第一次降价后价格为，第二次降价后价格为， ∵降价后价格为a， ∴， 故选：D． 7．自“千年窑火•建窑建盏”传统柴烧龙窑开窑节创办以来，建盏销售额屡创新高，第一季度销售额达90万元，三个季度销售额一共327.6万元．设平均每季度销售额的增长率为x，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（增长率问题），解题的关键是根据各季度销售额的关系列出方程． 先分别表示出第二季度和第三季度的销售额，再根据三个季度销售额之和为327.6万元列出方程． 【详解】解：已知第一季度销售额为90万元，平均每季销售额的增长率为， 第二季度销售额是在第一季度基础上增长的，所以第二季度销售额为万元， 第三季度销售额是在第二季度基础上增长的，所以第三季度销售额为万元， 因为三个季度销售额一共327.6万元，所以可列方程：． 故选：D． 8．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题． 根据一月份的营业额，计算二月份和三月份的营业额，利用第一季度总营业额列方程即可． 【详解】解：一月份营业额为200万元， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， ∴第一季度总营业额为． 故选：D． 9．某新能源企业今年第一季度生产钠离子电池的成本是520万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度生产钠离子电池的成本是390万元，设该企业每个季度相比上季度生产钠离子电池成本的平均下降率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 根据平均下降率x，从第一季度到第三季度经过两个季度下降，成本按倍变化，再列式求解即可． 【详解】设平均下降率为x， ∵ 第一季度成本为520万元， 第三季度成本为390万元， 且从第一季度到第三季度经过两个季度下降， ∴ 第三季度成本=第一季度成本， 即． 故选：B． 10．今年10月25日是首个法定的台湾光复纪念日．数据显示，2023年大陆赴台游客为22.6万人次，预计2025年全年将达到165万人次．设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则下列方程中，能刻画这一情境中的等量关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均增长率问题，根据平均增长率的定义，每年增长比率相同，故两年后数量为初始值乘以的平方，由此列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则2024年游客人次为万人次，2025年游客人次为万人次， ∵2025年预计为165万人次， ∴， 故选：A． 数字问题 11．如图是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（    ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上这个数的相反数，再加2，运算结果等于这个数的两倍．深度思考中… A．2 B．2或1 C． D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， 根据题意列出方程，化简后求解一元二次方程，即可解题． 【详解】解：设这个数为 ，依题意得： ， 去括号得：， 移项得：， 因式分解得：， ∴ 或 ， 即：这个数是1或． 故选：B． 12．若两个相邻正偶数的积是，则这两个正偶数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字问题(一元二次方程的应用)，设较小的正偶数为，则较大的为，根据积为列出方程，解一元二次方程求出，再计算两数之和； 【详解】解：设较小的正偶数为，则较大的为， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴ 两个正偶数为和， ∴ 和为； 故选：B 13．两个连续奇数的积是.下列的各数中，是这两个数中的一个的是（   ） A． B．5 C．17 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字问题(一元二次方程的应用)，设两个连续奇数为和，则，据此即可求解． 【详解】解：设两个连续奇数为和，   ∴ ，   即 ∴或 ； 当时，奇数为和；   当时，奇数为和； 故选：C． 14．五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数．小星设这五个连续整数中第一个数为，根据题意列出关于的一元二次方程为，并列表如下： … … 则这五个数中，第一个数是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，灵活运用连续整数的表示方法与方程求解思路是解题的关键．通过设第一个连续整数为，表示出其余四个数，再根据 “前三个数的平方和等于后两个数的平方和” 这一条件列出方程，结合表格分析方程的解，进而求出这五个连续整数的第一个数． 【详解】设五个连续整数为，，，，， 前三个数的平方和等于后两个数的平方和， ， 展开得： 左边：， 右边：， ， 移项得：， 与小星方程对比，得， ， ， ，， 由表格数据，当或时，，且验证两组数均满足题意， 第一个数为或． 故选：． 15．若某三个连续偶数的平方和等于56，则这三个数是(    ) A．2、4、6 B．4、6、8 C．、、或2、4、6 D．、、或4、6、8 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，未知数表示出这三个连续偶数列出方程是解题的关键．设三个连续偶数中的中间一个为x，则其他两个偶数为、，然后根据它们的平方和等于56列出方程，解之即可． 【详解】解：设三个连续偶数中的中间一个为x，则其他两个偶数为、， 根据题意可得， 解得， ∴这三个数分别为、、或2、4、6． 故选：C． 营销问题 16．文明交通从“头”做起，幸“盔”有你．某商店购进了一批某品牌头盔，该品牌头盔每个的成本为30元，经市场调研发现，当每个头盔的售价为40元时，月销售量为300个，在此基础上，每个头盔的售价每上涨1元，则月销售量减少10个．若既要销售此品牌头盔的月利润刚好达到3840元，又要尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个的售价应上涨多少元？ 【答案】6元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，通过设上涨金额为未知数，根据利润和销售量的关系列出方程，求解后根据题意选择上涨金额较小的解，以尽可能让顾客得到实惠． 【详解】解：设该品牌头盔每个的售价应上涨元． 由题意，得， 化简方程． 解得或． ∵要尽可能让顾客得到实惠，即上涨金额较小， ∴取． 答：该品牌头盔每个的售价应上涨6元． 17．某水果商场经销一种高档水果，10月份销售600千克，12月份销售726千克．且10月到12月销售量的月增长率相同． (1)求该高档水果销售量的月增长率． (2)如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，出售价格每涨价0.2元，日销售量将减少4千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)月增长率为 ． (2)每千克应涨价5元． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）通过设月增长率为 ，根据10月和12月的销售量关系列出方程求解； （2）设每千克涨价 元，根据每天盈利6000元列出方程，并选择使顾客实惠的较小解． 【详解】（1）解：设月增长率为 ． ∵10月销售600千克，12月销售726千克， ∴． 化简得， ∴（舍去负根）， ∴，即月增长率为10%． （2）解：设每千克涨价元．每千克盈利为元， 日销售量为千克， 每天盈利为． 展开得， 整理得， 两边除以得， 解得， ∴或． 要使顾客实惠，取． 答：每千克应涨价5元． 18．第31届世界大学生运动会在成都举办，某网上经销商在第一季度电商节期间推出吉祥物“蓉宝”公仔．该公仔每件的进价为30元，第一季度经调查发现：公仔每件的售价为50元时，该季度共卖出256件，第二季度、第三季度销量持续增长，结果第三季度共卖出了400件． (1)请求出第二季度、第三季度销量的平均增长率是多少？ (2)第四季度开始，为了回馈体育迷，经销商决定在卖出400件的基础上进行降价销售．已知公仔的单价每降低1元，便可多卖出5件．如果该经销商仍想获利4500元，那么每件公仔应降价多少元？ 【答案】(1) (2)10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设第二季度、第三季度销量的平均增长率为x，根据第一季度卖出256件和第三季度卖出400件，列出方程即可解答； （2）设每件公仔应降价y元，则第四季度可卖出件，然后根据利润（售价进价）卖出件数，列出方程即可解答． 【详解】（1）解：设第二季度、第三季度销量的平均增长率为x， 根据题意得，， 解得，（舍去）， 答：第二季度、第三季度销量的平均增长率为． （2）解：设每件公仔应降价y元，则第四季度可卖出件， 根据题意得，， 整理得，， 解得，（舍去）， 答：每件公仔应降价10元． 19．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为 (2)每千克应涨价5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出一元二次方程，并正确计算． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价m元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， 由题意得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：每次下降的百分率为； （2）解：设每千克应涨价m元， 由题意得， 解得，， ∵每千克涨价不能超过8元， ∴。 ∴不合题意，舍去。 又∵要尽快减少库存，即销售量要尽可能大， 当时，销售量为千克，符合题意。 ∴。 即该商场要保证水果每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价5元． 20．2025年世运会将在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率是 (2)售价应降低20元 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设月平均增长率是x，结合数量关系列式求解即可； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，由数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是x， 根据题意得：， 解：，（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率是； （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，每天的销售量为（件）， 当时，每天的销售量为（件）， ∵， ∴售价应降低20元， 答：售价应降低20元． 工程问题 21．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 22．列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 23．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 24．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 25．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 行程问题 26．一辆正以8米/秒的速度沿直线行驶汽车，突然速度每秒增加1米/秒． (1)汽车行驶5秒时的速度为______米/秒． (2)求汽车行驶了18米时的速度． (3)当汽车行驶了x秒，行驶的距离为y米时，直接写出y关于x的函数解析式． （提示：距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 【答案】(1)13 (2)10米/秒 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，函数关系式的建立等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据速度每秒增加1米，则5秒速度增加到（米/秒）； （2）设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒，根据“距离=平均速度时间t，”列方程求解； （3）根据“距离=平均速度时间t，”建立函数关系式． 【详解】（1）解：（米/秒）， 故答案为：13； （2）解：设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒． 根据题意，得． 解得，（舍去）． 米/秒 答：汽车行驶了18米时的速度为10米/秒． （3）解：由题意得， ∴． 27．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 28．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 29．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 30．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 图表信息题 31．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 32．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 33．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 34．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】（1） ；（2）10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解； （2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元； （2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去， ∴ ， 根据题意得： ， 解得： （舍去）， 答：规定用水量a的值为10吨． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 35．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 其他问题 36．芯片目前是全球紧缺资源，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线．开工第一季度生产万个，第三季度生产万个．试回答下列问题： (1)求前三季度生产量的平均增长率． (2)经调查发现，1条生产线最大产能是万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】(1) (2)应该再增加4条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握通过等量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设前三季度生产量的平均增长率为x，用含有x的式子将第三季度的生产量表示出来，列出对应方程，即可求解． （2）设再增加y条生产线，用含有y的式子将每条生产线的最大产能表示出来，利用总生产量列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设前三季度生产量的平均增长率为x， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：前三季度生产量的平均增长率为． （2）解：设再增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 根据题意，得， 整理得， 解得，， 需要增加产能同时要节省投入成本， ． 答：应该再增加4条生产线． 37．高邮是一座历史悠久，文化底蕴深厚的国家历史文化名城，拥有独特的非物质文化遗产，文化名人辈出．某公司组织一批员工到高邮游玩，支付给旅行社29250元．该旅行社的收费标准如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元 求该公司参加旅游的员工人数． 【答案】该公司参加旅游的员工人数为45人 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设该公司参加旅游的员工人数为人，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：设该公司参加旅游的员工人数为人， ∵， ∴， 依题意得： 解得：，； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴； 答：该公司参加旅游的员工人数为45人． 38．某校组织学生到一片荒地上进行植树活动，原计划植树8行10列，后来增加了40棵树，为了美观起见，要求增加的行数、列数相同．请问增加了多少行？ 【答案】增加了2行 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．设增加了行，则增加的列数为，用增加后的总棵数原来的棵树，列出方程求解即可． 【详解】解：设增加了行，则增加的列数为， 根据题意，得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：增加了2行． 39．已知，分别求出满足下列条件的的值： (1)与的值互为相反数； (2)的值比的值大3． 【答案】(1)0或 (2)或1 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用. （1）根据互为相反数的两数之和为0，列出方程，进行求解即可． （2）根据的值比的值大3，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：由题意得：， 即， 整理得， 即， 解得：， 即为0或时，与的值互为相反数． （2）解：由题意得： 即 整理得 即 解得： 即为或1时，的值比的值大3． 40．某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演，其表演队形随音乐节奏动态调整．在一次表演中，开场阶段参加表演的所有机器人整齐排列，组成一个正方形方阵．当音乐推进至高潮部分，表演队形发生变化，首先有4个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人则迅速调整站位组成一个长方形方阵．该长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少4．求此次参加表演的机器人的总个数． 【答案】64个 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为．进一步得到出列后剩余机器人数为．结合长方形方阵的列数和行数的变化列出等式求解，根据长方形的边长排除不合理根即可． 【详解】解：设原正方形方阵每边有n个机器人，则总数为． 出列4个机器人后，剩余机器人数为． 长方形方阵的列数为，行数为． 根据题意，有， 化简得，，解得或， ∵时，行数（不合理）， ∴． 总机器人数为． 答：此次参加表演的机器人的总个数为64． 学科网（北京）股份有限公司 $