24.3解一元二次方程根与系数的关系（基础篇）练习2025-2026学年冀教版数学九年级上册

24.3一元二次方程与系数的关系 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程（）的两个实数根为和，则有： · 两根之和： · 两根之积： 根与系数关系的前提条件 一元二次方程（）必须有实数根，即根的判别式。 常见的根的代数式表示 已知一元二次方程（）的两根为、，则： · · · 型 习 练 题 一、单选题 1．下列关于x的方程中，两实数根的和等于3的方程是（    ） A． B． C． D．. 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判别式的应用．通过计算每个方程的两个实数根的和，判断是否等于3，需先确保方程有实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、方程 ，判别式，无实数根，故不符合题意， B、方程，判别式，有实数根，，故不符合题意， C、方程，判别式，有实数根，，故符合题意， D、方程，判别式，有实数根，，故不符合题意， 故选：C． 2．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中关于原点对称的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，得到点坐标，再求该点关于原点对称的点． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴两根之和， 两根之积， ∴点。 又∵点关于原点对称的点为， ∴点关于原点对称的点为， 故选：C． 3．已知p，q是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后代入表达式计算． 【详解】解：∵p，q是方程的实数根， ∴，， ∴． 故选：A． 4．已知方程的两个根分别为，，则的值为（   ） A．7 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系， 利用二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与积，再代入表达式求值． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 故选：A． 5．若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 通过一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴ ， 故选A． 二、填空题 6．设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2035 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的含义．利用a是方程的根，得到，结合两根之和，然后代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴且， 即， ∴ 代入，得， 故答案为：2035 7．若关于x的一元二次方程的两个实数根满足，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，． 利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，结合给定条件求出其中一个根，再代入方程求解参数即可． 【详解】解：对于方程，由根与系数的关系，得， 给定，所以，解得， 将代入方程，得， 整理得， 解得． 故答案为：2． 8．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，另一个根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】 的两个根为 1 和， ， ． 故答案为． 9．已知，且满足，，那么的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，由已知条件，和是方程的两个实数根，根据根与系数的关系，可得，，所求可化为，代入计算即可． 【详解】解：∵，且满足，， ∴、是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：5． 三、解答题 10．已知是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求一元二次方程的根； (3)若，则的值为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根据一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，配方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得，解得，即可作答． （2）运用配方法进行解方程，即可作答． （3）结合，以及，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根． ∴ 解得， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得； （3）解：∵是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根． ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．已知关于x的方程． (1)若这个方程有实数根，求a的取值范围； (2)若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根． 【答案】(1) (2)，另外一个根为 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）设原方程的另外一个根为b，由根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：设原方程的另外一个根为b， ∵关于x的方程有一个根是2， ∴由根与系数的关系可得， ∴， ∴另外一个根为． 12．关于x的方程有两个实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程和解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系的性质是解决此题的关键． （1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，， ∴， 解得：； （2）解：∵方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 13．已知，是一元二次方程的两个根． 求： (1)的值 (2)的值 【答案】(1)30 (2)2 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】（1）解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴． 14．，是方程的两个根，请计算下列式子的值． (1)与的值是多少？ (2)值是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系作答即可； （2）将化为，进而计算即可． 【详解】（1）解：对于，其中，， ， ； （2）解：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.3一元二次方程与系数的关系 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程（）的两个实数根为和，则有： · 两根之和： · 两根之积： 根与系数关系的前提条件 一元二次方程（）必须有实数根，即根的判别式。 常见的根的代数式表示 已知一元二次方程（）的两根为、，则： · · · 型 习 练 题 一、单选题 1．下列关于x的方程中，两实数根的和等于3的方程是（    ） A． B． C． D．. 2．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中关于原点对称的点是（   ） A． B． C． D． 3．已知p，q是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B．6 C． D．4 4．已知方程的两个根分别为，，则的值为（   ） A．7 B． C．3 D． 5．若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 二、填空题 6．设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ． 7．若关于x的一元二次方程的两个实数根满足，则k的值为 ． 8．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，另一个根为，则的值为 ． 9．已知，且满足，，那么的值为 ． 三、解答题 10．已知是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求一元二次方程的根； (3)若，则的值为___________． 11．已知关于x的方程． (1)若这个方程有实数根，求a的取值范围； (2)若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根． 12．关于x的方程有两个实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 13．已知，是一元二次方程的两个根． 求： (1)的值 (2)的值 14．，是方程的两个根，请计算下列式子的值． (1)与的值是多少？ (2)值是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $