24.3 一元二次方程根与系数的关系（2大题型提分练）数学冀教版九年级上册

第二十四章 一元二次方程 24.3 一元二次方程根与系数的关系（2大题型提分练） 知识点01 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 题型一 根据一元二次方程根的情况求参数 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知一元二次方程ax2+c=0(a≠0)，若方程有解，则必须有C等于(   ) A．- B．-1 C． D．不能确定 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（      ） A． B． C．且 D． 4．（22-23九年级下·江苏盐城·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A．m≤2 B．m≥2 C．m<-2 D．m<2 6．（23-24九年级·全国·假期作业）一元二次方程有两实根的条件为.        ( ) 7．（23-24七年级上·全国·单元测试）关于的方程有实根，则的范围是 ． 8．（2023·江苏镇江·中考真题）写一个你喜欢的实数m的值 ，使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 10．（23-24九年级上·全国·单元测试）若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则的取值范围是 ． 11．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且． (1)求的取值范围； (2)若取负整数，求的值． 12．（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）关于的方程有两个实数根 (1)求实数的取值范围； (2)设该方程的两个实数根分别为，若，求的值． 13．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知关于x的方程x（mx﹣4）＝（x+2）（x﹣2）． (1)若方程只有一个根，求m的值并求出此时方程的根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求m的值． 14．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）已知关于的方程． （1）若，不解方程，试判断这个方程根的情况； （2）若这个方程有两个实数根，求实数的取值范围． 15．（23-24九年级上·河南·期中）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根． （1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2＝4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由； （2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值． 题型二 一元二次方程的根与系数的关系 1．（23-24九年级上·河北唐山·期中）设方程的两个根为，，那么的值等于（    ） A．－2 B．1 C．－1 D．2 2．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）设一元二次方程的两根分别是，，且满足，则的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 4．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）关于的方程的两根为1和，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2023·河北石家庄·模拟预测）一元二次方程 其中一个根是0，则另一个根的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D． 6．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）若关于的方程的一个根是1，则它的另一个根是 ． 7．（23-24九年级上·河北唐山·期中）方程的两根分别是m，n，则的值是 ． 8．（23-24九年级上·四川成都·期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 9．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）已知一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 10．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则 ． 11．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，求的值和方程的解． 12．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）设，是方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． 13．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知：，是关于的一元二次方程的两个根． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 14．（23-24九年级上·河北唐山·期末）已知关于的一元二次方程． (1)小明在解方程时，得到一个根为，求的值． (2)在（1）的条件下，设是该方程的两个根，求的值． 15．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 1．（23-24九年级上·河北唐山·期中）设方程的两根分别是、，则（    ） A． B．2 C． D．3 2．（22-23九年级上·河北唐山·期末）关于x的方程的两根分别为，，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 3．（22-23九年级上·河北唐山·期中）已知和是一元二次方程的实数根，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）关于的一元二次方程没有实数根，则的值可能是（    ） A．3 B． C．2 D． 5．（2024·河北邢台·一模）关于的一元二次方程，下列说法正确的为（    ） A．时，方程有两个不相等的实数根 B．时，方程有两个不相等的实数根 C．时，方程有两个不相等的实数根 D．时，方程有两个不相等的实数根 6．（2023·河北石家庄·模拟预测）已知，分别是方程的两根，则的值为 ． 7．（22-23九年级上·河北邢台·期末）如果1是关于x的方程的一个根，这个方程的另一个根是 ． 8．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 9．（23-24九年级上·河北邢台·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 10．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期中）若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是 ． 11．（22-23九年级上·河北承德·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是，求c的值及方程的另一根. 12．（2024·北京西城·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 14．（23-24九年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两实数根． (1)求m的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且，求m的值． 15．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）完成下面解答．已知a，b是方程的两根，求的值． 解∶∵a，b是方程的两根，∴________，________． 又∵______，∴_____． 因此， ______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 一元二次方程 24.3 一元二次方程根与系数的关系（2大题型提分练） 知识点01 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 题型一 根据一元二次方程根的情况求参数 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知一元二次方程ax2+c=0(a≠0)，若方程有解，则必须有C等于(   ) A．- B．-1 C． D．不能确定 【答案】D 【分析】根据题意，一元二次方程有解,则需满足判别式大于等于0，即02-4ac≥0 ,因为a的正负不能确定,所以c的值无法确定. 【详解】∵一元二次方程ax2+c=0 有解， ∴Δ≥0 即02-4ac≥0 ， 得ac≤0 ​， ∵a的符号无法确定， ∴c的值也是无法确定 ， 故选D. 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式. 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的二次项的系数不等于0、根的判别式大于0即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得且， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 3．（23-24九年级上·河南信阳·期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（      ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程的定义可得，再利用一元二次方程根的判别式可得一个关于的一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得， 又关于的一元二次方程没有实数根， 此方程根的判别式， 解得， 综上，实数的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 4．（22-23九年级下·江苏盐城·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根满足的条件是：二次项系数不能为0，根的判别式的值大于0，据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键． 5．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A．m≤2 B．m≥2 C．m<-2 D．m<2 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：m≤2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 6．（23-24九年级·全国·假期作业）一元二次方程有两实根的条件为.        ( ) 【答案】×（） 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可以得出答案 【详解】因为一元二次方程有两实根的条件为，所以该题错误 故答案为× 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关概念是关键 7．（23-24七年级上·全国·单元测试）关于的方程有实根，则的范围是 ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系可知∆≥0，据此列方程求解即可. 【详解】由题意得， (1-2a)2-4×(a-2) ×a≥0， 解之得， . 故答案为. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 8．（2023·江苏镇江·中考真题）写一个你喜欢的实数m的值 ，使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】求出此方程的判别式，根据判别式为正可求得m的取值范围，在m的取值范围任取一个数即可． 【详解】∵要使于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴关于x的一元二次方程的根的判别式大于0， 即△=1－4m＞0， 解得：m＜． ∴m可以取小于的任一实数， 取m=0即可， 故答案为：0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，当判别式为正时，方程有两个不相等的实数根，当判别式为零时，方程有两个相等的实数根，当判别式为负时，方程没有实数根；掌握此知识是关键． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，以及根的判别式确定的取值范围即可． 【详解】根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，理解题意以及根的判别式是解题的关键． 10．（23-24九年级上·全国·单元测试）若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】根据题意得：△=b2﹣4ac=4m2﹣4＞0， 解得m＜2， ∵方程为一元二次方程， ∴m﹣1≠0，即m≠1， 则的取值范围是且. 故答案为且. 11．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且． (1)求的取值范围； (2)若取负整数，求的值． 【答案】(1) (2)8或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，计算即可得到答案； （2）由（1）知，且取负整数，可得到或，由此分两种情况分别解方程，即可得到答案． 【详解】（1）整理方程得， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得 ， 的取值范围是； （2），且取负整数， 或， 当时，原方程可化为， 解得 ，， ， 当时，原方程可化为， 解得 ，， ， 综上所述，的值为8或． 12．（22-23九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）关于的方程有两个实数根 (1)求实数的取值范围； (2)设该方程的两个实数根分别为，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式求出的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数关系即可求得的值． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵关于的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 解得：或者， 经检验不是原分式方程的解，因此原分式方程的解为， 即． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的判别式，理解根与系数关系是解题的关键． 13．（23-24八年级上·上海闵行·期中）已知关于x的方程x（mx﹣4）＝（x+2）（x﹣2）． (1)若方程只有一个根，求m的值并求出此时方程的根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求m的值． 【答案】(1)当时，方程的根为；当时，方程的根为 (2)且 【分析】（1）先去括号，将方程进行化简为，再分和两种情况，分别解一元一次方程、利用一元二次方程根的判别式即可得； （2）直接根据一元二次方程根的判别式大于0即可得． 【详解】（1）解：方程可化为， 分以下两种情况： ①当时，方程为， 解得； ②当时，方程为关于的一元二次方程， 则由一元二次方程根的判别式得：， 解得， 此时方程为， 解得， 综上，当时，方程的根为；当时，方程的根为； （2）解：方程为， 若方程有两个不相等的实数根，则， 解得且． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 14．（23-24九年级上·河南三门峡·期末）已知关于的方程． （1）若，不解方程，试判断这个方程根的情况； （2）若这个方程有两个实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1）有两个不相等的实数根；（2）且． 【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式即可得； （2）根据一元二次方程的定义、根的判别式求解即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴方程为， ∴其根的判别式为， ∴该方程有两个不相等的实数根； （2）∵关于的方程有两个实数根， ∴其根的判别式且， 即且， 解得：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 15．（23-24九年级上·河南·期中）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根． （1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2＝4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由； （2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值． 【答案】（1）存在，a的值为24；（2）12，9，8，7 【分析】根据题意得到，x1x2＝，x1+x2＝﹣，再根据方程有两个实数根得到a≥0，且a≠6，进行判断计算即可； 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知，x1x2＝，x1+x2＝﹣； ∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0有两个实数根， ∴△＝4a2﹣4（a﹣6）•a≥0，且a﹣6≠0，解得，a≥0，且a≠6； （1）∵﹣x1+x1x2＝4+x2，∴x1x2＝4+（x1+x2），即＝4﹣，解得，a＝24＞0； ∴存在实数a，使﹣x1+x1x2＝4+x2成立，a的值是24； （2）∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝﹣+1＝﹣， ∴当（x1+1）（x2+1）为负整数时，a﹣6＞0，且a﹣6是6的约数， ∴a﹣6＝6，a﹣6＝3，a﹣6＝2，a﹣6＝1，∴a＝12，9，8，7； ∴使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式的应用，准确分析计算是解题的关键． 题型二 一元二次方程的根与系数的关系 1．（23-24九年级上·河北唐山·期中）设方程的两个根为，，那么的值等于（    ） A．－2 B．1 C．－1 D．2 【答案】C 【分析】此题主要考查一元二次方程的根与系数关系，直接根据一元二次方程的根与系数关系：即可求解. 【详解】解：∵方程的两个根为，. ∴. 故选：C. 2．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过根与系数的关系求得方程的另一个根，熟练掌握根与系数的关系是解决此题的关键． 【详解】解：设关于x的一元二次方程的另一个根为， 则， 解得， 故选：． 3．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）设一元二次方程的两根分别是，，且满足，则的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而即可求解． 【详解】解：∵设一元二次方程的两根分别是，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）关于的方程的两根为1和，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数关系求解． 【详解】解：由题意，， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，掌握根与系数关系公式是解题的关键． 5．（2023·河北石家庄·模拟预测）一元二次方程 其中一个根是0，则另一个根的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 设，另一个根为， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根据系数的关系，熟练掌握，是解答本题的关键． 6．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）若关于的方程的一个根是1，则它的另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，列式即可解题． 【详解】解：设它的另一个根为， 关于的方程的一个根是1， ，解得， 它的另一个根是． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·河北唐山·期中）方程的两根分别是m，n，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，代入求值，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+． 【详解】解：∵的两根分别是m，n， ∴， ∴． 8．（23-24九年级上·四川成都·期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用是方程的一个实数根，可得，再利用根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故答案为：2026． 9．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）已知一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，若，是方程的两根，则，． 由题意易得，，然后代入即可求解． 【详解】一元二次方程的两根为，， ，， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则 ． 【答案】或 【分析】考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键； 通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可． 【详解】解： ，， 又是倍根方程， 当是的2倍时， 则， 解得：， 当是的2倍时， 则， 解得：， 故答案为：或． 11．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，求的值和方程的解． 【答案】，方程解为 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程；由根与系数的关系得：，即可求得n的值；再用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根互为相反数， ∴两根的和为零，即， ∴， 解得：； 当时，方程为，即， 解得：． 12．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）设，是方程的两个根，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键． （1）根据韦达定理可得，，代入变形后的代数式求解即可． （2）根据韦达定理可得，，代入变形后的代数式求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴ ； （2） ； 13．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知：，是关于的一元二次方程的两个根． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． （1）由根据系数的关系得，，结合求出，进而可求出； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，． 解，得， ∴ ∴． （2）由（1）得方程为 把代入方程得 ． 14．（23-24九年级上·河北唐山·期末）已知关于的一元二次方程． (1)小明在解方程时，得到一个根为，求的值． (2)在（1）的条件下，设是该方程的两个根，求的值． 【答案】(1)； (2)11． 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系． （）把代入计算即可求解； （）利用根与系数的关系得到、的值，再整体代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴一元二次方程为， ∴，， ∴． 15．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程根与系数的关系以及实数的运算： （1）根据题目已知定义计算即可； （2）先根据一元二次方程根的定义得到，再根据新定义化简原式，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1） ； ； （2）是一元二次方程的根， ， 根据根与系数的关系得， ． 1．（23-24九年级上·河北唐山·期中）设方程的两根分别是、，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据根与系数的关系求解即可得到答案． 【详解】解：∵方程的两根分别是、， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是知道， ． 2．（22-23九年级上·河北唐山·期末）关于x的方程的两根分别为，，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即，，即可解答． 【详解】解：关于x的方程的两根分别为，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键． 3．（22-23九年级上·河北唐山·期中）已知和是一元二次方程的实数根，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系得出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两根， ∴，． 则． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是掌握和是一元二次方程的两根时，，． 4．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）关于的一元二次方程没有实数根，则的值可能是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查根与判别式的关系，根据一元二次方程无实数根判别式小于0列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 5．（2024·河北邢台·一模）关于的一元二次方程，下列说法正确的为（    ） A．时，方程有两个不相等的实数根 B．时，方程有两个不相等的实数根 C．时，方程有两个不相等的实数根 D．时，方程有两个不相等的实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，此时方程有两个不相等的实数根． 故选B． 6．（2023·河北石家庄·模拟预测）已知，分别是方程的两根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，利用整体思想，代入求值即可． 【详解】解：∵，分别是方程的两根， ∴，， ∴ ∴； 故答案为：1． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，以及根与系数的关系．熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，以及两根之和等于，是解题的关键． 7．（22-23九年级上·河北邢台·期末）如果1是关于x的方程的一个根，这个方程的另一个根是 ． 【答案】 【分析】设方程的另一个根是m，根据根与系数的关系列出关于另一根m的方程，解方程即可． 【详解】解：设方程的另一个根是m， ∵1是关于x的方程的一个根， ∴， 解得，， ∴这个方程的另一个根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．解答该题时，一定要弄清楚一元二次方程的根与系数的关系，中的a、b、c的意义，是解题的关键． 8．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查一元二次方程根的情况求参数的范围，根据相关定义和性质列出关于k的不等式组并求解即可得出答案， 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即 ∴且． 故答案为：且． 9．（23-24九年级上·河北邢台·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则”是解答本题的关键． 由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期中）若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴ 解得：． 11．（22-23九年级上·河北承德·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是，求c的值及方程的另一根. 【答案】c的值是，方程的另一根为． 【分析】首先把代入一元二次方程可得c的值，可得原方程，再利用根与系数的关系求方程的另一根． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是， ∴， 解得． ∴原方程为， 则． ∴． 综上所述，c的值是，方程的另一根为． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 12．（2024·北京西城·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据判别式大于0即可求出答案． （2）先求出的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ； （2）解：由（1）可知：， 此时方程为：， ， ，． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义以及根与系数的关系； （1）利用根的判别式的意义得到，然后解关于的方程即可； （2）先利用根与系数的关系得，再利用因式分解法变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得，； 即b的值为或； （2）当时，方程化为， 根据根与系数的关系得， 所以． 14．（23-24九年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两实数根． (1)求m的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， 解得：． （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，， 则． 解得：，， 又， 所以m的值为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 15．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）完成下面解答．已知a，b是方程的两根，求的值． 解∶∵a，b是方程的两根，∴________，________． 又∵______，∴_____． 因此， ______． 【答案】，，3，，， 【分析】先根据一元二次方程根与系数关系得到，．再求出．代入求值即可，此题考查了一元二次方程的根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程的根与系数关系的内容是解题的关键． 【详解】解∶∵a，b是方程的两根， ∴，． 又∵， ∴． 因此，． 故答案为：，，3，，， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$