专题08 幂函数与二次函数讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦幂函数与二次函数高考核心考点，按定义、图像、性质到综合应用的逻辑层次架构知识，通过考点梳理、方法指导（如二次函数“三看”识别法）、真题训练（2023天津高考题）及分层练习（例题与变式题），帮助学生系统突破难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以数学眼光观察图像特征（如幂函数特殊点判断）、数学思维分析性质（如二次函数单调性分类讨论）为特色，设计“真题对比+分层变式”活动（如例2对比不同幂函数单调性，变式4-2分层求最值），保障短时间高效复习，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

专题08 幂函数与二次函数 知识点一　幂函数的图象与性质 1.定义：一般地，函数y＝　xα　叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.常见的五种幂函数的图象 3.幂函数的性质 （1）幂函数在上都有定义. （2）当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增. （3）当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减. （4）当为奇数时， 为奇函数；当为偶数时， 为偶函数. 结论 幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论 （1）恒过点（1，1）； （2）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大. 题型一：幂函数的定义及其图像 【例1】已知幂函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．9 【变式1-1】函数的图象是（ ） A．      B．  C．  D．   题型二：幂函数性质的综合应用 【例2】（2023年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】〔多选〕幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）·在（0，＋∞）上单调递增，则以下说法正确的是（　 　） A.m＝3 B.函数f（x）在（－∞，0）上单调递增 C.函数f（x）是偶函数 D.函数f（x）的图象关于原点对称 【变式2-2】设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 【变式2-3】函数的图象是（   ） A．B．C． D． 知识点二　二次函数 1.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：　ax2＋bx＋c（a≠0）　； （2）顶点式：，顶点坐标为  ； （3）零点式：，，为的零点. 2.二次函数的图象与性质 解析式 f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0） f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0） 图象 定义域 R R 值域 ［，＋∞） （ －∞，］ 奇偶性 当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数 单调性 在x∈（ －∞，－］上单调递减； 在x∈（ －，＋∞）上单调递增 在x∈（ －∞，－］上单调递增； 在x∈（ －，＋∞）上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－ 对称 题型三：二次函数的解析式 【例3】已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为 . 【变式3-1】已知是二次函数，且，，则 ． 【变式3-2】已知二次函数满足以下条件：图象与轴交于两点，且过点，则函数解析式为 . 题型四：二次函数的图象、单调性与最值 【例4】（1）设函数f（x）＝x2＋x＋a（a＞0），若f（m）＜0，则（　　） A.f（m＋1）≥0　 B.f（m＋1）≤0 C.f（m＋1）＞0　 D.f（m＋1）＜0 （2）〔多选〕二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下面结论中正确的是（　 　） A.2a＋b＝0 B.4a－2b＋c＜0 C.b2－4ac＞0 D.当y＜0时，x＜－1或x＞4 方法总结 识别二次函数图象应学会“三看” 【变式4-1】关于函数，以下表达错误的选项是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 【变式4-2】已知常数，求函数的最小值. 专题08 幂函数与二次函数 例1【解析】设，则即，故选：B． 变式1-1【解析】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D； 由特殊点（8，2），，可排除C． 故选B． 例2【解析】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 变式2-1解析：（1）因为幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）·在（0，＋∞）上单调递增，所以解得m＝3，所以f（x）＝x3，所以f（－x）＝（－x）3＝－x3＝－f（x），故f（x）＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f（x）在（－∞，0）上单调递增. 故选：ABD 变式2-2【解析】∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A 变式2-3【解析】易知函数的定义域为， 且该函数为偶函数，排除D， 由易知在上该函数为单调递减，又排除AB，故选：C 例3【解析】因为的对称轴为，函数在上最小值为， 所以可设， 将代入，得，解得， 故. 故答案为：. 变式3-1【解析】因为，是二次函数，所以设， 又因为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 变式3-2【解析】因为二次函数与轴交于两点， 所以设二次函数解析式为， 又因为该函数过点，所以，解得， 所以所求函数解析式为，即. 故答案为：． 例4解析：（1）因为f（x）的对称轴为x＝－，f（0）＝a＞0，所以f（x）的大致图象如图所示，由f（m）＜0，得－1＜m＜0，所以m＋1＞0，所以f（m＋1）＞f（0）＞0. 故选C （2）因为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴为x＝1，所以x＝－＝1，得2a＋b＝0，故A正确；由图可知，当x＝－2时，y＝4a－2b＋c＜0，故B正确；由图可知，该函数图象与x轴有两个交点，则b2－4ac＞0，故C正确；因为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴为x＝1，点B的坐标为（－1，0），所以点A的坐标为（3，0），由图可知，当y＜0时，x＜－1或x＞3，故D错误.故选ABC. 变式4-1【解析】，最大值是1，A正确； 对称轴是直线，B正确； 单调递减区间是，故C错误； 令的，故在函数图象上，故D正确， 故选：C 变式4-2【解析】， 当时，在单调递减，在单调递增，故， 当时，在单调递增，故， 综上可得 1 学科网（北京）股份有限公司 $