专题2.3 幂函数与二次函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题2.3 幂函数与二次函数 目录 考点1 幂函数 0 题型1 幂函数的定义 0 题型2 比较指数幂的大小 2 题型3 幂函数的图像 7 题型4 幂函数的综合性质 11 考点2 二次函数 15 题型5 二次函数的单调性 15 题型6 二次函数的值域与最值问题 19 题型7 根据二次函数的最值求参 22 题型8 二次函数的图像性质 28 题型9 二次函数的存在与恒成立问题 33 考点1 幂函数 1．幂函数的定义 一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1；  ②的底数是自变量；  ③指数为常数. 2．常见的5种幂函数的图象 3. 幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．画幂函数图像时，先画第一象限，再根据定义域确定有没有其他象限图像，如果有，根据奇偶性画其余的图像。 (2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3) 在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 题型1 幂函数的定义 【模拟真题】 1．（2025·全国·模拟预测）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ． 2．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（   ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 3．（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 4．（2025高三·全国·专题练习）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 题型2 比较指数幂的大小 【高考真题】 1．（2010·安徽·高考真题）设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 4．（2014·陕西·高考真题）下了函数中，满足“”的单调递增函数是（   ） A． B． C． D． 5．（2014·上海·高考真题）若，则满足的取值范围是 . 【模拟真题】 1．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数为幂函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知点在幂函数的图象上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·三模）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·北京朝阳·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江西·一模）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 题型3 幂函数的图像 【高考真题】 1．（1992·全国·高考真题）如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（    ） A． B． C． D． 2．（2011·陕西·高考真题）函数的图象是 A．       B．  C．   D．   【模拟真题】 1．（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 题型4 幂函数的综合性质 【高考真题】 1．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 . 2．（2007·山东·高考真题）设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为 A． B． C． D． 3．（2011·上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A． B． C． D． 4．（2012·山东·高考真题）若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝ . 5．（2018·上海·高考真题）已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则 【模拟真题】 1．（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 3．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 4．（2025·河南·模拟预测）已知函数，若，则的最大值为 . 5．（24-25高一上·甘肃·期末）下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 ． 考点2 二次函数 题型5 二次函数的单调性 【高考真题】 1．（2007·山西·高考真题）函数的一个单调增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2006·天津·高考真题）函数(，且)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2004·湖南·高考真题）若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【模拟真题】 1．（2025高三·全国·专题练习）二次函数的单调递增区间是．( ) 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则其单调递增区间为 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）求函数的单调区间. 5．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数的单调递增区间为 ． 6．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 7．（25-26高三上·云南保山·开学考试）定义域为的函数在单调递减，则实数k的取值范围是 ． 8．（2025高二·全国·专题练习）若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是 . 9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上单调，且，求a的范围． 题型6 二次函数的值域与最值问题 【高考真题】 1．（2002·上海·高考真题）已知函数． (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)求实数的取值范围，使在区间上是单调函数． 2．（2003·全国·高考真题）函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（2004·北京·高考真题）在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最 值（填“大”或“小”），且该值为 ． 4．（2004·安徽·高考真题）函数的最大值为 ． 【模拟真题】 1．（2025·湖北·模拟预测）函数的最小值为 ，此时 . 2．（2024·广东惠州·一模）已知为函数图象上一动点，则的最大值为 ． 题型7 根据二次函数的最值求参 【高考真题】 1．（2012·江苏·高考真题）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 ． 2．（2016·浙江·高考真题）已知函数f(x)=x2+bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2015·浙江·高考真题）已知函数，记是在区间上的最大值. （1）证明：当时，； （2）当，满足，求的最大值. 4．（2015·湖北·高考真题）为实数，函数在区间上的最大值记为. 当 时，的值最小. 5．（2017·浙江·高考真题）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值 A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 6．（2008·浙江·高考真题）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【模拟真题】 1．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（　　） A．若值域为，则 B．若定义域为，则 C．若最小值为0，则 D．若最大值为2，则 5．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知，当时，的最小值是，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数的最大值为2025，则的值为（   ） A． B．-1 C．1 D．或-1 题型8 二次函数的图像性质 【高考真题】 1．（2003·上海·高考真题）若函数，的图象关于直线对称，则 . 2．（2015·山东·高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 3．（2013·浙江·高考真题）已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（    ） A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 4．（2010·安徽·高考真题）设，二次函数的图象可能是 A． B． C． D． 【模拟真题】 1．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若点是抛物线上的两点，若，则 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·专题练习）将函数的图象向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 题型9 二次函数的存在与恒成立问题 【高考真题】 1．（2007·福建·高考真题）设函数f（x）＝tx2+2t2x+t﹣1（x∈R，t＞0）． （Ⅰ）求f （x）的最小值h（t）； （Ⅱ）若h（t）＜﹣2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围． 【模拟真题】 1．（24-25高一上·甘肃金昌·阶段练习）已知函数，若，使得不等式成立，实数的取值范围是 ． 【模拟真题】 1．（2025·北京·二模）已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）函数的值域为，则实数a的取值范围是 . 3．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）设函数，命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 . 5．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 . 6．（2025高三·全国·专题练习）若的定义域和值域均是，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 幂函数与二次函数 目录 考点1 幂函数 0 题型1 幂函数的定义 0 题型2 比较指数幂的大小 2 题型3 幂函数的图像 7 题型4 幂函数的综合性质 11 考点2 二次函数 15 题型5 二次函数的单调性 15 题型6 二次函数的值域与最值问题 19 题型7 根据二次函数的最值求参 22 题型8 二次函数的图像性质 28 题型9 二次函数的存在与恒成立问题 33 考点1 幂函数 1．幂函数的定义 一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1；  ②的底数是自变量；  ③指数为常数. 2．常见的5种幂函数的图象 3. 幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．画幂函数图像时，先画第一象限，再根据定义域确定有没有其他象限图像，如果有，根据奇偶性画其余的图像。 (2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3) 在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 题型1 幂函数的定义 【模拟真题】 1．（2025·全国·模拟预测）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得到，，根据指数函数的性质得到定点为，从而代入求解，得到. 【详解】是幂函数，则，所以，． 在中，令，得，所以定点为， 故，又，解得． 故答案为： 2．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（   ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 【答案】A 【分析】本题可先根据幂函数的定义求出的可能值，再结合幂函数图象与坐标轴无公共点的条件确定的值. 【详解】因为为幂函数，所以， 即，解得或. 当时，，其定义域为，图象与坐标轴无公共点，符合题意； 当时，，其图象与坐标轴有公共点，不合题意. 综上，. 故选：A. 3．（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（    ）条件． A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要 【答案】D 【分析】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】当时，，符合幂函数的形式，故充分性满足； 当为幂函数可得，解得或， 故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：D 4．（2025高三·全国·专题练习）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义域，定点，图象等分别判断各个选项即可. 【详解】函数不过原点，A选项错误； 而，所有幂函数的图像一定过点，B选项正确； 函数为奇函数，图像经过一、三象限，C选项正确； 当时，，的图像不可能在第四象限，D选项错误. 故选：BC. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】(1,2) 【分析】根据幂函数的性质确定所过定点，即可确定所过定点． 【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有， 所以，即的图象经过定点(1,2)， 故答案为：． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义和性质，对各个选项的正确性进行判断，从而得出结论. 【详解】若的图象不过原点，A错误； 对于幂函数，当时，恒成立，因此函数图象不过第四象限，B错误； 当时，的定义域为，且在上单调递增，为非奇非偶函数，C正确； 当时，的图象过第一、三象限，D错误． 故选：C. 题型2 比较指数幂的大小 【高考真题】 1．（2010·安徽·高考真题）设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 【答案】A 【详解】试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A 考点：函数的单调性. 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 3．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，故. 故选：D. 4．（2014·陕西·高考真题）下了函数中，满足“”的单调递增函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义一一代入分析即可. 【详解】A选项：由，，得，所以A错误； B选项：由，，得； 又函数是定义在上增函数，所以B正确； C选项：由，，得，所以C错误； D选项：函数是定义在上减函数，所以D错误； 故选：B. 5．（2014·上海·高考真题）若，则满足的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为. 【考点】幂函数的性质. 【模拟真题】 1．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数为幂函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数的定义得的值，得，根据对数函数的单调性性质及换底公式得到，再利用幂函数单调性比较大小得到即可. 【详解】由为幂函数，得 ∴，所以，所以， 又，所以， 又，所以， 由换底公式得，， 所以， 又，所以，得. 又在区间内单调递减，所以. 综上，. 故选：B. 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知点在幂函数的图象上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义可求得的值，根据可求出的值，然后利用该函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为点在幂函数的图象上，则，解得， 所以，可得，故， 因为，，， 且函数在上为增函数， 又因为，则，故. 故选：C. 3．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据指数函数性质得到最大，再利用幂函数的单调性比较出大小关系即可. 【详解】因为，则，， ，即， ， 接下来比较和的大小关系，因为，而， 则，根据幂函数在上单调递增得， 即. 故. 故选：D. 4．（2025·辽宁·三模）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将指数式化为对数式，然后判断的范围，结合对数函数、指数函数的单调性判断即可. 【详解】，， ，，， ，所以， 对于A，在单调递增， ，故A错误； 对于B， 在上单调递减， ，故B错误； 对于C， 在单调递减， ，故C错误； 对于D，在单调递增， , 又在单调递减， , ，故D正确. 故选：D 5．（2025·北京朝阳·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性及幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】， 又在上为增函数， 所以， 综上，， 故选：D 6．（2025·天津·模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相关幂函数、对数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在上单调递增，则， 由在上单调递减，则， 所以. 故选：D 7．（2025·江西·一模）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得交点的横坐标，比较大小可求. 【详解】当时，由，得；由，得；由，得. 因为，所以是关于的减函数. 又，所以，所以. 故选：A. 题型3 幂函数的图像 【高考真题】 1．（1992·全国·高考真题）如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性结合特值法进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在上单调递减， 当时，幂函数在上单调递增， 可知曲线、对应的值为正数，曲线、对应的值为负数， 当时，幂函数在上的增长速度越来越快，可知曲线对应的值为， 当时，幂函数在上的增长速度越来越慢，可知曲线对应的值为， 令，分别代入，，得到，， 因为，可知曲线、对应的值分别为、. 故选：A. 2．（2011·陕西·高考真题）函数的图象是 A．       B．  C．   D．   【答案】B 【分析】先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），，再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案． 【详解】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D； 由特殊点（8，2），，可排除C． 故选B． 【模拟真题】 1．（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图像性质，逐项分析判断即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 2．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】分别对进行讨论分析，得到相应的函数图象，与已知图象进行对比，可得正确答案. 【详解】解：函数 因为已知图象连续，且不恒等于1，所以且 当时,,其图象大致为： 当时，,其图象大致为： 因为函数的图象在第一象限单调递增，所以. 当时，其图象大致为： 当时，其图象为： 当时，其图象大致为： 对照已知图象，可得：且 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 题型4 幂函数的综合性质 【高考真题】 1．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 . 【答案】 【分析】先求，再根据奇函数求 【详解】，因为为奇函数，所以 故答案为： 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．（2007·山东·高考真题）设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】时，函数定义域不是R,不合题意； 时，函数的定义域为R且为奇函数，合题意， 故选A. 3．（2011·上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A． 考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质． 点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称． 4．（2012·山东·高考真题）若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝ . 【答案】 【详解】　当时，有，此时，此时为减函数， 不合题意.若，则，故，检验知符合题意 5．（2018·上海·高考真题）已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则 【答案】 【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解. 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 【模拟真题】 1．（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 【答案】A 【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解. 【详解】由题意可得. 故选：A 2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 【答案】3 【分析】根据是幂函数求出，根据在上单调递增确定. 【详解】因为是幂函数，所以， 所以或，因为在上单调递增， 所以，所以. 故答案为：. 3．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义得到方程，求出的值，即可求出函数解析式，从而判断A、B、C；判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可判断D. 【详解】A：由幂函数知，，解得，故A正确； B，C：，则的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故B错误，C正确； D：由知函数在上单调递增， 所以由可得，解得， 即不等式的解集为，故D错误. 故选：AC 4．（2025·河南·模拟预测）已知函数，若，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】应用为增函数，化简，再分异号和同号或中有一个为0，结合基本不等式计算求解. 【详解】因为为增函数，不妨设， 则，即， 变形得. 若异号，则， 即， 解得，当且仅当时，等号成立. 若同号或中有一个为0，则，解得. 综上，的最大值为2. 故答案为：2. 5．（24-25高一上·甘肃·期末）下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A：可得在时单调递减；对B：的定义域为，故为非奇非偶函数；对C：结合偶函数定义与单调性定义判定即可得；对D：可得不是偶函数. 【详解】对A：当时，单调递减，故A错误； 对B： 的定义域为，故为非奇非偶函数，故B错误； 对C：是定义域为的偶函数，且当时，， 即在上单调递增，故C正确； 对D：的定义域为，但， 故不是偶函数，故D错误. 故选：C. 6．（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的定义求出，由函数奇偶性得到A错误，求出定义域，求导得到函数的单调性，从而判断BCD. 【详解】因为是幂函数，根据幂函数的定义可知， 当时，，等式成立， 因为在R上单调递增，故为唯一解. 此时，其定义域为. A选项，，所以是偶函数，A选项错误. B选项，对求导，可得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在其定义域上不单调递减的，B错误； C选项，，在上单调递减. 因为，所以，即，C选项正确. D选项，，在上单调递增，， 所以，即，D错误. 故选：C. 7．（2025高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性以及奇偶性可求解，即可根据的单调性求解. 【详解】由于幂函数在上单调递减， ，解得． 或． 当时，为偶函数，满足条件， 当时，为奇函数，不满足条件， 则，不等式，即 在上为增函数，，解得． 故答案为： 考点2 二次函数 题型5 二次函数的单调性 【高考真题】 1．（2007·山西·高考真题）函数的一个单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简为关于的二次函数，然后换元，分别求出单调区间，再利用单调性的性质即可判断每个选项 【详解】解：由题意，， 令，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 而的单调增区间是，单调减区间是， 对于A，当时，单调递减，且，此时单调递减，所以是的一个单调增区间； 对于B，当时，单调递减，，此时不是单调函数，所以不是的一个单调增区间； 对于C，当时，单调递减，，此时单调递增，所以不是的一个单调增区间； 对于D，当时，单调递减，，此时单调递增，所以不是的一个单调增区间，则也不是的一个单调增区间； 故选：A 2．（2006·天津·高考真题）函数(，且)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件令，再借助二次函数单调性结合复合函数单调性分类讨论作答. 【详解】令，则原函数转化为，其图象的对称轴为直线， 若，则在上单调递增，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得，与矛盾， 若，则在上单调递减，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得或，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 3．（2004·湖南·高考真题）若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别讨论两个函数的单调性，是二次函数，由对称轴可得，，只要在上一定递减，两者结合可得． 【详解】对于，开口向下，对称轴为 若函数在区间上都是减函数，则区间在对称轴的右侧，所以可得：； 对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像： 此时我们可以判断，当时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故的取值范围是. 故选：D． 【点睛】本题考查函数的单调性，掌握二次函数与反比例函数的单调性是解题关键． 【模拟真题】 1．（2025高三·全国·专题练习）二次函数的单调递增区间是．( ) 【答案】错误 【分析】根据二次函数的性质结合题给条件讨论函数的单调区间，从而判断命题的正误. 【详解】已知函数为二次函数，所以， 若，则函数开口向下，在上单调递增，在上单调递减， 若，则函数开口向上，在上单调递减，在上单调递增， 因为题干未明确的符号，故不能确定递增区间为. 故答案为：错误. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由二次函数性质得，即，即，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为二次函数的图象开口向上，对称轴直线方程为， 则原函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 由， 得，即， 两边平方后，再通过移项和平方差公式 化简得， 而， 所以， 得． 故答案为：. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则其单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】根据复合函数单调性求解即可. 【详解】由函数解析式可知，解得的定义域为， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以在定义域内单调递增， 所以在上单调递增， 故答案为： 4．（2025高一·全国·专题练习）求函数的单调区间. 【答案】单调递减区间是，单调递增区间是 【分析】分别判断函数和的单调性，结合“同增异减”原则判断复合函数单调性． 【详解】令，，则在上递减. 在上递减，在上递增， 根据复合函数单调性“同增异减”原则，当时，由，得，可得其减区间， 当时，由，得，可得其增区间， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 5．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，再利用二次函数、对数函数及复合函数单调性求出递增区间. 【详解】函数有意义，，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 6．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由复合函数单调性可知，在上单调递减，且恒成立，再通过对称轴和函数的最值的限定，列出不等式求解. 【详解】因为函数在上单调递减，在单调递增， 所以在上单调递减，且恒成立， 即，解得. 故答案为：. 7．（25-26高三上·云南保山·开学考试）定义域为的函数在单调递减，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的定义域和复合函数的单调性，通过分类讨论可求解. 【详解】令， 根据题意在上恒成立，且在单调递减. 若,则，不符合题意； 若,则，即， 解得. 故答案为：. 8．（2025高二·全国·专题练习）若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论两种情况，其中，时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间上不具有单调性，可判断对称轴在区间上，进而得到答案. 【详解】时，，，在上单调递减，具有单调性，不符合题意； 时，的图象为抛物线，对称轴为， 根据题意，在上不具有单调性， 所以，解得. 故答案为： 9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上单调，且，求a的范围． 【答案】 【分析】根据函数在上单调，分两类：在上单调递减时，构造，为方程在上的两个根，根据一元二次方程的根的分布解得.在上单调递增，同理可得. 【详解】若在上单调递减，且. 则有，， 相减得， 则，， 即，. 所以，为方程在上的两个根， 则有且， 得． 若在上单调递增， 则有，，即，为方程在上的两个根， 则有且 得． 综上所述，得． 故a的范围为 题型6 二次函数的值域与最值问题 【高考真题】 1．（2002·上海·高考真题）已知函数． (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)求实数的取值范围，使在区间上是单调函数． 【答案】(1)最小值是1，最大值是37 (2)或 【分析】（1）求出函数对称轴，利用函数在上的单调性即可求出最值； （2）根据函数对称轴不在区间内列不等式求解即可. 【详解】（1）当时, 此时函数的对称轴为； 在上单调递减，上单调递增 当时，取最小值，且最小值为， 当时，取最大值，且最大值为． （2）在区间上是单调函数 则函数对称轴不在区间内 或，即或. 2．（2003·全国·高考真题）函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数式的分母是二次函数，求出分母的取值范围后利用不等式的性质可得结论． 【详解】∵， ∴，最大值为． 故选：A. 【点睛】本题考查求函数的最值，利用二次函数的性质和不等式的性质易得． 3．（2004·北京·高考真题）在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最 值（填“大”或“小”），且该值为 ． 【答案】 大 -3 【分析】根据题意，解出c的值，表示出a，b的关系，代入根据二次函数的性质即可得到结果. 【详解】由已知得，，a，b，c成等比数列，，a<0， 所以，有最大值， 最大值为 故答案为：大；-3. 4．（2004·安徽·高考真题）函数的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由二次函数的性质即可得出函数的最大值. 【详解】函数， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 【模拟真题】 1．（2025·湖北·模拟预测）函数的最小值为 ，此时 . 【答案】 【分析】利用因式分解，然后发现规律，重新结合因式展开，再展开可得二次型函数求最值即可. 【详解】由 所以可知当，即时，函数取到最小值， 故答案为：①；②. 2．（2024·广东惠州·一模）已知为函数图象上一动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意把表示成与的夹角的余弦值的2倍，再由几何关系求得最值可得结果. 【详解】设，原点，则，； 所以，即， 如图所示，所以当直线与函数在轴右侧相切时，取到最大值，即取得最大值； 联立直线与函数可得， 所以，解得（舍去）； 此时，所以， 即的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据表达式的特征，将其转化为向量数量积的坐标表示形式，利用几何关系求出最值即可. 题型7 根据二次函数的最值求参 【高考真题】 1．（2012·江苏·高考真题）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 ． 【答案】9． 【详解】∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0， ∴b－＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝2. 又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)， ∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9. 2．（2016·浙江·高考真题）已知函数f(x)=x2+bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】试题分析：由题意知，最小值为． 令，则， 当时，的最小值为，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”； 当时，的最小值为0，的最小值也为0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”．故选A． 考点：充分必要条件． 3．（2015·浙江·高考真题）已知函数，记是在区间上的最大值. （1）证明：当时，； （2）当，满足，求的最大值. 【答案】（1）详见解析；（2）. 【详解】（1）分析题意可知在上单调，从而可知 ，分类讨论的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知 ，再由可得， ，即可得证. 试题解析：（1）由，得对称轴为直线，由，得 ，故在上单调，∴，当时，由 ，得，即，当时，由 ，得，即，综上，当时， ；（2）由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为.. 考点：1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想. 4．（2015·湖北·高考真题）为实数，函数在区间上的最大值记为. 当 时，的值最小. 【答案】． 【详解】因为函数，所以分以下几种情况对其进行讨论： ①当时，函数 在区间上单调递增，所以； ②当时，此时 ，，而，所以； ③当 时，在区间上递增，在上递减．当时，取得最 大值； ④当时，在区间上递增，当时，取得最 大值， 则在上递减，上递增，即当 时，的值最小． 故答案为：． 考点：本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题． 5．（2017·浙江·高考真题）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值 A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 【答案】B 【详解】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B． 【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 6．（2008·浙江·高考真题）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则 【答案】1 【详解】显然函数的最大值只能在或时取到， 若在时取到，则，得或 ，时，；，时，（舍去）； 若在时取到，则，得或 ，时，； ，时，（舍去） 所以 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 【模拟真题】 1．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】利用二次函数的性质得到，消去变量后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的最小值是，且，由二次函数性质得对称轴为， 所以的最小值为， 所以，即，而， 当且仅当时取等，此时. 故答案为：4 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据开口向上，故需在区间上有最小值，且，从而得到不等式，求出答案. 【详解】要使函数在区间上有最大值或最小值， 由于开口向上， 故需函数在区间上有最小值，且． 该函数图像的对称轴为直线，所以， 解得， 所以，且，即实数的取值范围为． 故选：B． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由区间，考虑函数的第二个分段和第三个分段，再根据单调区间分，和三种情况讨论． 【详解】由已知， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 当时，在上单调递增，即函数的最大值为，符合； 当时，在上单调递增，在上单调递减，即函数的最大值为，不符合； 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 此时的最大值为，则，即，解得． 综上所述，. 故选：D 4．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（　　） A．若值域为，则 B．若定义域为，则 C．若最小值为0，则 D．若最大值为2，则 【答案】B 【分析】利用及二次函数的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】令，， 对于A，因为值域为，则时，，此时值域为，不合题意， 当时，则，解得，所以A说法正确； 对于B，因为定义域为，则时，，此时，符合题意， 当时，，解得，所以，所以B说法错误； 对于C，因为最小值为0，又是增函数，则有最小值， 又的对称轴为，则，解得，所以C说法正确； 对于D，因为最大值为2，又是增函数，则有最大值， 又的对称轴为，则，解得，所以D说法正确. 故选：B. 5．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知，当时，的最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分、分别求解即可. 【详解】，，的最小值是， 若，即时， 则，解得，符合题意； 若，即时， ，，不合题意舍去. 故. 故选：D. 6．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数的最大值为2025，则的值为（   ） A． B．-1 C．1 D．或-1 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性结合指数函数的单调性得出的最小值为，最后应用二次函数最值求参数. 【详解】令， 因为单调递减，又因为函数的最大值为2025， 则的最小值为， 所以，且当时，，即得， 解得或，所以. 故选：A 题型8 二次函数的图像性质 【高考真题】 1．（2003·上海·高考真题）若函数，的图象关于直线对称，则 . 【答案】6 【分析】根据给定的二次函数，利用二次函数的性质列式计算作答. 【详解】函数的对称轴为：， 依题意，且，解得，， 所以. 故答案为：6 2．（2015·山东·高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可. 【详解】，最大值是1，A正确； 对称轴是直线，B正确； 单调递减区间是，故C错误； 令的，故在函数图象上，故D正确， 故选：C 3．（2013·浙江·高考真题）已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（    ） A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 【答案】A 【分析】由已知得f (x)的图象的对称轴为x＝2且f (x)先减后增，可得选项. 【详解】由f (0)＝f （4），得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0， 又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x)先减后增，于是a>0， 故选：A. 【点睛】本题考查二次函数的对称轴，单调性，属于基础题. 4．（2010·安徽·高考真题）设，二次函数的图象可能是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为,二次函数，那么可知， 在A中，a<0,b<0,c<0，不合题意； B中，a<0,b>0,c>0，不合题意； C中，a>0,c<0,b>0,不合题意，故选D. 【模拟真题】 1．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由题易得，，，据此可判断①；又函数过，可得，结合，，可得的范围判断②；又，结合，可得即可判断③；由题知即可判断④. 【详解】根据题意，，因为二次函数过点，所以， 又顶点在第一象限，所以对称轴，则，即，故①正确； 二次函数图像过，所以，则， 又，，所以，则，故②正确； 由，所以，又，所以，故③正确； ，故④正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若点是抛物线上的两点，若，则 【答案】AB 【分析】根据二次函数的图象性质对每个选项进行判断即可. 【详解】因为二次函数的图象与轴的一个交点为， 则. 由图象可以看出，. 因为二次函数的对称轴为，所以，即. 所以，所以A正确； 将代入中，得，所以C错误； 因为，，所以. 所以，即，所以B正确； 对于选项D，当均在对称轴左侧，由于在对称轴左侧抛物线是单调递减的， 所以如果，则，所以D错误. 故选：AB. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知图象可确定与的正负情况，进而判断根据幂函数单调性判断各选项正误. 【详解】因为二次函数的图象开口向上，所以，又对称轴在轴右侧，则，所以， 则在第一象限，根据幂函数的单调性可得单调递增，单调递减． 故选：B. 4．（2025高一·全国·专题练习）将函数的图象向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法1，根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象；方法2，把的图象中轴下方的图象沿轴向上翻折并保留原来轴上及其上方的图象，再平移即可；方法3，利用平移思想变换解析式，再画图象即可. 【详解】方法1，由题意得可得函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象． 方法2，要得到的图象， 只需把的图象中轴下方的图象沿轴向上翻折并保留原来轴上及其上方的图象， 再整体向上平移2个单位长度即可，即为的大致图象，如图， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象． 方法3，平移后的图象对应函数，C选项中的图象正确． 故选：C. 题型9 二次函数的存在与恒成立问题 【高考真题】 1．（2007·福建·高考真题）设函数f（x）＝tx2+2t2x+t﹣1（x∈R，t＞0）． （Ⅰ）求f （x）的最小值h（t）； （Ⅱ）若h（t）＜﹣2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（Ⅰ）h（t）＝﹣t3+t﹣1；（Ⅱ）m＞1． 【分析】（Ⅰ）由f（x）＝t（x+t）2﹣t3+t﹣1（x∈R，t＞0），根据配方法即可求出最小值； （Ⅱ）令g（t）＝h（t）﹣（﹣2t+m）＝﹣t3+3t﹣1﹣m，对其求导后讨论即可得出答案． 【详解】解：（Ⅰ）∵f（x）＝t（x+t）2﹣t3+t﹣1（x∈R，t＞0）， ∴当x＝﹣t时，f（x）取最小值f（﹣t）＝﹣t3+t﹣1， 即h（t）＝﹣t3+t﹣1； （Ⅱ）令g（t）＝h（t）﹣（﹣2t+m）＝﹣t3+3t﹣1﹣m， 由g′（t）＝﹣3t2+3＝0得t＝1，t＝﹣1（不合题意，舍去） 当t变化时g′（t）、g（t）的变化情况如下表： t （0，1） 1 （1，2） g′（t） + 0 ﹣ g（t） 递增 极大值1﹣m 递减 ∴g（t）在（0，2）内有最大值g（1）＝1﹣m h（t）＜﹣2t+m在（0，2）内恒成立等价于g（t）＜0在（0，2）内恒成立， 即等价于1﹣m＜0 所以m的取值范围为m＞1． 【点睛】本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，难度一般，掌握运用数学知识分析问题解决问题的能力． 2．（2008·江西·高考真题）已知函数，，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，显然成立 当时，显然不成立； 当显然成立； 当时，则两根为负，结论成立 故,故选C. 【模拟真题】 1．（24-25高一上·甘肃金昌·阶段练习）已知函数，若，使得不等式成立，实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意将问题转化为.，成立，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在上单调递减，在上单调递增， ，对称轴， ①即时，在单调递增，恒成立； ②即时，在上单调递减，在上单调递增， ，所以，故； ③即.时，在上单调递减，， 所以，解得， 综上. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果. 【模拟真题】 1．（2025·北京·二模）已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先考虑，，求出，再考虑，此时，根据对称轴分三种情况，结合函数单调性和最值得到不等式，求出的取值范围. 【详解】若，即， 此时，满足要求； 若，则， 此时， 故恒成立， 其中，故； 若且，即， 此时 ，对称轴为， 若，此时在上单调递增， 故只需，即，解得，故； 若，此时在上单调递减， 在上单调递增， 故，令，解得， 与取交集得， 若，此时在上单调递减， 故只需，即，解得， 与取交集得； 综上，实数的取值范围为. 故选：B 2．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）函数的值域为，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和两类讨论，根据对数函数的性质结合二次函数的性质即可得出结论. 【详解】由题意可知，只需满足函数的值域取遍大于的所有数即可. 当时，，符合题意， 当时，只需满足即可，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 3．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）设函数，命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，，分离参数得，再结合二次函数的性质即可求解. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以，， , 因为， 所以在上恒成立， 函数在上单调递增， 所以当时，有最小值1， 故的最大值为2，所以. 故选：D. 4．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据对任意的，总存在，使成立，可得两个函数值域的包含关系，进而根据关于的不等式组，解不等式组即可. 【详解】，函数的对称轴为：， 对任意的，则.记； 由题意，知时不成立， 当时，，在上是增函数， ，记. 由题意，知， ，解得. 当时，，在上是减函数， ，记. 由题意，知 ，解得. 综上所述，. 故答案为：. 5．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】由题意可得，分，和三种情况讨论即可求解. 【详解】对任意，总存在使得成立，等价于. 当时，单调递减，. 当时，图象的对称轴为直线. ①当时，在上单调递增， ，，解得； ②当时，在上单调递减， ，，解得； ③当时，，， 解得或，这与相矛盾，故舍去. 综上所述，或. 故答案为：或. 6．（2025高三·全国·专题练习）若的定义域和值域均是，求的值． 【答案】 【分析】由题确定函数对称轴，再分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】，对称轴为，开口向上， 当时，在单调递减， 所以，两式相减得， 而，故，所以， 所以，此时，方程无解，故舍； 当时，在单调递增， 所以，（不合舍）， 当时，，所以， 又，所以， 解得或（舍），即， 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $