专题04 基本不等式及其应用讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕基本不等式及其应用专题，整合基本不等式概念、求最值方法及实际应用等核心考点，按“知识点梳理-题型突破-方法总结”逻辑构建知识体系。通过考点精析、方法指导（如凑配法“1”的代换）、真题演练（含2022新高考II卷等）及分层变式训练，帮助学生系统突破“一正二定三相等”难点，构建解题思路。 讲义以培养数学思维为核心，创新采用步骤化方法总结（如常数代换法四步流程），结合真题情境（如2017江苏卷实际问题）引导学生用数学眼光抽象问题。设置基础例题到综合变式的分层练习，配合即时方法反馈，高效突破恒成立问题等考点，助力学生提升逻辑推理与模型应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题04 基本不等式及其应用 知识点一　基本不等式：≤ 1.基本不等式成立的条件：　a＞0，b＞0　. 2.等号成立的条件：当且仅当　a＝b　时，等号成立. 3.其中　　叫做正数a，b的算术平均数，　　叫做正数a，b的几何平均数. 结论 （1）＋≥2（a，b同号）； （2）ab≤（）2≤（a，b∈R）. 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 题型一：基本不等式及其应用 【例1】已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选题）（2022年新高考全国II卷）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 规律方法 利用基本不等式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件； 第二步：应用基本不等式； 第三步：检验等号是否成立. 知识点二　利用基本不等式求最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最　小　值是　2　（简记：积定和最　小　）； （2）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最　大　值是　　（简记：和定积最　大　）. 提醒（1）利用基本不等式求最值应满足“一正、二定、三相等”. （2）在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 题型二：直接法求最值 【例2】若,则的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. 12 D. 21 【变式2-1】已知，为正实数，且满足，则的最大值为  . 方法总结 利用基本不等式求最值的条件 必须满足的条件为“一正、二定、三相等”. （1）“一正”：各项必须为正数. （2）“二定”：要求和的最小值,必须把构成和的两项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值. （3）“三相等”：在利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值. 题型三：凑配法(换元法)求最值 【例3】（1）已知，则的最小值是  . （2）已知，则函数的最大值为 . 方法总结 配凑法求最值的解题策略 （1）配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法. （2）对于或的分式型代数式，需要先化简,再配凑,最后利用基本不等式或对勾函数解决相应的最值问题. 注意：验证等号成立的条件. 题型四：“1”的代换求最值 【例4】（1）若正数x，y满足＋＝5，则3x＋4y的最小值为　 　； （2）若实数x＞1，y＞，且x＋2y＝4，则＋的最小值为　 　. 【变式4-1】若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【变式4-2】已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【变式4-3】已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 方法总结 常数代换法求最值的步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）. （2）把确定的定值（常数）变形为1. （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和为定值或积为定值的形式. （4）利用基本不等式求解最值. 题型五：利用基本不等式解决实际问题 【例5】（2017年全国（江苏卷））某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ． 题型六：与基本不等式有关的恒成立问题 【例6】（1）若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （2）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 专题04 基本不等式及其应用 例1【解析】由，，且，=1，当且仅当时取等号 而，当且仅当时取等号． 故选：C． 变式1-1【解析】由可变形为，，解得，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，所以C正确；D错误． 故选：BC． 例2【解析】因为,所以由基本不等式得,当且仅当,即 时，等号成立,即.故选. 变式2-1【解析】由已知，得，解得 当且仅当，即,时取等号，即 的最大值为3. 例3【解析】（1） ，因为，所以,，则由基本不等式可得，当且仅当，即 时，等号成立，所以 的最小值是4. （2）（法一：基本不等式法），因为，所以，所以，则由基本不等式可得，当且仅当，即 时，等号成立，所以 的最大值为.（法二：二次函数法），因为，所以当 时，有最大值，最大值为. 例4解析：（1）∵＋＝5，∴＋＝1，∴3x＋4y＝（3x＋4y）（＋）＝＋＋≥＋2＝5，当且仅当＝，即x＝2y＝1时取等号，故3x＋4y的最小值为5﹒ （2）由题意，实数x＞1，y＞，且x＋2y＝4，可得x－1＋2y－1＝2，∴＋＝（＋）[（x－1）＋（2y－1）]＝（2＋＋）≥（2＋2）＝2，当且仅当＝时，即2y－1＝x－1，即x＝2，y＝1时，等号成立，∴＋的最小值为2. 变式4-1【解析】由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9． 故选：A 变式4-2【解析】因为， 所以，则，所以． 因为，所以， 当且仅当时取等号． 故选：D 变式4-3【解析】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立． 即的最小值为8．故选：D． 例5【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30． 例6【解析】（1）不等式恒成立，即， ， 等号成立的条件是，即，与条件联立，解得， 所以的最小值是8，即，解得． 故选：A （2）已知，则，因为， 当且仅当时等号成立，由，解得．故的最小值为4． 因为恒成立， 所以，即， 解得，即．故选：D 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $