专题1.4 基本不等式及其应用（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题1.4 基本不等式及其应用（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 基本不等式及其应用】 3 【题型2 直接法求最值】 3 【题型3 配凑法求最值】 4 【题型4 常数代换法求最值】 4 【题型5 消元法求最值】 4 【题型6 齐次化求最值】 5 【题型7 多次使用基本不等式求最值】 5 【题型8 基本不等式的恒成立、有解问题】 6 【题型9 利用基本不等式解决实际问题】 6 【题型10 基本不等式与其他知识交汇】 7 1、基本不等式及其应用 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解基本不等式的推导过程 (2)会用基本不等式解决最值问题 (3)理解基本不等式在实际问题中的应用 2022年I卷：第12题，5分 2023年新高考I卷：第22题，12分 2025年北京卷：第6题，4分 2025年上海卷：第8题，5分 基本不等式及其应用是每年高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用. 知识点 基本不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 3．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 4．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型1 基本不等式及其应用】 【例1】（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·陕西宝鸡·二模）设a，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2025·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【题型2 直接法求最值】 【例2】（24-25高一上·重庆·期末）函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 【变式2-2】（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-3】（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 【题型3 配凑法求最值】 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 【变式3-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 常数代换法求最值】 【例4】（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·山东·模拟预测）设正实数满足，则的最小值为（   ） A． B．17 C． D．16 【变式4-2】（2024·江苏宿迁·一模）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【变式4-3】（2025·福建泉州·二模）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型5 消元法求最值】 【例5】（2025·陕西宝鸡·二模）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 【变式5-1】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·河南·模拟预测）设正实数a，b，c满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【题型6 齐次化求最值】 【例6】（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 【题型7 多次使用基本不等式求最值】 【例7】（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【变式7-1】（2025·河南·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【变式7-2】（2025·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型8 基本不等式的恒成立、有解问题】 【例8】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高三上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【题型9 利用基本不等式解决实际问题】 【例9】（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 【变式9-1】（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 【变式9-2】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 【变式9-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为，斜边为（、、均为正数）.则，”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【题型10 基本不等式与其他知识交汇】 【例10】（24-25高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 【变式10-1】（2024·广东珠海·一模）已知、、是的内角，、、分别是其对边长，向量，，且. （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值. 【变式10-2】（2025高三·全国·专题练习）分别是椭圆于的左、右焦点. (1)若Р是该椭圆上的一个动点，求的取值范围； (2)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值. 【变式10-3】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，. (1)若，的面积为，求； (2)若， ①求的值： ②求面积的最大值； ③求周长的取值范围. 一、单选题 1．（2025·安徽·三模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 4．（2025·重庆·三模）已知，则的最大值为（   ） A．6 B．-6 C．8 D．-8 5．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 7．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则 的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 二、多选题 9．（2025·湖北恩施·模拟预测）若正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 三、填空题 12．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 13．（2025·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是 . 14．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则的最小值是 . 四、解答题 15．（24-25高一下·广西·开学考试）（1）已知是正实数，且，求的最小值； （2）函数的最小值为多少？ 16．（2025高三·全国·专题练习）若正数满足： ， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 17．（25-26高一上·全国·课后作业）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 18．（24-25高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 19．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知，. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 基本不等式及其应用（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 基本不等式及其应用】 3 【题型2 直接法求最值】 4 【题型3 配凑法求最值】 6 【题型4 常数代换法求最值】 7 【题型5 消元法求最值】 8 【题型6 齐次化求最值】 10 【题型7 多次使用基本不等式求最值】 11 【题型8 基本不等式的恒成立、有解问题】 13 【题型9 利用基本不等式解决实际问题】 15 【题型10 基本不等式与其他知识交汇】 17 1、基本不等式及其应用 考点要求 真题统计 考情分析 (1)了解基本不等式的推导过程 (2)会用基本不等式解决最值问题 (3)理解基本不等式在实际问题中的应用 2022年I卷：第12题，5分 2023年新高考I卷：第22题，12分 2025年北京卷：第6题，4分 2025年上海卷：第8题，5分 基本不等式及其应用是每年高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用. 知识点 基本不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 3．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 4．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型1 基本不等式及其应用】 【例1】（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由基本不等式结合特例即可判断. 【解答过程】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 【变式1-1】（2025·陕西宝鸡·二模）设a，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【解答过程】若，则成立，当且仅当时取等， 若，不妨设，则不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 【变式1-2】（2025·全国·三模）已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C. 【解答过程】因为，，且， 由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确； 由基本不等式知，则， 即（当且仅当时取等号），B正确； 由题得， 由已知，故，所以， 故，C正确； 由基本不等式可得， 即（当且仅当时取等号），D错误. 故选：D. 【变式1-3】（2025·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断. 【解答过程】解：由图知：， 在中，， 所以，即， 故选：C. 【题型2 直接法求最值】 【例2】（24-25高一上·重庆·期末）函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【解题思路】利用基本不等式即可得解. 【解答过程】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值是. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一上·广东河源·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 【解题思路】根据基本不等式可求最小值. 【解答过程】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二上·云南昭通·阶段练习）若，则的最大值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】将式子利用多项式乘以多项式展开，再利用基本不等式求解即可. 【解答过程】因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2， 故选：D. 【变式2-3】（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 【解题思路】由基本不等式即可求解. 【解答过程】， 当且仅当， 即，等号成立， 所以的最小值为6， 故选：A. 【题型3 配凑法求最值】 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 【解题思路】将式子配凑成，然后利用基本不等式求解即可. 【解答过程】若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8． 故选：C． 【变式3-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】变形应用基本不等式求解即可. 【解答过程】由，得， 又， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基本不等式可得最值. 【解答过程】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当或时，恒成立， 综上所述的最大值为， 故选：D. 【变式3-3】（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本不等式来求得正确答案. 【解答过程】， ， 当且仅当时等号成立 故选：D. 【题型4 常数代换法求最值】 【例4】（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据“1”的代换，结合基本不等式求出的最小值，即可得出答案. 【解答过程】因为，，且， 所以 ， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为． 故选：A. 【变式4-1】（2025·山东·模拟预测）设正实数满足，则的最小值为（   ） A． B．17 C． D．16 【解题思路】代入，再由基本不等式即可求解； 【解答过程】由题意知， 当且仅当，即时，等号成立． 因此，的最小值为． 故选:C. 【变式4-2】（2024·江苏宿迁·一模）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【解题思路】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值． 【解答过程】由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：A. 【变式4-3】（2025·福建泉州·二模）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，，，将代数式与相乘，展开后可求出的最小值. 【解答过程】因为，，则，，由题意可知，则， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 【题型5 消元法求最值】 【例5】（2025·陕西宝鸡·二模）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 【解题思路】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值. 【解答过程】由可得，因，则， 于是， 因，当且仅当时等号成立， 即，时，的最小值为. 故选：D. 【变式5-1】（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【解答过程】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 【变式5-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本不等式可得最值. 【解答过程】根据题意，，可得， 则， 设，则，原式为， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 【变式5-3】（2025·河南·模拟预测）设正实数a，b，c满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【解题思路】由题意得，从而利用基本不等式求得的最大值及成立的条件，从而化为，最后利用二次函数性质求解即可. 【解答过程】依题意，由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则代入中，得 ，所以， 因此， 当且仅当时取等号，所以当，，，时，取得最大值. 故选：B. 【题型6 齐次化求最值】 【例6】（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【解答过程】 ，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 【变式6-1】（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【解题思路】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得. 【解答过程】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先变形已知，再利用基本不等式求最值. 【解答过程】， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 【变式6-3】（24-25高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 【解题思路】由条件可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【解答过程】由题意知， 当且仅当，且 ，即，时等号成立， 即的最小值为. 故选:A. 【题型7 多次使用基本不等式求最值】 【例7】（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【解题思路】利用基本不等式即得. 【解答过程】因为， 所以， 当且仅当，且，即时，取等号， 所以的最小值为2. 故选：D. 【变式7-1】（2025·河南·模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【解题思路】先根据基本不等式求出.然后即可根据不等式的性质得出，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，，，. 因为 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以，， 当且仅当，即时，两个等号同时成立. 所以，. 故选：D. 【变式7-2】（2025·全国·模拟预测）已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【解答过程】因为为非零实数，，，均为正实数， 则 ， 当且仅当且，即时取等号， 则的最大值为． 故选：B． 【变式7-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合条件可得，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【解答过程】因为，所以， 所以 所以， 又，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 【题型8 基本不等式的恒成立、有解问题】 【例8】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【解答过程】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 【变式8-1】（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】先由题意得到是的一个根，从而得到之间的关系式为，消元并利用均值不等式求解即可. 【解答过程】由题意可得，需满足是的一个根， 即，且，所以， ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故选：A. 【变式8-2】（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式8-3】（24-25高三上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【解题思路】原不等式可转化为，利用均值不等式求最小值即可. 【解答过程】由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号， 所以不等式恒成立，只需， 故选：B. 【题型9 利用基本不等式解决实际问题】 【例9】（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 【解题思路】求出，利用基本不等式可得答案. 【解答过程】由可知，且， 故， 当且仅当即时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：A. 【变式9-1】（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 【解题思路】用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【解答过程】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取到等号，而，所以. 故选：B. 【变式9-2】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 【解题思路】由题意求出的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案. 【解答过程】由题意得，， 因为，故，， 即， 故选：B. 【变式9-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为，斜边为（、、均为正数）.则，”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【解题思路】根据题意可得，结合基本不等式即可得的最小值. 【解答过程】由题可知， 则，即，所以，当且仅当时，等号成立 又“赵爽弦图”的面积为， 所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为. 故选：B. 【题型10 基本不等式与其他知识交汇】 【例10】（24-25高二上·上海松江·期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 【解题思路】（1）根据题意求得外接球半径 ，进而可求得底面半径，再应用圆锥、圆柱体积、表面积公式求结果； （2）令圆柱的高为 ，有陀螺的高为 ，应用圆柱体体积公式、基本不等式求侧面积最大值，确定取值条件，即可得结果. 【解答过程】（1）令陀螺外接球半径为，则，可得 ， 由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为 ，又圆柱的高为， 所以圆柱底面直径，则底面半径， 综上，圆锥的高为 ，母线长为 ， 所以陀螺的体积为 ， 陀螺表面积为 . （2）令圆柱的高为 ，由（1）知陀螺外接球半径 ， 所以圆柱底面直径为 ，圆锥的高为 ， 所以陀螺的高为 ， 由圆柱体侧面积 ， 当且仅当 时取等号， 所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大. 【变式10-1】（2024·广东珠海·一模）已知、、是的内角，、、分别是其对边长，向量，，且. （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值. 【解题思路】（1）由得出，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的大小； （2）利用余弦定理结合基本不等式可求出的最大值，再利用三角形的面积公式可得出答案. 【解答过程】（1），，， ， 由正弦定理得，整理得， ， ，； （2）在中，，， 由余弦定理知， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立，， ，因此，面积的最大值为. 【变式10-2】（2025高三·全国·专题练习）分别是椭圆于的左、右焦点. (1)若Р是该椭圆上的一个动点，求的取值范围； (2)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值. 【解题思路】（1）由题意可知、的坐标，设，表示出，，代入向量的数量积可得，由二次函数的性质计算可得. （2）设，，联立直线与椭圆方程消去整理可得，解方程可求，，根据点到直线的距离公式可求，点，到直线的距离，，代入四边形的面积为，结合基本不等式可求面积的最大值. 【解答过程】（1）解：由题意可知，， ，，设， ，， 由椭圆的性质可知，， ， ，故，即. （2）解：设，，联立消去整理可得， ，， ，， 直线的方程为：， 根据点到直线的距离公式可知，点，到直线的距离分别为 ， ， ， ， 四边形的面积为 ，当且仅当即时，上式取等号， 所以的最大值为. 【变式10-3】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，. (1)若，的面积为，求； (2)若， ①求的值： ②求面积的最大值； ③求周长的取值范围. 【解题思路】（1）应用余弦边角关系可得，应用余弦定理有，进而有，再由面积公式得，结合已知即可求边长； （2）①应用正弦定理有，结合合比性质即可得；②③应用基本不等式求的范围，即可得面积最值和周长范围. 【解答过程】（1）由题设及余弦边角关系有， 所以，则，且， 在三角形中有，又，可得， 结合，则； （2）①由（1）有，则，所以； ②由，当且仅当时取等号， 所以，即面积最大值为； ③由，则， 当且仅当时取等号，所以周长. 一、单选题 1．（2025·安徽·三模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据基本不等式和充分条件和必要条件证明过程,求结果. 【解答过程】时，结合基本不等式，，充分性成立； 当，时，满足，但此时，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 2．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】由，得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A. 3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【解题思路】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可. 【解答过程】因为 所以.其中均正数. 当且仅当，即时取等号. 故选：C. 4．（2025·重庆·三模）已知，则的最大值为（   ） A．6 B．-6 C．8 D．-8 【解题思路】本题主要考查代数最值的求解方法，涉及代数式的变形、均值不等式应用. 【解答过程】由，两边除以，得：，目标为求的最大值， 的最大值，即求的最小值， 将结合变形为：展开计算：， 由均值不等式，令， 则：，因此：(当且仅当即时取等号). 目标式最大值：. 故选：B. 5．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【解题思路】利用基本不等式可求昆虫的最大跳跃高度. 【解答过程】由可知，故， 当且仅当时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：B. 6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 【解题思路】由条件得，代入再运用均值不等式即可求出的最大值. 【解答过程】由，得，则， 因为，，所以 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为， 故选：D. 7．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【解答过程】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C. 8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则 的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 【解题思路】本题分两种情况讨论，当和时的两种情况，然后根据基本不等式的性质求出最小值. 【解答过程】设， 当时，， 因为均为正数，所以 ， 当且仅当，，时，等式成立； 当时，， 当且仅当，，时，等式成立. 综上可知，t的最小值为. 故选：C. 二、多选题 9．（2025·湖北恩施·模拟预测）若正实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【解题思路】利用基本不等式进行求解. 【解答过程】因为正实数满足， 对A选项：，当且仅当时等号成立，故A正确；   对B选项：，，当时等号成立，故B错误； 对C选项：由，则，当且仅当时等号成立，故C正确； 对D选项：，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】对于A，由基本不等式建立不等式，可得其正误；对于B，由等量关系可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得其正误；对于C，利用基本不等式隐藏“1”的妙用，可得其正误；对于D，由等量关系可得函数解析式，利用基本不等式，可得其正误. 【解答过程】对于A，，当且仅当，等号成立，则，故A正确； 对于B，由，则，由，则， 所以，故B错误； 对于C，，当且仅当，等号成立，故C正确； 对于D，由B易知，当且仅当，等号成立，则，故D正确. 故选：ACD. 11．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 【解题思路】根据题意，化简得到，令，得到，结合函数单调性，可判定A正确；由，得到，结合二次函数的性质，可得判定B正确；化简，利用基本不等式，可得判定C不正确；由，得到，可判定D正确. 【解答过程】由，可得， 对于A中，令，则且， 可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 可得，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以C不正确； 对于D中，由， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 4 ． 【解题思路】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【解答过程】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4. 13．（2025·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是 16 . 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】由正数满足，得， 则， 当且仅当，即取等号， 所以的最小值是16. 故答案为：16. 14．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则的最小值是 9 . 【解题思路】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【解答过程】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最小值为， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·广西·开学考试）（1）已知是正实数，且，求的最小值； （2）函数的最小值为多少？ 【解题思路】（1）利用乘“1”法，结合基本不等式分析求解； （2）利用分离常数法，结合基本不等式分析求解. 【解答过程】（1）因为是正实数，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为； （2）因为，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 16．（2025高三·全国·专题练习）若正数满足： ， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【解题思路】（1）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解； （2）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解. 【解答过程】（1）由条件等式与基本不等式，得，即， 即，解得 ，所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为． （2）由条件等式与基本不等式，得， 令，得， 解得或（舍去），即， 所以的取值范围为. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【解题思路】（1）得到，利用基本不等式进行求解即可； （2）根据题意，可得对任意的恒成立，进行求解即可. 【解答过程】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为． 设甲工程队报价为y元，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元． （2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以． 故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 18．（24-25高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【解题思路】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 19．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知，. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围. 【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明； （2）根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用求出最值即可； （3）不等式可化为恒成立，求出最小值，再借助恒成立求解即得. 【解答过程】（1）因为，，所以， 则，故， 当且仅当，即，时取等号. （2）因为，所以，则， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为. （3）因为，，所以， 则可化为恒成立， 又，当且仅当时取得等号， 所以， 则， 故的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$