第04讲 基本不等式及其应用（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 基本不等式及其应用 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 基本不等式 4 知识点2 基本不等式的证明 4 知识点3 基本不等式的几何意义 5 知识点4 用基本不等式求最大（小）值 6 题型破译 6 题型1 对基本不等式的理解及简单应用 6 题型2 利用基本不等式比较大小 7 题型3 利用基本不等式证明不等式 8 题型4 利用基本不等式求最值 8 题型5 利用基本不等式求解恒成立问题 9 04真题溯源·考向感知 10 05课本典例·高考素材 11 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）用基本不等式求最大（小）值 （2）利用基本不等式求解恒成立问题 （3）基本不等式的几何意义 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第15题，5分 天津卷，第15题，5分 天津卷，第15题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般最值问题，考虑使用基本不等式,设题灵活，难度有高有低，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握基本等式的基本内容 2.能掌握基本不等式的解题方法 3.具备函数与基本不等式思想意识，会利用函数的性质与基本不等式解决最值问题 4.能够在基本不等式与其他知识点结合时，灵活运用基本不等式的解题方法 知识点1 基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是 ，而后者要求都是 ； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 2.由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）；②（异号）； ③或 自主检测设，，则下列不等式中一定成立的是（   ） ①        ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点2 基本不等式的证明 几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 代数法 ∵，当时，；当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 自主检测若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点3 基本不等式的几何意义 基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 自主检测《几何原本》第二卷的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理和公理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在半径OB上，且，设，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 知识点4 用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 自主检测已知正实数满足，则下列说法不正确的是（ ） A．的最小值是4 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 题型1 对基本不等式的理解及简单应用 例1-1（2025·天津·调研）下列四个函数中，当时，使得恒成立的函数有（    ）个． ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 例1-2的大小关系为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 应用基本不等式时的三个关注点 (1)一正数：指式子中的a，b均为正数. (2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值. (3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值. 【变式训练1-1·变考法】若，则下列结论中错误的是（    ）. A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2021天津·模拟预测）若，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】设，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型2 利用基本不等式比较大小 例2-1已知，设命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2-2（2025天津·联考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． 【变式训练2-1·变考法】若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（2021天津·调研）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】（2021天津·调研）设，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 题型3 利用基本不等式证明不等式 例3-1（2020天津·调研）若,则下列不等式不成立的是(    ) A． B． C． D． 例3-2已知实数,，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 (1)注意基本不等式成立的条件； (2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； (3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 【变式训练3-1·变载体】已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-2】“”是“”成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-3】已知、是函数的图象上两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 题型4 利用基本不等式求最值 例4-1已知，求的最大值为（   ） A． B． C． D． 例4-2（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 方法技巧 利用基本不等式求代数式的最值 (1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值． (2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式． 【变式训练4-1】已知、均为正实数，且，则下列错误的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【变式训练4-2】若实数，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】设正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值为4 C．最小值为2 D．最小值为2 题型5 利用基本不等式求解恒成立问题 例5-1若，恒成立，则最小值为（    ） A． B． C． D． 例5-2（2023天津·模拟预测）已知，若恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．16 方法技巧 利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值 【变式训练5-1·变考法】（2021天津·调研）设，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2·变考法】（2021天津滨海新·模拟预测）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】设常数a＞0，若对一切正实数x成立，则a的取值范围为（　　　　） A． B． C． D． 1．（2017·天津·高考真题）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 2．（2019·天津·高考真题）给出下列三个命题： ①若，则； ②若正整数m和n满足，则； ③设为圆上任一点，圆以为圆心且半径为1．当时，圆与圆相切． 其中假命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2021·天津·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．若直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值是（    ） A． B． C．10 D．20 2．若实数满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．若，，，则的最小值是（    ） A．4 B． C．9 D．18 5．下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 6．函数在区间上（    ）. A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 基本不等式及其应用 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 基本不等式 4 知识点2 基本不等式的证明 5 知识点3 基本不等式的几何意义 6 知识点4 用基本不等式求最大（小）值 7 题型破译 8 题型1 对基本不等式的理解及简单应用 8 题型2 利用基本不等式比较大小 11 题型3 利用基本不等式证明不等式 14 题型4 利用基本不等式求最值 16 题型5 利用基本不等式求解恒成立问题 19 04真题溯源·考向感知 22 05课本典例·高考素材 26 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）用基本不等式求最大（小）值 （2）利用基本不等式求解恒成立问题 （3）基本不等式的几何意义 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第15题，5分 天津卷，第15题，5分 天津卷，第15题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般最值问题，考虑使用基本不等式,设题灵活，难度有高有低，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握基本等式的基本内容 2.能掌握基本不等式的解题方法 3.具备函数与基本不等式思想意识，会利用函数的性质与基本不等式解决最值问题 4.能够在基本不等式与其他知识点结合时，灵活运用基本不等式的解题方法 知识点1 基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 2.由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 自主检测设，，则下列不等式中一定成立的是（   ） ①        ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用基本不等式的知识对各选项逐一分析即可 【详解】对于①，因为，，所以，当且仅当时等号成立，故①错误； 对于②，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，则成立，故②正确； 对于③，， 当且仅当即时等号成立， 因为，所以成立，故③正确； 对于④， ， 当且仅当，即时等号成立，故④正确. 故选：C 知识点2 基本不等式的证明 几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 代数法 ∵，当时，；当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 自主检测若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AD通过分析符号可完成判断； B由基本不等式可判断选项正误； C由做差法可判断选项正误. 【详解】对于A，因，则同号，但由题不能判断同为正或同为负， 当为负数时，，则A错误； 对于B，，当且仅当，即时，取等号，故B正确 对于C，，故C错误； 对于D，由A分析，当为负数时，，则D错误； 故选：B 知识点3 基本不等式的几何意义 基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 自主检测《几何原本》第二卷的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理和公理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在半径OB上，且，设，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，则，由此可求出OF的长，继而利用勾股定理求出CF的长，结合直角三角形边长的关系，即可得答案. 【详解】如图，连接，则， 由于O为AB的中点，故； 又， 则在中，， 由于，故， 故选：C. 知识点4 用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 自主检测已知正实数满足，则下列说法不正确的是（ ） A．的最小值是4 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】B 【分析】根据题意利用基本不等式以及常用不等式逐项分析判断． 【详解】因为正实数满足， 对于A：因为，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值是4，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于C：因为，即， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故D正确. 故选：B． 题型1 对基本不等式的理解及简单应用 例1-1（2025·天津·调研）下列四个函数中，当时，使得恒成立的函数有（    ）个． ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式及所给条件一一判断即可. 【详解】由题意知且，所以； 对于①：，，则， ， 因为 ， 所以，即，故①正确； 对于②：，，则， ， 因为，所以，即，故②正确； 对于③：，，则， ， 因为，所以， 即，故③错误； 对于④：，，则， ， 因为，所以， 所以，故④错误. 故选：B 例1-2的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数性质及基本不等式比较各数的大小. 【详解】由， 由，即，故， 综上，. 故选：A 方法技巧 应用基本不等式时的三个关注点 (1)一正数：指式子中的a，b均为正数. (2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值. (3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值. 【变式训练1-1·变考法】若，则下列结论中错误的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法可判断AB，由不等式的性质判断C，根据基本不等式可判断D. 【详解】由，∵，，，，故A正确； 由，∵， ∴，，故B正确； ∵，，，故C错误； ∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴，∵a≠b，故等号取不到，故，故D正确. 故选：C 【变式训练1-2】（2021天津·模拟预测）若，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件有，且，，，结合指对幂函数的性质比较的大小. 【详解】由，且知：， ∴，，， ∴，而，即， 综上，有. 故选：C 【变式训练1-3】设，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】本题可通过基本不等式得出“”是“”的充分条件，然后通过取、得出“”不是“”的必要条件，即可得出结果. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 故“”是“”的充分条件， 当时，、满足，但不满足， 故“”不是“”的必要条件， “”是“”的充分而不必要条件， 故选：A. 题型2 利用基本不等式比较大小 例2-1已知，设命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合基本不等式即可证明充分性成立，用特值检验即可说明必要性不成立. 【详解】取,满足,但，必要性不成立， 由基本不等式得,由题可知,则,解得,充分性成立， 则是的充分不必要条件， 故选：A 例2-2（2025天津·联考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过换底公式得，再结合单调性可以判断b，c的大小，再以“1”作为中间量，可以判断a，b的大小，从而得解. 【详解】设，，则，当且仅当时等号成立，则， 又，，所以 因为，所以， 综上，a，b，c的大小关系是 故选：A 方法技巧 利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． 【变式训练2-1·变考法】若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式以及基本不等式的性质，结合作差法判断各选项． 【详解】因为，可得， 因为， 所以，即， 因为， 所以，即， 所以． 故选：D． 【变式训练2-2】（2021天津·调研）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式性质判断ACD，利用基本不等式判断B. 【详解】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立，又，所以，正确； 对于C，因为，所以，，所以，错误； 对于D，因为，所以，所以， 又，所以即，错误； 故选：B. 【变式训练2-3】（2021天津·调研）设，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过变形，而，故可判断大小， 再作差利用基本不等式有即可得解. 【详解】由， ， 所以， 所以， 故选：A. 题型3 利用基本不等式证明不等式 例3-1（2020天津·调研）若,则下列不等式不成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据均值不等式可知，不正确. 【详解】因为，所以，这与选项C显然矛盾，故C选项错误.其它三项正确. 例3-2已知实数,，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】 且 ， ， 等号成立的条件是， 又 ， ， 等号成立的条件是, ， 反过来，当时，此时，但 ，不成立， “”是“”的充分不必要条件. 故选:C 方法技巧 利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 (1)注意基本不等式成立的条件； (2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； (3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 【变式训练3-1·变载体】已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过举例的方法，以及基本不等式，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若，满足，但， 若，，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式训练3-2】“”是“”成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先化简后面的条件，然后通过重要不等式说明前者推出后者成立；反之通过举反例说明不成立． 【详解】⇔a2+b2＞2ab⇔a≠b； 所以若a＞b成立，则a≠b，即； 反之若成立，即a≠b则a＞b不一定成立，还可能a<b； 所以“a＞b”是“”的充分不必要条件； 故选A． 【变式训练3-3】已知、是函数的图象上两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式求出，再利用对数函数的单调性及对数的运算即可求解. 【详解】根据已知条件有，，所以， 因为、是函数的图象上两个不同的点， 所以，所以，即， 因为为上的增函数， 所以， 所以 故选：B 题型4 利用基本不等式求最值 例4-1已知，求的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意整理可得，利用基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 例4-2（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】利用基本不等式即得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，且，即时，取等号， 所以的最小值为2. 故选：D. 方法技巧 利用基本不等式求代数式的最值 (1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值． (2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式． 【变式训练4-1】已知、均为正实数，且，则下列错误的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】B 【分析】对A，利用基本不等式即可解得； 对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案； 对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案； 对D，将原式变化为，进而化简，然后设,，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案. 【详解】对于A选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最大值为，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C选项， ， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 所以，的最小值为，C对； 对于D选项， ， 设，，可得， 则上式， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，D对. 故选：B. 【变式训练4-2】若实数，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所求式子转化为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】，，， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为. 故选：C. 【变式训练4-3】设正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值为4 C．最小值为2 D．最小值为2 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式即可求解A；利用乘“1”法即可求解可判断B；利用完全平方式的性质即可求解C；将“1”代换，即可由基本不等式求解D.. 【详解】对于A，，解得，当且仅当时等号成立，故A不正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立，故B不正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立，故D错误． 故选：C. 题型5 利用基本不等式求解恒成立问题 例5-1若，恒成立，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】由题可得， 又注意到， 当且仅当，即时取等号.则. 故选：C 例5-2（2023天津·模拟预测）已知，若恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．16 【答案】C 【分析】不等式分离参数转化利用基本不等式求最值后得参数范围． 【详解】因为，所以， 原不等式变为， 而，当且仅当即时等号成立．所以的最小值是9， ，从而最大值是9． 故选：C． 方法技巧 利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值 【变式训练5-1·变考法】（2021天津·调研）设，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，再利用基本不等式求出的最小值，再解一元二次不等式即可； 【详解】解：依题意对恒成立，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即时取得最小值，所以，所以，解得，即 故选：A 【变式训练5-2·变考法】（2021天津滨海新·模拟预测）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件，先由基本不等式，求出的最小值，进而可得出结果. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 又恒成立，所以只需，解得. 故选：A. 【变式训练5-3】设常数a＞0，若对一切正实数x成立，则a的取值范围为（　　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用基本不等式求出的范围，再解关于a的不等式即可． 【详解】解：因为：，， 所以：2=6a． ∴原不等式恒成立，即可转换为，解得． 所以a的取值范围为：． 故选A． 1．（2017·天津·高考真题）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式为(*)， 当时，(*)式即为，， 又（时取等号）， （时取等号）， 所以， 当时，(*)式为，， 又（当时取等号）， （当时取等号）， 所以， 综上．故选A． 2．（2019·天津·高考真题）给出下列三个命题： ①若，则； ②若正整数m和n满足，则； ③设为圆上任一点，圆以为圆心且半径为1．当时，圆与圆相切． 其中假命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题应对每个命题作出准确判断，①考查不等式性质，通分对分子做差判断正负即可；②用基本不等式判断；③考查两圆的位置关系，关键是找出点P（x1，y1）与点Q（a，b）的位置关系. 【详解】解：①a≥b＞﹣1时，由于a（1+b）﹣b（1+a）＝a﹣b≥0，故≥成立，所以①为真命题； ②由基本不等式可知：，当且仅当时，等号成立，所以②为真命题； ③中P（x1，y1）为圆O1：x2+y2＝9上任一点，（a﹣x1）2+（b﹣y1）2＝1表示P（x1，y1）Q（a，b）两点间的距离为1，又圆O2以Q（a，b）为圆心且半径为1，所以圆O2与圆O1有公共点，但不一定相切.故③是假命题. 故选：B 3．（2021·天津·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有， 同理，， 故， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 法2：不妨设，则， 由排列不等式可得： ， 而， 故不可能均大于. 取，，， 则， 故三式中大于的个数的最大值为2， 故选：C. 1．若直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值是（    ） A． B． C．10 D．20 【答案】D 【解析】先设直角边a，b，利用面积得，再利用基本不等式可得两条直角边的和的最小值. 【详解】设直角三角形的两条直角边边长为a，b，则，直角三角形的面积为，故，则两条直角边的和，当且仅当时等号成立，故两条直角边的和的最小值是20. 故选：D. 2．若实数满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用均值不等式即可得解. 【详解】由均值不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是2. 故选：B. 3．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式以及作差法即可求解. 【详解】由题意，则，即，由基本不等式得， 又，即， 所以. 故选：D. 4．若，，，则的最小值是（    ） A．4 B． C．9 D．18 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为，，，所以，当且仅当时取等号， 故选：D 5．下列命题中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可. 【详解】解:选项A.，，等号成立的条件是，等号取不到，所以，故A错误； 选项B.当时，，，当且仅当时等号成立，故B正确； 选项C.，，等号成立的条件是，等号取不到，即，故C错误； 选项D.当时，，等号成立的条件是，即时，但条件，所以等号取不到，故，故D错误. 故选：B 6．函数在区间上（    ）. A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 【答案】A 【分析】结合基本不等式即可求解． 【详解】解：因为函数，； ； 当且仅当即时等号成立； 函数在区间上有最大值：，无最小值． 故选：A． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$