2026年吉林省长春市中考数学复习专题（第22题）-几何探究

2026年吉林省长春市中考复习专题（第22题）-几何探究 类型一、隐圆 隐圆模型识别： 定点定长：定点为圆心，定长为半径（常见问法：对称） 定角定弦：定角为圆周角，定弦为直径（或弦）（90°定角时，定弦（对边）为直径；120°、130°、45°等情况时，定弦（对边）为弦） 1．（2025年吉林省长春市第一〇八学校九年级5月中考模拟）【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明的思路完成证明过程； 【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使是直角三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，求线段的长． 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，为所求直角三角形； （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 2．（2025年吉林省长春市朝阳区吉林大学附属中学九年级中考模拟预测） 【问题提出】 （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值． 【详解】（1）解：过点作，如图所示：    由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径不变， 可知此时最大， 最大值为， 故答案为：12； （2）根据题意得是定值，， ∴点的轨迹在以为直径的圆上部分，如图，    连接，交圆于点， 此时的即为的最小， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）如图，连接，根据题意得：， 以为直径作圆Q，， ∴点E在以为直径作圆Q上， 连接， 当点Q、E、C三点共线时，取得最小值， ∵，，． ∴，， ∴， ∴的最小值为． 3．（2025年吉林省长春市中考二模数学）【问题原型】如图①，四边形是正方形，点在直线上，试探究的值最小时点的位置． 【问题探究】如图②，小明首先在射线上作点，使，利用，将转化为，这样就将双变量问题转化为探究长度最小值的单变量问题，于是将问题进一步转化成探究点轨迹的问题；其次，小明发现当时，总有，进而可知恒为直角，即可确定点的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，， 又， ． ． 四边形是正方形， ，且． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点，使的值最小，此时的值是__________．（保留作图痕迹） 【详解】解：由【问题探究】的作法可知，， 又， ． ． 四边形是正方形， ，且． ． 又， ． ； 【问题解决】以为直径作圆，连结，交圆于点， 连结并延长，交于点，连结， 点就为所求作的点． 连结， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴． ∴． 4．（2025年吉林省长春市朝阳区二模）【问题原型】 如图①，在矩形中，．点在射线上，试探究的最小值． 【问题探究】 如图②，小明首先在右侧作，利用，将转化为，这样就将双变量（）问题转化为探究长度最小值的单变量问题，于是将问题进一步转化成探究点的轨迹问题；其次，小明发现当时，总有，进而可知恒为直角，即可确定点的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，， ∴． ． ． 四边形是矩形， ． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题探究】中的点，使的值最小，此时的值是______．（保留作图痕迹） 【详解】问题探究：解：证明：由【问题探究】的作法可知，， ∴． ． ． 四边形是矩形， ． ， ， ， ， ， 即有， ， ； 问题解决：所作点，如图所示： 结合问题探究可知， 由作图过程可知，为的中点， ，， ， 当三点共线时，的值最小，为的长， 为定长， 此时最小，即的值最小， 四边形是矩形， ， ， ， ， 即； 故答案为：． 5．（吉林省长春市新区2024-2025学年下学期九年级中考二模）【问题呈现】数学小组遇到一个问题：如图①，矩形中，，，点、分别在、上，且．过点作，垂足为，确定点的运动轨迹． 【问题解决】小组同学经过讨论，连接交于点，可证，通过勾股定理，进而可证明是定长．定角定长可得点的轨迹． 解：如图②，连接交于， 四边形是矩形， ，， ，， ____________________， ， _________________________， 又_____，_____ ， _____， ， 点在以为直径的圆上运动． 【结论应用】 （1）当点运动到边上时，求的长． （2）当最大时，则_____． 【详解】解：问题解决： 如图②，连接交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动． 故答案为：，，， ，（或）； 结论应用： （1）当点运动到边上时，于点M，点和点重合，此时， ∴四边形是矩形， ， ∵， ∴； （2）∵点在以为直径的圆上运动， ∴弦的最大值为直径，此时与重合，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 6．（2025年吉林省长春市二道区中考二模）【问题原型】如图①，在中，，，．点D是边上一点，，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】如图②，小明发现点C的轨迹是以的中点为圆心，半径为3的圆的一部分，因为，所以点C的变化会导致点D的变化，于是将问题进一步转化为探究点D的轨迹问题：小明过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结，则，可知恒为直角，又因为点B和点E均为定点，即可确定点D的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结． 证明过程缺失 …… 又，， ， ． 请你补全缺失的证明过程． 【解决问题】在图③中，点O是线段的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点D，使线段长度的最小，此时线段长度的最小值是________．（保留作图痕迹） 【解决问题】以O为圆心，为半径作；连接，则当点D在线段上时，最小，利用勾股定理求出的长，即可求出的最小值． 【详解】解：【问题探究】过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结． ∴； ∵， ∴， ∴； 又，， ， ． 【问题解决】以O为圆心，为半径作，作图如下： 连接，则； 当点D在线段上时，最小，最小值为； 在中，， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：， 7．（吉林省长春市朝阳区博硕学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟）【问题初探】 （1）如图1，动点A在半径为2的上，若，直接写出的最小值． 由于和都是定长，当点A，B，O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点A在上时对应的就是最小的情形．按照霖霖的思路，请直接写出最小值． 【类比分析】 （2）如图2，点E和F分别是边长为4的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点G，连接，求的最小值． 霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获解，清按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程．以下是证明的部分过程 证明： ∴可判断点G的轨迹，即的最小值为_________． 请补全缺失的证明过程． 【学以致用】 （3）如图3，是两块等腰直角三角板，，，．当点D和E同时在边和上滑动时，点F也随之移动，若连接，则的最大值是_________． 【详解】解：（1）如图，连接和， 则， ∴当O、A、B三点共线时，取得最小值， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴. ∵， ， 即， ∴， ， ， ， 如图，取中点O，连接和， 则， ， ∵， 即， 当三点共线时，取得最小值， ； （3）解：作的外接圆，连接， ∵， ∴，同理， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 同理可求在中，， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， 即， 当点三点共线时，取得最大值， ∴， 故答案为：． 类型二、阿氏圆 阿氏圆模型识别： 已知平面上两点、，则所有满足（）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆” 如：的半径为，点、都在外，为上一动点，已知，连接、，则当“”的值最小时，点的位置如何确定？ 解题方法 第一步：连接动点于圆心（一般将含有的线段两端点分别与圆心相连），即连接、； 第二步：计算出线段与及与的线段比，找到线段比为的情况，如例子中的 第三步：在上取点，使得；（核心关键步骤） 第四步：连接，与的交点即为点 8．（2025年吉林省长春七十二中中考数学二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵， 此时． 故答案为：； 模型探究：证明：∵， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 9．（2025年吉林省长春市宽城区中考二模）【问题提出】如图①，在中，，于点．与有相似关系，恰似子依母怀，称为“子母型”相似，由相似性质可知（不需要证明）． 【问题迁移】如图②，在中，点是边上一点，连结． （1）已知，求证：． （2）已知，，小明同学认为若，则的长是长的一半．你认为小明的观点正确吗？请说明理由． 【问题应用】如图③，在中，，，．以点为圆心，为半径作，为上一动点，连结、、，则的最小值为________． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）小明同学的观点正确 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ （3）如图，上取点，且，连接，， ∵ 又∵ ∴ ∴，即 ∴当在上时，的最小值为的长， ∵ 故答案为：． 类型三、逆等线 逆等线模型识别： 在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，（即逆向相等，则称AD和CE为逆等线）求BE+CD的最小值. 解题方法：将△ADC拼接到△CEF, 连接BF，BE+CD 的最小值为线段BF的长 10．（2025年吉林省长春市东北师范大学附属中学明珠学校中考四模）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图，是等边三角形，边长为，点分别是边上的点（均不与三角形顶点重合），且，连接，试探究的最小值． 【问题解决】经讨论，小组同学想利用构造平行四边形的方式解决问题：如图，过点作且，连接，通过平行四边形的性质可推出，故将问题转化为探究的最小值，只要得出的度数不变，即可确定点在射线上运动，进而求出的最小值．下面是部分证明过程： 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 证明过程缺失 ∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值（填写依据：_______） ∴的最小值为________． 请补全缺失的证明过程； 【结论应用】 如图，当中，，，点、点分别是边、边上的动点（均不与三角形顶点重合），且，连接，则的最小值是_______； 【拓展提升】 如图，当中，，，点、点分别是边、边上的动点（均不与三角形顶点重合），且，连接，则的最小值是_______．    【详解】[问题解决]证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值（垂线段最短）， ∴的最小值为， 故答案为：垂线段最短，； [结论应用]解：如图，过点作使，连接，作射线，    ∴四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值， 此时是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； [拓展提升]解：如图，过点作使，连接，作射线，如图所示：   ，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴ 设，则， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值， ∴， ， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 11．（2025年吉林省长春市南湖实验中学中考三模）【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角中，，，分别是边上的两个动点，，连结，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用三点共线，将上述问题解决． 【问题解决】如图②，过点作，且，连结；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的最小值为____________． 【方法运用】如图③，在菱形中，，分别是边上的两个动点，．连结，则的最小值为__________． 【拓展迁移】如图④，在等边中，是高，点在线段上，点在边上，，连结，若，则的最小值为__________． 【答案】（1）见解析；（2）；[方法运用] ；[拓展迁移] 【详解】（1）证明：∵过点作，使，连接． ∴． ∵， ∴． （2）解：连接，过点F作，交延长线于点G． 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． [方法运用]连接，设交于点O． ∵菱形中，，， ∴与都是等边三角形． ∴．， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是的长． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． [拓展迁移] 过点A作，使，连接． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是线段的长． ∵， ∴． ∴． ∵等边中，， ∴． ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 类型四、三垂直+二次函数最值 12．（2025年吉林省长春市东北师范大学附属中学明珠学校中考三模）【问题呈现】如图①，在等腰直角中，，，点在边上运动（点不与点、重合），将绕点逆时针旋转得到，连接，求面积的最大值． 【问题分析】由旋转可得，因此，进而得到，所以为直角三角形，可以设，用含的式子表示的面积，最后配方可得面积的最大值． 【问题解决】在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）面积的最大值为___________，此时线段的长为___________． 【方法应用】（3）如图②，在矩形中，，，点在边上运动（点不与点重合），将绕点顺时针旋转得到，连接、，则面积的最大值为___________ 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：， 设，则， ∴的面积， ∴当时，的面积最大，为，此时； （3）解，如图，过点作于，交于， ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为． 类型五、胡不归 模型识别：已知点C为直线L上的一个动点，在直线L上找一点C使kAC+BC（0<k<1）最小。 解题方法： 第一步：以点A为顶点，在直线L的下方（点B的异侧）构造一个角，使得sin=k,过点C作垂线交于点D。 第二步：在ACD中，sin=,即CD=ACsin 第三步：kAC +BC=CD+BC≥BE 第四步：过点B作AD的垂线交于点E，交直线L 于点，此时kAC +BC 最小，最小为BE的长。 13．（吉林省长春高新技术产业开发区慧谷学校2024-2025学年九年级下学期6月中考模拟）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【问题原型】已知为正实数，求的最小值． 【问题探究】通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图1，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连结，，设，则． ①用含的代数式表示______，则可用图中线段______表示； ②据此写出的最小值是______； ③请结合上述探究过程，在图1已知条件的基础上，用圆规和无刻度的直尺，在图2中作出线段，使得，并结合作图求出的最小值．（保留作图过程） 【问题解决】已知为正实数，则的最小值为______． 【详解】解：问题探究：①在中，； ∵， ∴， 又， 在中，； 故答案为：；； ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图， ∵， 则四边形为长方形， ∴， ， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； ③作，作的平分线，过点作于点，则是等腰直角三角形，如图， 设，则，， 延长交于点，过点作于点N， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴, 又，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又， 当、、在同一条直线时，的值最小，为， 即的最小值为； 问题解决：作，，，在上取一点，使，则， 作，过点作于点，则：， 在中，， 延长交于点，过点作于点D， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴, 又， 当、、在同一条直线时，的值最小，为， 即的最小值为． 故答案为：． 14．（2025年吉林省第二实验学校九年级中考二模）【问题原型】如图①，在中，是线段上任意一点，试探究的最小值． 【问题探究】如图②，小明首先以为一边作．然后，作，由三角函数的定义，将转化为．于是求的最小值就转化为求的最小值．当点A、P、H在一条直线上时，即可求出的最小值． 以下是小明的部分求解过程： 由【问题探究】的作法可知 过点作射线使，作于 在中， 求解过程缺失 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图③，在中，为边CD上的一动点，直接写出的最小值____________．并用圆规和无刻度的直尺在图③中确定点的位置（保留作图痕迹）； 【问题迁移】小明在此基础上想求解的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接写出最小值____________． 【详解】[问题探究]解：过点作射线使，作于 在中， ， ， ， 当点A、P、H在一条直线上时，有最小值， 此时； [问题应用] 解：如图，过点作，交 的延长线于点， ，， ， ， ， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， ， ， 故答案为：； 尺规作图如下： 以点为顶点作，则，与的交点即为点， ； [问题迁移]解：如图，，， ， 令， 根据勾股定理可得， ，， ， 求的最小值，即求的最小值， 当三点共线时，的值最小，为的长度， 连接， , ， ， 根据勾股定理可得， ， 即的最小值为， 故答案为：． 类型五、瓜豆原理 模型识别：瓜豆原理（定比定夹角）：若PA：PB=k，且∠APB= 模型结论：①主动点、从动点的轨迹是相同的图形（但不全等）种线得线，种圆得圆 ②主、从动点与定点连线夹角等于主动点与从动点轨迹夹角 ③主、从动点到定点的距离之比等于主动点与从动点轨迹比值 15．（林省长春市力旺实验初级中学2024-2025学年九年级下学期中考三模）【问题原型】如图①，在中，．点D在边上运动，连结，以为边作，使点A、E在同侧，且，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】乐乐同学想探究点E的运动轨迹，进而求出线段的最小值．乐乐利用从特殊到一般的数学思想，他先选取了特殊位置进行研究，再通过证明即确定点E的运动轨迹．如图②，过点B作于点F，乐乐发现，当点D与点C重合时，点E与点F重合；再通过证明，进一步确定点E的运动轨迹为过点F一条线段． 下面是乐乐关于一般情况的证明过程，请补充证明过程缺失部分： 如图②，顶点D在边上运动， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴点E的运动轨迹为过点F一条线段． 【问题解决】如图③，设直线交于点M． （1）的面积为__________； （2）线段的最小值为__________． 【详解】[问题探究] 解：补全过程： ∴，， ∴，； [问题解决] （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，取得最小值， ∵， ∴． 16．（吉林省长春市吉大尚德学校2024-2025学年九年级下学期6月份考前模拟）[问题再现]如图①，是的半径，，点在上，将点沿的方向平移到点，使．当点在上运动一周时，可在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质即可推出点的运动路径是以点为圆心、5为半径的圆．(不用证明) [变式探究]如图②，是的半径，，点在上，过点作，且点在点的上方，．当点在上运动一周时，判断点的运动路径并证明． [结论应用]如图③，在上述问题的条件下，点在线段上，且，当点在上运动一周时，点的运动路径长为___________ [拓展应用]如图④，在矩形中，，点是平面内一点，，点在点的上方．点是线段上的任意一点，连结．设线长度的最大值为，最小值为，则___________，___________． 【详解】解：[变式探究]如图， 作，截取， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]如图， 在上截取，连接， 同理可得，点运动路径是以为圆心，为半径的圆， 因为， 故答案为：； [拓展应用]如图， 作，截取， 由上可知：， 点在以上的点为圆心，为半径的圆上运动， 连接，并延长，交于点，连接，交于， 此时最大，最小， 在中，，， 在中，， ， 故答案为：， 类型六、反演变换 模型识别：反演变换（定积定夹角）：若PAPB=k，且∠APB= 主动点A的运动轨迹 反演中心（点P） 从动点（点B）运动轨迹 直线 在直线上 直线 直线 在直线外 圆 圆 在圆上 直线 圆 在圆外 圆 17．（吉林省长春市力旺实验初级中学2024-2025学年九年级下学期中考四模）【问题原型】 如图①，，点C为上一点，且，D是边上的动点，，且，连接，求的最大值． 【问题探究】 如图②，小明过点C做，过点E作，可得，连结、，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点E的轨迹进而解决问题． 以下是小明确认为定值的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，． 证明过程缺失 ． 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点E的轨迹，并直接写出最大值______（保留作图痕迹） 【问题拓展】 如图，，C为上一点，，D是边上的动点，，且，直接写出的最大值______． 【详解】解：问题探究：如图1，过点C作，过点E作，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 长为定值； 问题解决：， ∴点E在上运动； 如图2，作的垂直平分线交于点G，以G为圆心，为直径作圆，点E的运动轨迹就是， 当过点G时的值最大， ， ， 由勾股定理得：， ， 即的最大值是； 故答案为：； 问题拓展：如图3，过点C作，过点E作，连接，，过点C作于点M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 长为定值； 如图4，， ∴点E在上运动， 过点G作于点N，过点F作于点K， ∴四边形、是矩形， ∴，， 当过点G时的值最大， ， ∴由勾股定理得：， ， 即的最大值为， 故答案为：． 试卷第18页，共33页 试卷第6页，共42页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年吉林省长春市中考复习专题（第22题）-几何探究 类型一、隐圆 隐圆模型识别： 定点定长：定点为圆心，定长为半径（常见问法：对称） 定角定弦：定角为圆周角，定弦为直径（或弦）（90°定角时，定弦（对边）为直径；120°、130°、45°等情况时，定弦（对边）为弦） 1．（2025年吉林省长春市第一〇八学校九年级5月中考模拟）【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明的思路完成证明过程； 【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使是直角三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，求线段的长． 2．（2025年吉林省长春市朝阳区吉林大学附属中学九年级中考模拟预测） 【问题提出】 （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值． 3．（2025年吉林省长春市中考二模数学）【问题原型】如图①，四边形是正方形，点在直线上，试探究的值最小时点的位置． 【问题探究】如图②，小明首先在射线上作点，使，利用，将转化为，这样就将双变量问题转化为探究长度最小值的单变量问题，于是将问题进一步转化成探究点轨迹的问题；其次，小明发现当时，总有，进而可知恒为直角，即可确定点的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，， 又， ． ． 四边形是正方形， ，且． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点，使的值最小，此时的值是__________．（保留作图痕迹） 4．（2025年吉林省长春市朝阳区二模）【问题原型】 如图①，在矩形中，．点在射线上，试探究的最小值． 【问题探究】 如图②，小明首先在右侧作，利用，将转化为，这样就将双变量（）问题转化为探究长度最小值的单变量问题，于是将问题进一步转化成探究点的轨迹问题；其次，小明发现当时，总有，进而可知恒为直角，即可确定点的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，， ∴． ． ． 四边形是矩形， ． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题探究】中的点，使的值最小，此时的值是______．（保留作图痕迹） 5．（吉林省长春市新区2024-2025学年下学期九年级中考二模）【问题呈现】数学小组遇到一个问题：如图①，矩形中，，，点、分别在、上，且．过点作，垂足为，确定点的运动轨迹． 【问题解决】小组同学经过讨论，连接交于点，可证，通过勾股定理，进而可证明是定长．定角定长可得点的轨迹． 解：如图②，连接交于， 四边形是矩形， ，， ，， ____________________， ， _________________________， 又_____，_____ ， _____， ， 点在以为直径的圆上运动． 【结论应用】 （1）当点运动到边上时，求的长． （2）当最大时，则_____． 6．（2025年吉林省长春市二道区中考二模）【问题原型】如图①，在中，，，．点D是边上一点，，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】如图②，小明发现点C的轨迹是以的中点为圆心，半径为3的圆的一部分，因为，所以点C的变化会导致点D的变化，于是将问题进一步转化为探究点D的轨迹问题：小明过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结，则，可知恒为直角，又因为点B和点E均为定点，即可确定点D的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：过点B作，使点E和点C在直线同侧，且，连结． 证明过程缺失 …… 又，， ， ． 请你补全缺失的证明过程． 【解决问题】在图③中，点O是线段的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点D，使线段长度的最小，此时线段长度的最小值是________．（保留作图痕迹） 7．（吉林省长春市朝阳区博硕学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟）【问题初探】 （1）如图1，动点A在半径为2的上，若，直接写出的最小值． 由于和都是定长，当点A，B，O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点A在上时对应的就是最小的情形．按照霖霖的思路，请直接写出最小值． 【类比分析】 （2）如图2，点E和F分别是边长为4的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点G，连接，求的最小值． 霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获解，清按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程．以下是证明的部分过程 证明： ∴可判断点G的轨迹，即的最小值为_________． 请补全缺失的证明过程． 【学以致用】 （3）如图3，是两块等腰直角三角板，，，．当点D和E同时在边和上滑动时，点F也随之移动，若连接，则的最大值是_________． 类型二、阿氏圆 阿氏圆模型识别： 已知平面上两点、，则所有满足（）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆” 如：的半径为，点、都在外，为上一动点，已知，连接、，则当“”的值最小时，点的位置如何确定？ 解题方法 第一步：连接动点于圆心（一般将含有的线段两端点分别与圆心相连），即连接、； 第二步：计算出线段与及与的线段比，找到线段比为的情况，如例子中的 第三步：在上取点，使得；（核心关键步骤） 第四步：连接，与的交点即为点 8．（2025年吉林省长春七十二中中考数学二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 9．（2025年吉林省长春市宽城区中考二模）【问题提出】如图①，在中，，于点．与有相似关系，恰似子依母怀，称为“子母型”相似，由相似性质可知（不需要证明）． 【问题迁移】如图②，在中，点是边上一点，连结． （1）已知，求证：． （2）已知，，小明同学认为若，则的长是长的一半．你认为小明的观点正确吗？请说明理由． 【问题应用】如图③，在中，，，．以点为圆心，为半径作，为上一动点，连结、、，则的最小值为________． 类型三、逆等线 逆等线模型识别： 在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，（即逆向相等，则称AD和CE为逆等线）求BE+CD的最小值. 解题方法：将△ADC拼接到△CEF, 连接BF，BE+CD 的最小值为线段BF的长 10．（2025年吉林省长春市东北师范大学附属中学明珠学校中考四模）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图，是等边三角形，边长为，点分别是边上的点（均不与三角形顶点重合），且，连接，试探究的最小值． 【问题解决】经讨论，小组同学想利用构造平行四边形的方式解决问题：如图，过点作MD//BC且，连接，通过平行四边形的性质可推出，故将问题转化为探究的最小值，只要得出的度数不变，即可确定点在射线上运动，进而求出的最小值．下面是部分证明过程： 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 证明过程缺失 ∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值（填写依据：_______） ∴的最小值为________． 请补全缺失的证明过程； 【结论应用】 如图，当中，，，点、点分别是边、边上的动点（均不与三角形顶点重合），且，连接，则的最小值是_______； 【拓展提升】 如图，当中，，，点、点分别是边、边上的动点（均不与三角形顶点重合），且，连接，则的最小值是_______． 11．（2025年吉林省长春市南湖实验中学中考三模）【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角中，，，分别是边上的两个动点，，连结，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用三点共线，将上述问题解决． 【问题解决】如图②，过点作，且，连结；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的最小值为____________． 【方法运用】如图③，在菱形中，，分别是边上的两个动点，．连结，则的最小值为__________． 【拓展迁移】如图④，在等边中，是高，点在线段上，点在边上，，连结，若，则的最小值为__________． 类型四、三垂直+二次函数最值 12．（2025年吉林省长春市东北师范大学附属中学明珠学校中考三模）【问题呈现】如图①，在等腰直角中，，，点在边上运动（点不与点、重合），将绕点逆时针旋转得到，连接，求面积的最大值． 【问题分析】由旋转可得，因此，进而得到，所以为直角三角形，可以设，用含的式子表示的面积，最后配方可得面积的最大值． 【问题解决】在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）面积的最大值为___________，此时线段的长为___________． 【方法应用】（3）如图②，在矩形中，，，点在边上运动（点不与点重合），将绕点顺时针旋转得到，连接、，则面积的最大值为___________． 类型五、胡不归 模型识别：已知点C为直线L上的一个动点，在直线L上找一点C使kAC+BC（0<k<1）最小。 解题方法： 第一步：以点A为顶点，在直线L的下方（点B的异侧）构造一个角，使得sin=k,过点C作垂线交于点D。 第二步：在ACD中，sin=,即CD=ACsin 第三步：kAC +BC=CD+BC≥BE 第四步：过点B作AD的垂线交于点E，交直线L 于点，此时kAC +BC 最小，最小为BE的长。 13．（吉林省长春高新技术产业开发区慧谷学校2024-2025学年九年级下学期6月中考模拟）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【问题原型】已知为正实数，求的最小值． 【问题探究】通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图1，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连结，，设，则． ①用含的代数式表示______，则可用图中线段______表示； ②据此写出的最小值是______； ③请结合上述探究过程，在图1已知条件的基础上，用圆规和无刻度的直尺，在图2中作出线段，使得，并结合作图求出的最小值．（保留作图过程） 【问题解决】已知为正实数，则的最小值为______． 14．（2025年吉林省第二实验学校九年级中考二模）【问题原型】如图①，在中，是线段上任意一点，试探究的最小值． 【问题探究】如图②，小明首先以为一边作．然后，作，由三角函数的定义，将转化为．于是求的最小值就转化为求的最小值．当点A、P、H在一条直线上时，即可求出的最小值． 以下是小明的部分求解过程： 由【问题探究】的作法可知 过点作射线使，作于 在中， 求解过程缺失 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图③，在中，为边CD上的一动点，直接写出的最小值____________．并用圆规和无刻度的直尺在图③中确定点的位置（保留作图痕迹）； 【问题迁移】小明在此基础上想求解的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接写出最小值____________． 类型五、瓜豆原理 模型识别：瓜豆原理（定比定夹角）：若PA：PB=k，且∠APB= 模型结论：①主动点、从动点的轨迹是相同的图形（但不全等）种线得线，种圆得圆 ②主、从动点与定点连线夹角等于主动点与从动点轨迹夹角 ③主、从动点到定点的距离之比等于主动点与从动点轨迹比值 15．（林省长春市力旺实验初级中学2024-2025学年九年级下学期中考三模）【问题原型】如图①，在中，．点D在边上运动，连结，以为边作，使点A、E在同侧，且，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】乐乐同学想探究点E的运动轨迹，进而求出线段的最小值．乐乐利用从特殊到一般的数学思想，他先选取了特殊位置进行研究，再通过证明即确定点E的运动轨迹．如图②，过点B作于点F，乐乐发现，当点D与点C重合时，点E与点F重合；再通过证明，进一步确定点E的运动轨迹为过点F一条线段． 下面是乐乐关于一般情况的证明过程，请补充证明过程缺失部分： 如图②，顶点D在边上运动， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴点E的运动轨迹为过点F一条线段． 【问题解决】如图③，设直线交于点M． （1）的面积为__________； （2）线段的最小值为__________． 16．（吉林省长春市吉大尚德学校2024-2025学年九年级下学期6月份考前模拟）[问题再现]如图①，是的半径，，点在上，将点沿的方向平移到点，使．当点在上运动一周时，可在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质即可推出点的运动路径是以点为圆心、5为半径的圆．(不用证明) [变式探究]如图②，是的半径，，点在上，过点作，且点在点的上方，．当点在上运动一周时，判断点的运动路径并证明． [结论应用]如图③，在上述问题的条件下，点在线段上，且，当点在上运动一周时，点的运动路径长为___________ [拓展应用]如图④，在矩形中，，点是平面内一点，，点在点的上方．点是线段上的任意一点，连结．设线长度的最大值为，最小值为，则___________，___________． 类型六、反演变换 模型识别：反演变换（定积定夹角）：若PAPB=k，且∠APB= 主动点A的运动轨迹 反演中心（点P） 从动点（点B）运动轨迹 直线 在直线上 直线 直线 在直线外 圆 圆 在圆上 直线 圆 在圆外 圆 17．（吉林省长春市力旺实验初级中学2024-2025学年九年级下学期中考四模）【问题原型】 如图①，，点C为上一点，且，D是边上的动点，，且，连接，求的最大值． 【问题探究】 如图②，小明过点C做，过点E作，可得，连结、，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点E的轨迹进而解决问题． 以下是小明确认为定值的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，． 证明过程缺失 ． 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点E的轨迹，并直接写出最大值______（保留作图痕迹） 【问题拓展】 如图，，C为上一点，，D是边上的动点，，且，直接写出的最大值______． 试卷第6页，共19页 试卷第19页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $