专题12 几何探究（吉林专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题12 几何探究 1．（2025·吉林长春·中考真题）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ． 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． 又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形中，，． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点） （2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 ； （3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ． 【答案】探究一：三角形的任意两边之和大于第三边；探究二：在上；证明见解析；拓展应用：（1）作图见解析；（2）；（3）； 【分析】探究一：根据三角形的三边关系可得答案； 探究二：利用直角三角形斜边上的中线的性质证明即可得到答案； 拓展应用：（1）连接，交于点，以为圆心，为半径作圆即可； （2）结合矩形性质与勾股定理计算即可； （3）作的垂直平分线，交于，交于，可得四边形，是两个全等的矩形，，用两个等圆完全覆盖矩形，可得两圆一定过，再进一步解答即可. 【详解】解：探究一： 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（三角形的任意两边之和大于第三边）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边． 故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边； 探究二：∵，为的中点， ∴， ∴在上； 拓展应用：（1）如图，即为矩形的最小覆盖圆； （2）∵矩形，，， ∴，； （3）作的垂直平分线，交于，交于， ∴四边形，是两个全等的矩形， ∴， ∵用两个等圆完全覆盖矩形， ∴两圆一定过， 连接，交点分别为， 同理可得：这样的两个等圆的最小直径为或或或， ∴最小直径为， 如图，作的垂直平分线交于， 同法作，，此时不是直径最小的等圆； 综上：用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为. 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，点与圆的位置关系，多边形的外接圆的含义，矩形的判定与性质，熟练的作图是解本题的关键. 2．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 【答案】[探究发现]：四边形是菱形，理由见解析；[探究证明]：四边形是平行四边形；[探究提升]：四边形为轴对称图形时，的值为或，理由见解析 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及到平行四边形，矩形，菱形、等边三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的判定定理，平行四边形的判定定理； [探究发现]由将△沿翻折得到△，即知，，而，故； [探究证明]同探究发现可知四边形是菱形，有，而为边的中点，为边的中点，四边形是平行四边形，即可得，，又，，故，，从而四边形是平行四边形； [探究提升]若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形，分两种情况进行讨论：当四边形是矩形时，过作于，过作于，设，则，可得，，求出，即可得；当四边形是菱形时，延长交于，设，求出，即可得． 【详解】[探究发现]：解：四边形是菱形，理由如下： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形； [探究证明]：证明：如图： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形； [探究提升]：解：四边形能成为轴对称图形，理由如下： 由[探究证明]知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形， 当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图： ， ， ， 设，则， ， 为中点， ，， 四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ； 当四边形是菱形时，延长交于，如图： 设，则， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，， ， △是等边三角形， ， ， ； 综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或． 3．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】问题解决：（1）见解析（2）30，；方法应用：线段长度的最小值为米 【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，根据平行四边形性质证明结论即可； （2）先证明，根据垂线段最短求出最小值； （3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，进而得，利用垂线段最短求出即可． 【详解】解：问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线， 四边形是平行四边形， ； （2）在等边中，， ； 当时，最小，此时最小， 在中， ， 线段长度的最小值为； 方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，最小，此时最小， 作于点R， 在中， ， 在中， ， 线段长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 4．（2024·吉林·中考真题）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：    【探究论证】 （1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______． （2）如图②，在菱形中，，，则______． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在中，，，，点P为边上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 【答案】（1）2，（2）4，（3），，证明见详解，（4）10 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据菱形的面积公式计算即可； （3）结合图形有，，即可得，问题随之得解； （4）先证明是直角三角形，由作图可知：，即可证明，再结合（3）的结论直接计算即可． 【详解】（1）∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵在菱形中，，， ∴， 故答案为：4； （3）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：， 猜想：， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （4）根据尺规作图可知：， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴根据（3）的结论有：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键． 5．（2023·吉林长春·中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．                   【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________． 【答案】感知：；探究：见解析；应用：． 【分析】感知：由圆周角定理即可求解； 探究：延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证； 应用：延长至点E，使，连结，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解． 【详解】感知： 由圆周角定理可得， 故答案为：； 探究： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， ， ∴，， ， 是等边三角形， ， ， 即； 应用： 延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． ， ， ∴，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解． 6．（2023·吉林·中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形其中判定的依据是__________． 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，与边分别交于点M，N．求证：是菱形． 【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，（为锐角），则四边形的面积为_________．    【答案】（操作发现），两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（探究提升），见解析；（结论应用），80 【分析】（操作发现），根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可； （探究提升），证明四边形是平行四边形，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立； （结论应用），证明四边形是菱形，求得其边长为10，作于Q，利用正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：（操作发现），∵两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （探究提升），∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （结论应用），∵平行四边形纸条沿或平移， ∴，， ∴四边形、、是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵四边形是菱形， ∴四边形是菱形， ∵四边形的周长为40， ∴， 作于Q，    ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：80． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 7．（2022·吉林长春·中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想． 【问题解决】 (1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 (2)的度数为________度，的值为_________； (3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)22.5°， (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可得AD=AF，，由HL可证明结论； （2）根据折叠的性质可得 证明是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论 ； （3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根据勾腰定理可得结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 由折叠得，， ∴ ∴ 又AD=AF，AG=AG ∴ （2）由折叠得，∠ 又∠ ∴∠ 由得，∠ ∠ 又∠ ∴∠ ∴∠ ∴ 设则 ∴ ∴ ∴ （3）如图，连接 ∵ ∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称， 连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长； 过点P作交AD于点R， ∵∠ ∴∠ ∴ 又 ∴ ∴ 在中， ∴ ∴的最小值为 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 8．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整． 【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？ 解：相等．理由如下： 设与之间的距离为，则，． ∴． 【探究】 (1)如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则． 证明：∵ (2)如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则． 证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则， ∴ ． ∴ ． ∴． 由【探究】（1）可知 ， ∴． (3)如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式可得，由此即可得证； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，先根据平行线的判定可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，然后结合【探究】（1）的结论即可得证； （3）过点作于点，过点作于点，先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式可得，，由此即可得出答案． 【详解】（1）证明：，， ． （2）证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则， ． ． ． 由【探究】（1）可知， ． （3）解：过点作于点，过点作于点，则， ， ， ， 点所对应的刻度值分别为5，，0， ，， ， 又，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 9．（2021·吉林·中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）； （2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）菱形，见解析；（3）或 【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得； （2）由题意可得，，由“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”，得，得，则四边形是平行四边形，再由折叠得，于是判断四边形是菱形； （3）题中条件是“点是射线上一点”，因此又分两种情况，即点与点在直线的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果． 【详解】解：（1）如图①，在中，， ∵是斜边上的中线，， ∴． （2）四边形是菱形． 理由如下： 如图②∵于点， ∴， ∴； 由折叠得，， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴四边形是菱形． （3）如图③，点与点在直线异侧， ∵， ∴； 由折叠得，， ∴； 如图④，点与点在直线同侧， ∵， ∴， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴． 综上所述，或． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解． 10．（2021·吉林长春·中考真题）实践与探究 操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则 度． 操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则 度． 在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）设AM与NF的交点为点P．求证：． （2）若，则线段AP的长为 ． 【答案】操作一：45°，操作二：60°；（1）证明见解析；（2） 【分析】操作一：直接利用折叠的性质，得出两组全等三角形，从而得出,,从而得出∠EAF的值； 操作二：根据折叠的性质得出 ,从而得出，即可求得的度数； （1）首先利用 ,得出 ,则,从而得出△ANF为等腰直角三角形，即可证得； （2）利用三角函数或者勾股定理求出BE的长，则,设DF=x，那么FC=，在Rt△EFC中，利用勾股定理得出DF的长，也就是MF的长，即可求得EF的长，进而可得结果． 【详解】操作一：45°，证明如下： ∵折叠得到 , 折叠得到 , ∴ , ∴ , ∴ , 故填：45°； 操作二：60°，证明如下： ∵， ∴ , 又∵沿着EF折叠得到 , ∴， ∴ , ∴ , 故填：60°； （1）证明： 由上述证明得,, ∴ , ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠C=∠D=90°， ∴ ,, 又∵ , ∴, 在和中， ∵ , ∴ , ∴ , ∴ ， ∴ , ∴为等腰直角三角形， 即AN=NF, 在和中： ∵ ∴ （2）由题可知是直角三角形，, ∴ , 解得BE=1, ∴BE=EM=1,, 设DF=x，则MF=x，CF=， 在Rt△CEF中， ， 解得x=， 则， ∵ ∴AP=EF=． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练运用折叠的性质，找出全等三角形． 11．（2025·吉林·模拟预测）【教材回顾】 证明：三角形的三条角平分线交于一点． （1）补全教材中例题的证明过程． 已知：如图1，的角平分线相交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，，，垂足分别为点F，点M，点N， 平分，，， _______， 同理_______． _______， 点P在的平分线上． 【拓展研究】 问题一：如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图2，在四边形中，，，的平分线相交于点O． 求证：①点O在的平分线上： ； 问题二：满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？ （3）如图3，在四边形中，如果四条边满足_______时，那么它的四条角平分线交于一点（不需证明）．    【答案】（1）；；；（2）①见解析；②见解析；（3） 【分析】（1）根据角平分线的性质定理，等量代换，角平分线的判定定理解答即可． （2）①过点O作，，，，垂足分别为点E，点F，点G，点H，根据角的平分线性质定理和判定定理解答即可． 根据角的平分线性质定理，三角形全等的判定和性质解答即可； （3）根据前面的证明解答即可． 本题考查了角的平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：过点P作，，，垂足分别为点F，点M，点N， 平分，，， ， 同理． ， 点P在的平分线上， 故答案为：；；． （2）解：①过点O作，，， 垂足分别为点E，点F，点G，点H，    ∵，，的平分线相交于点O． ∴，，， ∴， ∴点O在的平分线上， 故四边形四个内角的角平分线交于一点． 证明：根据前面的证明，得， ∵， ∴， ∴， 同理可证，，，， ∴， ∴． 故四边形的四条边满足对边之和相等时，四边形的四条角平分线交于一点． （3）解：根据四边形的四条边满足对边之和相等时，四边形的四条角平分线交于一点． 故即可． 故答案为：． 12．（2025·吉林松原·模拟预测）如图①，四边形与四边形是共一个顶点的两个大小不同的正方形． 【操作发现】 （1）如图②，正方形绕点A逆时针旋转，使点E落在边上，线段与的数量关系是________，与的关系是________． 【猜想证明】 （2）如图③，正方形绕点A逆时针旋转某一角度时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图④，正方形绕点A逆时针旋转，使点F落在直线上，当时，直接写出的长度． 【答案】（1）（2）成立，见解析（3）或 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得； （3）分点落在上，点落在延长线上，两种情况讨论． 【详解】解：（1）∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立， 理由如下：∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当点落在上时，过点G作于H， ∵F落在边上， ∴， ∵，， 在中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点落在延长线上时，过点G作交延长线与于H， 同理得：， ∴， ∴； 综上，的长度为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 13．（2025·吉林松原·模拟预测）【初步尝试】如图①．点E、G分别是的边的中点，点F为对角线上一点，以点F为直角顶点作，过点E作交于点H，连接，求证：四边形为矩形； 【深入探究】如图②，将图①中的改为菱形．其他条件不变．若，且，直接写出四边形的面积； 【拓展延伸】如图③，将图①中的改为矩形，其他条件不变．若，，直接写出四边形的面积． 【答案】初步尝试：见解析；深入探究：4；拓展延伸： 【分析】初步尝试：证明，则，根据，易证四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论； 深入探究：连接，交于点O，连接，过点作于点T，求出，，，同理初步尝试得：，四边形为矩形，推出点共线，进而得到，求出，，再解直角三角形求出，，，，即可求解； 拓展延伸：连接，作于N，同理深入探究可知，，证明，得到，求出，进而求出，根据即可求解． 【详解】初步尝试： 证明：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E、G分别是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； 深入探究： 解：连接交于点O，连接，过点作于点T， 四边形是菱形， ∴，， ∵，点E、G分别是边的中点， ∴， 在中， ∴， 同理， 同理初步尝试得：，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴点共线， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 拓展延伸：连接，作于N， 同理深入探究可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，正弦，余弦，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（2025·吉林长春·三模）【问题原型】如图①，在矩形中，，，点E在边上，点F在射线上，且，连结、交于点M，若点P是边上的一个动点，连结、，试探究的最小值． 【问题分析】如图②，小明首先作点C关于直线的对称点，连结、PM，由对称性可知，利用基本事实：“两点之间线段最短”，可知当、P、M三点共线时，，进而问题转化为探究的最小值问题，又进一步转化为探究点M的轨迹的问题． 其次，小明发现可通过证明，得出，进而可知，即可确定点M的轨迹． 以下是证明的部分过程 证明：在矩形中， ， 证明过程缺失 请你补全上述缺失的证明过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点P、M，使的值最小，此时的最小值为________．（保留作图痕迹） 【答案】问题分析：见解析；问题解决：图见解析， 【分析】问题分析：由题意可得，结合，即可得证； 问题解决：证明出点再以为直径的圆上，作线段的垂直平分线，交于，交于，以为圆心，为半径画圆，则点的轨迹即为所求，结合题意可得，，， 作点C关于直线的对称点，连结交于，交于，连接并延长交于，连接并延长交于，则，再结合勾股定理计算即可得解． 【详解】问题分析：证明：在矩形中， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点再以为直径的圆上， 问题解决：作线段的垂直平分线，交于，交于，以为圆心，为半径画圆，则点的轨迹如图所示： ， 则结合题意可得：，，， 作点C关于直线的对称点，连结交于，交于，连接并延长交于，连接并延长交于，则， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、圆周角定理、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 15．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题原型】如图①，在中，．点、分别是边的中点，点是线段上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，当点在同一条直线上时，求的值． 【问题探究】小明在研究这个问题时想先找到点的位置，通过研究发现，当点在同一条直线上时，，因为点是边的中点，所以点在以点为圆心长为半径的圆（记作“”）上；又因为点在线段上，所以点是与线段的交点． 【问题解决】请你利用尺规作图在图②中依据【问题探究】帮助小明找到点．再用三角板做出点．根据上述作图，以下是小明的求解过程，按照小明的思路将过程补充完整； 点在同一条直线上，且线段绕点逆时针旋转得到线段， ． 点是边的中点， ． 点在以点_______为圆心，长为半径的圆上． ． 在中，， ． 点分别是边的中点， ． _______． _______． 线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， 是等腰直角三角形． ______，________， ， ， _______．（填具体数值） 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找点在以点为圆心，长为半径的圆上．根据题意画出交于点P，延长，在延长线上取点D，使得，连接即可，再根据解题思路补充过程即可． 【详解】解：如图所示为所求： 点在同一条直线上，且线段绕点逆时针旋转得到线段， ． 点是边的中点， ． 点在以点为圆心，长为半径的圆上． ． 在中，， ． 点分别是边的中点， ． ． ． 线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， 是等腰直角三角形． ，， ， ， ． 16．（2025·吉林松原·一模）已知正方形，为对角线上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，则______． 【模型迁移】 （3）如图3，是延长线上一点，，交于点，．请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析 （2）①为等腰三角形，理由见解析；② （3）．理由见解析 【分析】（1）先判断出，，进而判断出，进而得出结论； （2）①根据（1）证明出；②过点作于，先求出，，进而求出，，最后用勾股定理即可求出答案； （3）先判断出，由（1）知，由（2）知，即可判断出结论． 【详解】解：（1）∵是正方形的对角线， ，， ， ∴， ； （2）①为等腰三角形，理由： ∵四边形是正方形， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； ②如图，过点作于， ∵四边形为正方形，点为的中点，， ，，， 由①知，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ， ， ， 在中，； （3），理由如下： ， ， 在中，， ， 由（1）知，， 由（2）知，， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、勾股定理和三角函数是解题的关键． 17．（2025·吉林长春·三模）【问题原型】如图，菱形的边长为，．点分别在边上，且．点在直线上，试探究当的值最小时，点的位置． 【问题探究】（1）小丽同学由已知条件可以证明，为了求最小值问题，首先要探究点的轨迹问题．研究发现：当的边为定长，为定角且时，点在外接圆的劣弧上运动．以下是小丽求的度数的部分过程： 解：∵四边形是菱形，∴， 又∵， 是等边三角形， ∴，， 又∵，∴ 证明过程缺失 ∴______ ∴点在外接圆的劣弧上运动． 请您补全证明过程． 【问题解决】（2）请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图中作出【问题原型】中的点和点，使的值最小，则最小值是______． 【答案】[问题探究] 补全证明过程见解析；[问题探究]的值最小为． 【分析】[问题探究]（）根据菱形的性质可得，然后证明是等边三角形，则，，然后证明，所以，，最后通过三角形内角和定理即可求解； [问题解决]（）作关于对称点，连接交于点，交于点，连接交延长线于点，所以，，根据两点之间线段最短可得的值最小，由四边形是菱形，故有，，则，，由是外接圆，取上一点，连接，通过，可得点是在以为直径的圆上，则，证明，然后证明，所以，则，求出，再由勾股定理得，则，从而求出，故有，从而得出的最小值． 【详解】解：[问题探究]（）∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在外接圆的劣弧上运动； [问题解决]（）如图， 作关于对称点，连接交于点，交于点，连接交延长线于点， ∴，，根据两点之间线段最短可得的值最小， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 由是外接圆，取上一点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点是在以为直径的圆上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值最小为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 18．（2025·吉林四平·模拟预测）【感知】如图①，在矩形中，点O是边的中点，连接．保持矩形不动，将绕着点O顺时针旋转一定的角度得到，点A、D、C的对应点分别为点E、F、G，连接．若旋转角的大小为，且，则的周长为______； 【探究】如图②，在图①中的的旋转过程中，当线段与线段相交于点M（点M不与点A、B、F、G重合）时，连接，其他条件不变．求证：； 【拓展】在图①中的的整个旋转过程中（旋转角小于180°），当点F落在矩形的对称轴上，且，时，线段与线段相交于点M，直接写出线段的长度． 【答案】【感知】：6；【探究】：见解析；【拓展】：的长度为或 【分析】【感知】利用旋转的性质、等边三角形的判定与性质即可求解； 【探究】连接交于点H，由折叠的性质及点O是边的中点，得，从而可证明，有，则得垂直平分，由三角形中位线的性质即可证明； 【拓展】分两种情况：当点F落在的垂直平分线上时，则易得四边形是矩形，则；当点F落在的垂直平分线上时，过O作于点H，则可得都是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】【感知】解：∵点O是边的中点，， ∴； 由旋转的性质得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为； 故答案为：6． 【探究】证明：连接交于点H，如图； 由题意得，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴垂直平分，即点是的中点； ∵点O是边的中点， ∴是的中位线， ∴； 【拓展】解：当点F落在的垂直平分线上时， ∵点O是边的中点， ∴， ∴； 由旋转知， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当点F落在的垂直平分线上时， 则分别是的中点， ∴； 如图，过O作于点H， 则四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形，且，； ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得． 综上，的长度为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，注意分类讨论，所涉及的知识点较多，灵活应用是解题的关键． 19．（2025·吉林·二模）【问题原型】如图①，在中，是线段上任意一点，试探究的最小值． 【问题探究】如图②，小明首先以为一边作．然后，作，由三角函数的定义，将转化为．于是求的最小值就转化为求的最小值．当点A、P、H在一条直线上时，即可求出的最小值． 以下是小明的部分求解过程： 由【问题探究】的作法可知 过点作射线使，作于 在中， 求解过程缺失 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图③，在中，为边CD上的一动点，直接写出的最小值____________．并用圆规和无刻度的直尺在图③中确定点的位置（保留作图痕迹）； 【问题迁移】小明在此基础上想求解的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接写出最小值____________． 【答案】[问题探究] 见解析；[问题应用] ，尺规作图见解析；[问题迁移] 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形，勾股定理，掌握用转化的思想思考问题是关键． [问题探究]按照题中思路将过程补充完整即可解答； [问题应用] 过点作，交的延长线于点，有锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为; [问题迁移]根据题意画出图形求解即可， 【详解】[问题探究]解：过点作射线使，作于 在中， ， ， ， 当点A、P、H在一条直线上时，有最小值， 此时； [问题应用] 解：如图，过点作，交 的延长线于点， ，， ， ， ， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， ， ， 故答案为：； 尺规作图如下： 以点为顶点作，则，与的交点即为点， ； [问题迁移]解：如图，，， ， 令， 根据勾股定理可得， ，， ， 求的最小值，即求的最小值， 当三点共线时，的值最小，为的长度， 连接， , ， ， 根据勾股定理可得， ， 即的最小值为， 故答案为：． 20．（2025·吉林松原·模拟预测）如图1，等腰三角形纸片，，．点为上一点，连接． (1)【操作】如图2，将该纸片沿剪开，得到和．将绕点逆时针旋转一定的角度，使点落在的对应边上，则旋转角为___________度（用含的代数式表示）． (2)【探究】在图2中，连接，得到图3．求证：四边形为平行四边形． (3)【应用】若点为的中点，，，直接写出四边形的周长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质、等腰三角形的性质与判定即可求解； （2）根据旋转的性质和平行四边形的判定即可证明； （3）根据旋转的性质和中点的定义可得，得出，通过证明得到，设，则，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，得到的长，再利用平行四边形的周长公式即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 由旋转的性质得，，， ， 旋转角为度． 故答案为：． （2）证明：由旋转的性质得，，， ， 由（1）得，， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形． （3）解：点为的中点，，， ，， ，， ， 点是的外心， 是外接圆的直径， ， 由旋转的性质得，，， ， ， ， 设，则， 由（2）得，四边形为平行四边形， ， 在中，， ， 解得：或（舍去负值）， ， 平行四边形的周长． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、勾股定理、三角形外接圆的性质、相似三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 21．（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点分别在边上，且，连结．求证：． 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上截取， ，通过证明三角形全等，进而得证． 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连接． 四边形是正方形， ． 又， ． ． 证明过程缺失 ． 请补全缺失的证明过程． 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系． 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且．若，则线段的长为___________． 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在的外接圆上，且点与点在的两侧，连接、、．若，则的值为________． 【答案】【问题探究】见解析；【问题解决】9；【问题拓展】 【分析】问题探究：在原题解答的基础上，通过证明即可得出结论； 问题解决：过点M作于点H，利用等腰直角三角形的判定与性质求得，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用【问题探究】的结论解答即可得出结论； 问题拓展：延长至点E，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用等腰直角三角形的判定与性质得到，再利用已知条件化简运算即可． 【详解】问题探究：证明：在的延长线上截取，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 问题解决：解：过点M作于点H，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由【问题探究】知：， ∵， ∴． 故答案为：9； 问题拓展：解：延长至点E，使，连接，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆的有关性质，圆的内接四边形的性质，本题是阅读型，熟练掌握题干中的“截长补短”的方法是解题的关键． 22．（2025·吉林长春·二模）【问题原型】 如图①，在矩形中，．点在射线上，试探究的最小值． 【问题探究】 如图②，小明首先在右侧作，利用，将转化为，这样就将双变量（）问题转化为探究长度最小值的单变量问题，于是将问题进一步转化成探究点的轨迹问题；其次，小明发现当时，总有，进而可知恒为直角，即可确定点的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，， ∴． ． ． 四边形是矩形， ． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题探究】中的点，使的值最小，此时的值是______．（保留作图痕迹） 【答案】问题探究：证明见解析；问题解决：图见解析，； 【分析】问题探究：根据相似三角形性质和判定定理证明，即可推出； 问题解决：用圆规和无刻度的直尺作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径画圆，连接，交于点，点即为所作； 结合问题探究可知，结合直角三角形性质得到，当三点共线时，的值最小，为的长， 结合为定长，推出此时最小，即的值最小，再利用勾股定理求解，即可解题； 【详解】问题探究：解：证明：由【问题探究】的作法可知，， ∴． ． ． 四边形是矩形， ． ， ， ， ， ， 即有， ， ； 问题解决：所作点，如图所示： 结合问题探究可知， 由作图过程可知，为的中点， ，， ， 当三点共线时，的值最小，为的长， 为定长， 此时最小，即的值最小， 四边形是矩形， ， ， ， ， 即； 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形性质和判定定理，复杂作图，作线段垂直平分线，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 23．（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：. 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证. 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连结. 四边形是正方形， . 又， . . 证明过程缺失 . 请补全缺失的证明过程. 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系. 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______. 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______. 【答案】[问题探究]见解析；[问题解决]9；[问题拓展] 【分析】[问题探究]在原题解答的基础上，通过证明即可得出结论； [问题解决]过点M作于点H，利用等腰直角三角形的判定与性质求得，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用[问题探究]的结论解答即可得出结论； [问题拓展]延长至点E，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用等腰直角三角形的判定与性质得到，再利用已知条件化简运算即可． 【详解】解：[问题探究]证明：在的延长线上截取，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． [问题解决]过点M作于点H，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由 [问题探究]知：， ∵， ∴． 故答案为：9； 问题拓展：解：延长至点E，使，连接，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆的有关性质，圆的内接四边形的性质，本题是阅读型，熟练掌握题干中的“截长补短”的方法是解题的关键． 24．（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，四边形是正方形，．点E是边的中点，点F是边上一点，且．连结，且交于点G，求的面积． 【问题探究】如图②，小明首先延长，且相交于点M．易知且，求得的值，从而得到和的面积比，进而求出的面积．    以下是小明求解的值的部分过程： 解：在正方形中， ， ． ∵点E是边的中点， ． ， ． ． 求解过程缺失 请你补全缺失的求解过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出的面积是_____________． 【答案】见详解； 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，根据题意求得的值，从而得到和的面积比，利用正方形的性质求出的面积，进而求出的面积． 【详解】解：在正方形中， ， ， ∵点E是边的中点， ． ， ， ， ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．（2025·吉林松原·三模）【问题探究】（1）如图①，已知是的中线，延长至点，使得，连接，求证：四边形是平行四边形； 【拓展提升】（2）如图②，在的中线上任取一点（不与点A、点重合），过点、点分别作，连接、，求证：四边形是平行四边形； 【灵活应用】（3）如图③，在中，，点是的中点，点是直线上的动点，且，当取得最小值时，直接写出线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，倍长中线构造全等三角形及运用等面积法是解题的关键． （1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）延长到点F，使，连接，利用证明，得，，可说明四边形是平行四边形，得，即可证明结论； （3）延长到点F，使，连接，由（2）知，，,则取最小值时，最小，故时，最小，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：延长到点F，使，连接， ∵是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形； （3）解：延长到点F，使，连接， 由（2）知，, ， 则取最小值时，最小，故时，最小，如图， ∵是的中线， ， 由勾股定理得， ∵， 利用等面积法得， 解得， 在中，由勾股定理得，， ． 26．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题探索】（1）如图①，点D、E分别在的边上，仅用一把无刻度的直尺作的中点． 操作：如图②，连结交于点P，作直线交于点M，交于点N，则M、N分别为、的中点． 证明：， ，， ________， ________． ， ，________， ________，________， ，， 、N分别为的中点． 请将上述证明过程补充完整． 【结论应用】（2）如图③，四边形为平行四边形，只使用无刻度直尺作出的中位线． 【拓展提升】（3）如图④，为的直径且，点C在上且，点P为上的动点且与点C位于直线的异侧，点D为线段上的定点，过点D作交于点E，连结、交于点G，作直线交于点H，则线段长度的取值范围是________． 【答案】（1），，，，；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据平行线判定三角形的性质，根据相似的性质列出比例式，变形证明即可． （2）如图③，四边形为平行四边形，只使用无刻度直尺作出的中位线． （3）连接，当点P与点B重合时，H与点O重合，此时取得最小值，根据直径，得到；利用圆周角定理，中位线定理，勾股定理，两点之间线段最短，解答即可． 【详解】（1）解：证明：， ，， ， ． ， ，， ， ， ， ， 、N分别为的中点． 故答案为：，，，，． （2）解：画射线，作线段交于点H，连接交于定E，作射线交于点F，根据四边形为平行四边形，故，根据（1）的证明，得点F是的中点， 连接交于点O，根据四边形为平行四边形，故定O是的中点， 连接 则是的中位线． 则即为所求． （3）解：连接， ∵为的直径， ∴， 设的交点为N， ∵， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点． ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴点H的运动轨迹是以为直径的的半圆，且为下方的半圆， 连接，过点C作于点M， ∵，且， ∴，， 设， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，取得最大值，且最大值为， ∴线段长度的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理的判定和性质，勾股定理的应用，两点之间线段最短，圆周角定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 27．（2025·吉林通化·模拟预测）【操作】如图①，D是等边三角形内部的一点，连接，，．将绕着点C顺时针旋转一定的角度得到，连接． （1）求证：判断的形状，并说明理由； （2）若，，，求的度数； 【探究】 （3）如图②，E为正方形内部的一点，连接，，，将绕着点C顺时针旋转一定的角度得到．若，，，求的长． 【答案】（1）是等边三角形．理由见解析；（2）；（3）6 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，掌握手拉手模型是解题的关键．手拉手模型：形状一样且共顶角顶点的两个等腰三角形构成手拉手模型． （1）由旋转的性质可知，，，则可知是等边三角形； （2）根据是等边三角形可知，，从而得到，即，继而得出； （3）连接．可根据旋转角度求出和，继而得到，再用勾股定理求出，旋转可知，从而得解． 【详解】解：（1）是等边三角形． 理由：∵是等边三角形， ∴． 由旋转的性质可知，，， ∴是等边三角形． （2）∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴ ∴． ∴． （3）如图②中，连接． ∵四边形是正方形， ∴． 由旋转的性质可知，，，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 28．（2025·吉林松原·模拟预测）【探究思考】 （1）通过添加辅助线构造“全等三角形”证明线段相等或角相等，是我们常用的方法．已知，如图①，是等边三角形，是的外角的平分线，点为射线上一点，且与相交于点．我们可以过点作的平行线，交于点，构造得到_____（填两个全等三角形），来证明； 【问题解决】 （2）如图②，在中，，在边上取一点，以为顶点，为一条边在的右侧作，点在延长线上，． ①求证：； ②如图③所示，当点在的延长线上时，若，，，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；② 【分析】（1）根据等边三角形的性质，并用证明即可． （2）①过点D作的平行线，交于点，同（1）问，根据等腰三角形的性质，平行线的性质得出与中，有，用证即可得出结论． ②过点D作的平行线，交于点，同（2）问，根据等腰三角形的性质，平行线的性质得出与中，有，用证得出，再证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）∵过点D作的平行线，交于点G， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 是的外角的平分线， 又， ，， ， 在与中， ， ， ．    （2）①如图所示，过点D作的平行线，交于点， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 在与中， ， ， ．    ②依然成立，如图所示，过点D作的平行线，交于点， ， ， ， ， ∴， ， ∴ ∴，即 ， ， ， 在与中， ， ， ． ∵，． ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． 29．（2025·吉林松原·模拟预测）【问题背景】如图①，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处．如图②，连接，点恰好落在上； 【初步探究】 （1）如图②所示，求证：； 【探究迁移】 （2）如图②所示，请你求出的值，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图③所示，在【问题背景】的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了正方形和菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识，合理构造相似三角形是解题的关键． （1）根据翻折的性质，全等三角形的性质求解即可； （2）根据相似三角形的性质，得出和的关系即可求解； （2）根据（1）中三角形的全等条件不变，得出不变，再根据和的关系，和的关系即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 由翻折性质可知， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由翻折性质可知， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2）由翻折性质可知， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）可知，，， ∵， ∴， ∴． 30．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题探索】 如图①，点、点分别在矩形的边、边上，，连结、、．证明：是等腰直角三角形，． 请你写出完整的证明过程． 【结论应用】 只使用圆规和无刻度的直尺，在图②的矩形中作出等腰直角，满足点、点分别在线段、线段上．（简要写出作图过程） 【拓展提升】 如图③，等腰的顶点、分别在平行四边形的边、边上，且，．若，，则的面积为______． 【答案】[问题探索]见解析；[结论应用]见解析；[拓展提升] 【分析】[问题探索]根据题意证明，进而根据全等三角形的性质，得出是等腰直角三角形； [结论应用]根据题意在上截取，在上截取，连接，即可求解． [拓展提升] 过点分别作的垂线，垂足分别为，延长交的延长线于点，则四边形是矩形，证明，得出，根据，得出，设，则，进而证明得出，解得：，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】[问题探索]证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴, ∴， ∴是等腰直角三角形， [结论应用]如图，等腰直角即为所求 [拓展提升]解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，延长交的延长线于点，则四边形是矩形， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵．， ∴， 设，则 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 几何探究 1．（2025·吉林长春·中考真题）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ． 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． 又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形中，，． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点） （2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 ； （3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ． 2．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 3．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 4．（2024·吉林·中考真题）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：    【探究论证】 （1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______． （2）如图②，在菱形中，，，则______． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在中，，，，点P为边上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 5．（2023·吉林长春·中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．                   【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________． 6．（2023·吉林·中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形其中判定的依据是__________． 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，与边分别交于点M，N．求证：是菱形． 【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，（为锐角），则四边形的面积为_________．    7．（2022·吉林长春·中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想． 【问题解决】 (1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 (2)的度数为________度，的值为_________； (3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示） 8．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整． 【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？ 解：相等．理由如下： 设与之间的距离为，则，． ∴． 【探究】 (1)如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则． 证明：∵ (2)如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则． 证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则， ∴ ． ∴ ． ∴． 由【探究】（1）可知 ， ∴． (3)如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ． 9．（2021·吉林·中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）； （2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，直接写出的度数． 10．（2021·吉林长春·中考真题）实践与探究 操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则 度． 操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则 度． 在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）设AM与NF的交点为点P．求证：． （2）若，则线段AP的长为 ． 11．（2025·吉林·模拟预测）【教材回顾】 证明：三角形的三条角平分线交于一点． （1）补全教材中例题的证明过程． 已知：如图1，的角平分线相交于点P． 求证：点P在的平分线上． 证明：过点P作，，，垂足分别为点F，点M，点N， 平分，，， _______， 同理_______． _______， 点P在的平分线上． 【拓展研究】 问题一：如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图2，在四边形中，，，的平分线相交于点O． 求证：①点O在的平分线上： ； 问题二：满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？ （3）如图3，在四边形中，如果四条边满足_______时，那么它的四条角平分线交于一点（不需证明）．    12．（2025·吉林松原·模拟预测）如图①，四边形与四边形是共一个顶点的两个大小不同的正方形． 【操作发现】 （1）如图②，正方形绕点A逆时针旋转，使点E落在边上，线段与的数量关系是________，与的关系是________． 【猜想证明】 （2）如图③，正方形绕点A逆时针旋转某一角度时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图④，正方形绕点A逆时针旋转，使点F落在直线上，当时，直接写出的长度． 13．（2025·吉林松原·模拟预测）【初步尝试】如图①．点E、G分别是的边的中点，点F为对角线上一点，以点F为直角顶点作，过点E作交于点H，连接，求证：四边形为矩形； 【深入探究】如图②，将图①中的改为菱形．其他条件不变．若，且，直接写出四边形的面积； 【拓展延伸】如图③，将图①中的改为矩形，其他条件不变．若，，直接写出四边形的面积． 14．（2025·吉林长春·三模）【问题原型】如图①，在矩形中，，，点E在边上，点F在射线上，且，连结、交于点M，若点P是边上的一个动点，连结、，试探究的最小值． 【问题分析】如图②，小明首先作点C关于直线的对称点，连结、PM，由对称性可知，利用基本事实：“两点之间线段最短”，可知当、P、M三点共线时，，进而问题转化为探究的最小值问题，又进一步转化为探究点M的轨迹的问题． 其次，小明发现可通过证明，得出，进而可知，即可确定点M的轨迹． 以下是证明的部分过程 证明：在矩形中， ， 证明过程缺失 请你补全上述缺失的证明过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点P、M，使的值最小，此时的最小值为________．（保留作图痕迹） 15．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题原型】如图①，在中，．点、分别是边的中点，点是线段上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，当点在同一条直线上时，求的值． 【问题探究】小明在研究这个问题时想先找到点的位置，通过研究发现，当点在同一条直线上时，，因为点是边的中点，所以点在以点为圆心长为半径的圆（记作“”）上；又因为点在线段上，所以点是与线段的交点． 【问题解决】请你利用尺规作图在图②中依据【问题探究】帮助小明找到点．再用三角板做出点．根据上述作图，以下是小明的求解过程，按照小明的思路将过程补充完整； 点在同一条直线上，且线段绕点逆时针旋转得到线段， ． 点是边的中点， ． 点在以点_______为圆心，长为半径的圆上． ． 在中，， ． 点分别是边的中点， ． _______． _______． 线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， 是等腰直角三角形． ______，________， ， ， _______．（填具体数值 16．（2025·吉林松原·一模）已知正方形，为对角线上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，则______． 【模型迁移】 （3）如图3，是延长线上一点，，交于点，．请直接写出与之间的数量关系． 17．（2025·吉林长春·三模）【问题原型】如图，菱形的边长为，．点分别在边上，且．点在直线上，试探究当的值最小时，点的位置． 【问题探究】（1）小丽同学由已知条件可以证明，为了求最小值问题，首先要探究点的轨迹问题．研究发现：当的边为定长，为定角且时，点在外接圆的劣弧上运动．以下是小丽求的度数的部分过程： 解：∵四边形是菱形，∴， 又∵， 是等边三角形， ∴，， 又∵，∴ 证明过程缺失 ∴______ ∴点在外接圆的劣弧上运动． 请您补全证明过程． 【问题解决】（2）请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图中作出【问题原型】中的点和点，使的值最小，则最小值是______． 18．（2025·吉林四平·模拟预测）【感知】如图①，在矩形中，点O是边的中点，连接．保持矩形不动，将绕着点O顺时针旋转一定的角度得到，点A、D、C的对应点分别为点E、F、G，连接．若旋转角的大小为，且，则的周长为______； 【探究】如图②，在图①中的的旋转过程中，当线段与线段相交于点M（点M不与点A、B、F、G重合）时，连接，其他条件不变．求证：； 【拓展】在图①中的的整个旋转过程中（旋转角小于180°），当点F落在矩形的对称轴上，且，时，线段与线段相交于点M，直接写出线段的长度． 19．（2025·吉林·二模）【问题原型】如图①，在中，是线段上任意一点，试探究的最小值． 【问题探究】如图②，小明首先以为一边作．然后，作，由三角函数的定义，将转化为．于是求的最小值就转化为求的最小值．当点A、P、H在一条直线上时，即可求出的最小值． 以下是小明的部分求解过程： 由【问题探究】的作法可知 过点作射线使，作于 在中， 求解过程缺失 请补全剩余的求解过程； 【问题应用】如图③，在中，为边CD上的一动点，直接写出的最小值____________．并用圆规和无刻度的直尺在图③中确定点的位置（保留作图痕迹）； 【问题迁移】小明在此基础上想求解的最小值，请构造合理的数学模型，并借助模型直接写出最小值____________． 20．（2025·吉林松原·模拟预测）如图1，等腰三角形纸片，，．点为上一点，连接． (1)【操作】如图2，将该纸片沿剪开，得到和．将绕点逆时针旋转一定的角度，使点落在的对应边上，则旋转角为___________度（用含的代数式表示）． (2)【探究】在图2中，连接，得到图3．求证：四边形为平行四边形． (3)【应用】若点为的中点，，，直接写出四边形的周长． 21．（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点分别在边上，且，连结．求证：． 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上截取， ，通过证明三角形全等，进而得证． 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连接． 四边形是正方形， ． 又， ． ． 证明过程缺失 ． 请补全缺失的证明过程． 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系． 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且．若，则线段的长为___________． 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在的外接圆上，且点与点在的两侧，连接、、．若，则的值为________． 22．（2025·吉林长春·二模）【问题原型】 如图①，在矩形中，．点在射线上，试探究的最小值． 【问题探究】 如图②，小明首先在右侧作，利用，将转化为，这样就将双变量（）问题转化为探究长度最小值的单变量问题，于是将问题进一步转化成探究点的轨迹问题；其次，小明发现当时，总有，进而可知恒为直角，即可确定点的轨迹． 以下是小明证明的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，， ∴． ． ． 四边形是矩形， ． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题探究】中的点，使的值最小，此时的值是______．（保留作图痕迹） 23．（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：. 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证. 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连结. 四边形是正方形， . 又， . . 证明过程缺失 . 请补全缺失的证明过程. 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系. 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______. 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______. 24．（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，四边形是正方形，．点E是边的中点，点F是边上一点，且．连结，且交于点G，求的面积． 【问题探究】如图②，小明首先延长，且相交于点M．易知且，求得的值，从而得到和的面积比，进而求出的面积．    以下是小明求解的值的部分过程： 解：在正方形中， ， ． ∵点E是边的中点， ． ， ． ． 求解过程缺失 请你补全缺失的求解过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出的面积是_____________． 25．（2025·吉林松原·三模）【问题探究】（1）如图①，已知是的中线，延长至点，使得，连接，求证：四边形是平行四边形； 【拓展提升】（2）如图②，在的中线上任取一点（不与点A、点重合），过点、点分别作，连接、，求证：四边形是平行四边形； 【灵活应用】（3）如图③，在中，，点是的中点，点是直线上的动点，且，当取得最小值时，直接写出线段的长度． 26．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题探索】（1）如图①，点D、E分别在的边上，仅用一把无刻度的直尺作的中点． 操作：如图②，连结交于点P，作直线交于点M，交于点N，则M、N分别为、的中点． 证明：， ，， ________， ________． ， ，________， ________，________， ，， 、N分别为的中点． 请将上述证明过程补充完整． 【结论应用】（2）如图③，四边形为平行四边形，只使用无刻度直尺作出的中位线． 【拓展提升】（3）如图④，为的直径且，点C在上且，点P为上的动点且与点C位于直线的异侧，点D为线段上的定点，过点D作交于点E，连结、交于点G，作直线交于点H，则线段长度的取值范围是________． 27．（2025·吉林通化·模拟预测）【操作】如图①，D是等边三角形内部的一点，连接，，．将绕着点C顺时针旋转一定的角度得到，连接． （1）求证：判断的形状，并说明理由； （2）若，，，求的度数； 【探究】 （3）如图②，E为正方形内部的一点，连接，，，将绕着点C顺时针旋转一定的角度得到．若，，，求的长． 28．（2025·吉林松原·模拟预测）【探究思考】 （1）通过添加辅助线构造“全等三角形”证明线段相等或角相等，是我们常用的方法．已知，如图①，是等边三角形，是的外角的平分线，点为射线上一点，且与相交于点．我们可以过点作的平行线，交于点，构造得到_____（填两个全等三角形），来证明； 【问题解决】 （2）如图②，在中，，在边上取一点，以为顶点，为一条边在的右侧作，点在延长线上，． ①求证：； ②如图③所示，当点在的延长线上时，若，，，直接写出的长． 29．（2025·吉林松原·模拟预测）【问题背景】如图①，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处．如图②，连接，点恰好落在上； 【初步探究】 （1）如图②所示，求证：； 【探究迁移】 （2）如图②所示，请你求出的值，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图③所示，在【问题背景】的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请直接写出的值（用含的式子表示）． 30．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题探索】 如图①，点、点分别在矩形的边、边上，，连结、、．证明：是等腰直角三角形，． 请你写出完整的证明过程． 【结论应用】 只使用圆规和无刻度的直尺，在图②的矩形中作出等腰直角，满足点、点分别在线段、线段上．（简要写出作图过程） 【拓展提升】 如图③，等腰的顶点、分别在平行四边形的边、边上，且，．若，，则的面积为______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$