2.3 第3课时 二次平移的坐标表示（课件）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次平移的坐标表示，通过象棋“马走日”情境导入激发兴趣，结合一次平移坐标变化的复习，搭建从点到图形、从一次到二次平移的学习支架，帮助学生衔接旧知。 其亮点在于以问题链引导探究，从具体三角形平移归纳坐标变化规律，培养推理意识和几何直观。通过转化关系总结与分层练习，发展学生数形结合能力，教师可借助清晰路径提升教学效率，助力学生用数学语言表达平移规律。

2.3 轴对称和平移的坐标表示 第2章 图形与坐标 第3课时 二次平移的坐标表示 ÷ 八年级下册数学（湘教版） 学习目标 1. 掌握图形平移与坐标变化的关系. 2. 能利用点的平移规律将平面图形进行平移，会根据图形上点的坐标的变化来判定图形的移动过程.(重点) 3. 经历图形中各个点坐标变化与图形平移的关系的过程，发展数形结合意识.(难点) 问题：你会下象棋吗? 如果下一步想“馬走日”“象走田”应该走到哪里呢？你知道吗？ 情境导入 1．一般地，在平面直角坐标系中，将点 (a，b) 向右(或向左)平移 k (k＞0)个单位，其像的坐标为____________(或__________)；当一个平面图形所有的点的横坐标都加上(或减去)同一个正数 k，纵坐标不变时，图形则会_____________________________. (a＋k，b) (a－k，b) 向右(或向左)平移 k 个单位 复习导入 2．一般地，在平面直角坐标系中，将点 (a，b) 向上(或向下)平移 k (k＞0)个单位，其像的坐标为__________(或__________)；当一个平面图形所有的点的纵坐标都加上(或减去)同一个正数 k，横坐标不变时，图形则会__________________________． (a，b＋k) (a，b－k) 向上(或向下)平移 k 个单位 1 二次平移的坐标表示 问题1：如图，△ABC 的顶点坐标分别为A(－4，－1)， B(－5，－3)，C(－2，－4). 将△ABC 向右平移 7 个单位， 它的像是△A1B1C1. A B C A1 B1 C1 1.画出△A1B1C1. 探究新知 2. 写出△A1B1C1各点的坐标，并与△ABC 的顶点坐标作比较，对应点的坐标有怎样的变化？ A B C A1 B1 C1 A(-4，-1)，B(-5，-3)，C(-2，-4)， 平移后的对应点的横坐标增加了 7，纵坐标不变. 向右平移 7 个单位长度， 其像的顶点坐标为 A1(3，-1)，B1(2，-3)， C1(5，-4)； A B C A1 B1 C1 A2 B2 C2 3. 如果将△A1B1C1 向上平移 5 个单位，得到△A2B2C2，写出△ A2B2C2 各点的坐标，它们有怎样的变化? A2(3，4)，B2(2，2)， C2(5，1)； 平移后的对应点的横坐标不变，纵坐标增加了 5. A1(3，-1)，B1(2，-3)，C1(5，-4)； A B C A1 B1 C1 A2 B2 C2 （2）将△ABC 作沿射线 AA2 的方向的平移，移动的距离等于线段 AA2 的长度，则△ABC 的像是△A2B2C2 吗？ 解：在这个平移下， 点 A(－4，－1) 的像是点 A2(3，4). 点 A2 的横坐标是 3＝(－4)＋7， 点A2的纵坐标是 4＝(－1)＋5. A B C A1 B1 C1 A2 B2 C2 x′ = x + 7 y′ = y + 5 因此在这个平移下，平面内任一点 P(x，y) 与其像点 P′(x′，y′) 的坐标有如下关系： 按照这个关系，点B(-5，-3) 的像点的坐标为(2，2)，从而点B的像点是B2；点C(-2，-4) 的像点的坐标为 (5，1)，从而点 C 的像点是C2. 因此△ABC 的像是△A2B2C2，如图. 图形平移转化： 图形平移的方向与距离 图形上点的平移的方向与距离 转化 归纳总结 图形上点的坐标变化 转化 平移方向和平移距离 对应点的坐标 向右平移a个单位长度，向上平移b个单位长度 向右平移a个单位长度，向下平移b个单位长度 向左平移a个单位长度，向上平移b个单位长度 向左平移a个单位长度，向下平移b个单位长度 （x + a，y + b） （x + a，y - b） （x - a，y + b） （x - a，y - b） 【交流讨论】一个图形依次沿 x 轴方向、y 轴方向平移后所得图形与原来的图形相比，位置有什么变化？它们对应点的坐标之间有怎样的关系？ 例1 如图，四边形 ABCD 四个顶点坐标分别为A(1，2)， B(3，1)，C(5，2)，D(3，4). 将四边形 ABCD 先向下平移 5 个单位长度，再向左平移 6 个单位长度，它的像是四边形A′B′C′D′. 典例精析 A B C D (1) 写出四边形 A'B'C'D' 的顶点坐标，并作出该四边形. 解：四边形 ABCD 先向下平移 5 个单位长度，再向左平移 6 个单位长度，在这两个平移下，平面内任一点 P(x，y) 与其像点 P′(x′，y′) 的坐标有如下关系： x′＝x－6， y′＝y－5， A B C D 按照这个关系，由点 A，B，C，D 的坐标可知，像点的坐标分别是 A′(－5，－3)， B′(－3，－4)， C′(－1，－3)， D′(－3，－1). 依次连接点 A′，B′，C′，D′，即得四边形 A′B′C′D′， 如图所示. A B C D A′ B′ C′ D′ (2) 将四边形 ABCD 沿射线 AA' 的方向平移线段 AA' 的长度，则可得四边形 A'B'C'D'. A B C D A′ B′ C′ D′ 解：将四边形 ABCD 沿射线 AA' 的方向平移线段 AA' 的长度，则可得四边形 A'B'C'D'. 例2 如图,在平面直角坐标系中，P(a,b)是△ABC的边 AC 上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P1(a＋6，b＋2). (1) 请画出上述平移后的△A1B1C1， 并写出点A，C，A1，C1的坐标； 1 y O 1 x A B C A1 B1 C1 解：△A1B1C1 如图所示，各点的坐标分别为 A(－3，2)、C(－2，0)、 A1(3，4)、C1(4，2). P P1 1 y O 1 x A B C A1 B1 C1 (2) 求出以 A，C，C1 ，A1为顶点的四边形的面积. 解：连接 AA1，CC1. P P1 1. 将点 A(3，2) 向右平移 2 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度得到 A1，则 A1 的坐标为________. (5，-2) 2. 在平面直角坐标系中，将点 A(1，﹣2) 向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得到点 A′，则点 A′ 的坐标是(　　) A. (﹣1，1) B. (﹣1，﹣2) C. (﹣1，2) D. (1，2) A 课堂练习 3. 如图，A，B 的坐标为 (2，0)，(0，1)，若将线段 AB 平移至 A1B1，则 a + b 的值为(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 A B C -4 -5 1 2 3 4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -3 o x y (-3，2) (-2，-1) (3，0) 4. 如图，△ABC 上任意一点 P(x0，y0)经平移后得到的对应点为P1(x0 + 2，y0 + 3)，将△ABC 作同样的平移得到△A1B1C1. 求A1，B1，C1的坐标. P (x0，y0) P1(x0+2，y0+3) B C O A1 C1 B1 A 解：A( -3，2 ) 经平移后得到 (-3 + 2，2 + 3)， 即 A1( -1，5 )； B( -2，-1 ) 经平移后得到 (-2 + 2，-1 + 3)， 即 B1(0，2)； C(3，0) 经平移后得到 (3 + 2，0 + 3)，即 C1(5，3). 5. 在平面直角坐标系中，规定把一个正方形先沿着 x 轴翻折，再向右平移 2 个单位称为 1 次变换. 如图，已知正方形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别是（-1，-1），（-3，-1），把正方形 ABCD 经过连续 7 次这样的变换得到正方形 A′B′C′D′，求点 B 的对应点 B′ 的坐标. 拓展提升 解：∵正方形ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别是(-1，-1)、(-3，-1)， ∴根据题意，得第 1 次变换后的点 B 的对应点的坐标为(-3 + 2，1)，即 (-1，1)； 第 2 次变换后的点 B 的对应点的坐标为(-1 + 2，-1)，即(1，-1)； 第 3 次变换后的点 B 的对应点的坐标为(1 + 2，1)，即 (3，1)； …… 第 n 次变换后的点 B 的对应点的坐标： 当 n 为奇数时为 (2n - 3，1)， 当 n 为偶数时为 (2n - 3，-1). ∴ 把正方形 ABCD 经过连续 7 次这样的变换得到正方形 A′B′C′D′，则点 B 的对应点 B′ 的坐标是(11，1)． 图形平移转化： 图形平移的方向与距离 图形上点的平移的方向与距离 转化 图形上点的坐标变化 转化 课堂小结 $