精品解析：云南省凤庆县第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

云南省凤庆县第一中学2025-2026学年高一年级上学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 集合M=非空子集个数是（ ） A. 3 B. 7 C. 15 D. 31 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 奇函数f(x)在上的解析式是f(x)=x（1+x），则f(x)在上有（　　） A. 最大值-1/4 B. 最大值1/4 C. 最小值-1/4 D. 最小值1/4 7. 已知定义在R上函数，下列说法中正确的个数是（ ） ①是偶函数；②是奇函数；③是偶函数；④是偶函数；⑤是偶函数. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知幂函数为奇函数，且在区间上单调递增，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 1或3 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. “”是“”必要不充分条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. D. “”是“”的充分不必要条件 10. 已知位于第一象限的点在曲线上，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则（    ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知奇函数在为增函数，且，则不等式的解集为__________． 13. 设集合，则集合M的非空真子集个数为___________. 14. 已知幂函数，当时，随的增大而减小，则实数的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中一真一假，求实数的取值范围. 16. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额x成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元． （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系； （2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 17. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求的值； （2）当且满足时，有恒成立，求的取值范围. 18. 已知函数的定义域为，对任意且，都满足. （1）求; （2）判断的奇偶性; （3）若当时，，且，求不等式的解集. 19. 已知幂函数是奇函数，函数. （1）求； （2）若在上单调，求的取值范围； （3）若在上最小值为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省凤庆县第一中学2025-2026学年高一年级上学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得出集合A，再应用元素与集合的关系判断即可. 【详解】因为集合，则，所以A错误，B正确； 空集是集合A的真子集，C错误；集合A不是整数集的子集，D错误. 故选：B. 2. 集合M=的非空子集个数是（ ） A. 3 B. 7 C. 15 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合描述求集合，由集合中元素的个数即可求非空子集个数. 【详解】由M=知： ∴非空子集个数为：， 故选：C 【点睛】本题考查了集合中子集个数，利用已知集合求其元素个数，进而确定非空子集的个数，属于简单题. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，则， 故，则，故B正确. 故选：B 4. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再根据交集的含义即可得到答案. 【详解】，则. 故选：C. 5. 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出的分段形式，判断各区间的单调性及其最值，即可确定图象. 【详解】由题设，故上递减，上递增，且最小值， 根据各选项图象知：B符合要求. 故选：B 6. 奇函数f(x)在上的解析式是f(x)=x（1+x），则f(x)在上有（　　） A. 最大值-1/4 B. 最大值1/4 C. 最小值-1/4 D. 最小值1/4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质求f(x)在上解析式，再根据二次函数性质求最值. 【详解】当时，， 所以当时，取最大值，选B. 【点睛】已知函数的奇偶性求函数解析式，主要抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式. 7. 已知定义在R上的函数，下列说法中正确的个数是（ ） ①是偶函数；②是奇函数；③是偶函数；④是偶函数；⑤是偶函数. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】定义在R上的函数， ①令， 则是偶函数； ②令， 则是奇函数； ③令， 则是偶函数； ④令， 则是偶函数； ⑤令， 则和的关系不确定，不能判断奇偶性. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题. 8. 已知幂函数为奇函数，且在区间上单调递增，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 1或3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数为奇函数，且在区间上单调递增可得答案. 【详解】因为在区间上单调递增，所以，解得， 又因为，所以，且为奇函数，所以， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义及集合相等判断各个选项即可． 【详解】解：对于A，， 若，，则，此时不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，或， 故“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，是点的集合，是方程的集合，两者不相等，故C错误； 对于D，或， 故“”是“”的必要不充分条件，D错误． 故选：AB． 10. 已知位于第一象限的点在曲线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：计算后代换即可得；对B、C：借助基本不等式即可得；对D：借助消元法用b表示a后，借助二次函数的性质即可得. 【详解】由题意可得，且，， 对A：由，即，故，故A错误； 对B：由，得， 当且仅当时，等号成立，即； 由，得， 当且仅当时，等号成立，即，故B正确； 对C：， 当且仅当即时，等号成立，故C正确； 对D：由，故，故， ，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则（    ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义依次判断AB即可；根据奇偶函数的性质，结合复合函数的单调性判断CD即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， 所以， 所以和均为偶函数，A正确，B错误； 又因为在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，单调递减，故C正确，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知奇函数在为增函数，且，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据奇函数的性质得出在上为增函数，再利用单调性和奇函数的性质求解即可. 【详解】解：是奇函数且在为增函数， 在上为增函数， 又， ， 当，即时，， 即，解得：； 当，即时，， 即，解得：； 综上所述：. 故答案为：. 13. 设集合，则集合M的非空真子集个数为___________. 【答案】6 【解析】 【分析】先求出集合M，即可求出集合M的非空真子集个数. 【详解】因为有3个元素， 所以集合M的非空真子集个数为个. 故答案：6. 14. 已知幂函数，当时，随的增大而减小，则实数的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意要得，且，从而可求出的值 【详解】∵是幂函数， ∴，即，∴或． 当时，，是幂函数，且满足当时，随的增大而减小； 当时，，是幂函数，但不满足当时，随的增大而减小，故舍去． ∴实数的值为2． 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可； （2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集. 【小问1详解】 关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. 小问2详解】 当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 16. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额x成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元． （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系； （2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 【答案】（1），，； （2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元． 【解析】 【分析】（1）根据题目中的正比关系设出函数解析式，代入已知数据求出系数即可； （2）设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元，列出收益的算式，利用配方法求收益的最大值. 【小问1详解】 依题意设，由，得； 设，由，得. 【小问2详解】 设投资股票等风险型产品为x万元，则投资债券等稳健型产品为万元， ，∵， 当，万元时，收益最大万元， 故20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元， 投资收益最大为3万元． 17. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求的值； （2）当且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为，且和是方程的两个根，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解； （2）由（1）得到，结合基本不等式，求得，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 解：因为不等式的解集为或， 所以，且和是方程的两个根， 根据韦达定理，可得，解得. 【小问2详解】 解：由（1）知，则， 因为，所以， 又因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 因为恒成立，所以， 则，即，解， 所以实数的取值范围是. 18. 已知函数的定义域为，对任意且，都满足. （1）求; （2）判断的奇偶性; （3）若当时，，且，求不等式的解集. 【答案】（1）0；0 （2）偶函数 （3）. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法计算可得； （2）对任意非零实数，，令，即可得到，再令，即可得解； （3）首先说明在区间上单调递增，再得到，则不等式转化为，再结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可. 【小问1详解】 因为对任意且，都满足， 令，得，， 令，得， . 【小问2详解】 对任意非零实数，，令， 可得. 在上式中，令，得， 即对任意非零实数，都有， 是偶函数. 【小问3详解】 对任意且，有， 由（2）知， 在区间上单调递增. ， ， 是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增， 原不等式转化为， 解得或或， 原不等式的解集为. 19. 已知幂函数是奇函数，函数. （1）求； （2）若在上单调，求的取值范围； （3）若在上的最小值为，求. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义得到方程，结合函数奇偶性，求出； （2）根据二次函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （3）分，和三种情况，结合函数单调性，得到方程，求出或5. 【小问1详解】 由题意得，得或. 当时，是偶函数，不符合题意； 当时，是奇函数，符合题意， 故. 【小问2详解】 由（1）得，图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即的取值范围为. 【小问3详解】 当，即时，在上单调递减， ，解得，舍去； 当，即时，在上单调递增， ，解得，符合； 当，即时，在上单调递减， 在上单调递增，， 解得或0（舍去）. 故或5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $