精品解析：四川省内江市2026届高三第一次模拟考试题数学试题

内江市高中2026届第一次模拟考试题 数 学 满分150 分，考试时间为120 分钟. 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合的元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】，则集合的元素个数为6. 故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算将化成，再根据复数的几何意义，即得其对应的点所在的象限. 【详解】由， 故该复数对应的点位于第二象限. 故选：B. 3. 已知向量，若与共线，则 （ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解. 【详解】，， 由与共线，可得， 解得， 故选：A 4. 已知函数在处取最大值，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的最值求解即可. 【详解】因为函数在处取最大值， 所以，即， 当 时，. 故选：B 5. 设奇函数的定义域为，当 时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由奇函数的定义可得出，即可得解. 【详解】当时，， 由奇函数的定义可得. 故选：C 6. 某工厂生产的废气要经过多次过滤，若每次过滤能消除废气中的污染物，要使废气中的污染物不超过原来的，则至少需要过滤的次数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到污染物含量与过滤次数的关系式，根据问题列出不等式，结合指数函数单调性求解即可. 【详解】设初始污染物含量为，过滤 次后的污染物含量为，则， 要使废气中的污染物不超过原来的，即， 即，即， 由于随 的增大而增大，且， 则至少需要过滤的次数是5次. 故选：D. 7. 已知直线是函数与的两条公切线，式子的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设函数的切点为，函数的切点为，根据导数的几何意义求得切线方程，由题意建立方程组，计算可得 或，代入计算可得切线方程，进而计算可解. 【详解】设函数的切点为， 对函数求导可得， 则函数在点切线的斜率为， 故切线方程为，即， 设函数的切点为， 对函数求导可得， 则函数在点切线的斜率为， 故切线方程为，即， 由题意可得， 所以，， 即，解得 或， 当 时，，此时切线方程为， 当时，，此时切线方程为， 所以，，，， ，，，. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知，则下列命题中正确的是 （ ） A. 当 时，在上的值域为 B. 当 时，的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 C. 当 时，的值域为 D. 若存在正偶数 ，使得对任意恒成立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】当 时，利用辅助角公式合并，可判断AB；对于C：利用立方和公式与完全平方式化简求值域即可；对于D：令，先把 当作变量，利用，求出，问题转化成对任意 恒成立，利用恒成立问题的解法可得答案. 【详解】当 时，， 因为，所以， 所以， 所以，故A错误； 向左平移个单位长度得到， 化简得， ， ，故B正确； 当 时， ， 又，得的值域为，故C正确； 令，得， 因为，，且， 所以， 存在正偶数 ，使得成立，当 时，， 所以只需对任意 恒成立， 即对任意 恒成立， 由于， 所以， 解得：，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. 已知 ， ， 分别为三个内角 , , 的对边，. (Ⅰ)求 ； (Ⅱ)若 =2，的面积为，求 ， . 【答案】(1) (2)=2 【解析】 【详解】(Ⅰ)由及正弦定理得 由于，所以， 又，故. (Ⅱ)的面积 ==,故=4， 而故=8，解得=2 10. 已知是等差数列的前 项和，. （1）求； （2）将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前 项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意列出方程组，求得 ，即可写出通项； （2）先求出的表达式，将两个数列的项依次列出，再合并后从小到大排列推得，化简数列的通项，利用裂项相消法计算即得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因，可得， 解得， 故； 【小问2详解】 由（1）得，则，则. 因数列的项依次为：，而数列的项依次为：， 将两数列的所有项从小到大排列依次为：，故其通项为. 则， 故数列的前 项和为： . 11. 已知函数 . （1）讨论的单调性； （2）记曲线的对称中心为，若存在，使得 ，求 的取值范围. 【答案】（1）当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在和 上单调递增，在 上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论即可得出函数的单调性； （2）求出函数的对称中心，根据存在，使得 ，分离参数后，转化为求 的最大值，构造函数，利用导数求最值即可. 【小问1详解】 ， 当 时， ，所以在 上单调递增； 当时，由 ，解得 ，由 ，解得 或 ， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由 ，解得 ，由 ，解得或 ， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当 时，在 上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 因为曲线的对称中心为， 所以， 化简整理得 ， 因为上式对任意 都成立， 所以，即， 所以 ， 即存在，使得 成立， 令，则 ， 当时， ，单调递减， 当 时， ，单调递增， 又 ，所以 ， 所以时， 有最大值 ， 所以 ，即 的取值范围为. 12. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60 名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率估计概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训.依据小概率值 的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立. （1）先填写列联表，再依据小概率值 的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关； 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 合计 100 （2）求学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5小时的概率； （3）为提高学生锻炼的积极性，学校偶尔会在田径运动场举办锻炼有奖活动，记 表示事件“田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”， 表示事件“小明去田径运动场锻炼”， .已知小明在田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率大.证明：. 参考公式与数据：，其中， . 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 35 25 60 短跑成绩不合格 10 30 40 合计 45 55 100 ，根据小概率值 的独立性检验，可以认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关. （2）. （3）由题意知 ， 所以， 因为 ，所以 ， 所以 ， 整理得 ， 所以 ， 即 ， 因为 ，所以 ， 所以，即 【解析】 【分析】（1）根据题意先完成列联表，根据表格中的数据计算即可进行独立性检验. （2）综合条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式求解. （3）根据条件概率公式与对立事件的概率公式化简求证. 【小问1详解】 根据题意完善列联表如下： 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 35 25 60 短跑成绩不合格 10 30 40 合计 45 55 100 根据列联表中的数据，计算得到 ， 根据小概率值 的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关. 【小问2详解】 由（1）中的列联表知，短跑成绩不合格的学生有40人，其中每周自主锻炼时间超过5小时的有10人，每周自主锻炼时间不超过5小时的有30人. 记事件 “甲在培训后短跑成绩合格”，事件 “甲每周自主锻炼时间超过5小时”，则事件 “甲每周自主锻炼时间不超过5小时”， 用频率估计概率知 ，， 由题意知，， 由全概率公式知 . 由贝叶斯公式知，即学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5小时的概率为. 【小问3详解】 略 13. 已知函数. （1）当 时，求在上的最小值； （2）当 时，设是从小到大的第 个极值点. ①证明：数列是等比数列； ②证明：. 【答案】（1）. （2）①证明如下： 因为，所以 ， 其中. 因为 ，所以，根据周期性，可取. 令 ，即，由 得，解得. ，当，即时， ； 当，即时， . 因此，在正数范围内的区间与上， 的符号总相反，所以是的极值点， 所以. ， 假设，则， 而，无实数解，所以. 所以，为非零常数， 所以数列是等比数列. ②证明如下： 由上知 ， 又， 其中， 所以， 所以， 要证，只需证， 只需证. 令，则， 在上，，单调递减；在上，，单调递增， 所以，即，当且仅当 时等号成立， 所以，即，所以，即. 所以. 【解析】 【分析】（1）求导判断函数的单调性，进而求得最值； （2）①首先求出的表达式，根据等比数列的定义证明；②放缩法化简证明不等式. 【小问1详解】 当 时，，， 所以. 因为，所以，所以在上单调递增， 所以. 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江市高中2026届第一次模拟考试题 数 学 满分150 分，考试时间为120 分钟. 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合的元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 8 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，若与共线，则 （ ） A. B. 1 C. 2 D. 4. 已知函数在处取最大值，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 5. 设奇函数的定义域为，当 时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 6. 某工厂生产的废气要经过多次过滤，若每次过滤能消除废气中的污染物，要使废气中的污染物不超过原来的，则至少需要过滤的次数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知直线是函数与的两条公切线，式子的值为的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知，则下列命题中正确的是 （ ） A. 当 时，在上的值域为 B. 当 时，的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 C. 当 时，的值域为 D. 若存在正偶数 ，使得对任意恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. 已知 ， ，分别为三个内角,, 的对边，. (Ⅰ)求； (Ⅱ)若 =2，的面积为，求 ，. 10. 已知是等差数列的前 项和，. （1）求； （2）将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前 项和. 11. 已知函数 . （1）讨论的单调性； （2）记曲线的对称中心为，若存在，使得 ，求 的取值范围. 12. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60 名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率估计概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训.依据小概率值 的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立. （1）先填写列联表，再依据小概率值 的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关； 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 合计 100 （2）求学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5小时的概率； （3）为提高学生锻炼的积极性，学校偶尔会在田径运动场举办锻炼有奖活动，记 表示事件“田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”， 表示事件“小明去田径运动场锻炼”， .已知小明在田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率大.证明：. 参考公式与数据：，其中， . 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 13. 已知函数. （1）当 时，求在上的最小值； （2）当 时，设是从小到大的第 个极值点. ①证明：数列是等比数列； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $