精品解析：河北省石家庄市第一中学2025-2026学年高一上学期学情检测反馈考试二数学试题

石家庄市第一中学2025级学情检测反馈考试二 数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集、集合、集合如Venn图所示，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 2. 已知命题p：，有，则（ ） A. p是真命题，p的否定：，使 B. p是真命题，p的否定：，使 C. p是假命题，p的否定：，使 D. p是假命题，p的否定：，使 3. 已知且，则“关于的不等式在上恒成立”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符．合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题中，正确的有（　　） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若函数，则 C. 关于的不等式的解集为或，则 D. 已知函数恒过定点，则函数的图象不经过第四象限 11. 已知函数，若函数有且仅有4个零点，，，（其中），则（ ） A. 函数的增区间为， B. 的取值范围为 C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_____. 13. 已知函数，若为上的减函数，则的取值范围为___________． 14. 已知定义域为R的奇函数在区间上为严格减函数，且，则不等式的解集为___________. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 计算： （1）； （2）； 16. 已知全集，集合，集合，集合． （1）求， （2）若，求实数的取值范围． 17. 我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象． （1）求函数的解析式； （2）求函数的值域； （3）设，解关于的不等式：． 19. 已知函数． （1）求的单调增区间（只需写出结果即可）； （2）求不等式的解集； （3）若方程在区间内有3个不等实根，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第一中学2025级学情检测反馈考试二 数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集、集合、集合如Venn图所示，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据Venn图求，根据元素个数求子集个数. 【详解】由Venn图可知：， 所以的子集个数为， 故选：D． 2. 已知命题p：，有，则（ ） A. p是真命题，p的否定：，使 B. p是真命题，p的否定：，使 C. p是假命题，p的否定：，使 D. p是假命题，p的否定：，使 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定及一元二次不等式恒成立的条件判断即可. 【详解】因为恒成立，所以命题p是假命题； p的否定是：，使. 故选：D. 3. 已知且，则“关于的不等式在上恒成立”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系，及充分、必要条件的概念即可判断. 【详解】若关于的不等式在上恒成立， 则，，解得， 因为是的真子集， 所以“关于的不等式在上恒成立”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分奇偶讨论，结合图象可得答案. 【详解】当时，， 当时，,所以选项C满足题意. 故选：C. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，利用基本不等式，结合常数代换法即可求解. 【详解】，由题意得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：D. 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的特殊值及奇偶性排除A，B，D即可得解. 【详解】当时，，排除选项A；因为的定义域为，且，所以为奇函数，排除选项B；当时，，排除选项D. 故选：C 7. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数以及对数函数的单调性，可得内层二次函数的单调性，根据二次函数以及对数函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意，且在上单调递增，则函数在上单调递减， 可得，即，解得. 故选：A. 8. 已知函数，若，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断出函数是偶函数，且在区间上单调递增，然后比较、、三个数的大小，由此可得出、、的大小关系. 【详解】由题意可知：的定义域为， 则，所以函数为偶函数， 因为在定义域内单调递增，则在定义域内单调递增， 当时，， 任取，则， 可得，即， 所以函数在上单调递增， 又因为， 且， 所以，即. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查函数值的大小比较，解题的关键在于分析函数的单调性与奇偶性. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符．合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断AB，作差可得C；举反例判断D. 【详解】对于A，由不等式的性质可得，又，所以，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，， 因为，所以，所以，故C正确； 对于D，令，则，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列命题中，正确的有（　　） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若函数，则 C. 关于的不等式的解集为或，则 D. 已知函数恒过定点，则函数的图象不经过第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域即可判断A；利用换元法即可判断B；由不等式的解集可得且，关于的方程的解为，再利用韦达定理求出的关系即可判断C；先根据指数函数的图象求出，再根据反比例函数的图象即可判断D. 【详解】对于A，因为函数的定义域为， 则，所以， 所以函数的定义域为， 由，得，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，令，则， 则， 所以，故B正确； 对于C，因为关于的不等式的解集为或， 所以且，关于的方程的解为， 则，所以， 则，故C错误； 对于D，令，则， 所以函数恒过定点， 所以， 则，其图象不过第四象限，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，若函数有且仅有4个零点，，，（其中），则（ ） A. 函数的增区间为， B. 的取值范围为 C. D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】画出函数图象，即可判断A，由与有且仅有个交点，结合图象求出的取值范围，即可判断B，结合图象可得，再由对称性即可判断C，将式子转化为关于的解析式，结合函数的单调性，即可判断D. 【详解】因为， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，； 当时，所以在上单调递减， 在上单调递增，且，； 所以函数的图象如下： 对于A：由函数的图象可知，函数的增区间为，，故A正确； 对于B：因为函数有且仅有4个零点， 令，则，即与有且仅有个交点， 由函数的图象可知，，故B错误； 对于C：由函数的图象可知， 又由，有，可得， 又由二次函数的对称性，有，可得，故C正确； 对于D：由， 则 ， 又函数单调递增，所以， 单调递增，所以， 所以， 即的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据弧度值的定义，结合扇形面积公式求解即可. 【详解】由题意，，故这个扇形的半径，面积为. 故答案为： 13. 已知函数，若为上的减函数，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得，解之即可. 【详解】由题意得，当时，函数单调递减，且当时，， 当时，函数单调递减，且当时，， 得，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知定义域为R的奇函数在区间上为严格减函数，且，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由定义域为R的奇函数在区间上为严格减函数，且，画出的草图，结合图像对进行等价转化，解不等式即可. 【详解】是定义域为R的奇函数，且在区间上为严格减函数，有， ∴在区间上为严格减函数且，可作出的草图： 不等式可化为： 或 对于，当时，无解； 对于，当时，由图像观察， 解得： 所以不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】常见解不等式的类型： (1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法； (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则； (3)高次不等式用穿针引线法； (4)含参数的不等式需要分类讨论． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算化简得解； （2）利用对数的运算法则计算得解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知全集，集合，集合，集合． （1）求， （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或， （2）或 【解析】 【分析】（1）先解不等式得出集合、，再由集合的运算可得结果； （2）因为，所以，分和两种情况求解即可. 【小问1详解】 根据题意：集合， 集合或 或， 【小问2详解】 因为，所以， 若，则 若，则，得时，可得， 实数的取值范围为或 . 17. 我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 【解析】 【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 当时，万元， 当时，，当且仅当，即时等号成立，万元. 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 18. 已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象． （1）求函数的解析式； （2）求函数的值域； （3）设，解关于的不等式：． 【答案】（1）（或）； （2）； （3）当时，；当时，；当时，. 【解析】 【分析】（1）通过幂函数定义和偶函数性质确定，再利用图象平移规律求； （2）先求的取值范围，结合指数函数单调性求值域； （3）将不等式转化为含参数的二次不等式，通过因式分解后分类讨论求解集. 【小问1详解】 由幂函数定义，，解得或. 当时，，是上的偶函数，符合要求； 当时，，定义域不为且非偶函数，舍去. 故，经图象平移（右移2个单位，下移1个单位）， 得. 【小问2详解】 因，且单调递增， 故，值域为. 【小问3详解】 不等式整理为. 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 19. 已知函数． （1）求的单调增区间（只需写出结果即可）； （2）求不等式的解集； （3）若方程在区间内有3个不等实根，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由复合函数的单调性判断即可； （2）由偶函数的对称性及单调性，结合定义域列不等式组求解即可； （3）设，将方程在区间内有3个不等实根转化为方程有两个不相等的实数根，其中，，列出不等式组，求出的范围及，再利用二次函数求最值即可． 【小问1详解】 由得，，解得， 又因为在单调递增，在单调递增，在单调递减， 所以的单调增区间为． 【小问2详解】 因为定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数， 由（1）得，，解得． 【小问3详解】 设，当时，，，即， 则方程有3个不等实根方程有两个不相等的实数根，其中，， 所以，即，解得， 所以， 当即时有最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $