3.2从有理数到实数 教学设计 2025-2026学年浙教版数学七年级上册

第三章 实数 3.2《从有理数到实数》   一、教材分析 本节课《从有理数到实数》是浙教版初中数学七年级上册第三章第二节的内容。在上一章中，已经有了有理数的基础，在此基础上，又初步认识了平方根，但都是能开的尽的平方根，本节课将进一步对平方根的认识，从而认识无理数及实数，为第四学段进一步理解实数的意义和运算打下良好的基础. 本节课从实际情境引入，并渗透数学史上的“第一次数学危机”引发学生的探究，引导探究及其数值从而再在具体的生活情境中理解无理数的意义。知道并了解无理数从而理解实数的意义，最后学生可以在具体的生活情境中进行运用实数。  二、学情分析 《从有理数到实数》这个单元是在学生认识了有理数的基础上进行学习，前一节已经学习了平方根，但是仅仅是能开的尽的开方运算，而且开方运算在日常生活也比较少遇到。本课立足于学生的“学”，要求学生多观察，感受生活情境中的数学，多应用多体会，从而可以帮助学生形成数学来源于生活，又应用于生活的理念，培养“三会”的数学核心素养.因此课堂采用自主探究和合作交流的方法组织教学，使每位学生都参与到课堂当中，体会到数学的乐趣!   三、教学目标 1.利用“合作学习”，让学生经历无理数的产生过程。 2.了解无理数、实数的概念，了解实数的分类。 3.知道实数与数轴上的点一一对应。 4.理解相反数、绝对值、数的大小比较法则同样适用于实数。   四、教学重难点 重点：本节教学的重点是无理数、实数的概念，以及实数与数轴上的点一一对应。 难点：无理数的概念比较抽象；在数轴上的表示，需要比较复杂的几何作图。  五、教学过程 · 活动一 情境文化促思考 问题1：用一张A4纸折出一个最大的正方形，将对角线与另一张A4纸的长边叠合，你发现了什么？由此你能得出A4纸长与宽的比是多少吗？ 希伯索斯 第一次数学危机：当时的毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，这里的数是指有理数。在毕达哥拉斯学派中有一个名叫希伯索斯的发现了有的数并不是有理数，可能还存在另一种不是有理数的数。但是没有被当时的人们所接纳，反而是将他投进了大海。 师生活动：教师投影展示本节引入的问题，与学生共同感受数学文化。 设计意图：情境激发学生探究欲，文化激发学生学习兴趣。 · 活动二 合作学习探新知 问题2：如图，依次连结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形。设每一方格的边长为1个单位长度。讨论下面的问题： （1）阴影正方形的面积是多少？ （2）阴影正方形的边长是多少？应怎样表示？ （3）阴影正方形的边长介于哪两个相邻整数之间？ （请与你的同伴交流） 答：（1）阴影正方形的面积为； （2）阴影正方形的边上是的算术平方根，表示为； （3） 介于与之间。 师生活动：学生先独立思考，再以小组形式汇报展示。 设计意图：初步感知的存在，激发学生探究的值。 · 活动三 步步深入探新知 问题3：探究的十分位、百分位、千分位等数位上的值是多少？ 答：如此进行下去，可以得到一系列越来越接近的近似值。事实上，…，它既不是有限小数，也不是无限循环小数（不能化为分数）。 归纳：像这种无限不循环小数叫作无理数（irrational number）。 师生活动：老师提问学生举手回答问题． 设计意图：探究的值，归纳得出无理数的概念。 问题3：你还知道哪些无理数吗？ 例：， 。 任意写一个无限不循环小数，如（两个“”之间依次多一个“0”)，它也是无理数。 归纳：如果我们把整数看作小数部分为零的有限小数，那么有理数便是有限小数与无限循环小数的统称。和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数，例如，， ， ， 都是正无理数，， ， ， 都是负无理数。 有理数和无理数统称实数（real number）。 师生活动：老师提问学生举手回答问题． 设计意图：归纳无理数的概念，从分类的角度分析小数的分类，并得出实数的意义。 问题4：我们已经知道，每一个有理数都可用数轴上的点表示出来，那么数轴上的每一个点都表示一个有理数吗？ 答：如图，通过画图中正方形ABCD的边长，就能准确地把和-表示在数轴上。 归纳：把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用。例如，和-互为相反数，==。在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。我们说实数和数轴上的点一一对应。 提示：根据有理数的学习套路，可以得出无理数的学习套路：数轴——相反数——绝对值——比大小。 归纳：无理数与有理数一样，可以画在数轴上，所以也有相反数和绝对值，也可以用数轴法和绝对值法来比大小。 师生活动：老师提问学生举手回答问题． 设计意图：根据有理数的学习套路来研究无理数的套路。让学生感知学习的方法可以是可类比来进行的，使学生从“学会”到“会学”转变。 · 活动四 例题学习固新知 【经典例题】 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”连接）。 。 解：把表示在数轴上，如图。 所以。 师生活动：学生先独立思考再作答. 设计意图：引出正负数概念后，让学生试试对正负数分类，能够识别哪些是负数，哪些是正数，再把0加入进去，让学生一起进行分类，增加考察难度. · 活动五 例题学习固新知 【教材练习】1．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ，，，，，，。 答：有理数： ，，， ，；无理数： ， 。 2.填空： （1）的相反数是_____________； （2）=_____________； （3）一个数的绝对值是，这个数是_____________。 答：；；。 3. 用“<”“>”或数字填空： （1）因为1.732_______3________1.742， 所以1.73________________1.74， 所以≈（精确到0.1）。 （2）因为2.4492________6________2.4502， 所以2.449_________________2.450， 所以≈ （精确到0.01）。 答：<；<；<；<；<；<；<；<；2.24。 师生活动：独立思考，小组分享，班级展评。 设计意图：通过本题的学习让学生理解无理数的相反数、绝对值及比大小的性质与方法。 · 活动六 限时五分测测看 1.下列各数中，属于有理数的是(    ) A. B. …两个“3”之间依次多一个“2” C. D. 答案：A 2.下列无理数中，大小在3与4之间的是(    ) A. B. C. D. 答案：C 3.求下列各数的绝对值和相反数： (1)的绝对值是 相反数是 ； (2)的绝对值是 相反数是 。 答案：；；；。 4.如图，点A，B在数轴上分别表示1和，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，则点C表示的数为__________。 答案：。 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用. · 活动七 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.无理数和实数的概念是什么？ 3.如何用正负数表示相反意义的量？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $