第03讲 立方根（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

第03讲 立方根和实数的运算 知识点1：立方根的定义和性质 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【题型1 立方根的概念】 【典例1】的立方根是（   ） A． B． C． D．不存在 【变式1】9的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【变式2】立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 【变式3】27的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【题型2 已知一个数的立方根求这个数】 【典例2】已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 【变式1】若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 【题型3 立方根的实际应用】 【典例3】实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 【变式1】在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【变式2】小明在爸爸的帮助下，准备动手做一个鸟笼． (1)如果做一个体积为的正方体鸟笼，那么鸟笼的棱长为多少？ (2)如果这个正方体鸟笼的体积为，那么鸟笼的棱长为多少？ 【变式3】如下图，一个底面积为、高为的长方体容器中装满水，现需要清洗该容器，把水全部倒入一个正方体容器中．如果正方体容器正好被装满，求正方体容器的棱长． 【题型4 与立方根有关的规律探索】 【典例4】观察下表： 0．0001 1 100 10000 1 10 100 (1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应的向左或向右移动____位； (2)根据你发现的规律填空：①已知． 则___________，___________； ②若，则___________； (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动____位； ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【变式1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，，则 ． 【变式3】计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【题型5 算术平方根和立方根的综合应用】 【典例5】已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式1】已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根． 【变式2】已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【变式3】已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【题型6 实数的运算】 【典例6】计算： (1)； (2) 【变式1】计算： (1) (2) 【变式2】计算 (1) (2) 【变式3】化简： (1)． (2)； 一、单选题 1．的立方根是（    ） A．3 B． C． D． 2．0.008的立方根是（    ） A． B． C．0.2 D． 3．若一个正方体的体积为，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．9 4．下列说法正确的是（    ） A．是9的平方根 B．9的立方根是 C．4是8的算术平方根 D． 二、填空题 5．的立方根是 ． 6．如果和互为相反数，那么的立方根是 ． 7．2是 的立方根； 的立方根是． 8．如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体．如果它的体积为，那么它的棱长为 ． 9．的算术平方根是 ，的立方根是 ，的平方根是 ． 三、解答题 10．求的值：． 11．计算：． 12．已知的立方根是3，的一个平方根是． (1)求a ，b的值； (2)求的平方根． 13．将27个棱长为的实心小正方体橡皮泥揉捏成一个实心大正方体，求这个实心大正方体的棱长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 立方根和实数的运算 知识点1：立方根的定义和性质 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【题型1 立方根的概念】 【典例1】的立方根是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的定义与性质，解题的关键是掌握“负数的立方根是负数，且一个数的立方根只有一个”，并能通过立方运算验证其立方根． 先根据立方根的性质判断：负数有且只有一个负的立方根，排除含正数或“不存在”的选项；再通过计算具体数值的立方，验证哪个选项的立方等于，进而确定答案． 【详解】解：根据立方根的定义，若，则是的立方根，且负数的立方根是负数． ∵， ∴的立方根是，选项B符合题意； 故选：B． 【变式1】9的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是立方根的意义，根据立方根的意义可得答案. 【详解】解：的立方根是， 故选：B 【变式2】立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，注意正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．根据开立方的意义，可得答案． 【详解】解：立方根等于它本身的有，0，1． 故选：A． 【变式3】27的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的概念及计算．根据立方根的定义：若一个数的立方等于，则这个数称为的立方根，求解即可．熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴27的立方根是3． 故选：A． 【题型2 已知一个数的立方根求这个数】 【典例2】已知，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故选：D． 【变式1】若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式2】若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义，得出与被开方数，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，则． 故选：C． 【变式3】若一个数的立方根为，则这个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知一个数的立方根，求这个数．熟练掌握立方根的运算是解题的关键． 由，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 【题型3 立方根的实际应用】 【典例3】实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）根据正方体体积公式求出正方体金属块的棱长即可； （2）先求出长方体容器的底面积，再求出长方体容器的底面边长即可． 【详解】（1）解：∵正方体金属块的体积为， ∴这个正方体金属块的棱长为； （2）解：重新铸造的长方体的底面积为：， ∴长方体容器的底面边长为：． 【变式1】在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 【变式2】小明在爸爸的帮助下，准备动手做一个鸟笼． (1)如果做一个体积为的正方体鸟笼，那么鸟笼的棱长为多少？ (2)如果这个正方体鸟笼的体积为，那么鸟笼的棱长为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设鸟笼的棱长为，因为做一个体积为的正方体鸟笼，则，再解出，即可作答． （2）因为这个正方体鸟笼的体积为，得出，再解出，即可作答． 【详解】（1）解：设鸟笼的棱长为． 根据题意可知， 解得． 故鸟笼的棱长为． （2）解：∵正方体鸟笼的体积为， ∴， 解得． 故鸟笼的棱长为． 【变式3】如下图，一个底面积为、高为的长方体容器中装满水，现需要清洗该容器，把水全部倒入一个正方体容器中．如果正方体容器正好被装满，求正方体容器的棱长． 【答案】正方体容器的棱长为 【分析】本题考查了立方根的应用．设正方体容器的棱长为，依题意列方程求解即可． 【详解】解：设正方体容器的棱长为． 依题意，得， 解得． 故正方体容器的棱长为． 【题型4 与立方根有关的规律探索】 【典例4】观察下表： 0．0001 1 100 10000 1 10 100 (1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应的向左或向右移动____位； (2)根据你发现的规律填空：①已知． 则___________，___________； ②若，则___________； (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动____位； ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)2，算术平方根，1 (2)①；；② (3)3，1；①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）①利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案；②利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解；②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解：由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：2，算术平方根，1 （2）解：①∵． ∴，； 故答案为：； ②∵， ∴； 故答案为： （3）解：被开方数的小数点向左或向右每移动3位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：3；1 ①∵， ∴； 故答案为： ②∵， ∴． 故答案为： 【变式1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根与被开方数的关系，掌握这个是解题的关键． 根据立方根与被开方数的关系：被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根也相应地向左或向右移动一位，选择即可． 【详解】解：， ． 故选：D． 【变式2】已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，正确理解题意、找到规律是关键．根据已知的式子结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答，注意符号． 【详解】解：，，，， ， ， 故答案为：． 【变式3】计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 【题型5 算术平方根和立方根的综合应用】 【典例5】已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 【变式1】已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根及平方根等知识，掌握这些概念是解题的关键；由题意得，进而求得a与b的值，即可求得的值，从而求得其平方根． 【详解】解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 【变式2】已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 【变式3】已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 【题型6 实数的运算】 【典例6】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的运算，算术平方根、立方根，以及乘方，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）原式利用乘方的意义，算术平方根计算即可得到结果； （2）原式利用乘方的意义，算术平方根、立方根性质计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ． 【变式1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握实数混合运算的法则是解题的关键． （1）先算乘方、立方根、去绝对值，再算加减法即可； （2）先算乘方、立方根、去绝对值，再算加减法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根，立方根的计算是关键． （1）分别算出算术平方根，立方根，绝对值的结果，再计算加减即可； （2）分别算出乘方，立方根，算术平方根的值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】化简： (1)． (2)； 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解答本题的关键． （1）先根据算术平方根和立方根的意义化简，再算加减； （2）先根据实数的性质、算术平方根和立方根的意义化简，再算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 一、单选题 1．的立方根是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的意义是解题的关键． 【详解】解：的立方根是， 故选：B． 2．0.008的立方根是（    ） A． B． C．0.2 D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根的概念，熟练掌握此概念是解答本题的关键． 根据立方根的概念即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴的立方根为0.2， 故选：C． 3．若一个正方体的体积为，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的定义，根据正方体的棱长等于体积的立方根，即可求解． 【详解】解：一个正方体的体积为，则这个正方体的棱长为， 故选：C． 4．下列说法正确的是（    ） A．是9的平方根 B．9的立方根是 C．4是8的算术平方根 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，立方根的定义，算术平方根的定义等知识点，解决此题的关键是熟练掌握各个定义；根据每个知识点一一判断即可； 【详解】解：∵，∴是9的平方根，故A正确； ∵∴9的立方根是不正确，故B错误； ∵，∴4是16的算术平方根，故C错误； ∵，∴错误，故D错误； 故选：A． 二、填空题 5．的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故答案为：． 6．如果和互为相反数，那么的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查实数的性质，算术平方根的非负性，求一个数的立方根，根据互为相反数的两个数和为0，结合算术平方根的非负性求出的值，进而求出的立方根即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为：2． 7．2是 的立方根； 的立方根是． 【答案】 8 【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值即可． 【详解】解：∵， ∴2是8的立方根， ∵， ∴的立方根是． 故答案为8，． 8．如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体．如果它的体积为，那么它的棱长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了立方根的应用，由正方体的体积及立方根即可求解． 【详解】解：设正方体的棱长为a，则， ∴， 故答案为：4． 9．的算术平方根是 ，的立方根是 ，的平方根是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，立方根，平方根等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 利用求一个数的算术平方根，立方根，平方根的运算法则，逐个进行求解即可． 【详解】解：； ； ， ∵7的平方根为， ∴的平方根为， 故答案为：． 三、解答题 10．求的值：． 【答案】 【分析】本题主要考查了求立方根的方法解方程，先把方程两边同时减去125，再把方程两边同时开立方得到一个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 11．计算：． 【答案】0 【分析】本题考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根的运算．先计算算术平方根、立方根，再加减求解即可． 【详解】解： ． 12．已知的立方根是3，的一个平方根是． (1)求a ，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)的平方根为． 【分析】本题考查了立方根和平方根的定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根和平方根的定义即可求解； （2）把的值代入求出其值，再根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∵的一个平方根是， ∴， 把代入，得：， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 13．将27个棱长为的实心小正方体橡皮泥揉捏成一个实心大正方体，求这个实心大正方体的棱长． 【答案】这个实心大正方体的棱长为 【分析】本题主要考查了立方根的应用，根据体积不变原理得出小正方体体积的和等于变形后的大正方体体积是解题关键． 先求出小正方体的体积，再求大正方体的体积进而可求解大正方体的棱长． 【详解】解：因为小正方体的棱长为， 所以小正方体的体积． 所以大正方体的体积． 所以大正方体的棱长． 答：这个实心大正方体的棱长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $