17.5反证法 讲义 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学“反证法”核心知识点，系统梳理其定义（间接证明，假设结论反面成立并推导矛盾）、步骤（反设、归谬、结论）、适用场景（直接证明困难等四类命题）及注意事项，辅以思维导图构建知识框架，形成从概念到应用的完整学习支架。 资料特色在于结构化设计与分层教学，针对基础薄弱学生，通过清晰示例（如“三角形不能有两直角”证明）培养推理意识，练习题强化反设准确性与逻辑思维。课中助力教师高效授课，课后学生可借助导图回顾与习题巩固，提升数学表达与论证能力。

17.5反证法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、反证法的定义 反证法是一种间接证明的方法，它先假设命题的结论不成立（即结论的反面成立），然后通过正确的逻辑推理，得出与已知条件、定义、公理、定理等相矛盾的结果，从而证明假设错误，进而肯定原命题的结论正确。 二、反证法的证明步骤 1. 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。（通常将结论的否定形式作为假设） 例如：要证“(a > b)”，反设为“”；要证“三角形中至少有一个角不大于”，反设为“三角形中所有角都大于”。 2. 归谬：从反设出发，结合已知条件、定义、公理、定理等进行正确的逻辑推理，推导出矛盾。 矛盾的类型可能包括：与已知条件矛盾、与定义或公理矛盾、与定理矛盾、推理过程中自相矛盾等。 3. 结论：由矛盾判定反设不成立，从而肯定原命题的结论成立。 三、反证法的适用场景 1. 直接证明困难的命题：当直接从已知条件推证结论思路不清晰、步骤复杂时，可尝试反证法。 2. 含有“否定性”词语的命题：如“不存在”“不可能”“没有”等，例如“证明：在同一平面内，过直线外一点，不存在两条直线与已知直线平行”。 3. 含有“唯一性”词语的命题：如“唯一”“只有一个”等，例如“证明：两条相交直线只有一个交点”。 4. 含有“至少”“至多”词语的命题：如“至少有一个”“至多有n个”等，例如“证明：任意三个有理数中，至少有两个数的和是有理数”。 四、反证法的注意事项 1. 反设要准确：必须明确结论的反面，避免否定不当或遗漏情况。例如，“(a)是正数”的反面是“(a)是非正数（即）”，而非“(a)是负数”。 2. 推理要严密：归谬过程必须基于反设和已知条件，严格遵循逻辑规则，确保推导过程无漏洞。 3. 矛盾要明确：需清晰指出推导出的结果与哪一已知条件、定义、公理或定理矛盾，不可模糊表述。 4. 结论要回扣：完成归谬后，需明确说明“由于矛盾，故反设不成立，从而原命题成立”，使证明结构完整。 五、反证法的简单示例 命题：证明：在一个三角形中，不能有两个角是直角。 证明： · 反设：假设在中，有两个角是直角，不妨设，。 · 归谬：根据三角形内角和定理，，则，即。这与“三角形的内角大于”矛盾。 · 结论：故假设不成立，原命题成立，即在一个三角形中，不能有两个角是直角。 型 习 练 题 反证法证明中的假设 1．用反证法证明：中，，，则，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：∵ 结论是， ∴ 反证法第一步应假设结论不成立，即， 故选：D． 2．在用反证法证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．若用反证法证明“若，，，则”．则应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的第一步是假设命题的结论不成立．命题的结论是 ，因此其反面为． 【详解】解：用反证法证明“若 ，，，则”， 应假设结论 不成立，即． 故选：B． 3．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（    ） A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角 C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角 【答案】D 【分析】本题主要考查了反证法，掌握原命题的否定与原命题的关系是解题的关键．“至少有两个”的反面为“至多有一个”，据此即可解答． 【详解】解：∵至少有两个”的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的否定． ∴应假设：三角形三个外角中至多有一个钝角． 故选：D． 4．假设命题“”不成立，那么a与0的大小关系只能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 由于的反面为，则假设命题“”不成立，则有． 【详解】解：假设命题“”不成立，则． 故选B． 5．用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设． 故选：A． 用反证法证明命题 6．已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 先要假设每个数大于，则四个正数的和大于1，即可证明结论． 【详解】解：先要假设每个数大于， 则四个正数的和大于1， 与已知已知四个正数的和等于1矛盾， 故至少有一个数不大于， 故选：C． 7．证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【答案】C 【分析】本题考查了反证法“假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法”，熟记定义是解题关键．根据反证法的定义即可解答． 【详解】解：由证明过程可知，证明方法是反证法， 故选：C． 8．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤， ③假设在中，， ④由，得，即， ②，这与三角形内角和为矛盾， ①因此假设不成立．， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①． 故选：C． 9．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（　　） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了反证法；根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断． 【详解】解：A. ，满足条件，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； B.，，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意； C.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； D.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意； 故选：B． 10．布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况，即数量不足15个的黄球、白球、黑球全部摸出，再从数量超过15个的红球、绿球、蓝球中各摸出14个，此时再任意摸出1个球，即可保证有15个同色的球． 【详解】解：根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况： 最坏情况考虑：摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：个球， 故选：B． 推理与论证 11．当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握奇数与偶数的积为偶数．分n是偶数与奇数两种情况分析，同时结合奇数与偶数的积的特征即得结果． 【详解】当n是偶数时，是奇数，而偶数×奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 当n是奇数时，是偶数，而奇数×偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 故选A． 12．将12张卡片分给甲、乙、丙、丁4个人，每人3张，卡片分三种，红卡片值是5分、绿卡片值是2分、黄卡片值是1分，结果甲得6分，乙得11分，丙得9分，已知黄卡片的张数不超过红卡片的张数，那么下列判断错误的是（       ） A．乙同学没有拿绿卡 B．丁同学可能得4分 C．丁同学可能同时拿三种花色卡片 D．绿卡的数量一定多于红卡的数量 【答案】D 【分析】根据甲乙丙三位同学的得分情况分析，只能是1,2,5的组合，且必须是三个数字的和，得到唯一组合，根据黄卡片的张数不超过红卡片的张数，分析可得黄卡数量可能是3张或2张或1张，逐项判断分析可得结论． 【详解】解：每人3张，卡片分三种，红卡片值是5分、绿卡片值是2分、黄卡片值是1分， 结果甲得6分，， 甲同学拿了3张绿卡， 乙得11分，， 乙同学拿了2张红卡和一张黄卡，故A选项正确； 丙得9分，， 丙同学拿了2张绿卡和一张红卡， 已经分得9张卡片，分别是5张绿卡，3张红卡，1张黄卡，还有3张卡片给丁同学， 已知黄卡片的张数不超过红卡片的张数，则黄卡数量可能是3张或2张或1张， 若剩余卡片中全部是红卡，则红卡共6张，大于绿卡数量，故D选项不正确； 若剩余卡片中2张黄卡，1张绿卡，则丁通行可能得4分，故B选项正确； 若剩余卡片中红，黄，绿各一张，则丁同学可能同时拿三种花色卡片，故C选项正确， 故选：D. 【点睛】本题考查了有理数的加法，逻辑推理，根据已知数据推理是解题的关键． 13．四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 【答案】C 【分析】本题考查了逻辑推理与论证，仔细读题是解决本题的关键． 根据小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，进而判断即可． 【详解】解：根据题意得，小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾， ∴两人的话必有一真一假， ∵“只有一个小孩说真话”， ∴小张和小明的话都是假话， ∴小明说“我没有打破窗户的玻璃”是假话，说明小明打破了玻璃． 故选C． 14．小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好． 并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书． 根据以上信息，下列选项中正确的是（    ） A．小龙在乙校读书，爱好阅读 B．小龙在丙校读书，爱好绘画 C．小军在乙校读书，爱好绘画 D．小康在甲校读书，爱好阅读 【答案】C 【分析】本题考查逻辑推理，根据①得到小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书，根据②得到小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读，进行判断即可． 【详解】解：因为小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书， 所以小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书， 因为在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书， 所以小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读， 故选C． 15．小东、小雨和小丽三人进行跳绳比赛．小丽说：我不是最后一名．小雨说：我也不是最后一名，但是小丽的成绩比我好．第一名是（   ） A．小东 B．小雨 C．小丽 【答案】C 【分析】本题主要考查逻辑推理，关键是从二人的语言中找到名称的排列关系；即可求解. 【详解】解：根据题意，小丽说：我不是最后一名，那么小丽是第一名或第二名； 小雨说：我也不是最后一名，但是小丽的成绩比我好，那么小雨是第二名，小丽是第一名， 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.5反证法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、反证法的定义 反证法是一种间接证明的方法，它先假设命题的结论不成立（即结论的反面成立），然后通过正确的逻辑推理，得出与已知条件、定义、公理、定理等相矛盾的结果，从而证明假设错误，进而肯定原命题的结论正确。 二、反证法的证明步骤 1. 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。（通常将结论的否定形式作为假设） 例如：要证“(a > b)”，反设为“”；要证“三角形中至少有一个角不大于”，反设为“三角形中所有角都大于”。 2. 归谬：从反设出发，结合已知条件、定义、公理、定理等进行正确的逻辑推理，推导出矛盾。 矛盾的类型可能包括：与已知条件矛盾、与定义或公理矛盾、与定理矛盾、推理过程中自相矛盾等。 3. 结论：由矛盾判定反设不成立，从而肯定原命题的结论成立。 三、反证法的适用场景 1. 直接证明困难的命题：当直接从已知条件推证结论思路不清晰、步骤复杂时，可尝试反证法。 2. 含有“否定性”词语的命题：如“不存在”“不可能”“没有”等，例如“证明：在同一平面内，过直线外一点，不存在两条直线与已知直线平行”。 3. 含有“唯一性”词语的命题：如“唯一”“只有一个”等，例如“证明：两条相交直线只有一个交点”。 4. 含有“至少”“至多”词语的命题：如“至少有一个”“至多有n个”等，例如“证明：任意三个有理数中，至少有两个数的和是有理数”。 四、反证法的注意事项 1. 反设要准确：必须明确结论的反面，避免否定不当或遗漏情况。例如，“(a)是正数”的反面是“(a)是非正数（即）”，而非“(a)是负数”。 2. 推理要严密：归谬过程必须基于反设和已知条件，严格遵循逻辑规则，确保推导过程无漏洞。 3. 矛盾要明确：需清晰指出推导出的结果与哪一已知条件、定义、公理或定理矛盾，不可模糊表述。 4. 结论要回扣：完成归谬后，需明确说明“由于矛盾，故反设不成立，从而原命题成立”，使证明结构完整。 五、反证法的简单示例 命题：证明：在一个三角形中，不能有两个角是直角。 证明： · 反设：假设在中，有两个角是直角，不妨设，。 · 归谬：根据三角形内角和定理，，则，即。这与“三角形的内角大于”矛盾。 · 结论：故假设不成立，原命题成立，即在一个三角形中，不能有两个角是直角。 型 习 练 题 反证法证明中的假设 1．用反证法证明：中，，，则，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 2．在用反证法证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．若用反证法证明“若，，，则”．则应假设（    ） A． B． C． D． 3．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（    ） A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角 C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角 4．假设命题“”不成立，那么a与0的大小关系只能是（   ） A． B． C． D． 5．用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（   ） A． B． C． D． 用反证法证明命题 6．已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 7．证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 8．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 9．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（　　） A． B．， C．， D．， 10．布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 推理与论证 11．当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 12．将12张卡片分给甲、乙、丙、丁4个人，每人3张，卡片分三种，红卡片值是5分、绿卡片值是2分、黄卡片值是1分，结果甲得6分，乙得11分，丙得9分，已知黄卡片的张数不超过红卡片的张数，那么下列判断错误的是（       ） A．乙同学没有拿绿卡 B．丁同学可能得4分 C．丁同学可能同时拿三种花色卡片 D．绿卡的数量一定多于红卡的数量 13．四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 14．小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好． 并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书． 根据以上信息，下列选项中正确的是（    ） A．小龙在乙校读书，爱好阅读 B．小龙在丙校读书，爱好绘画 C．小军在乙校读书，爱好绘画 D．小康在甲校读书，爱好阅读 15．小东、小雨和小丽三人进行跳绳比赛．小丽说：我不是最后一名．小雨说：我也不是最后一名，但是小丽的成绩比我好．第一名是（   ） A．小东 B．小雨 C．小丽 学科网（北京）股份有限公司 $