17.4 直角三角形全等的判定&17.5 反证法-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（冀教版2024）

17,3如般定理 第之课时与段发厘的应则 第1采时日是定定 瑟程在线 基留在线 1,D2,C1D4.D LA 2.D 3.A LA .(1山w意可知，AC一12m,A出=的厘，AC1 (1)"∠C=904=18,b=12, AC. “r”16+1四-6 2》∠C=90°，-10.0=12 答：C的长为16m a-13-2-5. （10÷15-兰=107m'd 6.在R△AC中， ,'E-AB十AC-6十8=100，，C=10 答：这辆小汽车在C段的凉度约是，7m% :AD⊥C,AB·AC=·AD 能力在城 甲6×8=t0AD.AD=4.8. ￥AD1BC,:△ABD是直角兰角形 元D无0，而m83 “BD=A一A7=√份4,8=名 .(1),AB一25m,BC-15m-∠CB-90. 在△ACB中，由幻段定理，得 ÷,D=CBD=1目=8.6=6.4. AC=√A-=2-13-0(m). 7.ut6 Tfutyutby tot 将，这架云柳的衡油部将面的高度AC品20m (2由越意，A1'■m,4■(0-1m A'B'-25 发D 在R1△A'C中，CB-V/'B-A 能力在线 √3-41-x, 9.B10.1D11.B12.A 13.,D为题AB上的高.∴∠ADC-∠BD-Y .那-C-一（√四可上）一6》m 城=cCD=15m 管：云梯的底得水平带动的距离是 ,D=/一C=12(幽. :△AC是等鞭三角形，AB一AC (3)A425m54-im 设AB=AC=rm,第AD=(r-12)m, 在R△A0C中，出匀取定理，得A-CD+AF “由每表定程.得AC2图一了=10,6m 甲广0+6一12y.那得x一兰 答，云梯的预增所能远到的量大高度是10丽m. 拓展在线 六a-A-cm 10.& 慕多课时肉疑定理的证宠理 AC的周长为即学+警-学am 落础在线 1,B2.A&D.C 椭展在线 能力在线 14.I正明，过点Af作AD⊥C干点D 6.e4.114m A8-AC.ADLBC.BD-BC-5 7,AD1.∠AD站=∠AC=0' 在R△ABD中，AD+D-AF, 山匀厦定理，得AD一，B一F一25 1.2+BW-g,4BD-1,6m AD=BC,即△A以C是“美制三角形”， .BD+CD=1.G+0.9=2.5m 在RL△ACD中，AD+CD-AC .1.2+0,9=A”.A=1.3 :A形+-里+1.3-25，仪-2F-6.25, AB十A9=以，∠BAC=90 )当AC边上的中线BD等于4C时 ,学生折建的展篷符合暴件 c-√D-万=6： 拓服在线 当C边上的中线AE笔于C到，C=A .1》 CE. 微香置0利用句量足理解决折叠，量短路径问题 甲C-(C)-4),解有B一8 1,5m三号8,2行两点之间线取最根6,10 综上质述，的长是6成风 5,室材1：15□ 28 一家究在纸·八 素材29<y ,I△DF2k△EID(HL). 《)根据思意，得A+2-干77 .∠CFD=∠B 甲6+wr十护-+9r- (2),R△CDFOR1△EDB,AB-16,AF-10 CF-ER. 故当一时，与纹在同住表面的两静爬厅路线 设CF-r,图AE-A8-EB=16广EB-16 CFw16一r: 的路程相等。 17,。直角三角形全等的判定 在R1△ACD拖R△AED中，：DC-DE, AD-AD. 基磁在战 R△ACD2R△AEID(HI 1.D3,B1B 六，AC=AE,围AF+FC-AE. 4.E⊥AC,DF⊥AC 10十r白1一r.解得x=3.F=3 ∴.∠AEB-∠CFD-0 .AC-1o+3=1a.AC的长为13 YAF-CE.AE-CF. 7,5反证法 在R△ABE和R△CDF中.“E=C学 IAB-CD. 基图在线 1.A2.D3.D R1△ABEARL△CDF(IHl). 能力在线 五，如图，R:△AB山为所求 L(DB 【2》证明：若，∠AB∠1C, AB-AC,这与已知ACAB相手盾 综上，∠ACB>∠A 拓愿在线 《21证明，∠AC-∠AB=0, &.假设，与常是原方程的根，面且，产 则有，十=目与，十b=0都战这，将这两个 ∠8DC=∠EB=0 等式相减，再a《了一)=0.置，一产0，乐以 ∠BD0=∠EO, 在△AB和△C中.'∠B-∠， =0.这与题设u≠0相矛肾：放原方程的根摩一 晚段测评(17.317.5) OB-OC. LD2B3.4.D5.A6.H △D☑△EOCCAAS),∴N= 7,两条直线相交，有两个减两个上的交点 在△A0程△ABD中，：00能 &3108.210.1511.613,84.85)12. 六R△ADaR1△LEOLHI.》.∠I=∠2 假设∠DAB是纯角或直角. 能力在线 AD是底边上的高 7:D8.3t1 ∠B4C-2∠DAB. 10.(1)BC-AD.理由如下： :∠DA:是纯角或直角： AC⊥BC,AD LAD,∠C=∠D0 “2∠DAB13,不符合三角形内物和定理 在Rs△ABC和R△BAD中， ,餐设不成立， ✉A ∴∠D14是个晚角， 1L(1》:AD,AF分别是两个掬角△ABC和 R△AB2R△4D(HL.,HC=AD △ABE的高.，∠D一∠F=90, (2)证明，由11得Rt△A以CGR△BAD, 在R△AD和△ABF中， ∠AB=∠BAD..OAmB, ,点O在边A日的垂直平分线上： AB-AB. TADAF. 又，E是AB的中点，二AE-BE ,Rt△ABD☑RL△ABF(用1..BD-BF 点E在边A目的垂直平分线上. 线程OE所在直线是边AB的柔直平分线。 但在△AC有和△APE中，：A 括展在线 ,kt△ADaR1△AFER HL.).,CD=EF 1L.(1)正明：：AD平分∠A心，∠C-.DB1 由)得D=F, AB. ,BDCD=BFEF,即=E DE-DC. I5,I)两支复AC与B的位置美系为，AC1二，理 在R△DF和R1△EDB中 由如下： IC-DE. DF-DB. 在△AC中，AC=72描.C-4m,A 0m,且72+54■90， 数学（上》+川©17.4直角三 ①基础在线 > 知识要点分类练 知识点1利用“HL"判定直角三角形全等 1.(邯郸期中)如图，有两个长度相等的滑梯靠在 墙上，且墙与地面垂直，滑梯AB的高度AC 与滑梯DF的水平宽EF相等，则△ABC≌ △FDE的依据是 () A.SSS B.SAS C.AAS D.HL 地面B 第1题图 第2题图 2.如图，∠C=∠F=90°，要用“HL”判断Rt△ABC 和Rt△DEF全等的条件是 () A.AC-DF,BC=EF B.AC=DF,AB=DE C.∠A=∠D,AB=DE D.∠B=∠E,BC=EF 3.如图，∠B=∠D=90°，BC= CD,∠1=40°，则∠2=() A.40° B.50° C.60° D.75 4.(保定阶段练习)如图，AB=CD,AF=CE,过 点B作BE⊥AC于点E,过点D作DF⊥AC 于点F,求证：Rt△ABE≌Rt△CDF, 角形全等的判定 知识点2利用“HL"作直角三角形 5.尺规作图（保留痕迹，不写作法）：如图，已知线 段a,c.求作：Rt△ABC,使∠ACB=90°，BC= a,AB=c. 易错点判定直角三角形全等时“HL”与 “SSA"相混淆 6.如图，点D,E分别在AB,AC上，∠ADC= ∠AEB=90°，BE,CD相交于点O,OB=OC. 求证：∠1=∠2. 小虎同学的证明过程如下： 证明：，∠ADC=∠AEB=90°， ∴.∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°. .∠DOB=∠EOC, ∠B=∠C.第一步 D 又OA=OA,OB=OC, ∴.△ABO≌△ACO.第二步 ∴.∠1=∠2.第三步 (1)在小虎同学的证明过程中，从第 步 开始出现错误； (2)请写出正确的证明过程。 第十七章106 ②能力在线沙 方法规律嫉合练 7.在课堂上，侯老师发给每人一张印 有Rt△ABC(如图)的卡片，然后 要求同学们画一个Rt△A'B'C', 使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC,小 图① 赵和小刘同学先画出了∠MB'N=90°，后续画 图的主要过程分别如图所示.对这两种画法的 描述中错误的是 第一步 第二步 第一步 第二步 小赵同学 小刘同学 A.小赵同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC 的依据是HL B.小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度 是线段AC的长 C.小刘同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC 的依据是SAS D.小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长 度是线段AC的长 8.(保定期中)题目：“如图，AB⊥BC,DC⊥BC, BC=2DC=20,点P,Q分别在AB,BC上，且 BD=PQ.当BP为何值时，△BPQ与△BCD 全等？”对于其答案，甲答：BP=20:乙答：BP =15:丙答：BP=10,则正确的是 () A.只有甲答得对 B.甲、丙答案合在一起才完整 C.乙、丙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整 第8题图 第9题图 9.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB,垂 足为D,若AE=BC,AD=2BD,则△ABC和 △AEC的面积之比为 107探究在线八年级数学（上）·刀 10.(教材P185习题T4变式)（沧州期末）如图， 已知AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D, AD与BC交于点O,AC=BD. (1)写出BC与AD的数量关系，并说明理由； (2)若E是AB的中点，连接OE,求证：线段 OE所在直线是边AB的垂直平分线. ③拓展在线》培化技尖提升练 11.(教材P185习题T5变式)如图，在△ABC 中，AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB于 点E,点F在AC上，且DF=DB (1)求证：∠CFD=∠B: (2)若AB=16,AF=10,求AC的长 ©17.5 ①基础在线 知识要点分类练 知识点利用反证法进行证明 1.用反证法证明：“若ab=0,则a,b中至少有一 个为0.”应假设 () A.a,b都不为0 B.a,b只有一个为0 C.a,b至少有一个为0D.a,b都为0 2.求证：两直线平行，内错角相等】 如图①，若AB∥CD,且AB,CD被EF所截， 求证：∠AOF=∠EOD E 图① 图② 以下是打乱的用反证法证明的过程： ①如图②，过点O作直线A'B',使∠A'OF= ∠EOD, ②依据理论依据1，可得AB'∥CD. ③假设∠AOF≠∠EOD, ④∴.∠AOF=∠EOD. ⑤与理论依据2矛盾，∴.假设不成立. 证明步骤的正确顺序是 理论依据1：内错角相等，两直线平行： 理论依据2：过直线外一点，有且只有一 条直线与已知直线平行. A.①②③④⑤ B.①③②⑤④ C.③①④②⑤ D.③①②⑤④ 3.下面是投影屏显示的抢答题，需要回答横线上 符号代表的内容，则回答不正确的是 () 已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c,AC =b,BC=a.利用反证法求证：a2十≠c2. 证明：假设在△ABC中，☆，则由勾股 定理的逆定理可知¤，这与已知中的 ※矛盾，故假设不成立，所以○ A.☆代表a2十b2=c2 反证法 B.¤代表∠C=90 C.※代表∠C≠90° D.⊙代表a2+b2>c2 ②能力在线 、方法规律综合练 小… 4.阅读正文并解答下列问题： 在△ABC中，已知AB>AC,求证：∠ACB> ∠ABC 证明：假设∠ACB≤∠ABC ①如图，若∠ACB<∠ABC, 则在BC上取点D,连接 AD,使∠ADB=∠B. ∴.AD=AB. 在AC上取，点E,使AE=AD,则AC=AE十 CE=AD+CE>AD, 即AC>AD..AC>AB. 这与已知AC<AB相矛盾，'.假设不成立； ②若∠ACB=∠ABC, 综上，∠ACB>∠ABC. (1)上述证明过程采用的方法是 (填“A” 或“B”): A.直接证明法 B.反证法 (2)请你补充②中所缺失的部分. ③拓屉在线》塔视拔尖提升练 5.求证：方程ax十b=0(a≠0)的根唯一， 第十七章108