17.2第1课时用平方差公式分解因式 课时作业 2025-2026学年人教版 八年级数学上册

§17.2第1课时用平方差公式分解因式 课时作业 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D A A D A D B 1．C 【知识点】判断能否用公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式．平方差公式适用于形如的多项式，分解为，需检查各选项是否符合此形式． 【详解】解：A、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； B、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； C、，能运用平方差公式分解因式，故本选项符合题意； D、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．B 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】根据平方差公式的基本特点去判断解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A. ，符合标准式，不符合题意； B. ，不符合标准式，符合题意； C. ，符合标准式，不符合题意；     D. ，符合标准式，不符合题意； 故选：B． 3．B 【知识点】平方差公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的概念及平方差公式的应用，解题的关键是掌握因式分解的定义（分解结果为整式的积）及平方差公式的结构特征． 根据因式分解的定义和公式，逐一分析各选项的分解是否正确、是否分解彻底． 【详解】解：A、，但还可分解为，此选项不符合题意； B、，分解正确，此选项符合题意； C、，不是整式，不符合因式分解定义，此选项不符合题意； D、不能用平方差公式分解，此选项不符合题意． 故选：B． 4．D 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式分解因式，数的整除，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用平方差公式分解因式，化简后即可判断． 【详解】解：=， ，， ∴原式． ∵为整数， ∴为整数， ∴原式能被9整除． 故选：D． 5．A 【知识点】已知因式分解的结果求参数、平方差公式分解因式 【分析】将给定的因式分解展开，得到 ，与原表达式 对比，得出 ，从而或，即可得答案． 本题考查了因式分解，恒等式的性质，幂的意义，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或， 故选：A． 6．A 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查的是因式分解的应用．利用平方差公式将分解为，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵， 又∵且， ∴， ∴． 故选：A． 7．D 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解等知识，通过因式分解逐项检查每个选项是否含有因式 ，即可求解． 【详解】解：A. ，∴含有因式 ，故不符合题意； B. 直接为 的平方，∴ 含有因式 ，故不符合题意； C. ，∴含有因式 ，故不符合题意； D. 在实数范围内无法因式分解，∴ 不含有因式 ，故符合题意． 故选：D 8．A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查因式分解及代数式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键；利用平方差公式将分解为，再结合已知条件进行化简求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴原式； 故选A． 9．D 【知识点】提公因式法分解因式、因式分解的应用、平方差公式分解因式、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，因式分解，由，可得，然后通过等腰三角形定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为，，为的三边， 所以，，， 因为， 所以 ， 因为，，， 所以， 所以， 所以， 所以的形状是等腰三角形， 故选：． 10．B 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】此题主要考查平方差公式的性质及其应用，解题的关键是利用平方差公式进行展开． 利用平方差公式，对所求式子进行化简，从而进行求解． 【详解】解： ， 即的值最接近于． 故选： B． 11． 【知识点】平方差公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 观察表达式，发现符合平方差公式的形式，应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 故答案为：． 12． 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解．解题的关键是掌握因式分解的基本思路是：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解；如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式；如果剩余的是三项，则考虑使用完全平方公式；同时，因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． 【详解】解： ． 故答案为：． 13． 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，将原式提取后，再运用平方差公式进行因式分解即可，掌握提公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 14． 【知识点】平方差公式分解因式、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组，平方差公式因式分解；通过观察代数式的结构，发现其符合平方差公式，可转化为，再利用方程组中的条件直接求解． 【详解】由方程组 由②得 ∴． 故答案为：． 15． 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，根据平方差公式的公式结构求解即可，掌握平方差公式分解因式是解题的关键． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， 综上，的值可能有种， 故答案为：． 16．7 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查平方差公式分解因式 ，整体代入法的应用，掌握平方差公式是解题的关键． 先用两种方式表示中间白色的三角形的面积，再通过变形转化为，整体代入求解即可． 【详解】∵两个等腰直角三角形的腰长分别为， ∴中间白色的三角形的面积， 整理，得， ∵，， ∴， 故答案为：7． 17．(1) (2) (3) (4) 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解； （1）使用平方差公式因式分解； （2）使用平方差公式因式分解； （3）使用平方差公式因式分解； （4）先提取公因式，再使用平方差公式因式分解即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．(1)0 (2) (3) (4) 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运算，因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）解： ； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ． 19． 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确利用平方差公式进行因式分解． 利用平方差公式进行因式分解，再进行有理数的混合运算． 【详解】解： ． 20．(1) (2)①3② 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形、平方差公式分解因式 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，运用平方差公式进行因式分解和整式的乘法运算，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图形面积计算方法可得答案， （2）①由题意得，即，因为，即可求得的值； ②将原式变形为，利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图2中长方形的长为，宽为，因此面积为， ∴． 故答案为：； （2）解：①∵ 即， ， 又∵， ∴； ② ． 21．(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式、分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查分组分解法因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）前两项一组，后两项一组，第一组提公因式之后，再提取两组的公因式即可分解； （2）前三项一组，最后一项单独一组，第一组用完全平方公式进行因式分解，然后两组再用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22． （1）① ；② ； （2）； （3） 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、因式分解的应用、数字类规律探索 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究与应用，解题的关键是发现与多项式相乘的结果规律． （1） 依据已知式子的规律，直接写出结果； （2） 逆用规律将分解为与对应多项式的乘积； （3） 把底数看作，逆用规律计算式子的值． 【详解】（1）①解：由规律得， 故答案为：． ②解：由规律得， 故答案为：． （2）解：逆用规律得， 故答案为：． （3） 解：令， 原式 23．（1）；（2）；；；（3） 【知识点】因式分解的应用 【分析】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件找到因式分解的公式进行求解． （1）根据阴影部分面积的不同计算方法即可写出； （2）图3的几何体的体积为一个大正方体挖去一个小的正方体，故剩下的体积为；图4的几何体由 3 个几何体拼接而成，故可得出体积为；再根据体积相等，故可写出等式； （3）根据（2）中公式直接因式分解即可； 【详解】解：（1）根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于的等式， （2）如图3中的几何体的体积为； 图4的几何体体积为； 根据它们的体积关系得到关于的等式为：； （3）根据（2）中结论可得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ §17.2第1课时用平方差公式分解因式 课时作业 一、单选题 1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 4．对于任意整数n，多项式都能被（   ）整除 A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被9整除 5．分解因式后得，则n等于（   ） A．2或 B．4 C．6 D．8 6．已知，，则的值是（） A．2 B． C．4 D． 7．下列多项式中不含有因式的是（   ） A． B． C． D． 8．若，则的值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．﹣3 9．已知，，为的三边，满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰三角形 10．请你估计一下的值应该最接近于（　　） A．1 B． C． D． 二、填空题 11．分解因式： ． 12．因式分解： ． 13．因式分解： ． 14．若，则的值是 ． 15．若多项式（其中，且为整数）能够利用平方差公式进行因式分解，则的值可能有 种． 16．转化是解决数学问题的一种重要策略，可将不规则的图形转化为规则图形，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的．如图，是两个部分重合的等腰直角三角形，腰长分别为，，，阴影部分面积分别为，，则 ． 三、解答题 17．运用公式法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．利用因式分解计算： (1)； (2)． (3) (4) 19．计算：． 20．【探究】从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），再将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)根据两图中阴影部分的面积相等，能验证的等式是________； (2)【应用】请你应用（1）中得到的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：（结果写成幂的形式）． 21．阅读理解： 当一个多项式既不能用提公因式法又不能用公式法因式分解时，这里再介绍一种因式分解的方法，叫分组分解法．比如： 这种分组法是分组后用提公因式法分解．又比如： ． 这种分组后用公式法分解．根据以上信息分解下列因式： (1)； (2)． 22．【观察思考】 观察下列各式． ； ； ； … 【规律发现】 请根据你发现的规律解答下列各题： （1）①________； ②________；（其中为正整数） 【规律应用】 （2）分解因式：________； （3）计算：． 23．（1）[知识再现]  在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式：_____________． （2）[知识迁移]  在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）． 图3中的几何体的体积为_____________， 图4中的几何体的体积为_____________， 根据它们的体积关系得到关于a，b的等式_____________（结果写成整式的积的形式）． （3）[知识运用]  因式分解：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $