对数和对数函数专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.3-4.4对数和对数函数专项训练 一、单选题 1．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若函数的图象如图，为常数.则函数的图象是（   ） A．B．C．D． 5．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 7．若，，则（    ） A．10 B．20 C．50 D．100 8．设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中正确的是（   ） A． B．的值为 C．若，则的值为 D．若且，则 10．下列说法正确的是（ ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．的最大值为 C．已知幂函数的定义域为，则3 D．的递减区间是 11．已知函数，若有三个不等实根，，，且，则（ ） A．的单调递增区间为 B．a的取值范围是 C．的取值范围是 D．函数有4个零点 三、填空题 12．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 13．直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为 . 14．已知函数，函数在上单调递减，则的取值范围 ． 四、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的值． 17．已知函数，其中（且）． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求使成立的x的集合． 18．已知函数是定义在上的奇函数. (1)求和实数的值； (2)当时，若满足，求实数的取值范围. 19．已知函数． (1)若，求a的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (3)若对于恒成立，求实数m的范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】当时，单调递增，所以值域为，由分段函数的值域为，所以当时，的取值包含的每一个取值，求解参数a的取值范围即可. 【详解】因为函数， 当时，单调递增，所以值域为， 要使得分段函数的值域为， 则当时，的取值包含的每一个取值， 所以，解得， 故选：D 2．A 【分析】根据奇函数的性质求出的值，再根据奇偶性求出函数的周期，最后利用函数的周期进行代入求值即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 因此当时，，. 因为是偶函数，所以，而为奇函数， 所以， 因此有， 因此有，所以， 因此的周期为， ， 故选：A 3．C 【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足即可，从而可求出实数的取值范围. 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增， 所以，解得， 故选：C 4．A 【分析】根据对数复合函数的图象得到，结合指数函数的性质确定大致图象，即可得. 【详解】由解析式知，结合图知，故， 对于，其在R上单调递增且值域为，结合各项的图知A符合. 故选：A 5．D 【分析】根据复合函数的单调性、二次函数的单调性结合对数函数定义域列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】根据复合函数的单调性法则、二次函数的单调性结合已知条件可知，二次函数在区间上单调递减， 所以有. 根据对数函数的定义域可知，应有在区间上恒成立， 则只需要，即，所以. 综上所述，. 故选：D. 6．D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 7．B 【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律计算即可. 【详解】因为，又因为可得, 所以. 故选：B. 8．A 【分析】先根据对数的运算性质，将与、与化为同底的对数形式，再结合对数函数的单调性，即可比较大小. 【详解】由题意，，，故. 又，所以. 故选：A 9．ABC 【分析】根据指数与对数运算公式分别化简计算各选项. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：由，得，即， 所以，C选项正确； D选项：由，则，，且， 即，， 所以，解得，D选项错误； 故选：ABC. 10．AC 【分析】利用抽象函数定义域求解判断A；求出指数型复合函数最值判断B；利用幂函数的定义及性质判断C；求出对数型复合函数单调区间判断D. 【详解】对于A，依题意，，解得，则函数的定义域为，A正确； 对于B，令，函数在定义域内递减，则，的最小值为，B错误； 对于C，依题意，，解得或，当时，的定义域为， 当时，的定义域不为，不符合题意，因此，C正确； 对于D，由，得或，令，函数在上递增， 函数在上递减，在上递增，则在上递减，在上递增，D错误. 故选：AC 11．ACD 【详解】作出的图象，结合图象逐一判断即可． 【分析】作出函数的图象，如图所示： 对于A，由图象可得的单调递增区间为，故A正确； 对于B，因为有三个不等实根，即与有三个不同交点，所以，故B不正确； 对于C，则题意可知：，，所以， 所以，故C正确； 对于D，令，则有，令，则有或， 当时，即，即，解得； 当时，即，所以或，解得，或或， 所以共有4个零点，即有4个零点，故D正确． 故选：ACD． 12．. 【分析】当时，的值域为，从而当时，值域包含，由此可列不等式求解即可. 【详解】当时，的值域为， 因为函数的值域为， 所以当时，的值域包含， 所以，所以， 即，解得或， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 13．9 【分析】根据函数单调性分析可知函数的对称中心为，进而可得，结合乘“1”法求最值. 【详解】对于函数， 令，解得且，可知函数的定义域为， 因为 ， 可知函数的对称中心为， 由题意可知：直线经过点， 则，即， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 14． 【分析】由复合函数单调性的同增异减原则可知在上单调递减，且真数，在上恒成立，建立不等式求解即可. 【详解】函数在上单调递减，则在上单调递减， 因为二次函数的对称轴为，且开口向上，则， 要使得有意义，则，在上恒成立， 则， 故，解得，所以. 故答案为：. 15．(1)； (2). 【分析】（1）利用指数运算法则及对数运算法则计算得解. （2）利用对数运算法则及换底公式求解. 【详解】（1）. （2） . 16．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由给定条件可得不等式的解集为R，再由求解即得. （2）由函数的值域为R，结合对数函数性质可得函数的值域包含，再利用二次函数性质列式求解. （3）由函数的值域为，结合对数函数性质可得函数的值域为，再求出二次函数值域列式求解. 【详解】（1）由函数的定义域为R，得不等式的解集为R， 则，解得， 所以a的取值范围为. （2）由函数的值域为R，得函数的值域包含集合， 因此，解得：或. 所以实数a的取值范围是. （3）由函数的值域为，得函数的值域为， 而，因此，解得， 所以实数的值是. 17．(1)奇函数，理由见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数定义域，再利用奇偶函数的定义判断即得. （2）按分类，并利用对数函数单调性求解不等式. 【详解】（1）依题意，，由，得， 即函数的定义域为，关于原点对称， ，则函数是奇函数， 所以函数是奇函数． （2）由，得， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以时，使成立的x的集合为； 时，使成立的x的集合为． 18．(1)0；2 (2) 【分析】（1）利用函数为奇函数，结合奇函数的性质，即可求得答案； （2）判断函数的单调性，根据函数的奇偶性以及单调性，将原不等式转化为关于t的不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意知函数是定义在上的奇函数， 故，且， 则， 即得，则，故， 则，（舍）； （2）由（1）可得， 函数在上单调递减， 时，函数在上单调递增， 故在上单调递减， 由可得，即， 则，即，解得， 即实数的取值范围为. 19．(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）代入，得到，利用对数的运算即可求解； （2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明； （3）将已知转化为，求出在的最小值，即可得解. 【详解】（1），，即，解得， 所以a的值为 （2）为奇函数，证明如下： 由，解得：或，所以定义域为关于原点对称， 又， 所以为奇函数； （3）因为， 又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数， 由复合函数的单调性知函数在上为增函数， 所以， 又对于恒成立，所以，所以， 所以实数的范围是 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $