02对数与对数函数专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版必修一第四章 指数函数与对数函数专题02 对数与对数函数（专项训练）（全国通用）（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域和值域，从定义域角度对各选项分析并排除，再验证剩余选项的值域即得. 【详解】函数中，，即或，即定义域为， 此时，，于是得值域为， 对于A，B，D，函数，，的定义域均为，则选项A，B，D都不满足； 对于C，函数中，，于是得其定义域为，相符，而值域为，也相符， 所以定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是，即C选项满足. 故选：C 2．对数式化成指数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干信息和指数式与对数式互化求解即可. 【详解】， ， 故选：. 3．函数的定义域是 A．（3，+∞） B．[3，+∞） C．（4，+∞） D．[4，+∞） 【答案】D 【详解】试题分析：要使函数有意义，需满足，所以定义域为[4，+∞） 考点：函数定义域 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用对数函数的真数大于零,即可求解. 【详解】由函数，则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 【点睛】本题考查了对数型复合函数的定义域，需熟记对数的真数大于零，属于基础题. 5．已知函数 ，若 (其中 ，则 的最小值（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以由可得， 化简可得，即， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 6．已知定义在R上的函数满足当时，不等式恒成立，若，，，则a，b，c大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得函数在R上为减函数，再根据指数、对数的性质比较自变量的大小即可； 【详解】解：根据题意，函数满足当时，不等式恒成立， 所以函数在R上为减函数， 因为，，即，又 所以，即， 故选：D. 7．已知函数在定义域上单调递增，若成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据单调函数的性质函数不等式，然后再由对数函数性质求解．注意函数定义域． 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以由，可得， 解，得； 由，得， 解得； 由，得， 故有，解得. 解，得. 综上可知，的取值范围是， 故选：A. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查解对数不等式．解题时一定要考虑函数定义域，对数中要注意真数大于0，否则会出错． 8．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的性质和对数函数的性质进行比较即可. 【详解】， 因为在上递增，且， 所以，所以，即， 因为在上递增，且， 所以，所以，即， 所以. 故选：D 二、多选题 9．下列结论正确的是（    ） A．函数（且）的图像必过定点 B．若（且），则 C．已知函数，方程的实数解为 D．对任意，都有 【答案】AC 【分析】A由可得函数所过定点； B由指数函数单调性可判断选项正误； C解方程可判断选项正误. D由函数与1的大小关系可判断选项正误. 【详解】对于A，令，可得，又， 则图象过点，故A正确； 对于B，若，且时，，故B错误； 对于C，， 故C正确； 对于D，当时，；当时，; 当时，.故D错误. 故选：AC 10．下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由对数运算性质可以判断选项A，取，即可判断选项B，由对数运算性质与可以判断选项C与D. 【详解】对于选项A，由对数运算性质知：有，而，选项A错误； 对于选项B，当时，成立，选项B正确； 对于选项C，，选项C正确； 对于选项D，，选项D正确． 故选：BCD. 11．已知函数，则下列函数是偶函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据偶函数的定义逐项判断可得结果. 【详解】∵函数定义域为，，∴是偶函数. A.函数定义域为，，是偶函数，A正确. B.函数定义域为，，是奇函数，B错误. C.函数定义域为，，是偶函数，C正确. D.函数定义域为，，不是偶函数，D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．若，，求 . 【答案】 【分析】将，相除后利用指数转化为对数即可求解. 【详解】解：，， 则即，则， 故答案为：. 13．已知两条直线：和：，与函数的图象从左到右相交于点，与函数的图象从左到右相交于点，记线段和在轴的投影长度分别为，当变化时，的最小值为 ． 【答案】 【详解】根据题意得：，,,,所以，,即，因为，所以，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为 点睛：本题主要考查的是对数的运算及均指不定式的运用，难度适中，属于中等难度题．先分别表示出、、、的坐标，然后表示用、、、的坐标表示出投影长度、，得到，然后利用均值不等式求得的最小值. 14．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由复合函数的单调性可得函数在区间上单调递减且为正实数，根据单调性及最值列出不等式，由此解得的范围． 【详解】在上单调递增， 在上单调递减，并且在上恒成立， ， 解得， 即实数的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，一次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题． 四、解答题 15．设常数，函数． (1)若，判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (2)根据a的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1)函数在区间上是严格减函数，理由见解析 (2)具体见解析 【分析】（1）由定义结合指数函数的单调性得出单调性； （2）分类讨论的值，结合奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）当，， 任取，有，所以 所以， 所以函数在区间上是严格减函数 （2）①当时，，定义域为，故函数是偶函数； ②当时，，定义域为， ，故函数为奇函数； ③当且时，定义域为关于原点不对称， 故函数既不是奇函数，也不是偶函数， 所以当时，函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当且时，函数是非奇非偶函数. 16．求值： (1)； (2). 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）（2）利用换底公式结合对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 17．已知函数为奇函数， (1)求实数的值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义可得，然后代入计算即可得到结果； （2）根据题意，将原式变形可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为为奇函数，所以， 所以在定义域内恒成立， 即在定义域内恒成立， 整理，得在定义域内恒成立， 所以，解得． 因为时，的定义域关于原点对称满足题意， 所以． （2）因为的定义域，所以或，解得， 因为恒成立，所以，所以 ． 因为，当时，，所以根据基本不等式的性质得 ，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以． 18．已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义求参数的值. （2）把问题转化成函数在上的值域是函数在上值域的子集，根据集合的包含关系求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得，的定义域为，且为奇函数， 所以 所以恒成立，所以. （2）由（1）得，， 因为，所以， 所以当时，的值域． 又， 设，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域． 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以， 解得，即实数的取值范围是． 19．函数，，的图象如图所示， (1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么； (2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象； (3)从（2）的图中你发现了什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据当底数大于时，在直线的右侧，底数越大，函数图象越靠近轴判断即可； （2）根据可知与关于轴对称，同理画出的图象即可； （3）根据（2）中图象结合已知图象直接判断即可. 【详解】（1）当底数大于时，在直线的右侧，底数越大，函数图象越靠近轴，所以①对应函数，②对应函数，③对应函数. （2） （3）从（2）的图中发现的图象分别与的图象关于轴对称. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版必修一第四章 指数函数与对数函数专题02 对数与对数函数（专项训练）（全国通用）（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 2．对数式化成指数式为（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是 A．（3，+∞） B．[3，+∞） C．（4，+∞） D．[4，+∞） 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数 ，若 (其中 ，则 的最小值（    ） A． B． C．2 D．4 6．已知定义在R上的函数满足当时，不等式恒成立，若，，，则a，b，c大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在定义域上单调递增，若成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列结论正确的是（    ） A．函数（且）的图像必过定点 B．若（且），则 C．已知函数，方程的实数解为 D．对任意，都有 10．下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列函数是偶函数的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若，，求 . 13．已知两条直线：和：，与函数的图象从左到右相交于点，与函数的图象从左到右相交于点，记线段和在轴的投影长度分别为，当变化时，的最小值为 ． 14．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．设常数，函数． (1)若，判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (2)根据a的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由． 16．求值： (1)； (2). 17．已知函数为奇函数， (1)求实数的值； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； 18．已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19．函数，，的图象如图所示， (1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么； (2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象； (3)从（2）的图中你发现了什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版必修一第四章 指数函数与对数函数专题02 对数与对数函数（专项训练）（全国通用）（原卷版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A C D A D AC BCD 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】求出函数的定义域和值域，从定义域角度对各选项分析并排除，再验证剩余选项的值域即得. 【详解】函数中，，即或，即定义域为， 此时，，于是得值域为， 对于A，B，D，函数，，的定义域均为，则选项A，B，D都不满足； 对于C，函数中，，于是得其定义域为，相符，而值域为，也相符， 所以定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是，即C选项满足. 故选：C 2．C 【分析】根据题干信息和指数式与对数式互化求解即可. 【详解】， ， 故选：. 3．D 【详解】试题分析：要使函数有意义，需满足，所以定义域为[4，+∞） 考点：函数定义域 4．A 【解析】利用对数函数的真数大于零,即可求解. 【详解】由函数，则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 【点睛】本题考查了对数型复合函数的定义域，需熟记对数的真数大于零，属于基础题. 5．C 【分析】根据对数函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以由可得， 化简可得，即， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 6．D 【分析】依题意可得函数在R上为减函数，再根据指数、对数的性质比较自变量的大小即可； 【详解】解：根据题意，函数满足当时，不等式恒成立， 所以函数在R上为减函数， 因为，，即，又 所以，即， 故选：D. 7．A 【解析】根据单调函数的性质函数不等式，然后再由对数函数性质求解．注意函数定义域． 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以由，可得， 解，得； 由，得， 解得； 由，得， 故有，解得. 解，得. 综上可知，的取值范围是， 故选：A. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查解对数不等式．解题时一定要考虑函数定义域，对数中要注意真数大于0，否则会出错． 8．D 【分析】利用幂函数的性质和对数函数的性质进行比较即可. 【详解】， 因为在上递增，且， 所以，所以，即， 因为在上递增，且， 所以，所以，即， 所以. 故选：D 9．AC 【分析】A由可得函数所过定点； B由指数函数单调性可判断选项正误； C解方程可判断选项正误. D由函数与1的大小关系可判断选项正误. 【详解】对于A，令，可得，又， 则图象过点，故A正确； 对于B，若，且时，，故B错误； 对于C，， 故C正确； 对于D，当时，；当时，; 当时，.故D错误. 故选：AC 10．BCD 【分析】由对数运算性质可以判断选项A，取，即可判断选项B，由对数运算性质与可以判断选项C与D. 【详解】对于选项A，由对数运算性质知：有，而，选项A错误； 对于选项B，当时，成立，选项B正确； 对于选项C，，选项C正确； 对于选项D，，选项D正确． 故选：BCD. 11．AC 【分析】根据偶函数的定义逐项判断可得结果. 【详解】∵函数定义域为，，∴是偶函数. A.函数定义域为，，是偶函数，A正确. B.函数定义域为，，是奇函数，B错误. C.函数定义域为，，是偶函数，C正确. D.函数定义域为，，不是偶函数，D错误. 故选：AC. 12． 【分析】将，相除后利用指数转化为对数即可求解. 【详解】解：，， 则即，则， 故答案为：. 13． 【详解】根据题意得：，,,,所以，,即，因为，所以，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为 点睛：本题主要考查的是对数的运算及均指不定式的运用，难度适中，属于中等难度题．先分别表示出、、、的坐标，然后表示用、、、的坐标表示出投影长度、，得到，然后利用均值不等式求得的最小值. 14． 【分析】由复合函数的单调性可得函数在区间上单调递减且为正实数，根据单调性及最值列出不等式，由此解得的范围． 【详解】在上单调递增， 在上单调递减，并且在上恒成立， ， 解得， 即实数的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，一次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题． 15．(1)函数在区间上是严格减函数，理由见解析 (2)具体见解析 【分析】（1）由定义结合指数函数的单调性得出单调性； （2）分类讨论的值，结合奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）当，， 任取，有，所以 所以， 所以函数在区间上是严格减函数 （2）①当时，，定义域为，故函数是偶函数； ②当时，，定义域为， ，故函数为奇函数； ③当且时，定义域为关于原点不对称， 故函数既不是奇函数，也不是偶函数， 所以当时，函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当且时，函数是非奇非偶函数. 16．(1)4 (2) 【分析】（1）（2）利用换底公式结合对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 17．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义可得，然后代入计算即可得到结果； （2）根据题意，将原式变形可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为为奇函数，所以， 所以在定义域内恒成立， 即在定义域内恒成立， 整理，得在定义域内恒成立， 所以，解得． 因为时，的定义域关于原点对称满足题意， 所以． （2）因为的定义域，所以或，解得， 因为恒成立，所以，所以 ． 因为，当时，，所以根据基本不等式的性质得 ，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义求参数的值. （2）把问题转化成函数在上的值域是函数在上值域的子集，根据集合的包含关系求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得，的定义域为，且为奇函数， 所以 所以恒成立，所以. （2）由（1）得，， 因为，所以， 所以当时，的值域． 又， 设，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域． 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以， 解得，即实数的取值范围是． 19．(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据当底数大于时，在直线的右侧，底数越大，函数图象越靠近轴判断即可； （2）根据可知与关于轴对称，同理画出的图象即可； （3）根据（2）中图象结合已知图象直接判断即可. 【详解】（1）当底数大于时，在直线的右侧，底数越大，函数图象越靠近轴，所以①对应函数，②对应函数，③对应函数. （2） （3）从（2）的图中发现的图象分别与的图象关于轴对称. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $