精品解析：四川省达州市渠县中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

渠县中学2023级初三上期第三次素质训练 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的一次项系数为（ ） A. 0 B. 1 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的标准形式，一元二次方程的标准形式为，其中为一次项系数． 【详解】解：∵方程中，一次项为， ∴一次项系数为， 故选：C． 2. 榫卯是中国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式，如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，找到从正面看所得到的图形即可，注意看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：它的主视图是：． 故选：A． 3. 若方程的一个根是m，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，利用方程根的定义，将代入方程后移项即可求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 移项得：． 故选：D． 4. 如图，在的方格纸中，点A，B，C，D均在格点上，线段与线段位似，则下面四点中，可能是它们的位似中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解． 【详解】解：连接、并延长，如图：交点即为它们的位似中心， ∴它们的位似中心为， 故选：D． 5. 如图，直线，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， 即， 解得：． 故选：B． 6. 如图，按以下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，菱形的判定和性质等知识点，根据尺规作图得出四边形为菱形，根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 当时，的值随值的增大而减小 B. 当时，有最小值 C. 当时， D. 它的图象位于第一、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，包括图象所在象限、增减性及函数值范围，熟练掌握反比例函数的形式，是解题的关键．根据可知图象位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴图象位于第一、三象限，故D正确，不符合题意； ∵在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，随x增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，；当时，； ∵随增大而减小， ∴当时，，故C正确，不符合题意； 当时， ∵ ，随增大而减小， ∴当时，为最大值； 当无限接近于0时，值无限小，无最小值，故B错误，符合题意． 故选：B． 8. 如图1，一个长，宽的矩形内部有一不规则图案（阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机向这个矩形内部随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，整理得到如图2所示的折线统计图，由此可估计该不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.4，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.4，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.4，于是把0.4作为概率． 设不规则图案的面积为，则有 ， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：A． 9. 如图，在矩形中，，点分别在边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似图形的性质，熟练掌握及运用其性质是解题的关键．根据相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方，先求出相似比，再结合矩形的边长关系可得答案． 【详解】解：四边形为矩形， ， 矩形矩形，且面积比为， ， ， ． 故选：B 10. 如图，为反比例函数的图象上一点，连接，过点作的垂线，与反比例函数的图象交于点，作轴于点，轴于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握系数k的意义是解题关键； 根据反比例函数系数k的意义可知，，，进而可知两个三角形的面积比． 【详解】解：∵为反比例函数的图象上一点， ∴， 又∵为反比例函数图象上一点， ∴， 故， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白色方砖上的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法．根据几何概率的求法：最终停留在白色的方砖上的概率就是白色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设每块方砖的边长为1，这个图形的总面积为9，白色方砖的面积为5，因此白色方砖占整体的， 所以小球最终停留在白色方砖上的概率是， 故答案为：． 12. 已知，，，是成比例线段，即，若，，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，根据成比例线段定义，比例式成立，代入已知数值求解即可． 【详解】解：∵是成比例线段， ∴， 代入,,，得， 解得， 故答案为：6． 13. 已知函数是反比例函数，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据自变量的次数等于且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得． 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义．根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得． 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 即k的取值范围是且． 故答案为：且． 15. 在中，，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，若四边形的面积为56，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出，证明，利用全等三角形的性质，可得出，进而可得出四边形是菱形，过点A作于点M，根据四边形的面积为56及三角形的面积计算公式，可求出的长． 【详解】解：在中，，D是的中点， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 过点A作于点M，如图所示． ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、直角三角形斜边上的中线、菱形的判定与性质以及三角形的面积，利用菱形及三角形的面积计算公式，找出菱形的面积与△ABC的面积相等是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择直接开平方法或因式分解法求解． （1）将方程变形为平方形式，利用直接开平方法求出的值，进而解得； （2）移项后提取公因式，将方程化为因式乘积形式，再根据“两式乘积为0则至少一式为0”求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 当时，； 当时，， ∴ 方程的解为，． 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 17. 甲、乙两人各自从（八台山景区）、（龙潭河）、（大面山）和（红军公园）这四个景点中随机选择一个景点参观游玩．假设两人选择到哪个景点参观游玩都不受任何因素影响，且上述四个景点被选到的可能性相同． （1）甲选择到红军公园参观游玩的概率为______； （2）用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人选择到同一个景点参观游玩的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，解题的关键是利用古典概型的概率公式，结合树状图或列表法列举所有可能结果． （1）直接利用古典概型概率公式，用“红军公园”的个数除以总景点数； （2）通过列表法列出甲、乙选择景点的所有可能结果，找出两人选择同一景点的结果数，再用概率公式计算． 【小问1详解】 解：总景点数为4，红军公园是其中1个， ∴ 甲选择到红军公园的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能结果，其中两人选择同一景点的结果有4种， ∴ 两人选择到同一个景点的概率为， 答：甲、乙两人选择到同一个景点参观游玩的概率为． 18. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部的旗杆顶端到地面的高度．如图，在某一时刻，他们在阳光下分别测得的影长，小明的影长，其中点，，，在同一直线上，点，在同一直线上，且，．已知小明的身高，求旗杆顶端到地面的高度． 【答案】旗杆顶端到地面的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题易证得，再运用相似三角形的性质列比例式，代入相关数据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴, ∴， 答：旗杆顶端到地面的高度为． 19. 文明交通从“头”做起，幸“盔”有你．某商店购进了一批某品牌头盔，该品牌头盔每个的成本为30元，经市场调研发现，当每个头盔的售价为40元时，月销售量为300个，在此基础上，每个头盔的售价每上涨1元，则月销售量减少10个．若既要销售此品牌头盔的月利润刚好达到3840元，又要尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个的售价应上涨多少元？ 【答案】6元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，通过设上涨金额为未知数，根据利润和销售量的关系列出方程，求解后根据题意选择上涨金额较小的解，以尽可能让顾客得到实惠． 【详解】解：设该品牌头盔每个的售价应上涨元． 由题意，得， 化简方程． 解得或． ∵要尽可能让顾客得到实惠，即上涨金额较小， ∴取． 答：该品牌头盔每个的售价应上涨6元． 20. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数与上课时间的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，前内注意力指数与上课时间之间的关系式为，以后注意力指数是上课时间的反比例函数． （1）求以后与之间函数关系式． （2）若数学老师打算讲解一道较难的数学题，需要学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，应该在哪个时间段讲解这道题？ 【答案】（1） （2）为了保证教学效果，本节课应该在时间段讲解这道题 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，反比例函数和一次函数的应用，弄清题意是解题的关键． （1）先将代入，得，进而代入求出反比例函数关系式； （2）分别将代入两个关系式，即可求出x的值，进而得出答案． 【小问1详解】 解：依题意，将代入，得， 设10分钟以后， 将，代入，得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， 当时，，解得； 当时，，解得． ∴为了保证教学效果，本节课应该在时间段讲解这道题． 21. 在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得四边形是菱形，再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案； （2）先根据菱形的性质求出，进而求出，再根据正方形的性质可得，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【小问1详解】 证明：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， 即 ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴． 22. 如图，在正方形中，为的中点，，连接并延长，交的延长线于点，连接． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．此题利用了“两边及夹角法”和“平行线法”证得图中的相似三角形的． （1）由可得，由“平行线法”证得，所以由该相似三角形的对应边成比例可以求得，故可得； （2）设正方形的边长为a，根据已知条件得到，，则由“两边及夹角法”证得结论． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：设正方形的边长为a， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵E为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，过点作，交于点，过点作于点，过点作，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）证，得，则，过点D作于M，由勾股定理得，，进而即可得出． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）得，四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 如图，过点D作于点， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，． （1）求，的值； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出当时，和的大小关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）把代入可求出；把代入可求出的值； （2）设直线与轴交于点，把代入求出，得，求出点，然后根据可得结论； （3）由图象得，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可得结论． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得，， 把代入，得：， ∴， ∴， 设直线与轴交于点， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由图象得，当时，一次函数图象在反比例函数的图象的上方， ∴． 25. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点，连接． （1）______°； （2）若，求的长； （3）如图，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点在内部，过点作分别交，，于点，，，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求得； （2）过点作于点，设，利用勾股定理列方程即可求得； （3）连接，通过论证三角形相似及等边对等角进行线段的转换即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 小问2详解】 解：过点作于点， ∵， ∴， 设， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍）； 【小问3详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渠县中学2023级初三上期第三次素质训练 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的一次项系数为（ ） A. 0 B. 1 C. 5 D. 2. 榫卯是中国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式，如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若方程的一个根是m，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 如图，在的方格纸中，点A，B，C，D均在格点上，线段与线段位似，则下面四点中，可能是它们的位似中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 如图，直线，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 6. 如图，按以下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 关于反比例函数，下列说法错误是（ ） A. 当时，的值随值的增大而减小 B. 当时，有最小值 C. 当时， D. 它的图象位于第一、三象限 8. 如图1，一个长，宽矩形内部有一不规则图案（阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机向这个矩形内部随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，整理得到如图2所示的折线统计图，由此可估计该不规则图案的面积大约为（ ） A B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，点分别在边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 18 10. 如图，为反比例函数的图象上一点，连接，过点作的垂线，与反比例函数的图象交于点，作轴于点，轴于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白色方砖上的概率是________． 12. 已知，，，是成比例线段，即，若，，，则______． 13. 已知函数是反比例函数，则m的值为__________． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______． 15. 在中，，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，若四边形的面积为56，则的长为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 甲、乙两人各自从（八台山景区）、（龙潭河）、（大面山）和（红军公园）这四个景点中随机选择一个景点参观游玩．假设两人选择到哪个景点参观游玩都不受任何因素影响，且上述四个景点被选到的可能性相同． （1）甲选择到红军公园参观游玩概率为______； （2）用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人选择到同一个景点参观游玩的概率． 18. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部的旗杆顶端到地面的高度．如图，在某一时刻，他们在阳光下分别测得的影长，小明的影长，其中点，，，在同一直线上，点，在同一直线上，且，．已知小明的身高，求旗杆顶端到地面的高度． 19. 文明交通从“头”做起，幸“盔”有你．某商店购进了一批某品牌头盔，该品牌头盔每个的成本为30元，经市场调研发现，当每个头盔的售价为40元时，月销售量为300个，在此基础上，每个头盔的售价每上涨1元，则月销售量减少10个．若既要销售此品牌头盔的月利润刚好达到3840元，又要尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个的售价应上涨多少元？ 20. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数与上课时间的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，前内注意力指数与上课时间之间的关系式为，以后注意力指数是上课时间的反比例函数． （1）求以后与之间的函数关系式． （2）若数学老师打算讲解一道较难的数学题，需要学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，应该在哪个时间段讲解这道题？ 21. 在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求的长． 22. 如图，在正方形中，为的中点，，连接并延长，交的延长线于点，连接． （1）求的值； （2）求证：． 23. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，过点作，交于点，过点作于点，过点作，交于点． （1）求证：四边形矩形； （2）若，，，求的长． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，． （1）求，的值； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出当时，和的大小关系． 25. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交边于点，连接． （1）______°； （2）若，求的长； （3）如图，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点在内部，过点作分别交，，于点，，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $