学易金卷：高一数学上学期期末模拟卷03（全国通用，人教A版必修第一册：集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程与不等式+函数及其性质+指对函数+三角函数）

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则等于（    ） A． B． C． D． 2．若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 5．，若恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（   ） A． B．2 C．5 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．函数（且）必过定点 B．函数（且）必过定点 C．函数的递增区间为 D．函数的递增区间为 10．将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．当且仅当（） D．若方程在区间上有两个不等实根，则 11．已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C．函数的零点个数为5个 D．函数的零点个数为6个 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 13．已知函数，若，当时，都有，则实数的取值范围为 . 14．已知函数，若关于的方程有8个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数的定义域为A，集合．集合． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 16．（15分） 已知函数的图象关于点对称． (1)求； (2)若，求函数的最值及取最值时的的值； (3)若，且，求． 17．（15分） 物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝）来度量.声强级D（）与声强之间的函数关系可采用函数模型进行模拟，已知当声强时，声强级；当声强时，声强级； (1)求上述模型的函数解析式； (2)声强级，对应的声强为；声强级，对应的声强为，求 (3)当声强级D大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声强分别是和，且.已知点的声强等于声强与之和.请根据（1）中的函数模型，判断点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.（） 18．（17分） 已知函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)设函数的值域为区间，求； (3)函数在区间上恰有一个零点，求实数的取值范围 19．（17分） 定义在上的函数满足：①；②，. (1)求的值； (2)若（，），试求的最大值； (3)在（2）的条件下，已知函数，，其中，实数m，n为与x无关的常数，记函数的最大值为M，试求M的最小值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D C D D B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ACD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） (1)；(2) 【详解】（1）令，解得， 可知函数的定义域为；..............................（3分） 由可得，解得， 可得集合，则， 所以...............................（6分） （2）若，且集合，集合， 若，则，解得；..............................（9分） 若，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围...............................（13分） 16．（15分） (1)；(2)当时，函数取最大值1；当时，函数取最小值；(3) 【详解】（1）， 因为函数的图象关于点成中心对称， 所以，即，因为，所以................................（4分） （2），因为，所以， 所以当，即时，函数取最大值，且最大值为1， 当，即时，函数取最小值，且最小值为；...............................（9分） （3）因为，即， 因为，所以， 若，则， 但，所以， 所以．...............................（13分） 所以 ．...............................（15分） 17．（15分） (1)；(2)100；(3)点会受到噪声污染的干扰，理由见解析 【详解】（1）由已知得，，所以. 解得.；...............................（5分） （2）由得，. 将，代入上式，得， 两式相减，得， 所以................................（10分） （3） 当且仅当即时取等号. 所以点处的声强级， 所以点会受到噪声污染的干扰................................（15分） 18．（17分） (1)偶函数；(2)；(3)或. 【详解】（1）由，可得的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 为偶函数.................................（4分） （2）， 令，则， 又函数为增函数 ∴，即.................................（8分） （3）方法一： 令，， 则由， 即直线与对勾函数，有且仅有一个交点. 在平面直角坐标系中画出对勾函数， 易知当且仅当时，取到最小值4. 由图可知，当或当时，直线与对勾函数有且仅有一个交点， 故实数的取值范围为或 方法二： 令在区间上恰有一个零点， 即函数在上恰有一个零点. ①，即， (i)若，得方程，解得，符合题意； (ii)若，得方程，解得，不符合题意； ②当且零点在上时只需，即，解得； ③当零点为4时，只需，即，无解. 综上所述，实数的取值范围为或.................................（17分） 19．（17分） (1)；(2)；(3) 【详解】（1）由，，得， 所以，，.................................（3分） （2）由（1）得，， 所以的周期为3，即，所以. 所以. 又， 解得， 所以，.................................（10分） （3）由（2）知， 又当时，， 函数，此时，或，或， 故可得，， 当时，， 所以函数的最大值M的最小值为.................................（17分） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修一全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则等于（    ） A． B． C． D． 2．若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 5．，若恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（   ） A． B．2 C．5 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．函数（且）必过定点 B．函数（且）必过定点 C．函数的递增区间为 D．函数的递增区间为 10．将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．当且仅当（） D．若方程在区间上有两个不等实根，则 11．已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C．函数的零点个数为5个 D．函数的零点个数为6个 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 13．已知函数，若，当时，都有，则实数的取值范围为 . 14．已知函数，若关于的方程有8个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数的定义域为A，集合．集合． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 16．（15分） 已知函数的图象关于点对称． (1)求； (2)若，求函数的最值及取最值时的的值； (3)若，且，求． 17．（15分）物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝）来度量.声强级D（）与声强之间的函数关系可采用函数模型进行模拟，已知当声强时，声强级；当声强时，声强级； (1)求上述模型的函数解析式； (2)声强级，对应的声强为；声强级，对应的声强为，求 (3)当声强级D大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声强分别是和，且.已知点的声强等于声强与之和.请根据（1）中的函数模型，判断点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.（） 18．（17分） 已知函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)设函数的值域为区间，求； (3)函数在区间上恰有一个零点，求实数的取值范围 19．（17分） 定义在上的函数满足：①；②，. (1)求的值； (2)若（，），试求的最大值； (3)在（2）的条件下，已知函数，，其中，实数m，n为与x无关的常数，记函数的最大值为M，试求M的最小值. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，再根据对数的定义域求出集合，最后结合交集的定义可得结果. 【详解】因为， 故， 故选：. 2．若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出不等式的解，再利用充分不必要条件的要求列不等式求解. 【详解】，解得或， 即是或的充分不必要条件，所以， 所以的取值范围为. 故选：A. 3．已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用得到方程，求出答案. 【详解】令，解得， 定义域为， ，即恒成立， ，化简得， 解得. 故选：D 4．角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用任意角三角函数的定义得到，，再结合二倍角公式对目标式合理变形，进而求值即可. 【详解】由题意得角的终边经过点， 由任意角三角函数的定义得， ，，则， 由二倍角公式得 ，故C正确. 故选：C 5．，若恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意与同号，进而转化为函数与具有相同的零点问题求解，即可得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】由题知，所以，即与同号， 由于函数与均为定义域上的单调递增函数， 所以要使与同号，只需两个函数的零点相等即可， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为. 故选：D. 6．已知函数则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过函数图象的平移，将函数转化为，判断的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式. 【详解】令，定义域为R， ∵， ∴是偶函数. 当时，， ∵在上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递减， ∴在上单调递增. 由可得， ∵是偶函数，∴， 又在上单调递增，∴， 两边平方得，整理得， 解得或. ∴不等式的解集为. 故选：D. 7．已知函数的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，依次迭代求解，可得各函数值范围. 【详解】当时，所以，，又， 则，，， ，，， ，，故B正确，ACD错误. 故选：B. 8．已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（   ） A． B．2 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案. 【详解】函数的最小正周期且，得， 由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得， 综上，， 又关于直线对称，所以，解得，， 在的范围内，满足条件的值为和和， 验证可知，这两个值均满足函数在上单调， 因此，符合要求的所有值的和为 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．函数（且）必过定点 B．函数（且）必过定点 C．函数的递增区间为 D．函数的递增区间为 【答案】BC 【分析】根据指数函数的性质，可判定A不正确；根据对数函数的性质，可判定B正确；根据复合函数的单调性的判定方法，可判定C正确，D不正确. 【详解】对于A，由函数，令，可得， 所以函数过定点，所以A错误； 对于B，由函数，令，可得， 所以函数过定点，所以B正确； 对于C，由函数，可得其图象开口向上，对称轴方程为， 可得函数在上单调递减，在单调递增， 又由函数为单调递增函数， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得的递增区间为，所以C正确； 对于D，由函数，令， 解得或，即函数的定义域为， 且在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数得递增区间为，所以D错误. 故选：BC. 10．将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．是图象的一条对称轴 C．当且仅当（） D．若方程在区间上有两个不等实根，则 【答案】ACD 【分析】通过图像变换得到的解析式，再分别分析其周期、对称轴、不等式解集及方程根的分布情况. 【详解】先求的解析式： 将横坐标缩短为原来的，得； 向左平移个单位，得. 选项A：的最小正周期，正确. 选项B：对称轴满足（），不满足，错误. 选项C：， 解得（），正确. 选项D：当时，， 令（）， 在递增、递减，，. 所以，当时，有两个不等实根，正确. 故选：ACD. 11．已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 B．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为 C．函数的零点个数为5个 D．函数的零点个数为6个 【答案】BC 【分析】由题意得到函数对称轴，作出函数大致图象.结合函数图象和对数的运算知函数的零点与的关系，且得到的取值范围，即可判断A选项；由与的关系化简，利用的范围及函数的单调性求得取值范围，判断B选项；由函数的零点，得到时的值，然后分别由函数图像知道对应零点个数，即可判断C选项；令，求得的值，分别求解方程，即可求得函数的零点个数，判断D选项. 【详解】∵函数为偶函数，即 则函数关于对称， 当时，，， ∴函数的大致图像如下图， 令，则，，，为方程的解,所以 ∴，即，∴，∴， 由图可知，，∴，A选项错误； ∵，∴，且∴， 令，由双勾函数的性质可知，函数在上单调递减，∴，B选项正确； ∵有两个零点或，∴时，或， 当时，由函数图象可知，函数有3个零点， 当时，由函数图象可知，函数有2个零点， ∴函数存在5个零点，C选项正确； 令，即，则或或 ，即；，即；，无解； ，即；，无解；，即； 故函数有4个零点，D选项错误. 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】结合偶函数的图象，问题转化为或求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以其图象关于轴对称. 结合图象可知，当时，； 当时，. 由得或. 由或； 由. 所以或或. 所以不等式的解集为：. 故答案为： 13．已知函数，若，当时，都有，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，由题意函数在单调递增，再利用分段函数的单调性，列出不等式组求解. 【详解】若，当时，都有，即， 令，可得， 所以函数在单调递增. 又， ∴，解得， 则实数的取值范围为. 故答案为：. 14．已知函数，若关于的方程有8个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，数形结合，把问题转化为方程在上有两个不同的解求的取值范围. 【详解】作出函数的草图如下： 由图可知：当时，方程无解； 当时，方程有2个不同的实数解； 当时，方程有4个不同的实数解； 当时，方程有3个不同的实数解； 当时，方程有2个不同的实数解. 若关于的方程有8个不同的实数解， 则方程在上有两个不同的实数解. 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数的定义域为A，集合．集合． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）令，解得， 可知函数的定义域为； 由可得，解得， 可得集合，则， 所以. （2）若，且集合，集合， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围. 16．（15分）已知函数的图象关于点对称． (1)求； (2)若，求函数的最值及取最值时的的值； (3)若，且，求． 【答案】(1)；(2)当时，函数取最大值1；当时，函数取最小值；(3) 【详解】（1）， 因为函数的图象关于点成中心对称， 所以，即，因为，所以. （2），因为，所以， 所以当，即时，函数取最大值，且最大值为1， 当，即时，函数取最小值，且最小值为； （3）因为，即， 因为，所以， 若，则， 但，所以， 所以． 所以 ． 17．（15分）物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝）来度量.声强级D（）与声强之间的函数关系可采用函数模型进行模拟，已知当声强时，声强级；当声强时，声强级； (1)求上述模型的函数解析式； (2)声强级，对应的声强为；声强级，对应的声强为，求 (3)当声强级D大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声强分别是和，且.已知点的声强等于声强与之和.请根据（1）中的函数模型，判断点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.（） 【答案】(1)；(2)100；(3)点会受到噪声污染的干扰，理由见解析 【详解】（1）由已知得，，所以. 解得. ； （2）由得，. 将，代入上式，得， 两式相减，得， 所以. （3） 当且仅当即时取等号. 所以点处的声强级， 所以点会受到噪声污染的干扰. 18．（17分）已知函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)设函数的值域为区间，求； (3)函数在区间上恰有一个零点，求实数的取值范围 【答案】(1)偶函数；(2)；(3)或. 【详解】（1）由，可得的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 为偶函数. （2）， 令，则， 又函数为增函数 ∴，即. （3）方法一： 令，， 则由， 即直线与对勾函数，有且仅有一个交点. 在平面直角坐标系中画出对勾函数， 易知当且仅当时，取到最小值4. 由图可知，当或当时，直线与对勾函数有且仅有一个交点， 故实数的取值范围为或 方法二： 令在区间上恰有一个零点， 即函数在上恰有一个零点. ①，即， (i)若，得方程，解得，符合题意； (ii)若，得方程，解得，不符合题意； ②当且零点在上时只需，即，解得； ③当零点为4时，只需，即，无解. 综上所述，实数的取值范围为或. 19．（17分）定义在上的函数满足：①；②，. (1)求的值； (2)若（，），试求的最大值； (3)在（2）的条件下，已知函数，，其中，实数m，n为与x无关的常数，记函数的最大值为M，试求M的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由，，得， 所以，，. （2）由（1）得，， 所以的周期为3，即，所以. 所以. 又， 解得， 所以，. （3）由（2）知， 又当时，， 函数，此时，或，或， 故可得，， 当时，， 所以函数的最大值M的最小值为. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $