精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

高一数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求集合，再应用集合的交运算求结果. 【详解】因为，或， 所以. 故选：B 2. 若函数（且）恒过定点P，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的性质求解. 【详解】当时，，所以函数恒过定点. 故选：A. 3. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用零点存在性定理求解即可. 【详解】，， ，由零点存在性定理， 得函数的零点所在的区间为. 故选：D. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的条件等式可得，再利用基本不等式可得，解不等式可求得结果. 【详解】由，得，即； 已知，所以. 令，则，解得或(舍去)， 即，则. 故的最小值是16. 故选：D 5. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性及指数函数的单调性，分别判断的大致范围，即可比较大小. 【详解】因为， ，， 所以. 故选：B 6. 已知函数，使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数解析式得到函数的对称轴，以及函数的单调区间，利用函数的对称性和单调性得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵， ， 即，所以函数图象关于直线对称， 当时，，函数在内单调递增， ∵，∴， 解得. 故选：C. 7. 定义区间的长度等于，函数的定义域为，值域为，若的长度的最小值为，则实数a=（ ） A. B. 或 C. 2或 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据题意，求得且，再由值域为，列出方程，即可求解. 【详解】根据题意，作出函数的图象，如图所示， 要使定义域的长度最小，则且， 因为函数的定义域为，值域为， 可得，解得或. 故选：B. 8. 已知函数，若方程有唯一实根，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可得的定义域，所以，即可得在上恒成立，根据在上的单调性，可得k的范围，又，根据对数的运算性质，可得，利用换元法，令，可得在上有唯一实数根，分别讨论和两种情况，根据函数的性质，求得k值，综合即可得答案. 【详解】因为的定义域为，所以，解得， 所以的定义域为， 由，得在上恒成立， 因为在上单调递减， 所以当时，，所以， 又， 所以， 则，即， 令，则在上有唯一实数根， 令，， 当时，令，则，即，解得，符合题意， 当时，，对称轴为， 所以在上单调递增， 所以只需，解得， 因为，所以此时无解， 综上，实数k的取值范围是. 故选：A 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. “”的一个必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】应用必要充分条件定义转化为真子集判断各个选项. 【详解】设，选项对应的集合为N， 因为题中所求的是“”的一个必要不充分条件，所以M是N的真子集， 是的真子集； 故选:AC. 10. 已知函数满足，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，计算由代数式的大小判断与的大小，判断A、B选项；当时，由即可得到判断与的大小，判断C选项；先找到函数在定义域上的单调性，假设函数满足题意，设，利用题意化简并判断正负，得到函数单调性，判断D选项. 【详解】A选项，当时，，A选项正确； B选项，，B选项错误； C选项，当时，∵，∴，即， 即，即，C选项正确； D选项，，因为函数在上单调递减， 函数是增函数，所以函数在上单调递减，且， 假设D选项中函数满足，令，， 则， ∵，∴，即函数在上单调递增， 这与函数在上单调递减矛盾，所以假设不成立，D选项错误. 故选：AC. 11. 已知函数，若方程有三个不等的实数解，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】画出的大致图像，根据图像对选项进行分析，结合基本不等式求得正确答案. 【详解】的大致图像如图所示.若方程有三个不等的实数解， 则根据图像可得，且，故A错误. 令，得，令，得，则，故B错误； 所以，故C正确. ， 当且仅当时，等号成立，因为，所以，故D正确. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，____. 【答案】5 【解析】 【分析】由分段函数的解析式、对数的运算即可求得结果. 【详解】. 故答案为：5. 13. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表所示.若某户居民某月交纳水费90元，则该月用水量为____m3.  每户每月用水量 水费 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 【答案】20 【解析】 【分析】由题意确定，代入数据即可求解. 【详解】设用水量 m3，交纳水费为元， 由题可知y=， 当时，最大值为36， 当时，最大值为72， 所以，解得. 故答案为：20 14. 已知对任意恒成立，若，则的最小值为____. 【答案】 【解析】 【分析】令x=1，可得，由题意，不等式在R上恒成立，当时，可得，即可求的最小值；当时，可得，解得，，代入所求，结合基本不等式，即可得的最小值，经检验，符合题意，综合比较，即可得答案. 【详解】令x=1，则，故. 因为对任意，所以恒成立， 当时，在R上恒成立， 则，因为，所以，符合题意， 此时； 当时，可得， 所以，即，此时，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时，， 则 成立，所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是指数函数. （1）求的解析式; （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由指数函数的定义得到的范围和方程，解得的值； （2）由（1）可知的值，判断与1的大小关系，结合对数函数的单调性得到不等式，即可解得解集. 【小问1详解】 由题意可知：且， 且，解得或（舍去）， ∴. 【小问2详解】 由（1）可知， 即不等式为， ∵，∴， ∴， 原不等式的解集为. 16. 已知二次函数的图象过点. （1）求的解析式，并写出函数的单调递增区间（不要求证明）； （2）求不等式的解集. 【答案】（1），递增区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法得到的解析式，利用二次函数的单调性可得答案； （2）利用一元二次不等式可得答案. 【小问1详解】 因为函数的图象过点， 所以，， 所以的解析式为. ， 故函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 ，即， 即，解得或. 故不等式的解集为. 17. 根据下列已知条件，求出相关最值: （1）已知，求的最小值； （2）已知是正数，且，求的最大值.(提示:若). 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）通过配凑条件式结合基本不等式求解； （2）利用提示的不等式结合配凑法求最值. 【小问1详解】 ，可得， 等式两边同时乘以“”得， 当且仅当时，等号成立. 令，，解得 (舍去)或， 当等号成立时，，即，将代入原方程：， 化简得，解得，因为，所以， 因此. 【小问2详解】 因为， ， ， 以上各式相加得： ， 又，所以，即， 当且仅当时，等号成立. 18. 已知函数，. （1）求的解析式； （2）若对任意的，恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，再应用换元法求函数解析式； （2）根据已知，将问题化为在上恒成立，应用分类讨论、基本不等式求右侧最值，即可得范围. 【小问1详解】 由，即， 令，则，故， 所以. 【小问2详解】 不等式在上恒成立， 转化为在上恒成立， 当时，则， 所以，则在上恒成立，即在上恒成立， 当时，， 当时，因为， 当且仅当，即时等号成立， 综上. 19. 已知，我们定义函数表示不小于x的最小整数，例如：. （1）若，求实数x的取值范围； （2）求函数的值域，并求满足的实数x的取值范围； （3）设，，若对于任意的，都有，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）直接利用定义求解； （2）求出的定义域，求出在上单调性及值域，从而得到的值域，根据定义求出.由，得的值，从而得到，由，得到，从而得到，计算得到实数x的取值范围； （3）在上单调递减，在上单调递增，得到在上单调递增，在上单调递减，从而得到.求出，，得到在上的值域，从而得到 ，继而得到，解得.按照和讨论求解，得到实数a的取值范围. 【小问1详解】 由表示不小于x的最小整数，，得，所以实数x的取值范围是. 【小问2详解】 函数的定义域为，而函数在上单调递增，值域为，因此，即有，所以函数的值域为，则.由，得，则有，由，必有，则必须满足，解得，，，解得.所以实数x的取值范围. 【小问3详解】 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， .而，，于是在上的值域为， ，， 依题意，，，可得. 当时，，即， 当时，，即，. 所以实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数（且）恒过定点P，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 16 5. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 定义区间的长度等于，函数的定义域为，值域为，若的长度的最小值为，则实数a=（ ） A. B. 或 C. 2或 D. 4 8. 已知函数，若方程有唯一实根，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. “”的一个必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数满足，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若方程有三个不等的实数解，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，____. 13. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表所示.若某户居民某月交纳水费90元，则该月用水量为____m3.  每户每月用水量 水费 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 14. 已知对任意恒成立，若，则的最小值为____. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是指数函数. （1）求的解析式; （2）解不等式. 16. 已知二次函数的图象过点. （1）求的解析式，并写出函数的单调递增区间（不要求证明）； （2）求不等式的解集. 17. 根据下列已知条件，求出相关最值: （1）已知，求的最小值； （2）已知是正数，且，求的最大值.(提示:若). 18. 已知函数，. （1）求的解析式； （2）若对任意的，恒成立，求k的取值范围. 19. 已知，我们定义函数表示不小于x的最小整数，例如：. （1）若，求实数x的取值范围； （2）求函数的值域，并求满足的实数x的取值范围； （3）设，，若对于任意的，都有，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $