期末复习06弧长及扇形.圆锥面积期末冲刺必备讲义(知识梳理+题型精析+备考压轴通关)2025-2026学年苏科版九年级数学上册

该初中数学讲义通过表格系统梳理弧长、扇形面积及圆锥侧（全）面积核心公式，构建“定义-公式推导-注意事项-关联应用”的知识框架，清晰呈现圆锥与扇形的元素对应关系等重难点，帮助学生形成完整知识脉络。 讲义亮点在于12类常考题型的精讲精炼，如“计算弓形面积”需割补转化为扇形与三角形面积差，培养逻辑推理；“求解圆锥侧面展开图圆心角”强化数学运算。典例与跟踪专练结合，适配分层教学，助力教师实施精准复习，提升学生应用意识。

期末复习06弧长及扇形.圆锥面积期末冲刺必备讲义 1.知识与技能：掌握弧长、扇形面积及圆锥侧（全）面积核心公式，能准确解决正向、逆向及不规则图形转化的相关计算。 2.过程与方法：体会“整体与部分”等数学思想，提升实际问题几何建模能力，掌握弧长与圆锥底面周长、扇形半径与圆锥母线的关联技巧。 3.核心素养：强化数学运算、逻辑推理等能力，增强数学应用意识 期末必备 知识点梳理 1.弧的定义与弧长公式 2.扇形的定义及面积公式 3.弧长与扇形面积的计算注意事项 4.圆锥的基础概念 5.圆锥的侧面积及全面积公式 6.圆锥与扇形的关联 常考题型 精讲精炼 1.计算圆弧的长度 2.求解扇形的半径 3.计算扇形的圆心角度数 4.计算某点沿圆弧运动的路径长度 5.计算扇形的面积 6.求解图形旋转后扫过区域的面积 7.计算弓形的面积 8.求解不规则图形的面积 9.计算圆锥的侧面积 10.求解圆锥的底面半径 11.计算圆锥的高度 12.求解圆锥侧面展开图的圆心角度数 期末备考 强化通关 (16题) 【知识点01.弧的定义与弧长公式】 1.弧的定义 圆上任意两点间的部分叫做弧，这两点是弧的端点。 弧分为三类： *劣弧：小于半圆的弧，用两个端点字母表示（如弧AB）； *半圆：等于半圆的弧； *优弧：大于半圆的弧，用三个字母表示（如弧ACB）。 2.弧长公式 若圆的半径为R，n∘的圆心角所对的弧长为l， 则弧长公式为：l= 推导依据：整个圆的圆心角是360∘，周长为2πR，n∘圆心角对应的弧长占圆周长的，因此l=×2πR=​ 3.公式使用注意事项 *公式中n是圆心角的度数，计算时不带单位； *若圆心角单位不是度，需先换算为度（如弧度转角度）； *计算时保证半径R的单位统一； *度数相等的弧，只有在同圆或等圆中，弧长才相等。 【知识点02.扇形定义与面积公式】 1.扇形的定义 由一条弧和经过这条弧端点的两条半径所围成的图形叫做扇形。补充：扇形是圆的一部分，一个圆可以分割成若干个扇形，半圆也是特殊的扇形。 2.扇形的面积 公式设扇形所在圆的半径为R，圆心角为n∘，扇形弧长为l，有两个核心公式： *公式一（基于圆心角和半径） S扇形=πR2 扇形推导逻辑：n∘的圆心角占整个圆周角360∘的比例为，因此扇形面积也占所在圆面积πR2的。 *公式二（基于弧长和半径） S扇形=lR 扇形推导逻辑：将弧长公式l=代入公式一，可得扇形。 S扇形=πR2=R=lR 3.公式使用注意事项 *公式中n是圆心角的度数，计算时不带单位； *选择公式的原则：已知圆心角和半径，用公式一；已知弧长和半径，用公式二更简便； *计算时需保证半径R与弧长l的单位统一； *扇形面积的大小由半径和圆心角共同决定，半径相同的扇形，圆心角越大，面积越大。 【知识点03.弧长与扇形面积计算注意事项】 1.公式中圆心角度数n的处理：计算时n不带单位，只代入数值。例如圆心角为60∘，代入公式时直接写n=60。 2.圆心角单位的统一：若题目中圆心角单位是弧度，需先换算成度，再代入公式计算；若使用弧度制公式，则需对应调整公式形式。 3.半径与弧长的单位统一：计算时要保证半径R和弧长l的单位一致，比如半径用厘米，弧长也需换算成厘米。 4.等弧与等度数弧的区别：度数相等的弧，只有在同圆或等圆中，弧长才相等，扇形面积也相等；不同圆中，度数相同的弧，半径不同则弧长和面积都不相等。 5.公式的选择技巧：计算扇形面积时，已知圆心角和半径，优先用S扇形=πR2；已知弧长和半径，优先用S扇形=lR，计算更简便。 6.结果的表示要求：题目未标明精确度时，弧长和扇形面积的结果可保留π；若要求取近似值，需按指定精度（如π≈3.14）计算。 7.不规则图形面积的计算思路：涉及圆中不规则图形面积时，通常用割补法，转化为扇形、三角形、圆形等规则图形的面积和或差，再代入公式计算。 【知识点04.圆锥的基础概念】 1.组成：圆锥由一个圆形底面和一个曲面侧面围成。 2.母线：底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线，所有母线长度都相等，常用字母l表示。 3.高：圆锥的高是从顶点到底面圆心的垂线段，常用字母h表示。 4.核心关系：圆锥的底面半径（常用字母r表示）、母线l和高h满足勾股定理，即母线的平方等于底面半径的平方与高的平方之和。 【知识点05.圆锥的侧面积及全面积公式】 1.核心前提：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长（用l表示），扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长（底面圆半径用r表示，周长为2πr）。 2.侧面积公式：圆锥侧面积 = πrl（推导逻辑：由扇形面积公式“×弧长×半径”，代入扇形弧长=2πr、半径=l，计算得×2πr×l=πrl）。 3.全面积公式：圆锥全面积 = 侧面积 + 底面圆面积，即 πrl + πr²（推导逻辑：圆锥由侧面和圆形底面组成，底面圆面积为πr²，因此全面积为侧面积与底面圆面积之和）。 4.使用注意事项： ① 公式中r为底面圆半径，l为母线长，需保证两者单位统一； ② 计算前需确认已知条件，若已知圆锥的高h和母线l，可先通过勾股定理求出底面半径r（r=，再代入公式计算。 【知识点06.圆锥与扇形的关联】 1.展开图的核心关系：圆锥的侧面是曲面，将其沿一条母线剪开并展开，得到的平面图形是扇形，这是两者关联的基础。 2.元素对应关系：① 扇形的半径 = 圆锥的母线长（常用字母l表示）；② 扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长（底面圆半径用r表示，周长为2πr）。 3.公式衔接关系：利用元素对应关系，可由扇形面积公式推导圆锥侧面积公式。已知扇形面积公式为“×弧长×半径”，代入扇形弧长=2πr、半径=l，即可得出圆锥侧面积公式：侧面积 = ×2πr×l = πrl。 4.拓展关联（圆心角计算）：若设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为n°，结合弧长公式可建立等式：扇形弧长 = 圆锥底面圆周长，即 = 2πr，整理后可求出圆心角n = (r为圆锥底面半径，l为母线长）。 【题型1.计算圆弧的长度.】 【典例】如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为 （结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长的计算、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的性质以及弧长公式是解题的关键． 如图：连接，根据圆的内接四边形的性质可求得，再根据圆周角定理可得的的度数，再运用弧长的公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ，四边形内接于， ∴ ， 的半径为2， 弧的长为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，测得直径为，，则提梁的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查弧长的计算，根据题意得出，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：∵隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，直径为，， ∴， ∴的长为：， 故选：D． 【跟踪专练2】如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在弧上，，则弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理、圆周角定理、弧长公式，解题的关键在于根据网格确定圆心．先根据垂径定理，利用网格特点作和的垂直平分线，进而确定圆心和半径，然后根据圆周角定理求出弧所对的圆心角的度数．最后利用弧长公式计算弧的长度即可． 【详解】解：根据网格，作的垂直平分线交的垂直平分线于点，则点即为所在圆的圆心，连接，如图所示， 则半径， ∵， ∴， ∴的长． 故答案为：． 【题型2.计算扇形的半径】 【典例】的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（    ） A．3 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（为圆心角，为半径），根据弧长公式即可求解． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为，依题意， ． 解得． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，两个阴影部分的面积分别是 ,，且 平方厘米，则图中扇形的半径是 厘米．( 取 3) 【答案】6 【分析】本题考查了扇形（四分之一圆）面积公式与长方形面积公式的应用，以及阴影面积差的转化技巧，解题的关键是发现“”可转化为扇形面积与长方形面积的差（两者含相同空白部分，相减时空白部分抵消），进而通过面积关系列方程求扇形半径． 先计算长方形面积（长8厘米、宽3厘米）；再根据扇形为四分之一圆，写出其面积表达式（含半径）；利用“扇形面积长方形面积”，代入列方程，求解半径． 【详解】解：长方形面积长宽（平方厘米）； 扇形面积（平方厘米）， 设扇形半径为r，根据扇形面积公式，取， 即，则，故    （半径为正数）． 故答案为：6． 【跟踪专练2】如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的边长为x，则，，进而求出，，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设正六边形的边长为x， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， 正六边形的边长为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用． 【题型3.计算扇形的圆心角度数】 【典例】一个扇形的半径为4，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 【答案】22.5 【分析】本题考查扇形面积公式，直接代入扇形的面积公式求解即可． 【详解】假设扇形的圆心角为， 扇形的面积公式为 ，其中 ，， 代入得， 解得， 故答案为：22.5． 【跟踪专练1】物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径，当重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点O按逆时针方向旋转的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：设旋转的角度是，滑轮的半径是， 由题意得：， 解得：， 绕点O按逆时针方向旋转的度数为， 故选：C． 【跟踪专练2】运动场的每条跑道是由两条直道和两条弯道组成，其中每条弯道是半圆形，每条跑道宽米．400米标准运动场是指最内圈跑道的长度为400米．不同规格的运动场都会将运动场直道与弯道的交接处设为径赛终点线．如图所示，一个400米标准运动场，若跑道最内圈的弯道半径为米，那么在第三道的400米起跑线处点C与终点线处点D形成的弧所对的圆心角的度数是 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查根据弧长求圆心角的度数，根据题意求出的半径，根据400米标准运动场是指最内圈跑道的长度为400米，求出两条直道的长度，进而求出第三道的总长度，用第三道的总长度减去米，即可得出的长度，再利用弧长公式求出圆心角的度数即可． 【详解】解：∵跑道最内圈的弯道半径为米，每条跑道宽米，每条弯道是半圆形， ∴的半径为：（米）； ∵最内圈跑道的长度为400米， ∴两条直道的总长度为， ∴第三道的总长度为：， ∴的长为：， ∴， ∴，即：所对的圆心角度数是； 故答案为：． 【题型4.计算某点沿圆弧运动的路径长度】 【典例】如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心坐标．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键． 由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以 2 为半径的圆的周长，据此找到规律求解即可． 【详解】解：由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以 2 为半径的圆的周长， ， ∴当圆心经过的路径长为时，图形旋转了圈， ∵图形每旋转一圈圆心横坐标增加， ∴当图形旋转 506圈时的横坐标为，再转圈横坐标增加， ∴当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时，点经过的路径长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转对称图形，解题的关键是求出第一次重合的旋转角，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时旋转角为， 点经过的路径长为， 故答案为：． 【跟踪专练2】直径为1个单位长度的圆上有一点A，现在将点A与数轴上表示的点重合，并将圆沿数轴无滑动地向左滚动两周，如图，若点A到达数轴上的点B处，则点B表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴的特点及圆的周长公式，解题的关键是掌握圆的周长公式是：． 圆从原点沿数轴向左滚动两周，可知运动距离为，再根据数轴的特点即可解答． 【详解】解：直径为1个单位长度的圆从沿数轴向左滚动两周到达， ， 而点在数轴上表示的点， 点对应的数是． 故选：D 【题型5.计算扇形的面积】 【典例】如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（）为，骨柄的长为，扇面的宽度的长为，那么这把折扇的扇面面积为 （结果含）． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，掌握扇形面积公式的解题关键． 扇面面积可以看作大扇形的面积减去小扇形的面积，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】∵，，， ∴扇形的面积为，扇形的面积为， ∴折扇的扇面面积为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接，   ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O，， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心，熟练掌握扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，若的半径为3，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的面积、三角形面积及扇形面积的计算，涉及知识点：勾股定理逆定理（判断直角）、扇形面积公式、三角形面积公式．解题方法是先连接、，通过边长关系判断的形状，再用“扇形面积三角形面积”求阴影面积；解题关键是确定扇形的圆心角，易错点是误判三角形的角度． 【详解】解：如图所示，连接、： 由半径为，得， 已知． ∵， ∴是直角三角形，． 扇形的面积：； 的面积：； 阴影面积=扇形面积-三角形面积：． 故答案为． 【题型6.求解图形旋转后扫过区域的面积】 【典例】如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式直接计算即可求解，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积， 故选：． 【跟踪专练1】将长为的线段绕端点A旋转，则线段扫过的面积为 （结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，先根据题意得到线段扫过的图形为圆心角为、半径为的扇形，然后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，线段扫过的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在等腰直角三角形中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了扇形的面积公式，根据题意画出图形，边在旋转时所扫过的面积为所围成的图形面积，据此进行求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意可得，都是等腰直角三角形，则， 边在旋转时所扫过的面积为所围成的图形面积， 故选：B 【题型7.计算弓形的面积.】 【典例】图1是用同一种瓦片砌成的古典式花窗，图2是由8块相同的瓦片组成的局部截面示意图（瓦片的厚度忽略不计）．若该示意图外围是半径为的圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了扇形面积公式的应用，标记圆心及点，连接，．设弓形的面积为，先求出，再根据进行解答即可． 【详解】解：如图，标记圆心及点，连接，． 根据题意，知． 设弓形的面积为， 则 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 【跟踪专练2】如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积，先根据是的直径，得，因为得，，运用圆周角定理得，，则，，即可算出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， ， 则. 故答案为：． 【题型8.求解不规则图形的面积】 【典例】如图，在中，，，，以 C 为圆心，为半径作弧，与交于点D，再以 B 为圆心，为半径作弧，与交于点E，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、扇形面积公式，由直角三角形的性质可得，求出，，再由题意可得，，再由计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∵以 C 为圆心，为半径作弧，与交于点D，再以 B 为圆心，为半径作弧，与交于点E， ∴，， ∴ ， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在扇形中，，圆心角，是上的点，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，扇形的面积，先根据圆周角定理求出，进而求出，利用阴影部分的面积等于求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积等于 ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，正六边形的边长为3，分别以点A，D为圆心，以的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆的有关计算，解题关键是熟练运用扇形面积公式和等边三角形的性质． 根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：∵正六边形的边长为3，连接，把六边形分成6个全等的等边三角形，等边三角形的边长为3， 过点O作，如图所示： ∴， ∴， ∴每个等边三角形的面积为：， ∴正六边形的面积是：，， ∴图中阴影部分的面积是：， 故选：B． 【题型9.计算圆锥的侧面积.】 【典例】某圆锥形零件的尺寸如图所示，若给该零件侧面涂漆，则需涂漆部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算，牢记圆锥的侧面积计算公式是解答本题的关键． 先根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径，最后求扇形的面积即可． 【详解】解：圆锥的底面周长为， ∵圆锥的底面圆周长是侧面展开得到的扇形的弧长， ∴扇形的弧长为， ∴扇形的面积为， 答：需要涂漆的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算及勾股定理的应用，解题的关键是先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再代入侧面积公式计算． 由圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长；再根据圆锥侧面积公式（乘以底面半径乘以母线长）计算侧面积． 【详解】解：圆锥的母线长， 圆锥的侧面积为． 故选：A． 【跟踪专练2】圆锥的高为，底面圆的直径为，则该圆锥的侧面积等于 （结果用含π的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，解题的关键是利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 根据圆周长公式求出圆锥底面周长，勾股定理求出圆锥母线长，圆锥的侧面积=底面周长×母线长，即可求出答案． 【详解】解：底面直径为，则底面周长， 由勾股定理得，母线长， 侧面积 故答案为：． 【题型10.求解圆锥的底面半径.】 【典例】一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥侧面展开的扇形与底面圆之间的关系，掌握圆锥的侧面展开图是一个扇形且扇形的弧长等于圆锥底面周长、扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键． 利用圆锥侧面展开的扇形的弧长等于底面圆的周长，再结合圆的周长公式列方程求解即可． 【详解】解：设底面圆半径为r，则，解得：， 所以这个圆锥底面圆的半径为6． 故选A． 【跟踪专练1】如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将，重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的弧长计算，根据弧长公式和圆的周长公式进行计算即可． 【详解】解：扇形的弧长为：， ∴将，重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的底面周长为， ∴底面半径为：． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是（ ）． A．1 B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，用到的知识点为：扇形的弧长等于底面周长，熟练掌握弧长及圆的周长公式是解决本题的关键．求得扇形的弧长，进而求出圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：剪去之后圆周对应扇形的弧长为， ∴围成的圆锥底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， 故选：D． 【题型11.计算圆锥的高度.】 【典例】李冰用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查圆锥的性质和勾股定理，设圆锥底面圆的半径是，根据扇形的弧长可求出圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵扇形的弧长是， ∴圆锥的底面周长是， 设圆锥底面圆的半径是， ∴，解得： ∴圆锥的高是 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形与圆锥之间的关系，勾股定理，弧长公式；理解扇形与圆锥之间的关系是解题的关键．由弧长公式得圆锥的底面圆的周长为，再由圆锥的底面圆的半径、高、母线之间的关系，即可求解． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得：， 则这个圆锥形容器的高为（）， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，正六边形的边长为3，B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 【答案】 【分析】根据正六边形的内角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长就是弧的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解． 【详解】解：∵正六边形的边长为3， ∴，， ∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图， ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的内角，圆锥的侧面展开图的弧长与底面圆的关系，母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形的关系，勾股定理，弄清弧长与圆锥的底面圆的周长的关系及母线、底面圆的半径和高的关系是解题的关键． 【题型12.求解圆锥侧面展开图的圆心角度数.】 【典例】如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的周长公式和扇形的弧长公式，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解方程即可求出扇形圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，母线的长为， 圆锥侧面展开图的扇形的弧长是， 圆锥底面圆的半径的长为， 圆锥底面圆的周长是， 由题意可得：， 解得：． 故选：D． 【跟踪专练1】某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径，母线．制作这种外包装需要用如图扇形材料，将扇形围成圆锥时，，恰好重合，则的大小是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是求解圆锥的展开图的扇形的圆心角的大小，先求解底面圆的周长，再利用弧长公式建立方程求解圆心角即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆直径， ∴底面周长为：， ∵母线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 【跟踪专练2】如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，根据圆锥的底面圆周长是其侧面展开图得到是的扇形弧长可求出侧面展开图扇形的圆心角度数，过点M作于D，分别求出的长，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为， 由题意得，， ∴， 如图所示，在扇形中，， 过点M作于D， ∴， ∴， ∴， ∴在展开图中，之间的距离为， 故选：D． 1．若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（   ） A．3 B．12 C．6 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 侧面展开后得到一个半圆，半圆的弧长就是底面圆的周长，依此列出方程即可． 【详解】解：设母线长为， 根据题意得，， 解得， 该圆锥的母线长为12． 故选：B． 2．把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了平方厘米．圆锥的高是厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆锥的体积计算，掌握 “沿底面直径分割圆锥后增加的表面积是两个三角形的面积” 是解题的关键．圆锥沿底面直径分割后，增加的表面积是两个等腰三角形的面积，每个三角形的底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高．据此可求出底面直径，再计算圆锥体积． 【详解】解：∵表面积增加，为两个等腰三角形面积之和， ∴每个三角形面积（平方厘米）， ∵圆锥的高是6厘米， ∴截面的三角形的高为6厘米， ∴底面直径为（厘米）， ∴底面半径（厘米）， ∵圆锥体积（立方厘米）， 故圆锥的体积为立方厘米． 故选：B． 3．如图，切于点，弦，若，劣弧的弧长为，则线段的长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质；连接，根据切线的性质得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，进而得出是等边三角形，则，根据劣弧的弧长为，设，得出，进一步即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵劣弧的弧长为，设， ∴ 解得： ∴， 故选：B． 4．把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了平方厘米．圆锥的高是厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆锥的体积计算，掌握 “沿底面直径分割圆锥后增加的表面积是两个三角形的面积” 是解题的关键．圆锥沿底面直径分割后，增加的表面积是两个等腰三角形的面积，每个三角形的底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高．据此可求出底面直径，再计算圆锥体积． 【详解】解：∵表面积增加，为两个等腰三角形面积之和， ∴每个三角形面积（平方厘米）， ∵圆锥的高是6厘米， ∴截面的三角形的高为6厘米， ∴底面直径为（厘米）， ∴底面半径（厘米）， ∵圆锥体积（立方厘米）， 故圆锥的体积为立方厘米． 故选：B． 5．如图，已知圆锥的底面半径为，，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离是（　　）． A．40 B． C．160 D． 【答案】D 【分析】本题利用了勾股定理，弧长公式，等腰直角三角形的判定． 蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由勾股定理求解． 【详解】解：设扇形的圆心角为n，圆锥的顶点为B， ∵，， ∴由勾股定理可得母线， 而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为， ∴， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得： ． ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 故选：D． 6． 如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长2π，且，则的长为（   ）    A． B． 6 C． D． 12 【答案】C 【分析】连接交于点E，则由弧长公式可求得，从而是等边三角形，进而由平行线的性质得，由圆周角定理得，则平分，由等边三角形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，在中由勾股定理求得的长，即可求得． 【详解】解：如图，连接交于点E， 设，则， 解得：， 即， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，弧长公式等知识，熟悉这些知识并灵活应用是关键． 7．如图，线段的半径为1，当从点A沿着滚动到D点时圆心O经过的路径长是（   ） A．8 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键． 根据题意，得出圆心O的运动规律，再结合弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示， ， ， 的长为， 因为， 所以， 则． 在中， 因为， 所以， 所以， 所以圆心O经过的路径长是：． 故选：D． 8．如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与分别相切于E、F、H，连接，可证明四边形是正方形，由，，，求得，，由，，求得，则，则，由，，求得，则，所以阴影部分扇形的圆心角为，再根据扇形的面积公式求解，即可解题． 【详解】解：设与分别相切于E、F、H，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，，， ，， ，， ， ， ， ∵是的内切圆， 平分，平分， ，， ， ， 阴影部分扇形的圆心角为， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 9．如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及勾股定理的逆定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而由勾股定理得出长，同理得到的长，再根据旋转性质可得旋转的圆心角为，半径，最后由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：当点与点重合时，连接，如图所示： ∵点是的中点， ，且， ， 半圆的直径， ， ∴在中，， ， 当在半圆弧上旋转到点与点重合时，如图所示： 此时，同理可得， ， ∵是圆心O到弦CD的弦心距，且在同圆中，弦相等则弦心距也相等， 则弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，则点M在以O为圆心，为半径的圆上运动， 即就绕着点逆时针旋转，如图所示： ，， ， 则， ， 两条平行线之间的距离相等， ， 扫过的面积，即不规则扇形与扇形面积相等， ∴在整个滑动过程中线段扫过的面积， 故选：B． 10．如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积以及图形面积之间的转化． 图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和，图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，由此可计算出阴影部分的面积． 【详解】解：图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图形1如下图所示： 图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和， 图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，四边形和弓形如下图所示： 四边形的面积， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积，扇形和三角形如下图所示： 扇形的面积， 三角形面积， 弓形的面积， 图形1的面积， 图中阴影部分的面积图形1的面积． 故选：A． 11．如图，已知是的直径，点，在上，且，过圆心作，垂足为． (1)求的长． (2)若的延长线交于点，求弦，和所围成的图形（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂径定理得点E是的中点、进而由三角形中位线定理得，再由含30度角直角三角形的性质得，即可求得的长； （2）连接，易得是等边三角形，则可得，从而阴影部分的面积等于扇形的面积，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴点E是的中点， ∵O是的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查垂径定理、直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理、含30度角直角三角形的性质，扇形的面积等知识，熟练并灵活运用这些知识是关键． 12．如图，为的直径，点C在上，延长到D，连接并延长，与交于点E，连接，恰好使得． (1)求证：； (2)若，弧的长为，求弧与所围成部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，同时还考查了弧长公式，扇形的面积公式（其中为圆心角的度数，为圆的半径），等边三角形面积的计算等，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系，弧长、扇形面积计算公式是解题的关键． （1）根据同圆中同弧所对的圆周角相等得到，结合已知条件得到为等腰三角形，同时根据直径所对的圆周角是直角，得到是等腰三角形底边的高,在根据等腰三角形三线合一证得； （2）根据弧长公式计算得到圆心角的度数，利用扇形面积公式计算得到扇形面积，同时求得等边三角形的面积，最终求得弧与所围成部分的面积． 【详解】（1）证明：∵所对应的圆周角为和，同时， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵为的直径， ∴，即， ∴是等腰三角形底边的高，也是中线， ∴． （2）解：连接，如下图所示， ∵直径， ∴圆的半径， ∴， ∴圆心角， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴扇形的面积为， ∴弧与所围成部分的面积为扇形与面积之差，即． 答：弧与所围成部分的面积为． 13．如图，以的边为直径作，点A在圆上，作，交的延长线于点D．E在上，，垂足为H，连接交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角并结合已知可得出，根据等式性质得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据切线的判定即可得证； （2）根据三角形外角的性质求出，根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出，则，证明是等边三角形，得出，进而求出，根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，最后根据阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵为直径作， ∴， ∴，即， 又是的直径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 14．在中，，将绕点逆时针旋转得． (1)如图1，将绕点A逆时针旋转得，求的大小； (2)如图2，线段交线段于点F，在绕点A旋转一周的过程中： ①求证：点F是的中点； ②点F移动的路程为___________． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（）由旋转的性质可得，，，，进而根据等边对等角即可求解； （）①过点作交的延长线于点，证明得到即可求证； ②取的中点，连接，，三角形的中位线定理得到，故点在以为圆心，的长为半径的圆上，斜边上的中线得到，得到三点共圆，根据线段交线段于点F，得到点的运动路程为线段交线段与点开始，一直到线段交线段与点结束的一段圆弧，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由旋转得，，，， ∴， ∴； （2）①证明：过点作交的延长线于点， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是中点； ②取的中点，连接，， ∵， ∴， ∴，， ∵旋转， ∴， 由①可知：点是中点， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，的长为半径的圆上运动，且三点共圆， ∵线段交线段于点F， ∴当线段交线段与点开始出现点，当线段交线段与点时，点开始消失， ∴点的运动路程为线段交线段与点开始，一直到线段交线段与点结束的一段圆弧，如图： 由图可知，当交于点时， ∵旋转， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴点的运动路径为，对应的圆心角的度数为， ∴点的移动路程为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，求弧长等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，确定点的轨迹，是解题的关键． 15．综合与实践 【活动主题】为什么转弯镜能扩大视野范围？ 【问题情境】如图1，路口处的转弯镜随处可见，转弯镜可以扩大视野范围降低交通事故风险．生活中常见的转弯镜多为球凸面镜，如图2中是凸面镜的平面示意图． 【知识储备】 法线：过入射点且与反射面在该点的切线垂直的直线； 光的反射定律：入射角反射角． 【问题初探】如图2，入射光线经过球面镜反射得到反射光线，若，则______，若所在圆的半径为4，的弧度为，则的长为______． 【深入探究】如图3，点光源A发射出一条光线，请用无刻度直尺和圆规作出光线经过球凸面镜反射得到的光线． 【实践应用】如图4，和分别是南北、东西方向两条道路，为了降低事故风险，社区计划在此直角路口安装转弯镜，小明设计了两种转弯镜进行对比探究： 方案1：只安装平面镜； 方案2：只安装球凸面镜，且的度数为； 两种方案中，均为直角，且，米，道路上有观测点D，点D位于E点正东方向，借助转弯镜在观测点D处可以观察到道路的情况，若平面镜能观察到道路的最远点记为M，球凸面镜能观察到道路的最远点记为N，求M，N的距离． 【答案】[问题初探]，；[深入探究]见解析；[实践应用] 米． 【分析】本题考查了综合作图、轴对称变换、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质和判定等，确定圆的圆心是解题的关键． [问题初探]根据光的反射定律：入射角反射角，由此可得，根据弧长公式即可计算的长； [深入探究]先作出弧的圆心，过圆心作射线，再以为边作即可， [实践应用]根据题意作出分别作出最远点M，N，再根据反射定律求出各个角的度数，根据含直角三角形性质和勾股定理解三角形即可． 【详解】解：[问题初探]：如图2，过点O作的切线，根据题意：，， 若，则， ∵所在圆的半径为4，的弧度为， 则的长为， 故答案为：，． [深入探究]：如图3，光线即为所求． [实践应用]方案1：只安装平面镜；借助转弯镜在观测点D处可以观察转弯镜E点时，是看到的道路的最远点， 由题意可知：，，， ∴， 如图4，在上取点，使， ∴， 过点作， ∴（米），， ∴，（米），（米）， 方案2：只安装球凸面镜，且的度数为；如图4，取的圆心，以为对称轴，作关于对称的直线交于， 依题意可知：点N是球凸面镜能观察到道路的最远点， ∵的度数为， ∴是等边三角形，， ∴ ∴，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴米． 16．如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． (1)该圆锥的底面圆的半径为______cm； (2)已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)5 (2)（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，理由见解析；②作图见解析，；（ii） 【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长求解即可； （2）（i）①由（1）知底面圆的半径为，求出剩余纸片的长和宽，再与直径比较即可； ②当底面圆形纸片与边相切，据此求解即可； （ii）分情况讨论，情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切，据此求出的值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， 解得 故答案为：； （2）（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片， 理由：作，垂足为C，延长，交于点D，交于点 ， 是等边三角形 在中， 在四边形中， 四边形是矩形 、 能剪出作为圆锥底面的圆形纸片； ②示意图如图所示，此时； 如图，设底面圆圆心为O，连接交切点为K，过N作于点G， 则，， 在中， ； （ii）情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，如图， 此时， 此时； 情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切时，如图， 、 此时 ． 【点睛】本题考查圆锥的性质、扇形的性质、圆的性质、矩形的性质，熟练扇形弧长公式、相关性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习06弧长及扇形.圆锥面积期末冲刺必备讲义 1.知识与技能：掌握弧长、扇形面积及圆锥侧（全）面积核心公式，能准确解决正向、逆向及不规则图形转化的相关计算。 2.过程与方法：体会“整体与部分”等数学思想，提升实际问题几何建模能力，掌握弧长与圆锥底面周长、扇形半径与圆锥母线的关联技巧。 3.核心素养：强化数学运算、逻辑推理等能力，增强数学应用意识 期末必备 知识点梳理 1.弧的定义与弧长公式 2.扇形的定义及面积公式 3.弧长与扇形面积的计算注意事项 4.圆锥的基础概念 5.圆锥的侧面积及全面积公式 6.圆锥与扇形的关联 常考题型 精讲精炼 1.计算圆弧的长度 2.求解扇形的半径 3.计算扇形的圆心角度数 4.计算某点沿圆弧运动的路径长度 5.计算扇形的面积 6.求解图形旋转后扫过区域的面积 7.计算弓形的面积 8.求解不规则图形的面积 9.计算圆锥的侧面积 10.求解圆锥的底面半径 11.计算圆锥的高度 12.求解圆锥侧面展开图的圆心角度数 期末备考 强化通关 (16题) 【知识点01.弧的定义与弧长公式】 1.弧的定义 圆上任意两点间的部分叫做弧，这两点是弧的端点。 弧分为三类： *劣弧：小于半圆的弧，用两个端点字母表示（如弧AB）； *半圆：等于半圆的弧； *优弧：大于半圆的弧，用三个字母表示（如弧ACB）。 2.弧长公式 若圆的半径为R，n∘的圆心角所对的弧长为l， 则弧长公式为：l= 推导依据：整个圆的圆心角是360∘，周长为2πR，n∘圆心角对应的弧长占圆周长的，因此l=×2πR=​ 3.公式使用注意事项 *公式中n是圆心角的度数，计算时不带单位； *若圆心角单位不是度，需先换算为度（如弧度转角度）； *计算时保证半径R的单位统一； *度数相等的弧，只有在同圆或等圆中，弧长才相等。 【知识点02.扇形定义与面积公式】 1.扇形的定义 由一条弧和经过这条弧端点的两条半径所围成的图形叫做扇形。补充：扇形是圆的一部分，一个圆可以分割成若干个扇形，半圆也是特殊的扇形。 2.扇形的面积 公式设扇形所在圆的半径为R，圆心角为n∘，扇形弧长为l，有两个核心公式： *公式一（基于圆心角和半径） S扇形=πR2 扇形推导逻辑：n∘的圆心角占整个圆周角360∘的比例为，因此扇形面积也占所在圆面积πR2的。 *公式二（基于弧长和半径） S扇形=lR 扇形推导逻辑：将弧长公式l=代入公式一，可得扇形。 S扇形=πR2=R=lR 3.公式使用注意事项 *公式中n是圆心角的度数，计算时不带单位； *选择公式的原则：已知圆心角和半径，用公式一；已知弧长和半径，用公式二更简便； *计算时需保证半径R与弧长l的单位统一； *扇形面积的大小由半径和圆心角共同决定，半径相同的扇形，圆心角越大，面积越大。 【知识点03.弧长与扇形面积计算注意事项】 1.公式中圆心角度数n的处理：计算时n不带单位，只代入数值。例如圆心角为60∘，代入公式时直接写n=60。 2.圆心角单位的统一：若题目中圆心角单位是弧度，需先换算成度，再代入公式计算；若使用弧度制公式，则需对应调整公式形式。 3.半径与弧长的单位统一：计算时要保证半径R和弧长l的单位一致，比如半径用厘米，弧长也需换算成厘米。 4.等弧与等度数弧的区别：度数相等的弧，只有在同圆或等圆中，弧长才相等，扇形面积也相等；不同圆中，度数相同的弧，半径不同则弧长和面积都不相等。 5.公式的选择技巧：计算扇形面积时，已知圆心角和半径，优先用S扇形=πR2；已知弧长和半径，优先用S扇形=lR，计算更简便。 6.结果的表示要求：题目未标明精确度时，弧长和扇形面积的结果可保留π；若要求取近似值，需按指定精度（如π≈3.14）计算。 7.不规则图形面积的计算思路：涉及圆中不规则图形面积时，通常用割补法，转化为扇形、三角形、圆形等规则图形的面积和或差，再代入公式计算。 【知识点04.圆锥的基础概念】 1.组成：圆锥由一个圆形底面和一个曲面侧面围成。 2.母线：底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线，所有母线长度都相等，常用字母l表示。 3.高：圆锥的高是从顶点到底面圆心的垂线段，常用字母h表示。 4.核心关系：圆锥的底面半径（常用字母r表示）、母线l和高h满足勾股定理，即母线的平方等于底面半径的平方与高的平方之和。 【知识点05.圆锥的侧面积及全面积公式】 1.核心前提：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长（用l表示），扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长（底面圆半径用r表示，周长为2πr）。 2.侧面积公式：圆锥侧面积 = πrl（推导逻辑：由扇形面积公式“×弧长×半径”，代入扇形弧长=2πr、半径=l，计算得×2πr×l=πrl）。 3.全面积公式：圆锥全面积 = 侧面积 + 底面圆面积，即 πrl + πr²（推导逻辑：圆锥由侧面和圆形底面组成，底面圆面积为πr²，因此全面积为侧面积与底面圆面积之和）。 4.使用注意事项： ① 公式中r为底面圆半径，l为母线长，需保证两者单位统一； ② 计算前需确认已知条件，若已知圆锥的高h和母线l，可先通过勾股定理求出底面半径r（r=，再代入公式计算。 【知识点06.圆锥与扇形的关联】 1.展开图的核心关系：圆锥的侧面是曲面，将其沿一条母线剪开并展开，得到的平面图形是扇形，这是两者关联的基础。 2.元素对应关系：① 扇形的半径 = 圆锥的母线长（常用字母l表示）；② 扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长（底面圆半径用r表示，周长为2πr）。 3.公式衔接关系：利用元素对应关系，可由扇形面积公式推导圆锥侧面积公式。已知扇形面积公式为“×弧长×半径”，代入扇形弧长=2πr、半径=l，即可得出圆锥侧面积公式：侧面积 = ×2πr×l = πrl。 4.拓展关联（圆心角计算）：若设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为n°，结合弧长公式可建立等式：扇形弧长 = 圆锥底面圆周长，即 = 2πr，整理后可求出圆心角n = (r为圆锥底面半径，l为母线长）。 【题型1.计算圆弧的长度.】 【典例】如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为 （结果保留） 【跟踪专练1】如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，测得直径为，，则提梁的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在弧上，，则弧的长为 ． 【题型2.计算扇形的半径】 【典例】的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（    ） A．3 B．8 C．9 D．10 【跟踪专练1】如图，两个阴影部分的面积分别是 ,，且 平方厘米，则图中扇形的半径是 厘米．( 取 3) 【跟踪专练2】如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【题型3.计算扇形的圆心角度数】 【典例】一个扇形的半径为4，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 【跟踪专练1】物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径，当重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点O按逆时针方向旋转的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】运动场的每条跑道是由两条直道和两条弯道组成，其中每条弯道是半圆形，每条跑道宽米．400米标准运动场是指最内圈跑道的长度为400米．不同规格的运动场都会将运动场直道与弯道的交接处设为径赛终点线．如图所示，一个400米标准运动场，若跑道最内圈的弯道半径为米，那么在第三道的400米起跑线处点C与终点线处点D形成的弧所对的圆心角的度数是 ． 【题型4.计算某点沿圆弧运动的路径长度】 【典例】如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心坐标．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时，点经过的路径长为 ． 【跟踪专练2】直径为1个单位长度的圆上有一点A，现在将点A与数轴上表示的点重合，并将圆沿数轴无滑动地向左滚动两周，如图，若点A到达数轴上的点B处，则点B表示的数是（   ） A． B． C． D． 【题型5.计算扇形的面积】 【典例】如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（）为，骨柄的长为，扇面的宽度的长为，那么这把折扇的扇面面积为 （结果含）． 【跟踪专练1】如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，若的半径为3，，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型6.求解图形旋转后扫过区域的面积】 【典例】如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将长为的线段绕端点A旋转，则线段扫过的面积为 （结果保留） 【跟踪专练2】如图，在等腰直角三角形中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型7.计算弓形的面积.】 【典例】图1是用同一种瓦片砌成的古典式花窗，图2是由8块相同的瓦片组成的局部截面示意图（瓦片的厚度忽略不计）．若该示意图外围是半径为的圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【跟踪专练1】如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型8.求解不规则图形的面积】 【典例】如图，在中，，，，以 C 为圆心，为半径作弧，与交于点D，再以 B 为圆心，为半径作弧，与交于点E，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在扇形中，，圆心角，是上的点，，则阴影部分的面积为 ． 【跟踪专练2】如图，正六边形的边长为3，分别以点A，D为圆心，以的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【题型9.计算圆锥的侧面积.】 【典例】某圆锥形零件的尺寸如图所示，若给该零件侧面涂漆，则需涂漆部分的面积为 ．（结果保留） 【跟踪专练1】如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】圆锥的高为，底面圆的直径为，则该圆锥的侧面积等于 （结果用含π的式子表示）． 【题型10.求解圆锥的底面半径.】 【典例】一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（   ） A． B． C． D．2 【跟踪专练1】如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将，重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的底面半径为 ． 【跟踪专练2】如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是（ ）． A．1 B． C．3 D．2 【题型11.计算圆锥的高度.】 【典例】李冰用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是 ．    【跟踪专练1】如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正六边形的边长为3，B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 【题型12.求解圆锥侧面展开图的圆心角度数.】 【典例】如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径，母线．制作这种外包装需要用如图扇形材料，将扇形围成圆锥时，，恰好重合，则的大小是 ． 【跟踪专练2】如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 1．若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（   ） A．3 B．12 C．6 D．18 2．把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了平方厘米．圆锥的高是厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米． A． B． C． D． 3．如图，切于点，弦，若，劣弧的弧长为，则线段的长为(   ) A． B． C． D． 4．把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分后，表面积增加了平方厘米．圆锥的高是厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米． A． B． C． D． 5．如图，已知圆锥的底面半径为，，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离是（　　）． A．40 B． C．160 D． 6． 如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长2π，且，则的长为（   ）    A． B． 6 C． D． 12 7．如图，线段的半径为1，当从点A沿着滚动到D点时圆心O经过的路径长是（   ） A．8 B．9 C． D． 8．如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 9．如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 11．如图，已知是的直径，点，在上，且，过圆心作，垂足为． (1)求的长． (2)若的延长线交于点，求弦，和所围成的图形（阴影部分）的面积． 12．如图，为的直径，点C在上，延长到D，连接并延长，与交于点E，连接，恰好使得． (1)求证：； (2)若，弧的长为，求弧与所围成部分的面积． 13．如图，以的边为直径作，点A在圆上，作，交的延长线于点D．E在上，，垂足为H，连接交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 14．在中，，将绕点逆时针旋转得． (1)如图1，将绕点A逆时针旋转得，求的大小； (2)如图2，线段交线段于点F，在绕点A旋转一周的过程中： ①求证：点F是的中点； ②点F移动的路程为___________． 15．综合与实践 【活动主题】为什么转弯镜能扩大视野范围？ 【问题情境】如图1，路口处的转弯镜随处可见，转弯镜可以扩大视野范围降低交通事故风险．生活中常见的转弯镜多为球凸面镜，如图2中是凸面镜的平面示意图． 【知识储备】 法线：过入射点且与反射面在该点的切线垂直的直线； 光的反射定律：入射角反射角． 【问题初探】如图2，入射光线经过球面镜反射得到反射光线，若，则______，若所在圆的半径为4，的弧度为，则的长为______． 【深入探究】如图3，点光源A发射出一条光线，请用无刻度直尺和圆规作出光线经过球凸面镜反射得到的光线． 【实践应用】如图4，和分别是南北、东西方向两条道路，为了降低事故风险，社区计划在此直角路口安装转弯镜，小明设计了两种转弯镜进行对比探究： 方案1：只安装平面镜； 方案2：只安装球凸面镜，且的度数为； 两种方案中，均为直角，且，米，道路上有观测点D，点D位于E点正东方向，借助转弯镜在观测点D处可以观察到道路的情况，若平面镜能观察到道路的最远点记为M，球凸面镜能观察到道路的最远点记为N，求M，N的距离． 16．如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． (1)该圆锥的底面圆的半径为______cm； (2)已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $