专题09 圆 10大高频考点（期末真题汇编，山西专用）九年级数学上学期

专题09 圆 10大高频考点概览 考点01 点与圆的位置关系 考点02 弦、弧、圆心角的关系 考点03 垂径定理 考点04 圆周角定理 考点05 圆内接四边形 考点06 直线与圆的位置关系 考点07 切线的性质与判定 考点08 正多边形与圆 考点9 扇形的弧长与面积 考点10圆锥问题相关计算 地 城 考点01 点与圆的位置关系 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西太原 期末）已知的半径是3，，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键．将点到圆心的距离（即的长度）与的半径进行比较即可得． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点在外， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山西晋中 期末）已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，求出点到圆心的距离是解题的关键．求出各点到圆心的距离，再与半径比较大小即可得到答案． 【详解】解：A. 到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故该选项不符合题意； B. 到圆心的距离为,，点在圆内，故该选项不符合题意； C. 到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故该选项不符合题意； D. 到圆心的距离为，，点在圆外，故该选项符合题意； 故选：D ． 3．（24-25九年级上·山西吕梁 期末）点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立．据此解答即可． 【详解】解：∵点到圆心的距离为7，点P在圆O内， ∴，即． 故选：C． 4．（24-25九年级上·山西临汾 期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．首先确定的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项． 【详解】解：∵半径为4．若点A在内， ∴， ∵点A所表示的实数为6， ∴， 故选：D． 5．（24-25九年级上·山西运城 期末）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（   ） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点与圆的位置关系是解题的关键．根据点与圆的位置关系，即可求得，由此即可判断答案． 【详解】解：点A在内， ， 点B在外， ， ， 只有符合题意． 故选：B． 地 城 考点02 弦、弧、圆心角的关系 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（   ） A．3 B．6 C．6 D．6 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质． 连接，，，，由，得到，从而是等边三角形，进而即可解答． 【详解】解：连接，，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴直径． 故选：B 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，掌握在同圆中等弧对等圆心角是解题的关键．由可得，再结合图形和即可解答． 【详解】解：， ， 又，， ， 解得：． 故选：B． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列说法正确的是（　　） A．相等的圆周角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．平分弦的直径一定垂直于弦 D．任意三角形一定有一个外接圆 【答案】D 【分析】根据圆周角定理、等弧的概念以及垂径定理，即可求得答案． 【详解】解：A、在等圆或同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故A不符合题意； B、在等圆或同圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故B不符合题意； C、根据垂径定理知，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，故C不符合题意； D、任意三角形一定有一个外接圆，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心；平分（非直径）弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的弧以及有关圆的知识． 4．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 由已知条件，可设，则，，，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，   ， 可设，则，， ， ， ， ， 故选：． 二、填空题 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，的弦、相交于点，，为，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角圆周角之间的关系，以及三角形的外角性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 先通过得到，再通过为得到，进而再通过三角形的外角性质可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵为， ∴， ∵根据三角形的外角性质可知， ∴， 故答案为：100． 地 城 考点03 垂径定理 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形．由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，过点O做于点N，交于点M， ∵， ∴， 连接，， ∴， ∵，． ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知这两个定理的用法是正确解答此题的关键． 根据垂径定理得出的长，根据勾股定理得，即可求解． 【详解】解：的直径垂直弦于点E，且，， ， 在中，， ， 故答案为：B． 二、填空题 4．（24-25九年级上·山西运城·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为16米，水面到运行轨道最低点的距离为4米，则的半径为 米．    【答案】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接，交于点，根据题意得到，以及，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，交于点，连接    设半径为， 根据题意可得：， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）如图，是的直径，点、在上，且，垂足为．若，，则 ．    【答案】6 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，设，则，求得 ，根据垂径定理得，进而在中根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设，则，    ∴ ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：6． 三、解答题 6．（24-25九年级上·山西忻州·期末）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图，这是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．求该圆弧所在圆的半径． 【答案】该圆弧所在圆的半径为5米 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，正确理解题意，通过勾股定理建立方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为米，则米．在中，由勾股定理得：，代入解方程即可． 【详解】解：∵经过圆心，为弧中点， ∴， 设的半径为米，则米． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得． 即该圆弧所在圆的半径为5米． 地 城 考点04 圆周角定理 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，是的直径，C、D是上两点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同弧或等弧对的圆周角相等，等腰三角形的性质等知识；由同弧或等弧对的圆周角相等得，由等腰三角形的性质及三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 故选：A． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，为的直径，点，在上，，，则的长为（    ） A．5 B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角，的直角三角形的性质和勾股定理，先利用圆周角定理可得：，，由直角三角形的性质可得，再由的直角三角形的性质和勾股定理可解答，掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，点，，在上，连接，，，．若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形对角互补，首先在优弧上取点，连接，，由圆周角定理，求得的度数，然后由圆的内接四边形的性质，可求得的度数． 【详解】解：如图， 在优弧上取点，连接，， ， ， ． 故选． 4．（23-24九年级上山西大同·期末）如图， ，，，是上的四个点，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质.先求出，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：D 5．（23-24九年级上山西阳泉·期末）如图，三位同学站在以足球门为弦的圆上踢足球，点 都在圆上，小明站在 点，小强站在 点，小宁站在 点，对于小明、小强、小宁踢进足球球门，下列说法正确的是（     ） A．小明踢进足球的可能性最大 B．小强踢进足球的可能性最大 C．小宁踢进足球的可能性最大 D．三位同学踢进足球的可能性一样大 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，解答本题的关键就是找到射门角，即射门点与球门两侧所成的角，且角越大，进球率越高．根据射门角越大，射门进球的可能性就越大． 【详解】解：因为点 都在圆上，故通过观察处的射门角相等；故三位同学踢进足球的可能性一样大． 故选D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，．点是内部一点，且，连接，则长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆的性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握点的运动轨迹是解题的关键．设的中点为，连接，易知当点在上时，的值最小，过点作，交的延长线于点，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 点的轨迹是以为直径的圆的一部分． 设的中点为，连接，易知当点在上时，的值最小，过点作，交的延长线于点， 则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】/123度 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据圆周角定理得，再由圆内接四边形的性质得到即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴ 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，的直径，弦的两个端点（不与，重合）在半圆上滑动，、的延长线交于点，，连接、． 以下四个结论： ①； ②若，则是等边三角形； ③； ④面积的最大值为． 其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②③ 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．①证明，再判断即可；②证明是等边三角形，再判断即可；③证明，再判断即可；④的最大面积为，再判断即可； 【详解】解：连接、． ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ，故①正确， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形，故②正确， ，， ， ， ，故③正确， 当是等边三角形时面积最大，最大值为，故④错误， 故答案为①②③． 9．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，是圆O的直径．C，D为圆O上两点，且平分，连接，，若，则的度数为 ． 【答案】/32度 【分析】本题考查了圆周角定理和角平分线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理，，，再由平分，可得，，从而出，最后求得． 【详解】解：， ， 平分， ， 为的直径， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（24-25九年级上山西吕梁期末）如图，点在圆上，，点为的中点，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了半圆或直径所对圆周角为直角，勾股定理，根据，可得是直径，根据点为的中点，可得，根据勾股定理可得，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读以下材料，并完成相应的任务． 定义：若三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长的积等于这个点与该边所对顶点之间的距离的平方，则称这个点为三角形中该边的“中顶点”． 例：如图（1），在中，点在上，若，则点为中边的中顶点． 任务： (1)如图（2），的三个顶点是的正方形网格的格点（网格线的交点），请用无刻度的直尺作出中边的一个中顶点，且点不是格点． (2)如图（3），内接于，点是中边的中顶点，连接并延长，交于点． ①求证：点是的中点． ②若的半径为5，，，与过点的切线垂直，垂足为点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）过点A作的垂线交与点D即可．根据，由相似三角形性质即可得出． （2）①连接，证明，由相似三角形的性质得出，再根据中顶点的定义得出，进而可得出． ②连接，根据，得出是的直径，且为10，再根据勾股定理得出，再得出，再根据正弦的定义即可求解． 【详解】（1）解：点如图（1）所示． （2）解：①证明：如图（2），连接． ，， ， ， ． 点是中边的中顶点， ， ， ， 即点是的中点． ②如图（2），连接． ， 是的直径， ． 由①可知点是的中点， ， ． 是的切线， ， ． ， ． 【点睛】本题主要考查了作垂线，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形的计算等知识，掌握“中顶点”的定义是解题的关键． 12．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在中，直径与弦交于点，连接，其中，． (1)求的值； (2)若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，正切值的求解，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）连接，根据圆周角定理可得，，利用勾股定理求出的长，根据同弧所对的圆周角相等可得，再利用正切定义求解即可 （2）先证明，得到，结合题意即可得出． 【详解】（1）解：如图，连接， 为圆的直径， ，， ， ， ； （2）由（1）可知， 又， ， ， ， ． 13．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应任务． ×年×月×日    星期日   晴 “婆罗摩笈多定理”的拓展与思考 今天，我在一本数学杂志上看到一篇介绍印度数学家“婆罗摩笈多”的文章，文章转述了婆罗摩笈多在算术、不定方程、几何等内容上的伟大成就，其中还记载了以他的名字命名的一个定理，定理的内容与证明过程如下： 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．即在如图1所示的圆内接四边形中，，垂足为，过点作，垂足为．延长与交于点，则． 下面是该定理的证明过程． 证明：，垂足为．，垂足为． ． ，． ． 与都是所对的圆周角， ．（依据1） ． ． ．（依据2） 同理，． ． 看了上面定理的证明过程后，我作出了如下拓展探究： 如图2，若弦与所在直线互相垂直，且相交于外一点，过点作，垂足为，与相交于点，则与仍然相等． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指_______，依据2是指_______． (2)小宇在拓展探究中得出的结论是否正确？请利用图2说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，过点作，垂足为．延长交于点．连接．若，．请直接写出的长． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等，等角对等边 (2)正确，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等以及等腰三角形的性质即可得到答案； （2）根据，，可推出，再由圆内接四边形的性质可知，从而得到，结合，可得，则，同理，，即可得到结论； （3）取的中点，连接，，利用三角形中位线的性质可推出，，，，结合，可知，最后利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：与都是所对的圆周角， ，（同弧所对的圆周角相等） 依据1为同弧所对的圆周角相等； ， ，（等角对等边） 依据2为等角对等边； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；等角对等边． （2）解：正确，理由如下， ，， ，， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 又， ， ， 同理，， ． （3）解：取的中点，连接，，如图， 则， 根据题意可知，， 为中位线， ，， 同理，，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，三角形中位线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 14．（23-24九年级上山西太原·期末）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么； 如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：， ，即， ， ， 在中，， …… 请解答以下问题： (1)请完成所给材料的证明过程； (2)请证明结论（2）； (3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用圆周角定理及直角三角形的性质得到进而推出，同理得到，根据等边对等角即可得出结论； （2）根据题意得到，进而得到，利用圆周角定理结合对顶角推出，从而得到，即可证明； （3）连接，设交于点M，先利用等腰三角形的性质结合题意易证，再利用三角形内角和定理推出，从而证明，由（1）中结论易得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到，再根据勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ，即， ， ， 在中，， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）证明：∵ ∴， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （3）解：如图，连接，设交于点M， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 由（1）中结论可得， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查圆的内接四边形，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练运用等腰三角形等角对等边的性质是解题的关键． 地 城 考点05 圆内接四边形 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西·长治 期末）如图，四边形内接于，连接，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理可得，再根据计算即可． 【详解】∵四边形内接于， ∴ ， 由圆周角定理得， ， ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 2．（4-25九年级上·山西·临汾 期末）如图，四边形是的内接四边形，，若，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．连接，根据，可求，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是直角三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴，即， ∴是直角三角形， ∵， ∴， 故选：C． 3．（4-25九年级上·山西大同 期末）如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 首先利用圆的半径相等得，利用三角形的内角和定理求得∠，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得，最后利用圆的内接四边形对角互补求得． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（4-25九年级上·山西·吕梁 期末）如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，先根据圆内接四边形的对角互补求出，再根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”求解． 【详解】解：四边形为的内接四边形， ， ， ， ， 故选B． 5．（4-25九年级上·山西·晋中 期末）如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，先由圆内接四边形对角互补求出的度数，再由圆周角定理可得是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于， 则， ∴， 故选B． 6．（24-25九年级上·山西忻州 期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，由圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故选：D． 地 城 考点06 直线与圆的位置关系 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，四边形是的内接四边形，且，连接并延长交的切线于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆的性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质是解题的关键． 连接，，利用圆的性质，连接圆心到圆上的点和，形成三角形和．根据圆周角定理得出，然后圆内接四边形的性质求出，进而求出，再利用等腰三角形的性质得出，最后求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接，，则． 四边形是的内接四边形， ， ， ． ， ， ． 故选C． 2．（124-25九年级上·山西阳泉·期末）若圆心到直线的距离等于的半径，则直线与的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线由圆位置关系，判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线的距离为d．①直线和相交，②直线和相切⇔，③直线和相离⇔． 【详解】解：圆心到直线的距离等于的半径， 直线与的位置关系是相切， 故选：． 3．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知线段，则平面内与点的距离为5，且与点的距离为6的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查圆的概念、两圆的位置关系及圆的切线，掌握圆的相关性质是关键．分别以点、为圆心，以、为半径画圆，由可知，两圆相外切，由此得出答案． 【详解】解：如图所示，作一个以点为圆心，以为半径的圆，以点为圆心，以为半径的圆． ∵， ∴两圆有一个交点，故和相切，其切线有条． 故选：C． 二、填空题 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，是的直径，过点D的切线与的延长线相交于点，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质定理，三角形的内角和等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．由切线的性质定理得出，由圆周角定理得出，然后利用三角形内角和得出，进而即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵所对的圆心角为，圆周角为， ∴， ∵，在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键．． 根据与直线相离，则圆心到直线的距离大于圆的半径即可得问题答案． 【详解】解：∵半径为4的与直线相离， ∴圆心到直线的距离大于圆的半径， 即； 故答案为：． 地 城 考点07 切线的性质与判定 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西朔州·期末）如图，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．由切线的性质得，及圆周角定理可得，最后结合角的和差运算，即可出答案． 【详解】解：连接，    ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴ 又， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，是的切线，B是切点，连接，．若，，，则的长是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，关键是由切线的性质定理推出，由含角的直角三角形的性质求出的长． 连接，由切线的性质定理得到半径，得出，由含30度角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，再得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵是的切线，B为切点， ∴半径， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D 二、填空题 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，的切线交的延长线于点，若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，平行线的判定，解直角三角形的相关计算，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．连接，求出，得出，，利用得出，再利用三角函数求出即可． 【详解】解：连接， 是直径， ， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，是的直径，点是圆上一点，弦平分，交于一点，延长到点，连接，使得． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据角平分线的定义及等边对等角得，，继而得到，推出，即可得证； （2）根据正切的定义得，由勾股定理得，再代入可得结论． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边对等角，正切的定义，勾股定理等知识点．掌握切线的判定及正切的定义是解题的关键． 5．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，是的直径，过圆上点的直线交延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用圆周角定理得到，通过角的转换证明，即可证明是的切线； （2）由正切函数的定义得，证明，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵，又， ∴， ∴，即， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，正切函数的定义，圆周角定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，连接并延长交的切线于点F． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的性质，圆的性质是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据切线的性质得出，证明，即可得出答案； （2）根据直角三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 解得：， 又∵， ∴，即的长为1． 7．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，以的中点为圆心，为半径作圆，与交于点，连接，过点作的切线交于点．当时，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆的切线性质、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的相关知识．连接连接与切点构造直角，利用圆的切线性质得到直角三角形，再结合已知条件推出三角形的角度关系，从而证明结论． 【详解】如图，连接． ∵与相切于点， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25九年级上·山西运城·期末）阅读与思考 直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线… 证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理来证明． 添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直． 图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，，垂足为O，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，当点B恰好落在上时，，请判断此时与的位置关系并说明理由． 小王的解题思路如下：与相切． 理由：连接． ∵点B恰好落在上， ．（依据1） ， ． ， ， ． ，（依据2） ， ∴与相切． 任务： (1)依据1：_____________________________． 依据2：________________________________． (2)在图2中，的半径为6，，求的长． 【答案】(1)同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形的内角和等于 (2) 【分析】（1）结合圆周角定理及三角形内角和定理求出，根据切线的判定定理即可得解； （2）过点作于点，根据直角三角形的性质及角的和差求出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质求出，结合勾股定理及比例的性质求出，，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：（1）如图2，连接． 点恰好落在上， （同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）， ， ． ， ， ． （三角形内角和是， ， 与相切． 故答案为：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；三角形内角和是； （2）解：如图2，过点作于点， ， 与相切， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，三角形的内角和定理等，熟记相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质是解题的关键． 地 城 考点08 正多边形与圆 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，正六边形内接于．若，则的直径为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，正确得出是等边三角形是解题关键． 直接利用等边三角形的判定与性质进而分析得出答案． 【详解】解：连接， ∵正六边形内接于 ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴ ∴的直径为． 故选：A． 2．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）以半径为2的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（    ） A．不能构成三角形 B．这个三角形是等腰三角形 C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是钝角三角形 【答案】C 【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，问题得解． 【详解】解：如图1， ∵OC＝2， ∴OD＝2×sin30°＝1； 如图2， ∵OB＝2， ∴OE＝2×sin45°＝； 如图3， ∵OA＝2， ∴OD＝2×cos30°＝， 则该三角形的三边分别为：1，，， ∵12＋（）2＝（）2， ∴该三角形是直角三角形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键． 4．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，点A是的中点．若∠D＝110°，则∠AEB的度数是(         ) A．30° B．35° C．50 D．55° 【答案】B 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ABC=180°-∠D=70°，根据角平分线的定义计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC=180°-∠D=70°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠ABC=35°， 故选B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 二、填空题 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，正五边形内接，点F是的中点，连接，于交于点G，则的度数是 ． 【答案】/54度 【分析】如图所示，连接，，，，，首先根据多边形和圆的性质得到，然后根据圆周角定理得到，，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】如图所示，连接，，，， ∵正五边形内接， ∴ ∵点F是的中点 ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆周角定理，正多边形和圆的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题 6．（24-25九年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 托勒密定理 希腊著名天文学家托勒密（Ptolemy）重要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，书中提出了著名的托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和（图1）， 即． 证明如下： 如图2，在上取一点，连接，使． 又（理由：___▲___）， ， ， ①．……，②． 由①②，得， 即． 启发：如图3，内接正五边形的边长为1，求对角线的长． 任务： (1)研究报告中，“▲”处空缺的内容：_____； (2)将“……”处的证明过程补充完整； (3)材料“启发”中，对角线的长为_____． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形性质和判定，圆内接正多边形性质，解题的关键在于正确理解托勒密定理． （1）根据圆周角定理分析，即可解题； （2）结合题干所给步骤同理得到，进而证明，结合相似三角形性质即可解题； （3）连接，，结合正五边形性质和圆周角定理，得到，，再结合托勒密定理建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意可知，研究报告中，“▲”处空缺的内容为同弧所对的圆周角相等， 故答案为：同弧所对的圆周角相等． （2）解：证明如下： 如图2，在上取一点，连接，使． 又（理由：同弧所对的圆周角相等）， ， ， ①． （理由：同弧所对的圆周角相等）， 又， 即， ， ， ②． 由①②，得， 即． （3）解：连接，， 内接正五边形的边长为1， ，， ， 同理可得， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 故答案为：． 地 城 考点09 扇形的弧长与面积 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答． 【详解】解：， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ， ， ． 故选：C． 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在边长为2的菱形中，对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画，若点恰好在上，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由菱形的性质可得，，由点恰好在上可得，由此可证得是等边三角形，于是可得，由三线合一可得，由勾股定理可得，然后根据各部分之间的面积关系可得，由此即可求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 点恰好在上， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，求扇形面积，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，三线合一，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在小正方形的顶点上，以点B为圆心，2为半径画弧，与网格线交于点C，则经过点B的的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，设点为所在圆的圆心，连接，由可得，进而由圆周角定理得，即得是等边三角形，得到，再得到，由勾股定理逆定理得到为直角三角形，，即得，再利用弧长公式计算即可求解． 【详解】解：如图，设点为所在圆的圆心，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴的长， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角函数，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在边长为的正方形中，对角线与交于点，分别以，，，为圆心，，，，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，扇形面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． 由正方形的性质可得，，，，则，，故，先求出在中空白部分面积为，则在中阴影部分面积为图中阴影部分的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， 在中空白部分面积为：， 则在中阴影部分面积为： ， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：． 5．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，正八边形内接于，若的半径为2，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题结合正八边形，考查不规则图形面积的计算，核心素养主要表现为运算能力、几何直观． 把总面积转换成两个三角形和一个扇形面积之和即可算出答案． 【详解】 如图，连接． 根据圆和正八边形的对称性，可知题图中阴影部分的面积与如图所示的图形中阴影部分的面积相等． 易知， 则，且设交点为，则， ∵半径为2 故选：A 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的边长为x，则，，进而求出，，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设正六边形的边长为x， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， 正六边形的边长为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用． 7．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，一扇形纸片的圆心角为，半径为3．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为，图中阴影部分为重叠部分，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，等边三角形的判定与性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据勾股定理求出，证明是等边三角形，求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得，， 在中，， ∴； 由折叠的性质得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∴阴影部分的面积； 故选：A． 8．（24-25九年级上·山西大同·期末）小文在假期旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞（如图），她对这个门洞进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为2.4m，门洞最底部的两个端点A，B和圆弧上一点C构成的，则这个门洞的圆弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长，圆周角定理，先求出圆弧所在圆的半径为，再求出所对的圆心角为，进而根据弧长公式即可得出答案． 【详解】解：∵圆弧上任意两点间的最大距离为 ∴圆弧所在圆的半径为， ∵洞最底部的两个端点A，B和圆弧上一点C构成的， ∴所对的圆心角为， ∴这个门洞的圆弧长为， 故选：B． 9．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，等边三角形的边长为6，点，，分别为边，，的中点，分别以，，为圆心，，，为半径作弧，得到如图所示的图形．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出，再求出，证明，则，，再运用割补法列式计算，即可作答． 【详解】解：连接， ∵等边三角形的边长为6，点，，分别为边，，的中点， ∴， ∴， 则， ∵等边三角形的边长为6，点，，分别为边，，的中点， ∴，，， ∴， 即， ∴，， 即， ∵以，，为圆心，，，为半径作弧， ∴， 则． ∴图中阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，是半圆的直径，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，扇形面积公式，弧长公式，邻补角等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．连接，，由题意得，，可知为的中位线，则，，根据，得到，再根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：连接，，如图， ∵， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 二、解答题 11．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，在中，以边为直径的与边相切于点，与边相交于点，． (1)求的度数． (2)若的半径为，则的长为______．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行四边形的性质，切线的性质，圆周角定理，扇形的弧长公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，由平行四边形的性质得，由切线的性质得，则，又，则 ，即可求得； （）利用扇形的弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接，则， ∵与边相切于点， ∴ ， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵的半径为，， ∴的长为， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，以边为直径的与边相切于点，与边相交于点，． (1)求的度数． (2)若的半径为4，则的长为_____．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行四边形的性质、切线的性质、三角形内角和定理、扇形的弧长公式． （1）连接、，由平行四边形的性质得，由切线的性质得，则，，则，即可求得； （2）由已知利用扇形的弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接、，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵与边相切于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵的半径为4，， ∴的长为． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 规定：圆心角相等的两个扇形叫做相似扇形，例如两个半圆就是相似扇形，类似地，还有两个圆…． (1)如图1，已知扇形（O为圆心），请以点为圆心，为半径，作扇形的相似扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）； (2)①“半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形”是 命题（填“真”或“假”）． ②如图2，扇形、是相似扇形，点P是上一点，且点P在的垂直平分线上，，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①真，② 【分析】（1）以点为圆心，以长为半径画弧，作，角的一边交弧于点，扇形即为所求作； （2）①是真命题；②设，则，根据线段垂直平分线性质得，得，得，根据内角和得，解得，代入扇形面积公式计算即得． 【详解】（1）如图扇形即为所求， （2）解：①“半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形”是真命题； 故答案为：真； ②解：如图，连接BC， ∵扇形是相似扇形， ∴， ∴， 设， 则， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了新定义——相似扇形．熟练掌握新定义，基本作图——作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，扇形面积公式，是解题的关键． 14．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)画出绕点B逆时针旋转后得到的，并求出旋转到扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查作图-旋转变换、勾股定理、扇形面积的计算； （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可；利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． 由勾股定理得，， ∴旋转到扫过的面积为． 地 城 考点10 圆锥问题相关计算 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中期末）如图，用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，母线长为，则这个扇形的圆心角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为，母线长为， ∴解得， 即扇形的圆心角为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 二、填空题 2．（24-25九年级上·山西临汾期末）如图所示，在矩形中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若点E是的中点，，则扇形所围成圆锥的底面半径为 ． 【答案】1 【分析】根据矩形，得到,结合点E是的中点，得到，得到，结合矩形性质，得到，根据公式计算即可，本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数，弧长公式，圆锥侧面展开，熟练掌握公式，特殊角的三角函数，侧面展开是解题的关键． 【详解】∵矩形， ∴,， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 设圆锥的底面半径为r， 根据题意，得， 解得， 故答案为：1． 3．（24-25九年级上·山西运城期末）如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号）    【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，解直角三角形．把圆锥的侧面展开得到圆心角为，半径为60的扇形，求出扇形中的圆心角所对的弦长即为最短路径． 【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过作， ∴， 设， 即：， 得：， ， ， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，用圆心角为，半径为16的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． 求出扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：扇形的弧长， 圆锥的底面半径为． 故答案为：． 二、解答题 5．（24-25九年级上山西阳泉·期末）如图，正六边形的边长为6，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的高． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角，圆锥的侧面展开图的弧长与底面圆的关系，母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形的关系，弄清弧长与圆锥的底面圆的周长的关系及母线、底面圆的半径和高的关系是解题的关键．根据正六边形的内角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长就是弧的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，再求解即可． 【详解】解：∵正六边形的边长为6， ∴， ∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图． ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆 10大高频考点概览 考点01 点与圆的位置关系 考点02 弦、弧、圆心角的关系 考点03 垂径定理 考点04 圆周角定理 考点05 圆内接四边形 考点06 直线与圆的位置关系 考点07 切线的性质与判定 考点08 正多边形与圆 考点9 扇形的弧长与面积 考点10圆锥问题相关计算 地 城 考点01 点与圆的位置关系 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西太原 期末）已知的半径是3，，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．不能确定 2．（24-25九年级上·山西晋中 期末）已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西吕梁 期末）点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西临汾 期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 5．（24-25九年级上·山西运城 期末）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（   ） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 地 城 考点02 弦、弧、圆心角的关系 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（   ） A．3 B．6 C．6 D．6 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列说法正确的是（　　） A．相等的圆周角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．平分弦的直径一定垂直于弦 D．任意三角形一定有一个外接圆 4．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，的弦、相交于点，，为，则 °． 地 城 考点03 垂径定理 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 4．（24-25九年级上·山西运城·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为16米，水面到运行轨道最低点的距离为4米，则的半径为 米．    5．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）如图，是的直径，点、在上，且，垂足为．若，，则 ．    三、解答题 6．（24-25九年级上·山西忻州·期末）某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚．如图，这是蔬菜大棚的截面，形状为圆弧型，圆心为O，跨度（弧所对的弦）的长为8米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米．求该圆弧所在圆的半径． 地 城 考点04 圆周角定理 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，是的直径，C、D是上两点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，为的直径，点，在上，，，则的长为（    ） A．5 B． C． D．10 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，点，，在上，连接，，，．若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 4．（23-24九年级上山西大同·期末）如图， ，，，是上的四个点，已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上山西阳泉·期末）如图，三位同学站在以足球门为弦的圆上踢足球，点 都在圆上，小明站在 点，小强站在 点，小宁站在 点，对于小明、小强、小宁踢进足球球门，下列说法正确的是（     ） A．小明踢进足球的可能性最大 B．小强踢进足球的可能性最大 C．小宁踢进足球的可能性最大 D．三位同学踢进足球的可能性一样大 二、填空题 6．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，．点是内部一点，且，连接，则长的最小值为 ． 7．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为 ． 8．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，的直径，弦的两个端点（不与，重合）在半圆上滑动，、的延长线交于点，，连接、． 以下四个结论： ①； ②若，则是等边三角形； ③； ④面积的最大值为． 其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 9．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，是圆O的直径．C，D为圆O上两点，且平分，连接，，若，则的度数为 ． 10．（24-25九年级上山西吕梁期末）如图，点在圆上，，点为的中点，的值为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读以下材料，并完成相应的任务． 定义：若三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长的积等于这个点与该边所对顶点之间的距离的平方，则称这个点为三角形中该边的“中顶点”． 例：如图（1），在中，点在上，若，则点为中边的中顶点． 任务： (1)如图（2），的三个顶点是的正方形网格的格点（网格线的交点），请用无刻度的直尺作出中边的一个中顶点，且点不是格点． (2)如图（3），内接于，点是中边的中顶点，连接并延长，交于点． ①求证：点是的中点． ②若的半径为5，，，与过点的切线垂直，垂足为点，求的长． 12．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在中，直径与弦交于点，连接，其中，． (1)求的值； (2)若，请直接写出的长． 13．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应任务． ×年×月×日    星期日   晴 “婆罗摩笈多定理”的拓展与思考 今天，我在一本数学杂志上看到一篇介绍印度数学家“婆罗摩笈多”的文章，文章转述了婆罗摩笈多在算术、不定方程、几何等内容上的伟大成就，其中还记载了以他的名字命名的一个定理，定理的内容与证明过程如下： 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．即在如图1所示的圆内接四边形中，，垂足为，过点作，垂足为．延长与交于点，则． 下面是该定理的证明过程． 证明：，垂足为．，垂足为． ． ，． ． 与都是所对的圆周角， ．（依据1） ． ． ．（依据2） 同理，． ． 看了上面定理的证明过程后，我作出了如下拓展探究： 如图2，若弦与所在直线互相垂直，且相交于外一点，过点作，垂足为，与相交于点，则与仍然相等． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指_______，依据2是指_______． (2)小宇在拓展探究中得出的结论是否正确？请利用图2说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，过点作，垂足为．延长交于点．连接．若，．请直接写出的长． 14．（23-24九年级上山西太原·期末）请阅读下面的材料，并解答问题． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就，他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》，婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，其中有著名的婆罗摩笈多定理．婆罗摩笈多定理：圆的内接四边形的对角线与垂直相交于M，过点M的直线与边分别相交于点F、E．则有下两个结论： 如果，那么； 如果，那么． 数学课上，赵老师带领大家对该定理的第一条进行了探究． 证明：， ，即， ， ， 在中，， …… 请解答以下问题： (1)请完成所给材料的证明过程； (2)请证明结论（2）； (3)应用：如图圆O中，半径为4，A，B，C，D为圆上的点，，连接交于点F，过点F作于E，延长交于G，则的长度为______． 地 城 考点05 圆内接四边形 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西·长治 期末）如图，四边形内接于，连接，，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（4-25九年级上·山西·临汾 期末）如图，四边形是的内接四边形，，若，则弦的长为（   ） A． B． C． D． 3．（4-25九年级上·山西大同 期末）如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（4-25九年级上·山西·吕梁 期末）如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（4-25九年级上·山西·晋中 期末）如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山西忻州 期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点06 直线与圆的位置关系 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，四边形是的内接四边形，且，连接并延长交的切线于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（124-25九年级上·山西阳泉·期末）若圆心到直线的距离等于的半径，则直线与的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 3．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知线段，则平面内与点的距离为5，且与点的距离为6的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 二、填空题 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，是的直径，过点D的切线与的延长线相交于点，且，则的度数为 ． 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是 ． 地 城 考点07 切线的性质与判定 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西朔州·期末）如图，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，是的切线，B是切点，连接，．若，，，则的长是（   ） A．3 B． C． D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，的切线交的延长线于点，若，，则的长是 ． 三、解答题 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，是的直径，点是圆上一点，弦平分，交于一点，延长到点，连接，使得． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 5．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，是的直径，过圆上点的直线交延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，连接并延长交的切线于点F． (1)求证：． (2)若，，求的长． 7．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，以的中点为圆心，为半径作圆，与交于点，连接，过点作的切线交于点．当时，求证：． 8．（24-25九年级上·山西运城·期末）阅读与思考 直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线．切线：几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线．平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线… 证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理来证明． 添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直． 图1是古代的“石磨”，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”然后带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图2是一个“双连杆”，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，，垂足为O，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，当点B恰好落在上时，，请判断此时与的位置关系并说明理由． 小王的解题思路如下：与相切． 理由：连接． ∵点B恰好落在上， ．（依据1） ， ． ， ， ． ，（依据2） ， ∴与相切． 任务： (1)依据1：_____________________________． 依据2：________________________________． (2)在图2中，的半径为6，，求的长． 地 城 考点08 正多边形与圆 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，正六边形内接于．若，则的直径为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）以半径为2的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（    ） A．不能构成三角形 B．这个三角形是等腰三角形 C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是钝角三角形 4．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，点A是的中点．若∠D＝110°，则∠AEB的度数是(         ) A．30° B．35° C．50 D．55° 二、填空题 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，正五边形内接，点F是的中点，连接，于交于点G，则的度数是 ． 三、解答题 6．（24-25九年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 托勒密定理 希腊著名天文学家托勒密（Ptolemy）重要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，书中提出了著名的托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和（图1）， 即． 证明如下： 如图2，在上取一点，连接，使． 又（理由：___▲___）， ， ， ①．……，②． 由①②，得， 即． 启发：如图3，内接正五边形的边长为1，求对角线的长． 任务： (1)研究报告中，“▲”处空缺的内容：_____； (2)将“……”处的证明过程补充完整； (3)材料“启发”中，对角线的长为_____． 地 城 考点09 扇形的弧长与面积 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在边长为2的菱形中，对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画，若点恰好在上，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在小正方形的顶点上，以点B为圆心，2为半径画弧，与网格线交于点C，则经过点B的的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在边长为的正方形中，对角线与交于点，分别以，，，为圆心，，，，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，正八边形内接于，若的半径为2，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 7．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，一扇形纸片的圆心角为，半径为3．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为，图中阴影部分为重叠部分，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山西大同·期末）小文在假期旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞（如图），她对这个门洞进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为2.4m，门洞最底部的两个端点A，B和圆弧上一点C构成的，则这个门洞的圆弧长为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，等边三角形的边长为6，点，，分别为边，，的中点，分别以，，为圆心，，，为半径作弧，得到如图所示的图形．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，是半圆的直径，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 11．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，在中，以边为直径的与边相切于点，与边相交于点，． (1)求的度数． (2)若的半径为，则的长为______．（结果保留） 12．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，以边为直径的与边相切于点，与边相交于点，． (1)求的度数． (2)若的半径为4，则的长为_____．（结果保留） 13．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 规定：圆心角相等的两个扇形叫做相似扇形，例如两个半圆就是相似扇形，类似地，还有两个圆…． (1)如图1，已知扇形（O为圆心），请以点为圆心，为半径，作扇形的相似扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）； (2)①“半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形”是 命题（填“真”或“假”）． ②如图2，扇形、是相似扇形，点P是上一点，且点P在的垂直平分线上，，求扇形的面积． 14．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)画出绕点B逆时针旋转后得到的，并求出旋转到扫过的面积． 地 城 考点10 圆锥问题相关计算 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中期末）如图，用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，母线长为，则这个扇形的圆心角的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25九年级上·山西临汾期末）如图所示，在矩形中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若点E是的中点，，则扇形所围成圆锥的底面半径为 ． 3．（24-25九年级上·山西运城期末）如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号）    4．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，用圆心角为，半径为16的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是 ． 二、解答题 5．（24-25九年级上山西阳泉·期末）如图，正六边形的边长为6，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的高． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $