精品解析：吉林省长春吉大附中实验学校2025-2026学年高二上学期数学大练习（4）

长春古大附中实验学校“智慧精于设计，勤奋善于世实” 高二数学学科大练习试卷 （2025-2026学年上学期） 一、单项选择题（本大题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）． 1. 过，两点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点间斜率公式可得斜率，再由倾斜角与斜率关系可得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，所以， 因，所以， 故选：A. 2. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 3. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为 D. 若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】A直线与平面平行，需满足直线方向向量与平面法向量垂直且直线不在平面内，据此可得答案. B注意到当时不满足题目描述； C由投影向量计算公式可判断选项正误； D两向量夹角为钝角，需满足两向量数量积小于0，且两向量不共线，据此可判断选项正误. 【详解】A选项，注意到，但选项信息无法判断直线是否在平面内，故A错误； B选项，注意到当时，若，则不存在，使，故B错误； C选项，在上的投影向量为， 故C正确； D选项，向量，的夹角为钝角，则且不共线， 得，故D错误. 故选：C 4. 一条沿直线传播的光线经过点和，然后被轴反射，则反射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出关于轴的对称点坐标，由这两个对称点在反射光线所在直线求得直线方程． 【详解】由题意两点关于轴的对称点分别为，， 直线方程，即即为反射光线所在直线方程． 故选：C． 5. 两平行直线与之间的距离是，则（　　） A. -2 B. -12 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两直线平行的条件（），判断两直线平行求出，再由两平行直线间的距离公式求出，即可. 【详解】因直线与平行， 所以，即，得：， 将变形为：， 则直线与之间的距离是， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以. 故选C. 6. 已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A. 3 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】整理直线方程得到直线经过定点，当时，此时点到动直线的距离最大，由两点的距离公式求出最大距离. 【详解】直线方程可以整理为， 令，解得，即直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大距离为. 故选：D. 7. 若直线：与直线：交点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 8. 在棱长为1的正方体中，若点E是线段AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足，则线段AM的长的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由可得点的轨迹方程，从而由平面知识即可求出线段AM的长的最小值． 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，， 所以，由可得，即，所以线段AM的长的最小值为． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在各小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组向量，能构成空间基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ACD 【解析】 【分析】能构成空间基底，则这三个向量不共面，判断向量是否共面，即可得. 【详解】A：设存在实数使得，则，即无解，所以向量不共面，能构成空间基底，对； B：由坐标运算得，即共面，不能构成基底，错； C：设存在实数使得，则，即无解，所以不共面，能构成空间基底，对； D：设存在实数使得，则，即无解，所以不共面，能构成空间基底，对. 故选：ACD 10. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论正确的是（ ） A. l的倾斜角等于 B. l在x轴上的截距等于 C. l与直线垂直 D. l上不存在与原点距离等于的点 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意先将直线的方程求出来；对于A，由直线斜率与倾斜角的关系即可判断；对于B，在直线方程中令，求出的值即可判断；对于C，判断两直线斜率之积是否为即可；对于D，算出原点到直线l的距离即可判断. 【详解】因为直线l的一个方向向量为， 所以直线l斜率为， 又l经过点， 所以直线l的方程为：，整理得. 对于A，由于直线l的斜率为，所以其倾斜角为，故A选项不正确； 对于B，在直线方程中令，解得， 所以l在x轴上的截距等于，故B选项不正确； 对于C，将直线方程变形得，所以其斜率为， 又直线l的斜率为，所以， 所以l与直线垂直，故C选项正确； 对于D，由于原点到直线的距离为， 这表明了原点到直线上的任意一点的距离至少是， 因为，所以，，即， 因此l上不存在与原点距离等于的点，故D选项正确. 故选：CD, 11. 已知正方体的棱长为，，，其中，，则下列说法中正确的有（ ） A. 若平面，则 B. 若平面，则 C. 存在，，使得 D. 存在，使得对于任意的，都有 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，根据共面向量定理可判断选项A，利用直线方向向量和面法向量垂直可判断线面平行，可判断选项B，通过向量求得模长，根据条件判断方程是否有解，可判断C，向量数量积为，可判断D. 详解】 以为原点，所在直线为建立空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为， 面为点，. 设， 又, 又因为点面， 所以若平面，则，故A正确. 面的法向量， , , , 平面,， ，故B错误. , 若,, , , 令， 易得， ， ， 在无解，故C错误. ,, ,故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是__________. 【答案】． 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，，由斜率与倾斜角关系得到不等式，再结合正切函数的图象性质即可得解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，因为，所以， 如图，根据正切函数的图象性质，可得直线的倾斜角. 故答案为：. 13. 设，若点在线段上，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围，即可由两点斜率公式求解. 【详解】直线的倾斜角与斜率 如图，，则原问题可转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围． 连接，则， 当的倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率由增大至正无穷； 当的倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率由负无穷增大至．所以3或． 故答案为： 14. 正三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可. 【详解】因为正三棱柱中，为的中点， 取中点，连接，如图， 以为原点，，，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 因为是棱上一动点，设，且， 因为，所以， 于是令，. 所以，. 又因为函数在上为增函数， 所以当时， 即线段长度的最小值为 当时，， 即线段长度的最大值为， 所以线段长度的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共2小题，共27分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线的方程为． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点的直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将直线方程整理为关于参数的表达式，利用其对任意恒成立的条件，即可证明直线过定点； （2）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然后求出对应三角形的周长即可. 【小问1详解】 由可得，， 令所以直线过定点． 【小问2详解】 由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为， 令，得；令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 16. 如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见详解； （2）； （3）存在，或. 【解析】 【分析】（1）证明即可判定线面垂直； （2）建立空间直角坐标系研究面面夹角即可； （3）利用空间向量研究线面角即可. 【小问1详解】 底面中，已知，，， 由余弦定理得， 所以， 又平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知三直线两两垂直，可以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面与平面的法向量分别为， 则有 及， 取，取， 即， 设平面与平面的夹角为，则； 【小问3详解】 假设存在，不妨设，由（2）可知， 则， 设与平面所成角为， 则， 解之得或，即存在M符合题意，此时或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春古大附中实验学校“智慧精于设计，勤奋善于世实” 高二数学学科大练习试卷 （2025-2026学年上学期） 一、单项选择题（本大题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）． 1. 过，两点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 3. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为 D. 若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 4. 一条沿直线传播光线经过点和，然后被轴反射，则反射光线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 两平行直线与之间的距离是，则（　　） A. -2 B. -12 C. 12 D. 14 6. 已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A. 3 B. C. D. 5 7. 若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为1的正方体中，若点E是线段AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足，则线段AM的长的最小值为（ ） A B. C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在各小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组向量，能构成空间基底的是（ ） A ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 已知直线l一个方向向量为，且l经过点，则下列结论正确的是（ ） A. l的倾斜角等于 B. l在x轴上的截距等于 C. l与直线垂直 D. l上不存在与原点距离等于的点 11. 已知正方体的棱长为，，，其中，，则下列说法中正确的有（ ） A. 若平面，则 B. 若平面，则 C. 存在，，使得 D. 存在，使得对于任意的，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是__________. 13. 设，若点在线段上，则的取值范围是______． 14. 正三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的取值范围为___________． 四、解答题：本题共2小题，共27分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线方程为． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点的直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长． 16. 如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $