精品解析：吉林珲春市第二高级中学校2025-2026学年高二上学期第一学程考试数学试卷

2025-2026学年度高二上学期第一学程考试 数学试题 命题人：金然花 审题人：李美花 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题（共8题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在长方体中，等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 的斜二测直观图如图所示，则的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 在新冠疫苗试验初期，某居民区有5000人自愿接种了新冠疫苗，其中60~70岁的老年人有1400人，16~19岁的中学生有400人，其余为符合接种条件的其它年龄段的居民.在一项接种疫苗的追踪调查中，要用分层抽样的方法从该居民区5000名接种疫苗的人群中抽取部分人作为样本进行追踪调查，已知老年人中抽取了14人，则从其余符合接种条件的其它年龄段的居民中抽取的人数为（ ） A. 14 B. 18 C. 32 D. 50 5. 已知，，若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. [2024湖南湘潭高一检测] 6. 已知事件与事件互斥，记事件为事件对立事件.若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.8，则该系统的可靠性（3个开关只要一个开关正常工作即可靠）为（ ） A. 0.504 B. 0.994 C. 0.996 D. 0.964 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 已知空间向量，则（ ） A. B. 向量是共面向量 C. D. 11. 已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 棱台的侧面积为 B. 棱台的高为 C. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为 三、填空题（共3题，每小题5分.把正确答案填写在横线上） 12. 管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中，10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条. 根据以上收据可以估计该池塘有__________条鱼. 13. 已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则__________. 14. 设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______． 四．解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 16. 已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. （1）求丙投篮命中的概率； （2）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； （3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率. 17. 四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． （1）设向量，，，用、、表示向量、； （2）求证：、、 三点共线． 18. 某地为了解居民可支配收入情况，随机抽100人，经统计，这100人去年可支配收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为. （1）求，的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在内的概率. 19. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2. （1）求四棱锥的体积； （2）证明： （3）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二上学期第一学程考试 数学试题 命题人：金然花 审题人：李美花 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题（共8题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在长方体中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量的加减结合相反向量的运算可得答案. 【详解】 故选：A 2. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由纯虚数的定义得出实数. 【详解】，因为复数是纯虚数，所以，且，解得. 故选：B 3. 的斜二测直观图如图所示，则的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，再计算原图形的面积即可. 【详解】由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示： 故的面积为. 故选: D 4. 在新冠疫苗试验初期，某居民区有5000人自愿接种了新冠疫苗，其中60~70岁的老年人有1400人，16~19岁的中学生有400人，其余为符合接种条件的其它年龄段的居民.在一项接种疫苗的追踪调查中，要用分层抽样的方法从该居民区5000名接种疫苗的人群中抽取部分人作为样本进行追踪调查，已知老年人中抽取了14人，则从其余符合接种条件的其它年龄段的居民中抽取的人数为（ ） A. 14 B. 18 C. 32 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】按照抽样比，即可计算结果. 【详解】由条件可知，其余符合接种条件的其它年龄段的居民人数为， 设其余符合接种条件的其它年龄段的居民中抽取的人数为. 故选：C 5. 已知，，若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量夹角的向量表示及向量共线求解即可. 【详解】由题意可知且向量，不共线， 则，解得且， 所以实数的取值范围为. [2024湖南湘潭高一检测] 6. 已知事件与事件互斥，记事件为事件对立事件.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，从而，利用对立事件概率公式即可求解. 【详解】因为事件与事件互斥，所以， 所以. 故选：B 7. 如图所示，表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.8，则该系统的可靠性（3个开关只要一个开关正常工作即可靠）为（ ） A. 0.504 B. 0.994 C. 0.996 D. 0.964 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意可知，当三个开关都不正常工作时，系统不可靠，再根据对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式即可求出． 【详解】由题意知，所求概率为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于容易题． 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式将化简得到，利用余弦定理和正弦定理将化简可得，进而求出结果. 【详解】因为，所以， 所以，即， 又，所以， 所以，所以. 因为， 由余弦定理得， 即， 又，所以，所以， 由正弦定理得，所以. 设的外接圆的半径为， 所以，解得， 所以的外接圆的面积为. 故选：B. 二、多项选择题（共3题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】用空间几何中线、面平行与垂直的判定定理与性质，构造反例来排除错误选项即可. 【详解】若，，则或m与n相交或m与n异面，选项A错误; 若，，则，选项B正确; 若，，则或α与β相交，选项C错误; 若，，则或，又，则，选项D正确. 10. 已知空间向量，则（ ） A. B. 向量是共面向量 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以共面，B正确； ，所以，C正确； ，D错误. 11. 已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 棱台的侧面积为 B. 棱台的高为 C. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意作正三棱台，在平面中由点向作垂线，垂足为，取线段的中点，连接，在平面中由点向作垂线，垂足为，连接，从而得到侧面的高与棱台的高，从而求得． 【详解】由题意作右图正三棱台，在平面中由点向作垂线，垂足为， 取线段的中点，连接，在平面中由点向作垂线，垂足为，连接， 在等腰梯形中，，，， 则，， 故棱台的侧面积为，故正确， 又三棱台为正三棱台， 所以为棱台的高，在中，，， 在△中，，故错误， 棱台的侧棱与底面所成角为，，故正确， 棱台的侧面与底面所成锐二面角为，，故错误， 故选：． 三、填空题（共3题，每小题5分.把正确答案填写在横线上） 12. 管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中，10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条. 根据以上收据可以估计该池塘有__________条鱼. 【答案】750 【解析】 【分析】利用抽样比，即可得到答案； 【详解】设池塘有条鱼，则， 故答案为：750 13. 已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即得. 【详解】单位向量两两夹角均为，则， 所以 . 故答案为： 14. 设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值. 【详解】， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 四．解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得 ， 所以向量与夹角的余弦值为 . 16. 已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. （1）求丙投篮命中的概率； （2）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； （3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先设甲，乙，丙投篮命中分别为事件，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，根据公式，即可求解； （3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根据概率的运算公式，即可求解. 【小问1详解】 设甲投篮命中为事件，乙投篮命中为事件，丙投篮命中为事件， 由题意可知，，，， 则，, 所以丙投篮命中的概率为； 【小问2详解】 甲和乙命中，丙不中为事件， 则， 所以甲和乙命中，丙不中的概率为； 【小问3详解】 甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件， 则, 17. 四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． （1）设向量，，，用、、表示向量、； （2）求证：、、 三点共线． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得． 【小问1详解】 因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； 【小问2详解】 因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 18. 某地为了解居民可支配收入情况，随机抽100人，经统计，这100人去年可支配收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为. （1）求，的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在内的概率. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及百分位数求解即可. （2）结合二项分布及概率加法公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图，可得，则①， 因为居民收入数据的第60百分位数为， 所以 ，即②， 将①与②联立，解得. 所以平均值为. 【小问2详解】 由题意知，居民可支配收入在内的概率为. 则抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在内的概率为 . 19. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2. （1）求四棱锥的体积； （2）证明： （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明为二面角的平面角，可得底面为正方形，利用锥体的体积公式计算即可； （2）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明； （3）由平面可得为直线与平面所成的角，计算其正弦值即可. 【小问1详解】 解：∵是边长为2的正三角形，为中点，∴， 又∵平面平面，平面平面 ∴平面 又平面，∴ ∴为二面角的平面角， ∴ 又，∴∴底面为正方形. ∴四棱的体积. 【小问2详解】 证明：由（1）知，平面，平面， ∴ 在正方形中，易知 ∴ 而， ∴∴ ∵，∴平面 ∵平面， ∴. 【小问3详解】 设，连接，. ∵平面. ∴为直线与平面所成的角 ∵，∴， ∴ 又， ∴ ∴直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $