专题05 函数单调性、奇偶性、周期性、对称性（期末专项训练，24大题型140题）高一数学上学期人教A版

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05函数单调性、奇偶性、周期性、对称性 题型归纳·内容导航 题型13用定义法证明抽象函数的奇偶性（重 题型1求函数的单调区间（重点） 点) !题型2根据解析式直接判断函数的单调性（常考 题型14已知函数或判断函数的奇偶性求值（常 点) 考点) 题型3复合函数的单调性（重点） 题型15最大值+最小值及f(a)+f(-a)(常考点) 题型4用定义法证明函数的单调性（重点） 题型16由奇偶性求函数解析式（常考点） 题型5已知函数单调性求参数（常考点） 题型17由奇偶性求参数（常考点） 题型18由函数单调性+奇偶性解不等式（难 题型6根据函数的单调性解不等式（重点） 点) 题型7比较函数值的大小关系（重点） 题型19函数的周期性及应用（难点） 题型8利用函数单调性求最值或值域（重点） 题型20函数的对称性及应用（难点） 题型9根据函数的最值求参数 题型21函数的奇偶性+周期性及应用（难点） 题型10恒成立问题（难点） 题型22函数的奇偶性+对称性及应用（难点） 题型11能成立（有解）问题（难点） 题型23函数的周期性+对称性及应用（难点） 题型12用定义法证明具体函数的奇偶性（重点） 题型24函数的性质综合应用（难点） 题型通关·靶向提分 题型一求函数的单调区间（共5小题） 1.(25-26高一上安徽阜阳月考)函数f(y)K,+1的单调递减区间为() 3 A.(-0,2 B.(2,+0) C.(1,+0) D.(-0,1] 2 (25-26高一上·安徽·期中)已知函数f(x)=x2x-3,若f(x)在区间1上单调递减，则区间I可能为 3 A B.(2,4) C. ,+0 33 D 2 4'2 1/22 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(24-25高一上·吉林长春期中)函数f(x)=(1-x)|2-x的单调递增区间为() c.（0 3 3 D.+o) 4,(24-25高一上·浙江杭州期中)函数r=∫(p)的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是 im 6 A.[-5,0H2,6)和[-5，U[2,6] B.【-5,0小U[2,6)和[-5,0]H2,6] c.[-5,0]H2,6)和(-5,0)U(2,6) D.[-5,0][2,6)和(-5,0)，(2,6) 5.(23-24高一上河北石家庄·期中)如图为函数y=f(x),x∈[-4,4的图象，则函数f(x)的单调递增区 间为() 42方，0水23 A.(-2,4] B.(（-2,0)U(0,4C.(-1,0),(1,4] D.（-2,0),(0,4] 题型二根据解析式直接判断函数的单调性（共4小题） 6.(24-25高一上·安徽蚌埠期末)下列既是奇函数，又是增函数的是() A.f(x)=x+B.f(x)=x-1 C.f(x)=x3 D.f(x)=x 7,（24-25高一上·天津河北期末)下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（) A.y=vx B.y=-1 C.y=x3 D.y=sinx 8.(24-25高一上·北京·期末)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+0)上单调递减的是() 2/22 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.y=x B.y=logxl C.y=2 D.y=x2 、 9.(24,25商-上广东江门期未)已知函数1()=-2，则f)《) A.是偶函数，且在[O,+o)上是减函数B.是偶函数，且在R上是增函数 C.是奇函数，且在O,+∞)上是增函数D.是奇函数，且在R上是减函数 题型三复合函数的单调性（共4小题） 10.(24-25高一上江苏苏州期末)函数f(x)=Vx2-1的单调递减区间为() A.（-00,-1] B.(-0,0] c.[0,+o) D.[1,+∞) 1,(24-25高-上安徽期中)已知函数()-3x-4' 1 则f(x)的单调递减区间为 12.(25-26高一上·福建漳州期中)函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间为() A.（-1,1) B.（-0,1) C.(1,+o) D.(1,3) 13.（24-25高一上甘肃甘南期未)函数f)=1ogsm2x-+} -62 的单调递增区间为() A.a号ake2) B. （_元+m,+元(k∈Z) (6 3 c.[a径ae D.61 g+km(k∈Z) 3 题型四用定义法证明函数的单调性（共5小题） 2 14.(24-25高-上广东广州期末)已知函数f()=3+1a(aeR. (1)是否存在实数a,使函数f(x)为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由： (2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明. 15.(25-26高一上全国期未)己知函数f)2x+b是定义在[-1，a+]上的奇函数. x2+a (1)求f(x)的表达式； (2)判断f(x)在区间[-1，a+b]上的单调性，并证明你的结论. 16.(24-25高一上江苏南通期末)已知函数f(x)=1og2(1-x)-log2(1+x), 3/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)判断f(x)的奇偶性，并证明； (2)判断∫(x)的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； 3)任意x∈ 5(xs3m-m,求实数m的所有整数解 23 17.(24-25高一上江苏无锡期末)己知函数f09=10g,1-是奇函数， x-1 (1)求a的值； (2)判断函数f(x)在(1，+o)上的单调性，并用定义证明； 3)若不等式f(2+1)+f(2+1)>log(m(2-2)月对x∈(0，+o)恒成立，求实数m的取值范围. 18（2425高-上潮商长沙期未)已知f)-，8x)-e+。 2 1)证明：[8(x)]-[f(x)]=1; (2)判断并用定义证明f(x)的单调性； (3)若函数F(x)=2mg(2x)-2f(x)-3的图象在区间[0，ln2]上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 题型五已知函数单调性求参数（共8小题） 19.(25-26高一上云南昭通期中)设函数f(x)=3-在区间(-1,1)上单调递减，则a的取值范围是 () A.(-0,-2] B.[-2,0) c.(0,2] D.[2,+oo) 20.(（24-25高一上江苏盐城期末)已知f()=x2-(2a-1x+1,对x,x∈，+o)都有f)-f(x1 X-x 成立，则实数a的取值范围是() A.[1,+∞) B.(-0,] C.[2,+0) D.(-∞，2] 21.(24-25高一上江苏常州期末)设函数f(x)=log2(3+ac-x)在区间(2,3)上单调递减，则实数a的取 值范围是 22.(24-25高一上·湖北荆州·期未)已知函数y=Vx2-m+8在区间1,2]上单调递减，则a的取值范围是 () 4/22 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.[6,+oo) B.（-0,4] C.（-o,4U[6,+∞) D.[4,6] 23.(24-25高一上云南昆明期末)已知函数f(x)=1og1x+0 4在(4，+o)上单调递减，则实数a的取 3 x 值范围是() A.（-n,0) B.[-2,4] c.[0,16] D.[16,+o) a,x<0 24.(25-26高一上·重庆九龙坡期中)已知函数f(x)= (a-2)x+2a,r≥0是R上的减函数，则实数a的 取值范围是() A.(0,1) c.( D.(1,2) -x2-2a-a,x<0 25.(25-26高一上山东菏泽·月考)已知函数f(x)= e+n(x+1,x≥0在R上单调递增，则a的取值范 围是() A.(-0,0] B.[-1,0] c.[-1, D.[0,+o) -x2-a,x≤2 26.(25-26高一上·福建三明·月考)已知函数f(x)= a+16x >2满足对定义域内任意实数5≠5，都 有三》-f)0成立，则实数a的取值范围是() X2-1 A.[-4,-2] B.[-8-4 c.(-0,-4] D.(-0,-0] 题型六根据函数的单调性解不等式（共4小题） 27.(24-25高一上江西南昌·期末)已知f(x)= x2+x,x20 -x+x,x<0' 则不等式f(f(x)<6的解集为() A.(2,+n) B.(1,+0) C.（-0,2) D.（-o,1) 28.(24-25高一上·浙江温州期末)定义在R上的奇函数f(x)在[0，+0)上递增，且f(1)=2,则满足 -2≤f(x)≤0的x的取值范围是」 29.(24-25高一上北京西城期未)已知函数f9)=F-1，若f心)-ft+)<0,则实数t的取值范 5/22 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 围 30.（24-25高一上·甘肃期末)己知函数f(x)的定义域为R,对于任意的x,x,当x<x2时，有 fs)f,-1,且f-1,则不等式f(log:3-)<2-lg:3-l的解集为(） X1-X2 A.(1,+) B.(-0,1 c.(-1,0)U(0,3 D.(-0,0)U(0,1) 题型七比较函数值的大小关系（共7小题） 31,(24-25高一上·甘肃平凉·期末)己知偶函数f(x)在区间(-0,0]上单调递减，则下列关系式中成立的 是() 20 cm<副 322425离-上广面玉林期末)已知强发倒=。上，设ae,2小6mcf 则a,b,c的大小关系是() A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.a<c<b 3.2425商一上天津期末)已知函数f=3-士，设a=fg,),b=)c=f 则a,b,c 的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 4(24-25高一上江苏泰州期末)已知函数fc。若a=tam7T,6am136，c=an24 则() A.f(a)<f(c)<f(b) B.f(b)<f(c)<f(a) C.f(b)<f(a)<f(c) D.f(c)<f(b)<f(a) 35.(24-25高一上广东清远期末)已知f(x)=1g,设a=f(1og5),b=f(3°)，c=f(0.25）,则 () A.a<c<b B.c<a<b 6/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.b<a<e D.b<c<a 36.(24-25高一上·四川宜宾期末)己知 f(x)=x(e*-e")+Inxa=f(0.704).b=f(log,11).c=f(log,() A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 37.(24-25高一上浙江衢州期末)己知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x),g(x)在(-0,0上单调递增，则下列不等关系恒成立的是() A.g(g(1)>g(g(2) B.g(f(1)<g(f(2) c.f(g(1)>f(82) D.f(f()>f(f(2) 题型八利用函数单调性求最值或值域（共7小题） 38.(25-26高一上北京顺义期中)函数f(x)=2"+4"() A.有最大值，也有最小值 B.没有最大值，有最小值 C.有最大值，没有最小值 D,没有最大值，也没有最小值 39.(25-26高一上四川德阳期中)若函数f)的值域是(2，+n),则函数F()=fx)+西的值域是 () 5 A.[2,+o) B C.（2,+0) D. 40.（25-26高一上·江苏扬州期中)函数y=2x-V1-x的值域为(). A.（-∞，2] B.[2,+o) C.(0,2] D.[0,2] 41.（25-26高一上全国课前预习)已知函数f(y)-V3-x+Vx+3的最大值为M,最小值为m,则 m () A.√2 B.5 C.2 D.3 42.(25-26高一上江苏镇江·期中)已知函数f(x)=2,定义域为[1,4].则y=3f(x)-f(2x)的值域为 () 7/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.[-4,2] B.[-208,2] D. 43.(24-25高一上·全国课后作业)函数f(x)=1-1ogo5(2x)在区间2,4]内的最大值为() A.1 B.2 C.4 D.8 44.(24-25高一上浙江杭州期末)若函数fy=-46>a>0的定义域为[a,b],值域为 2a-5,26-5 2则a+b等于() A B.2 C.5 D,6 题型九根据函数的最值求参数（共5小题） 45,(23-24高一上河南新乡期末)若函数f(x)=1og3a(a>0且a≠1)在[-1,2]上的值域为[m,2],则m 的值为() A.-4或-1 B.0或-2 C.-2或-1 D.-4或-2 46.(2526高一上广东东荒月考)己知函数)-方-x-5在-1m上的最大值为m,则m () A.-2 B.2 C.5 D.7 -x+2a,x≤4 47.(25-26高一上广东惠州·月考)设f(x)= ,r>4,若f(x)的值域是[f(4)+o)，则实数a的 取值范围是() A.-,2 9 91 B. -00. c得 9 D. 48.(24-25高一上河北承德期末)已知函数f(x)=1og3x,x∈[0.027,0.3]，则函数 gy-U-f)-3的值城为 f(x) 49.(25-26高一上·重庆沙坪坝期中)已知a∈R,函数f(x)=2+22--a+a在区间[0,2]上的最大值是 5,则a的取值范围是 8/22 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型十恒成立问题（共5小题） 50.(24-25高一上北京海淀期末)已知函数f)=x+“(c>0).若f)≥4恒成立，则a的取值可以是 () A.-1 B.1 C.3 D.5 51.(25-26高一上.上海期中)已知f(x)=x-1+x+2,g(x)=-x2+c,若对任意xeR和任意 x∈R,都有f(x)>g(x)恒成立，则实数a的取值范围是 52.(24-25高一上广东梅州月考)若不等式(x-1)<log。x(a>0且a≠1)在x∈(1,2]内恒成立，则实 数a的取值范围为() A.(12] B.(1,2) c.(1,2 D.(1,2) 53.(24-25高一上江西期末)己知函数f(x)=2025-2025+x2025,对任意的k∈[-3,3]， f(-2)+f(x)<0恒成立，则x的取值范围为() C.(-o,-1) D.-02 54.(24-25高一上江西抚州·期末)设函数f(x)的定义域为R,且(x+4)=2f(x),当x∈(0,4时， 了x)=2x-8x,若对于x∈(-m,小，都有f(y)2-子恒成立，则1的取值范围是（) A.(-0,-11] B.(-0,-7] C.(-0,-5] D.(-0,-3] 题型十一能成立（有解）问题（共5小题） 55,(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考)若关于x的不等式x-2vF-2-a≤0在x∈[4,9]时有解，则实数a 的取值范围是() A.[-3,+0) B.[-2,+0) C.[1,+0 D.[6,+o) 56.2425高-上四川威都期中)已知函数f:,8)=2ax4,若对存在] 9/22 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 存在x∈[1,2]，使f(x)≥g(,),则实数a的取值范围是 57.(25-26高-上北京期中)已知函数f(x)=2 +a(aeR),g(x)=x+1,对x1∈[1，+o), x+1 x∈-l,5,使得f(:)=g(x)成立，则实数a的取值范围为() A.(1,3) B.[1,3] C.(-0,3] D.[1,+o) 58.(24-25高一上福建南平期中)已知函数f(x)=x2-2x+1,若3x∈[2，+o)对a∈[-1,1]均有 f(x)<m+a成立，则实数m的取值范围为() A.（-n,2） B.（-2,2) C.（-2,+0) D.(2,+0) 59.(22-23高一上广东惠州月考)已知函数f(x)=x-2x+1,若x∈[2，+o)对ae[-1,1]均有 f(x)<m-2am+2成立，则实数m的取值范围为() A.(-3,1) c D.（-1,3 题型十二用定义法证明具体函数的奇偶性（共2小题） 《2425高下交微年棉期末)正知函数f) (1)判断该函数的奇偶性； (2)判断f(x)在定义域内的单调性. 2.(24-25高一上新疆和田期末)已知函数f(x)=1g(1+x),8(x)=lg(1-x). (1)若f(x)=1,求x的值： (2)设F(x)=f(x)+8(x),求F(x)的定义域： (3)设F(x)=f(x)+g(x),判断F(x)的奇偶性，并证明. 题型十三用定义法证明抽象函数的奇偶性（共4小题） 3.(25-26高一上·陕西·期中)已知函数f(x)满足f(y)=f(x)+f(y)(x≠0)，且当x>1时f(x)>0. (1)求f四)的值： 10/22专题05 函数单调性、奇偶性、周期性、对称性 题型1 求函数的单调区间（重点） 题型13 用定义法证明抽象函数的奇偶性（重点） 题型2 根据解析式直接判断函数的单调性（常考点） 题型14 已知函数或判断函数的奇偶性求值（常考点） 题型3 复合函数的单调性（重点） 题型15 最大值+最小值及f(a)+f(-a)（常考点） 题型4用定义法证明函数的单调性（重点） 题型16 由奇偶性求函数解析式（常考点） 题型5 已知函数单调性求参数（常考点） 题型17 由奇偶性求参数（常考点） 题型6 根据函数的单调性解不等式（重点） 题型18 由函数单调性+奇偶性解不等式（难点） 题型7 比较函数值的大小关系（重点） 题型19 函数的周期性及应用（难点） 题型8 利用函数单调性求最值或值域（重点） 题型20 函数的对称性及应用（难点） 题型9 根据函数的最值求参数 题型21 函数的奇偶性+周期性及应用（难点） 题型10 恒成立问题（难点） 题型22 函数的奇偶性+对称性及应用（难点） 题型11 能成立（有解）问题（难点） 题型23 函数的周期性+对称性及应用（难点） 题型12 用定义法证明具体函数的奇偶性（重点） 题型24 函数的性质综合应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求函数的单调区间（共5小题） 1．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，化简函数的解析式为，结合一次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，所以函数的单调递减区间为. 故选：D. 2．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数，若在区间上单调递减，则区间可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先去绝对值分段，画出图象，进而判断选项区间是否单调递减. 【详解】依题意，，画出图象， 观察可知在和上单调递增，在上单调递减. 故选：D. 3．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间. 【详解】函数， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断. 【详解】定义域是函数自变量的取值范围，为， 函数的单调递增区间有2个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即. 故选：D 5．（23-24高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象直接得到其单调增区间. 【详解】根据图象知的单调递增区间为， 故选：D. 题型二 根据解析式直接判断函数的单调性（共4小题） 6．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）下列既是奇函数，又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABD：举例说明单调性即可得判断；对于C：根据幂函数性质分析判断. 【详解】对于选项A：因为，可知函数不为增函数，故A错误； 对于选项B：因为，可知函数不为增函数，故B错误； 对于选项C：由幂函数性质可知既是奇函数，又是增函数，故C正确； 对于选项D：因为，可知函数不为增函数，故D错误； 故选：C. 7．（24-25高一上·天津河北·期末）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A不是奇函数；BD在定义域上不单调，C满足要求. 【详解】A选项，的定义域为，故不是奇函数，A错误； B选项，的定义域为， 其中在上单调递增，但在定义域上不单调递增，B错误； C选项，的定义域为R，且， 所以在定义域内为奇函数， 又在R上单调递增，C正确； D选项，定义域为R，且在R上不单调，D错误. 故选：C. 8．（24-25高一上·北京·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接判定各函数的奇偶性和单调性即可. 【详解】选项A：是偶函数，在区间上是减函数，A正确； 选项B：定义域为，为非奇非偶函数，B错误； 选项C：是偶函数，在区间上是增函数，C错误； 选项D：是偶函数，在区间上是增函数，D错误； 故选：A. 9．（24-25高一上·广东江门·期末）已知函数，则（   ） A．是偶函数，且在上是减函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在上是增函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 【答案】D 【分析】由已知得，即函数为奇函数， 设， ，在上单调递减，可得答案． 【详解】函数定义域为， ，函数为奇函数， 设 ，，函数单调递增，设 ，在 上单调递减， 故函数 在R上是减函数. 故选：D 题型三 复合函数的单调性（共4小题） 10．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间. 【详解】对于函数，由可得或 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为. 故选：A. 11．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数，则的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解. 【详解】令，解得或， 又在上单调递减，在上单调递增， 且在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减． 故答案为：. 12．（25-26高一上·福建漳州·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性的“同增异减”原则即可求得其单调递减区间. 【详解】对于函数有意义，可得，即，解得. 设，则函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在定义域上单调递增，故函数的单调递减区间为. 故选：D. 13．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数单调性的判定，求解内层函数的定义域，进而再求出单调性即可. 【详解】设，即，在上单调递增， 故取，且的单调递增的部分，可求出的递增区间， 可得， 即， 解得 . 故选：A. 题型四 用定义法证明函数的单调性（共5小题） 14．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数． (1)是否存在实数，使函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)判断函数的单调性，并加以证明． 【答案】(1)存在，， (2)在定义域为内单调递减，证明见详解 【分析】（1）依题意可得，即可求出参数的值； （2）利用定义法证明函数的单调性即可. 【详解】（1）存在，，理由如下： 因为的定义域为， 若函数为奇函数，则， 即，整理可得，解得， 所以. （2）在定义域为内单调递减，证明如下： 因为的定义域为， 对任意，，设， 则， 因为，则，，， 可得，即， 所以在定义域为内单调递减. 15．（25-26高一上·全国·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析． 【分析】（1）由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验； （2）由题易得函数在上单调递增，再利用定义法证明单调性即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时恒成立， 故. （2）在上单调递增． 证明如下： 任取， ， 而，，所以，故在上单调递增． 16．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【详解】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 17．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数是奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数定义以及函数解析式可得结果； （2）由函数单调性定义证明即可得出结论； （3）根据对数的运算性质，分离参数得，再求出都最小值即可. 【详解】（1）设的定义域为， 由题意得对于任意，都有恒成立， 即恒成立， ∴，∴， 当时，无意义； 当时，是定义域为的奇函数， ∴； （2）在上单调递减， 证明：设， 则， ∵， ∴，∴， ∴，∴， ∴在上单调递减； （3）由， 得， 即， 所以， 所以， 令， 则，所以， 令，则， 则， 因为函数在都是增函数， 所以在是增函数， 所以，所以， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 18．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知，. (1)证明：； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）将函数式代入待证式，计算即得证； （2）根据函数的单调性定义，和指数函数的单调性证明即可； （3）将在区间上与x轴有2个交点转化成在时有2个实数根，利用函数的单调性求出的值域，即得参数m的取值范围. 【详解】（1）. （2）的定义域为，任取，，则，即， 由，可得， 故在上单调递增. （3）.因为的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，在时有2个实数根， 即在时有2个实数根， 令，易知在区间上单调递增，故， 由可得，令，， 由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，即实数m的取值范围为. 题型五 已知函数单调性求参数（共8小题） 19．（25-26高一上·云南昭通·期中）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的单调性，进而得的单调性，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以的取值范围是， 故选：D. 20．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 21．（24-25高一上·江苏常州·期末）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由解得方程的解，利用二次函数，对数函数和复合函数的单调性可得，建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知，令， 解得， 所以， 对于函数，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减， 则，得， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 22．（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a的取值范围. 【详解】由题意得，二次函数对称轴为直线，幂函数在为增函数， ∵函数区间上单调递减， ∴，解得， ∴a的取值范围是. 故选：D. 23．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论结合基本初等函数的单调性及特殊值计算求参. 【详解】因为函数在上单调递减， 令，因为单调 递减，所以在上单调递增， 所以当时，在单调递增，， 所以时满足在上单调递增，即得； 当时，在单调递增，， 所以时满足在上单调递增，即得； 当时，在单调递增，， 所以时不满足在上单调递增； 综上可得. 故选：C. 24．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数的单调性需要分段分析，特别注意分段点处的衔接. 【详解】因为函数是上的减函数， 所以函数与均是减函数，且， 即，解得. 故选：C. 25．（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数单调性的判定方法，结合二次函数、指数函数和对数函数的单调性，列不等式求解. 【详解】因为函数在上单调递增，且当时，， 所以在上单调递增，所以对称轴，即； 当时，，所以函数在上单调递增. 若函数在上单调递增，则，即. 综上，实数的取值范围是. 故选：B. 26．（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性建立不等式组解出即可. 【详解】因为函数对定义域内任意实数，都有， 所以函数在定义域上单调递增， 当时，函数为开口向下， 对称轴为的抛物线， 此时若函数要在上单调递增，则， 当时，函数， 若函数要在单调递增，则， 根据分段函数的单调性可得： ， 解得：， 故选：B. 题型六 根据函数的单调性解不等式（共4小题） 27．（24-25高一上·江西南昌·期末）已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象可知在上单调递增，结合单调性解不等式即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 可知在上单调递增， 因为，则不等式即为，可得， 又因为，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 28．（24-25高一上·浙江温州·期末）定义在上的奇函数在上递增，且，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数奇偶性判断出函数的单调性，再由单调性求解即可. 【详解】因为定义在上的奇函数在上递增， 所以在上单调递增， 因为，所以， 又， 则， 即的取值范围是. 故答案为： 29．（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数，若，则实数的取值范围 . 【答案】或 【分析】求出函数的单调区间及单调性，再利用单调性解不等式. 【详解】函数的定义域为，函数在上都递增， 因此函数在上单调递增，由， 则，解得或， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或 30．（24-25高一上·甘肃·期末）已知函数的定义域为，对于任意的，当时，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件构造，即可通过函数单调性获解. 【详解】根据题意，设，若函数满足对任意， 有，则，即 则函数在上为增函数， 又由，则， ， 则有，解可得：且，即不等式的解集为. 故选：D. 题型七 比较函数值的大小关系（共7小题） 31．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的性质及函数单调性即可比较大小. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减，所以在上单调递增， 因为，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大， 又，所以， 故选：D． 32．（24-25高一上·广西玉林·期末）已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数、幂函数的单调性判断的单调性，结合对数的运算性质和对数函数、正切函数的单调性即可比较大小. 【详解】由于函数均为上的单调递增函数， 故在单调递增，， 所以， 所以. 故选：D． 33．（24-25高一上·天津·期末）已知函数，设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性求解. 【详解】由于函数均为上的单调递增函数， 故在单调递增， 因为， 故，所以. 故选：B. 34．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性，先确定在上单调递增，因，故可得. 【详解】设，则在上单调递增， 可化为， 由对勾函数的性质可知： 当时，单调递增，当时，单调递减， 由得， 故在区间上单调递减，在上单调递增， ，， 因（因为）， 故，故， 故选：B 35．（24-25高一上·广东清远·期末）已知，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单调性得到，，结合的单调性比较出大小. 【详解】因为，当时，单调递增， 所以，， 又，所以， 即． 故选：D． 36．（24-25高一上·四川宜宾·期末）已知，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的奇偶性及在上的单调性，再比较大小即可. 【详解】函数的定义域为， ，则函数是偶函数， 当时，，任意， ，，则，于是， 而，因此，函数在上单调递增， 又 则，所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：利用函数单调性定义确定函数的单调性是解题的关键. 37．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设得函数和的单调性情况，进而得，，从而即可一一判断各选项. 【详解】由题意可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，. 对于A， 因为，在上单调递增，所以，故A错误； 对于B，因为，在上单调递增，所以，故B错； 对于C，因为，在上单调递减，所以，故C正确； 对于D，因为正负不知， 所以大小关系不定，故D错； 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是依据题设求得函数和的单调性情况，进而得，. 题型八 利用函数单调性求最值或值域（共7小题） 38．（25-26高一上·北京顺义·期中）函数（　　） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】D 【分析】令，利用换元法将所求变为，根据二次函数的性质，分析即可得答案. 【详解】由题意， 令，因为，所以， 则所求变为，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增， 所以，即的值域为， 所以没有最大值，也没有最小值. 故选：D 39．（25-26高一上·四川德阳·期中）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】设，所以在上单调递增，则, 所以函数的值域是, 故选：B 40．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的值域为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据函数的单调性进行判断；方法二：利用换元法把函数转化成二次函数，再求其值域. 【详解】方法一：由得定义域为； 因为单调递增，单调递减， 所以单调递增； 所以函数值域为． 方法二：令，则，， 所以， 由于,故函数在上单调递减，且时，函数取到最大值2， 所以函数值域为， 故选：A． 41．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】求解函数的定义域，并对进行平方，进而判断其单调性，得到最值． 【详解】由题意得函数的定义域满足，且， 解得，则函数的定义域为． 由得， 则在区间内的最大值为，最小值为． 易知函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 所以函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 则函数在处取得最大值，即， 又， 所以函数的最小值为6，即． 所以． 故选：A 42．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数，定义域为．则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求关于指数函数的复合函数的值域即得, 【详解】因为函数的定义域为 所以，解得. 所以的定义域为 由得 所以. 当，即时，， 当，即时，. 所以的值域为, 故选：A. 43．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求的定义域，再判断在区间上的单调性即可求最大值. 【详解】由已知可得，解得定义域为， 又在上单调递减，则在上单调递增， 所以函数在上单调递增，即函数在区间内单调递增， 所以在区间内的最大值为． 故选：B. 44．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若函数的定义域为，值域为，则等于（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】由题意知，确定函数在上的单调性和值域，列式求解即可得的值. 【详解】，， ∴则函数为常数，且在单调递增， 又∵函数的定义域为， 函数的值域为， ， . 故选：A. 题型九 根据函数的最值求参数（共5小题） 45．（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，根据题意可得出关于实数、的方程组，解之即可. 【详解】因为且， 当时，，此时，函数在上单调递减， 根据题意可得，解得； 当时，，此时，函数在上单调递增， 根据题意可得，解得. 综上所述，或. 故选：A. 46．（25-26高一上·广东东莞·月考）已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【分析】求得二次函数的对称轴，分和两种情况讨论，求解即可. 【详解】由，可得， 所以函数的对称轴为， 当时，， 又函数在上的最大值为， 所以，解得（舍去）， 当时，，所以， 所以，所以，解得或（舍去）. 故选：C. 47．（25-26高一上·广东惠州·月考）设，若的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断的单调性，进而得，解出即可求解. 【详解】由题意得：当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 所以， 故选：B. 48．（24-25高一上·河北承德·期末）已知函数，则函数的值域为 【答案】 【分析】根据对数函数单调性可得函数的值域，利用换元法整理函数，根据新函数的单调性可得答案. 【详解】易得是减函数，所以． 令，则，因为函数在上单调递增， 所以，即的值域为． 故答案为：. 49．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由的取值范围，结合题意，得的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】，当且仅当，即时，等号成立. 由，得. 若，则函数，显然不符合题意； 若，则. 由函数在区间上的最大值是5，得：当时，， 即，即. 所以， . 所以，所以. 检验： 当，则，所以函数，此时函数在区间上的最大值是5，符合题意； 当，因为，所以， 所以函数，当且仅当，即,或时，取得最大值5，符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案是：. 题型十 恒成立问题（共5小题） 50．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数.若恒成立，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用恒成立的不等式分离参数，借助二次函数求出最大值即可. 【详解】当时，不等式， 依题意，恒成立，而当时，， 当且仅时取等号，因此，ABC不是，D是. 故选：D 51．（25-26高一上·上海·期中）已知，，若对任意和任意，都有恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出的最小值为3，的最大值为.由题可知，的最小值大于的最大值，由此求得实数的取值范围. 【详解】因为， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为3. 因为，所以的最大值为. 若对任意和任意，都有恒成立，则，即. 解得. 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 52．（24-25高一上·广东梅州·月考）若不等式（且）在内恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析出时，不成立，当时，画出，的图象，数形结合得到实数a的取值范围. 【详解】若，此时，， 而，故无解； 若，此时，，而， 令，， 画出两函数图象，如下： 故要想在内恒成立， 则要，解得：. 故选：B. 53．（24-25高一上·江西·期末）已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的奇偶性与单调性，根据函数性质，把函数不等式转化为代数不等式在给定区间恒成立，从而求参数的取值范围. 【详解】因为， 所以函数为奇函数. 又因为函数，，都是上的增函数，所以也是上的增函数. 所以. 所以问题转化为：当时，即恒成立. 设，由时，恒成立得： . 故选：A 54．（24-25高一上·江西抚州·期末）设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围. 【详解】当时，，； 因，即x每增大，对应的纵坐标都变原来的倍. 当时，，故， 则，； 当时，，故， 则，； 当时，，故， 则，. 当时，由，可得，解得或， 如下图所示： 由图可知，当时，恒成立，故实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查与递推倍减函数的恒成立问题.对于递推倍减函数的恒成立问题，解题关键在于根据恒成立条件，分别求得在对应区间上的函数解析式，结合函数图象的理解，求得参变量的范围. 题型十一 能成立（有解）问题（共5小题） 55．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，分离参数构造函数并求出最小值，再利用有解的条件求出范围. 【详解】不等式，当时，， 则，依题意，， 所以实数的取值范围是. 故选：B 56．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，，若对存在，存在，使，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知只需，易求出的值域，进而只需有解即可，用分离参数的方法即可． 【详解】， 所以在时单调递减， 所以，，即； 因为对存在，存在，使， 所以， 所以存在，使得， 即，即能成立， 令，则要使在能成立， 只需使， 根据增函数减减函数易知：函数在上单调增， 所以， 故只需，所以的取值范围是． 故答案为：． 57．（25-26高一上·北京·期中）已知函数（），，对，，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质分析函数、的值域，由题意可得，结合包含关系运算求解即可. 【详解】若，则，，可得， 所以函数在的值域为； 若，则，可得， 所以函数在的值域为； 因为对，，使得成立， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 58．（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数在上的最小值，可得出，再结合恒成立可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则该函数在上为增函数， 当时，， 因为对均有， 所以，，则，解得. 故选：D. 59．（22-23高一上·广东惠州·月考）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，，可得出对恒成立，令，由题意可得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数，则函数在上为增函数， 因为对均有成立， 则，即对恒成立， 令，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 题型十二 用定义法证明具体函数的奇偶性（共2小题） 1．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）已知函数 (1)判断该函数的奇偶性； (2)判断在定义域内的单调性. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)单调递增，理由见解析 【分析】（1）求出定义域，定义域关于原点对称，并得到，得到结论； （2）化简得到，定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）奇函数，理由如下： 的定义域为R， 且， 故为奇函数； （2）单调递增，理由如下： ， 取任意的， 则， 因为，在R上单调递增，所以， 又， 故，， 所以在R上单调递增. 2．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求的定义域； (3)设，判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2) (3)为偶函数，证明见解析 【分析】（1）根据解析式代入运算得解； （2）根据对数真数大于0，列式运算得解； （3）根据偶函数定义判断. 【详解】（1）若，则，解得. （2）若，则， 由，得：. 所以定义域为：. （3）由（2）得定义域关于原点对称，且， 则， 所以为偶函数. 题型十三 用定义法证明抽象函数的奇偶性（共4小题） 3．（25-26高一上·陕西·期中）已知函数满足，且当时． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，代入可得； （2）令，代入可得，再令，代入后由偶函数的定义可得； （3）由偶函数的对称性和单调性列不等式组可解. 【详解】（1）令，则， 所以． （2）函数为偶函数，理由如下： 令，由可得，． 令，则，且定义域为． 综上，函数为偶函数． （3）令，则当时． 已知，当时， 所以． ∴，即，故在上单调递增． 又∵由（2）可知，的图象关于对称， ∴所以若使，则只需， ∴，解得且且． 综上，该不等式的解集为． 4．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）应用赋值法即可； （2）应用奇函数的定义即可判断； （3）结合（2）转化为求，即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. （3）由（2）知，为奇函数，则 . 5．（25-26高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 【答案】(1)为奇函数，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求得，再令，得到，即可证得为奇函数； （2）由（1）得到，令且，根据题意，证得，即可得证； （3）由（2）求得，根据题意，把不等式转化为，得到不等式，求解即得. 【详解】（1）函数为奇函数，理由如下： 因函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，可得． 令，则，即， 用代换，可得，所以为奇函数． （2）由（1）知，则，即， 令，且，则且， 可得， 因为当时，，所以，即， 所以函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减． （3）由（2）知，可得， 由题设，可得，又，故原不等式可化为， 由（2）函数在上单调递减，可得，解得， 故不等式的解集为． 6．（25-26高一上·福建厦门·期中）（1）已知函数，满足：且 （i）证明：； （ii）证明：是偶函数，并写出一个符合题意的； （2）求出所有的函数，满足，，且对于一切，．（其中表示正实数） 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；（2） 【分析】（1）（i）利用已知条件等式，运用赋值法证明结论； （ii）根据偶函数定义，利用赋值法证明抽象函数是偶函数． （2）利用已知条件，结合函数单调性，利用赋值法求出抽象函数解析式． 【详解】（1）（i）证明：，令， ，即， ； （ii）证明：已知函数的定义域为，关于原点对称， ，令，， ，， 令，可得，， 若，则，不满足， ， 令，得，是偶函数． 令，定义域为关于原点对称， 则，满足乘法性， ，满足偶函数定义， 且时，，满足， 是一个符合题意的函数． （2），令，则，解得， 令，，即，其中， 令，同理可得， 设①，其中， 由单调性知：，即②， ①除以②，得， 由指数函数的性质可知，，即， 是唯一满足题意的函数． 题型十四 已知函数或判断函数的奇偶性求值（共5小题） 7．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数是定义在上的奇函数．当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据题设条件得，再利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】因为当时，，则， 又函数是定义在上的奇函数，则， 故答案为：. 8．（25-26高一上·黑龙江鹤岗·月考）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】因为是奇函数， 所以. 故选：A 9．（25-26高一上·重庆·月考）设函数为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（   ） A．4 B．-4 C．10 D．-10 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质可得，进而求值即可. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且时， 所以，解得，故时，， 所以. 故选：A 10．（25-26高一上·湖南娄底·期中）设函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性计算函数值即可. 【详解】注意到， 所以为偶函数，故. 又因为，故， 故选：D. 11．（25-26高一上·安徽六安·期中）已知是奇函数，且.若，则 . 【答案】-2 【分析】设，由是奇函数得到，令求出，即可求出. 【详解】设. 因为是奇函数，所以， 即，所以. 将代入上式可得，因为，所以， 所以. 故答案为：-2 题型十五 最大值+最小值及f(a)+f(-a)（共7小题） 12．（25-26高一上·河北·期中）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据解析式得出即可求解． 【详解】， 则 则有， 若，则． 故答案为：． 13．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则 . 【答案】 【分析】结合奇函数的性质求解即可. 【详解】由，， 设函数，， 则， 即函数为奇函数，则， 所以， 则，即. 故答案为：. 14．（25-26高一上·海南·期中）已知是定义在上的奇函数，函数的最大值与最小值分别为A，a，则 . 【答案】4 【分析】分离常数，易得关于对称，即可求解 【详解】.因为是定义在上的奇函数，所以，故关于对称，所以4. 故答案为：4. 15．（25-26高一上·山东泰安·月考）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 . 【答案】 【分析】先将函数化简变形得，然后构造函数，可判断为奇函数，再利用奇函数的性质结合可得，从而可求得结果 【详解】由题意知，（）， 设，则， 因为， 所以为奇函数， 在区间上的最大值与最小值的和为0， 故， 所以. 故答案为： 16．（25-26高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则 . 【答案】4050 【分析】变形得到，，得到为奇函数，则，故，故. 【详解】， 令，， 则，即为奇函数， 则， 由题意得，故 故答案为：4050. 17．（25-26高一上·江西抚州·期中）已知函数的最大值为M，最小值为m，则 . 【答案】4 【分析】先化简，再应用奇函数的最大值与最小值和为0，最后计算得出最值和. 【详解】==2+， 令,则，所以为奇函数，的最大值与最小值的和为0， 故, 故. 故答案为：4. 18．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·月考）已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据定义法及性质法可判断函数奇偶性，再根据奇偶性可得函数值. 【详解】设函数， 则， 即， 即函数为奇函数， 又函数为偶函数，为奇函数， 所以函数为奇函数， 所以， 故答案为：. 题型十六 由奇偶性求函数解析式（共3小题） 19．（25-26高一上·吉林松原·月考）函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式 ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质可得及，结合对应的解析式即可求解. 【详解】因为函数是定义域为R的奇函数， 所以. 当时，， 则. 因为， 所以时，. 故答案为：. 20．（25-26高一上·山东淄博·期中）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质可得时，由可得出函数在上的解析式. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 当时，则，则． 又，所以， 则当时，, 故答案为： 21．（25-26高一上·上海·月考）若是上的奇函数，当时则当时 【答案】 【分析】利用奇函数的对称性，可求得对称区间的解析式. 【详解】当时，，则， 又因为是奇函数，所以， 即当时，有， 故答案为： 22．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性列方程组，解方程组可得. 【详解】因为偶函数，所以，又， 得，即①. 又为奇函数，所以，又， 得②. 将①代入②得，， ，解得. 故答案为：. 23．（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知函数满足，当时，，当时， ． 【答案】 【分析】由题意可得为奇函数，当时，，代入条件，化简整理，即可得答案. 【详解】因为，即，所以为奇函数， 当时，，则， 所以，则. 故答案为： 题型十七 由奇偶性求参数（共7小题） 24．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，求. 【详解】， ， 则，得，得， 当时，，定义域为，满足奇函数的条件. 所以. 故答案为： 25．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）若函数在上为奇函数，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数的定义域和性质可依次求出和的值，即得的值. 【详解】因为函数在上为奇函数，则，解得， 所以， 由奇函数的定义得，即， 化简得，因不恒为0，故，则. 故答案为：. 26．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知是定义在上的偶函数，则 ． 【答案】 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出的值，由偶函数的定义求出的值，从而可得值． 【详解】是定义在上的偶函数， 定义域关于原点对称，得，解得， ，又函数为偶函数， ，即，解得， . 故答案为：. 27．（25-26高一上·云南昭通·期中）若幂函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】由幂函数的定义得，解出，并根据为偶函数，进行检验，得到的值. 【详解】因为为幂函数，则，解得或. 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意，所以. 故答案为：. 28．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用得到方程，求出答案. 【详解】令，解得， 定义域为， ，即恒成立， ，化简得， 解得. 故选：D 29．（2025·浙江·一模）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称得出，再应用奇函数定义结合对数运算得出参数，最后计算求解. 【详解】的定义域，由， 若，由不等式可解得函数定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数， 若，解得函数定义域为， 若为奇函数，必有，解得； 又， 解得， 故选：C. 30．（25-26高三上·安徽淮北·期中）若为奇函数，则（ ）． A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义结合对数运算列式求解即可 【详解】由，可得，解得或， 所以的定义域为或， 为奇函数，则， ， 所以， 即，因为不恒为0， 所以，解得. 故选：A. 31．（25-26高一上·四川·期中）若是奇函数，则的值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】分析有意义的条件，结合奇函数定义域关于原点对称的性质列方程求，再由，化简求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 由有意义可得， 所以当时，， 当时，，且， 因为函数是奇函数， 所以函数的定义域关于原点对称，故，其，所以， 因为是奇函数， 所以， 所以， 又， ， 所以，故， 所以， 故选：B. 题型十八 由函数单调性+奇偶性解不等式（共6小题） 32．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的奇偶性及单调性，结合特殊值，分别讨论和两种情况，分析即可得答案. 【详解】若，则等价于. 因为是偶函数，所以. 所以在上单调递减，则由可得. 若，则等价于. 由题意，在上单调递增，则由可得. 综上，的解集为. 故选：B 33．（25-26高一上·北京·月考）已知奇函数的定义域为且在上单调递减，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性及条件，可得在上的单调性，及，，将所求变为或，结合示意图，分析即可得答案. 【详解】因为为上的奇函数，且在上单调递减， 所以在上单调递减，且，， 由，得或， 作出的示意图， 所以x的取值范围是. 故选：C 34．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶函数的判断方法，可得是偶函数，再利用复合函数的单调性可得出的单调区间，从而得到，即可求解. 【详解】因为，易知，所以的定义域为，关于原点对称， 又，所以是偶函数， 当时，，令，则，对称轴为， 易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减， 又是偶函数，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 由，得到，解得，且， 故选：C. 35．（24-25高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，可得是奇函数，且在上是增函数，由，可得，即，利用单调性解不等式即可. 【详解】设函数，则， 所以，显然定义域关于原点对称，所以是奇函数. 因为是上的增函数，是上的减函数， 所以是上的增函数. 等价于， 即. 因为是奇函数，所以. 因为是上的增函数，所以，即，解得或. 故选：. 36．（24-25高一上·辽宁·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由对数的运算性质得到其为奇函数，再由复合函数的单调性得到其为递增函数，然后利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可； 【详解】由题意可得令，定义域为， 则， 所以，即为奇函数， 又由复合函数的单调性可得在定义域上为增函数， 所以， 等价于，解得或. 故选：B. 37．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，则，可知为奇函数且在定义域上单调递增，所以可转化为，根据奇偶性和单调性可解出的范围. 【详解】令， 因为所以的定义域为， 则， 又，， 所以， 所以为奇函数； 在上为增函数，在上为增函数， 又也为增函数，所以根据函数的单调性的性质可得在上为增函数； 等价于，即， 则 解得：或， 即关于x的不等式的解集为. 故选：D 题型十九 函数的周期性及应用（共4小题） 38．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则（    ） A． B．14 C． D． 【答案】C 【分析】利用周期性，奇偶性，结合分段函数解析式，来求函数值即可. 【详解】因为，的周期为2， 所以． 因为为偶函数，所以． 因为当时，， 所以． 故选：C. 39．（24-25高一上·广东·期末）函数，则 . 【答案】1 【分析】根据题意，推得，即可求得的值. 【详解】由题意，函数， 所以. 故答案为：. 40．（24-25高一上·山东临沂·期末）若函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由得到函数是周期为2的周期函数求解. 【详解】解：函数满足：， 函数是周期为2的周期函数，且当时，， 故选：A 41．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，，且，则（   ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】利用赋值法求得，结合迭代周期求得正确答案. 【详解】令，，则，因为，所以， 令，则， 则， 则，所以以6为周期， 令，得，所以， 则． 故选：B． 题型二十 函数的对称性及应用（共9小题） 42．（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】D 【分析】求出的定义域可判断A，C不正确；根据为奇函数可判断B不正确，D正确. 【详解】由，得，解得， 所以的定义域为，故A，C不正确； 又， 所以为奇函数，图像关于原点对称， 则的图象关于对称，故B不正确，D正确 故选：D. 43．（24-25高一上·河南开封·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性有，结合有及已知区间的函数解析式求时表达式即可. 【详解】若，则，故， 由函数的图象关于点成中心对称图形，则. 故选：A 44．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C 45．（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值结合对称性求出a的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】依题意，，其图象关于直线对称， 则， 所以，所以，解得， 所以，此时，满足题意； 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 故选：B． 46．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得的定义域，从而得到，再利用奇函数的性质列式求得，从而得解. 【详解】对于，有，解得， 所以的定义域为， 而的图象的对称中心为，则， 所以为奇函数，则有， 即， 所以，故. 故选：C. 47．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】根据题意，化简得到，结合倒序相加法求和，即可求解. 【详解】由题意，函数， 可得 ， 所以 . 故选：D. 48．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数，定义在上的函数满足，若函数的图象与函数的图象有且仅有三个交点，，，其中，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【分析】由题可得和的图象关于点对称，根据函数的对称性即可求解. 【详解】函数的定义域为， ， 所以，的图象关于点对称， 由，得的图象也关于点对称， 因此，，则. 故选：A. 49．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数是R上的奇函数，函数，若函数与有n个交点分别为，，，，则的值为（    ） A．2n B．3n C．4n D．5n 【答案】D 【分析】根据奇函数及分式型函数的性质确定、的对称中心为，进而求目标式的值. 【详解】由是R上的奇函数，则的对称中心为， 由，显然的对称中心为， 由函数与有n个交点分别为，，，， 所以，， 所以. 故选：D 50．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据得中心对称以及中心对称点，进而分析得也关于对称，从而得到两函数图象交点也是对称的，由此得解. 【详解】由得关于对称， 由得， 即， 所以也关于对称， 因此两函数图象交点也是对称的， 假设点与点对称， 则，所以推理可得. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明两函数图象交点也是对称的，求出. 题型二十一 函数的奇偶性+周期性及应用（共5小题） 51．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，满足，且为奇函数，则一定有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得到，由为奇函数，得到，进而得到函数周期，即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，则， 所以， 所以， 又，得， 所以，则， 则， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 所以， 所以， 其它三个选项条件不足无法计算， 故选：A. 52．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且为偶函数.若,则（    ） A．2 B． C．4 D．0 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，即可求得函数的周期，利用函数的周期性，即可求得函数值． 【详解】解：是偶函数，是奇函数, . . . 的周期为4. 是R上的奇函数, . 故选：A. 53．（25-26高三上·全国·月考）已知函数的定义域为，且，则下列说法错误的是（   ） A．为周期函数 B．为偶函数 C． D． 【答案】C 【分析】根据所给条件，利用赋值法和递推法进行推导判断即可. 【详解】在中， 取，可得,解得， 再取，可得,则有，即函数为偶函数，故B正确； 取，得，则有， 两式相减，可得，即,故为以3为一个周期的周期函数，故A正确； 由上分析，由，可得． 因,所以，故D正确； 取，得到：，再取，得，故C错误. 故选：C 54．（25-26高二上·云南·开学考试）定义在上的偶函数满足，且时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到函数的一个周期为4，再根据偶函数可得，利用对数的性质即可得答案． 【详解】定义在上的函数满足，所以函数的周期为4， 因为是定义在上的偶函数，∴， 所以. 因为， 所以 所以 所以. 故选：. 55．（25-26高一上·云南·期中）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ） A． B．1 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件分析出是周期为8的周期函数，然后利用周期性可得，结合已知函数值可求结果. 【详解】因为，所以， 又因为是定义域为的奇函数，所以，且, 所以，则， 所以，则是周期为8的周期函数， 所以，， 因为，所以， 因为， 所以. 故选：B. 题型二十二 函数的奇偶性+对称性及应用（共5小题） 56．（25-26高一上·云南曲靖·期中）定义在上的函数是偶函数，函数是奇函数，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性的定义可知，.利用赋值法可得.故选：A.或由相关函数的奇偶性，得到其图象的对称特征，根据图象变换得到的图象的对称性，进而判断各选项是否一定成立. 【详解】由题可知，. 令，则，所以； 令，则，，所以； 所以A正确. 令，则，； 令，则，. 所以其它选项均不能确定. 故选：A. 方法二：由题可知，函数的图象关于轴对称，所以图象的关于直线对称； 函数的图象关于原点对称，且过原点，所以的图象关于点对称，且过点. 由此可得，而其它选项的值均不能判断. 故选：A. 57．（25-26高一上·全国·月考）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的对称性与列出方程组，解出，再利用函数的对称性与奇偶性求解即可. 【详解】根据题意，由为奇函数，得关于对称， 故，，. ，即. ∵，∴， 又∵， ∴，即， 由 ，解得，， ∵，且为偶函数， ∴. 故选：D. 58．（25-26高一上·江苏南通·期中）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数奇偶性，借助赋值法可求出、，则可解出、，再利用赋值法，得到将，从而计算即可得. 【详解】由为奇函数，则， 令，则，故， 由为偶函数，则， 令，则，故，即， 对，令，则， 即，，解得， 故当时，， 对，令，则， 对，令，则， 则. 故选：C. 59．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（ ） A． B．是奇函数 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】利用赋值法可得，即可判断A，利用，即可根据奇函数的定义判断B，结合奇函数的性质，即可求解C，利用可判断的图象关于点对称，即可判断D. 【详解】对于A，取，则， 即，得，故A正确； 对于B，取，则， 得，故是奇函数，B正确； 对于C，对任意的都有， 可得，即， 因此，故C正确； 对于D，由于， 因此的图象关于点对称，故D错误. 故选：D. 60．（2025·陕西咸阳·二模）已知是定义在上的函数，且为奇函数，若函数的图象与函数的图象有个交点，…，，且，则的值为（   ） A．1010 B．1012 C．1014 D．1016 【答案】B 【分析】由为奇函数，得到，求得的图象关于点对称，再由，根据奇偶性，得到为奇函数，且的关于对称，求得的值，得到答案. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称， 函数， 对于函数， 可得， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 所以的图象关于对称， 所以为偶数，这些根成对出现，每对和为， 所以设，则，所以，解得. 故选：B. 题型二十三 函数的周期性+对称性及应用（共3小题） 61．（25-26高一上·江西·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，，当时，（且），则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先确定对称中心、对称轴，则可得到周期，由周期性求即可. 【详解】由可得关于点中心对称，则， 由为偶函数可得关于对称， 则周期为4，所以， 故选：B. 62．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足和，且当时，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由题，可知函数的周期性和对称性，结合已知求解即可. 【详解】由满足，得， 所以，所以， 所以是以4为周期的函数， 因为， 所以的图象关于直线对称， 因为当时，， 所以. 故选：C. 63．（25-26高一上·新疆·月考）已知定义在上的函数满足，，则（   ） A．0 B．4 C．2 D．8 【答案】B 【分析】先推导出周期性，再赋值求值即可. 【详解】由①，以替换，得， 因为②，所以， 则. 在①中，令，得，解得；令，得. 在②中，令，得，所以， 所以， 所以. 故选：B. 题型二十四 函数的性质综合应用（共18小题） 单选题 64．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】由函数的对称性可得其周期性，利用已知函数解析式，可得答案. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以. 因为函数的图象关于点对称，所以， 所以，即， 即，可得， 所以函数的周期为4，所以. 故选：A. 65．（24-25高一上·宁夏固原·期末）已知是R上的偶函数且满足，若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是R上的偶函数且，得的周期为6，再利用周期性可得答案. 【详解】因为是R上的偶函数，所以， 由得， 可得的周期为6， 若，则， 解得. 故选：B. 66．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数，正实数满足，则的最小值为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由已知得到函数的图象关于点对称，类比奇偶性，得到函数的单调性、进而求得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】， 这说明的图象关于点对称，类似奇函数，在原点两侧单调性相同， 由于时在上单调递增且函数值恒正， 可推出在上单调递减，因此是减函数． ，即， 因此，当即时取得， 故选：B． 67．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）幂函数过点，，是其图象上任意两点．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，进而逐项判断即可； 【详解】因为是幂函数，可设， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得：， 所以，定义域为， 对于A，设，定义域为，因为， 所以在上单调递增， 若，则有，即，故A正确； 对于B，设，定义域为，因为， 所以在上单调递减， 若，则有，即，故B正确； 对于CD，， 而，等号不成立， 所以， 又， 所以，C对，D错， 故选：D 【点睛】关键点点睛：判断CD的关键在于对进行平方，再由基本不等式比较大小. 68．（25-26高一上·江苏·期末）已知函数，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性，先确定在上单调递增，因，故可得. 【详解】设，则在上单调递增， 可化为， 由对勾函数的性质可知： 当时，单调递减，当时，单调递增， 由得， 故在区间上单调递减，在上单调递增， 又，， 因为在上单调递增，故， 因，（因为）， 又，则，即， 故，故， 故选：B. 69．（24-25高一上·江西南昌·期末）已知函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求得的值域为，利用基本不等式可得的值域为，根据题意可知，根据包含关系列式求解即可. 【详解】因为，， 设，， 令，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 则，所以的值域为， 又因为，当且仅当时取等号， 可得，所以的值域为， 根据题意可知：，则， 即，解得且， 所以实数的取值范围． 故选：C. 【点睛】结论点睛：本题考查恒成立问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 70．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域均为，的图象关于点中心对称，，，，则（    ） A． B．2 C． D．1003 【答案】C 【分析】根据题意，可得，即是上的偶函数和以4为周期的周期函数，从而也是以4为周期的周期函数，可得解. 【详解】因为的图象关于点中心对称，所以①． 因为，所以②． 因为③，所以④． ③④得，，所以是上的偶函数， 所以①可变形为，则， 故，所以是以4为周期的周期函数． 由④可得，则也是以4为周期的周期函数． 因为，又， 所以，所以． 故选：C． 【点睛】方法点睛：求解函数性质综合问题时，往往借助函数奇偶性、对称性、周期性等性质进行推理证明，结合对称轴、对称中心等实现求和计算即可. 71．（22-23高一上·重庆渝中·期中）已知为定义在上的偶函数，对于且，有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，结合已知判断其单调性以及奇偶性，继而讨论x的正负，从而将转化为利用的单调性求解不等式. 【详解】设，则，由于，故， 即，令，则时，， 故在上单调递增， 又为定义在上的偶函数，则为上的奇函数， 且在上单调递增， 因为，所以，则， 当时，，则，不成立； 当时，即，即，则； 当时，即，即，则； 综上，的解集为， 故选：C 多选题 72．（25-26高一上·江苏·期末）已知定义在上的函数满足不是常数函数，则（    ） A． B．是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】AD 【分析】对于A，令，即可得结果；对于D，令，可得结合对称性定义判断；对于B，C举反例说明即可. 【详解】因为. 对于A，令，可得，即，故A正确； 对于BC，例如，则，符合题意， 但是减函数，且的图象不关于直线对称，故BC错误； 对于D，令，可得，即，可得， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：AD. 73．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A．当时， B．在上单调递增 C．的值域为 D．有2个零点 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出的解析式，再逐项判断即得. 【详解】定义在R上的奇函数，，当时，， 对于A，当时，，则，A错误； 对于B，当时，，则在上单调递增，B正确； 对于C，当时，的取值集合为；； 当时，的取值集合为，因此的值域为，C正确； 对于D，由，得， 当时，，解得； 当时，； 当时，，解得，因此有2个零点，D正确. 故选：BCD 74．（24-25高一上·陕西西安·期末）下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】依题意，是在上单调递增的奇函数，分别讨论选项中各函数的单调性和奇偶性即可． 【详解】对任意，都有， 则在上单调递增；∴是在上单调递增的奇函数． 对于A，函数定义域为， 不是奇函数，A错误； 对于与在上都为增函数，故在上为增函数， 在上单调递增，则在上单调递增， ，则是奇函数， ∴是在上单调递增的奇函数，B正确； 对于，定义域为R， ，则是奇函数，在上单调递增，C正确； 对于D，函数定义域为， 函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数， ∴在上单调递增， 是奇函数，D正确． 故选：BCD． 75．（24-25高一上·贵州黔南·期末）下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分别应用特殊值法或函数偶函数的定义及单调性定义判断各个选项即可. 【详解】对于A，，所以在区间上不是单调递增，A错误. 对于B，函数定义域为，因为，所以函数是偶函数. 设，则. 又，为增函数，所以，所以， 所以，所以函数在上单调递增，故B正确. 对于C，因为，所以函数不是偶函数，故C错误. 对于D，函数定义域为， ，所以函数是偶函数. 又时，，所以函数在上单调递增，故D正确， 故选：BD. 76．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．函数的图象关于点对称 D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据函数解析式明确定义域，利用奇函数定义可得函数的奇偶性，结合对数函数与三角函数的性质以及复合函数的单调性，可得函数的单调性，结合选项，可得答案. 【详解】由，则定义域为， 由，则函数为偶函数， 当时，， 由在上单调递增，在上单调递减，则函数在上单调递增， 由，则，由，则，故A正确； 当时，易知，由函数在上单调递增，则，故B正确； 由函数为偶函数，则图象关于轴对称，故C错误； 当时，，由函数在上单调递增， 则，故D正确. 故选：ABD. 77．（24-25高一上·广东清远·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是（   ） A． B．为周期函数 C． D．在上单调递增 【答案】BC 【分析】由，确定函数图像关于对称，再结合奇偶性、单调性逐个判断即可； 【详解】对于A，由，得的图象关于对称，又因为定义域为，所以，故A不正确； 对于B，因为是偶函数，，，所以的一个周期为8，故B正确； 对于C，由于周期性和奇偶性，，故C正确； 对于D，因为是偶函数且在上单调递增，所以在上单调递减， 又的图象关于对称，所以在上单调递减， 由于周期为8，在上的单调性与上的单调性相同，所以在上单调递减，故D不正确． 故选：BC． 78．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数在上单调，且对任意，满足，．则（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数是奇函数 D．若对任意，成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A：赋值，令即可得结果；对于B：先求得，再结合题意即可判断；对于C：根据奇函数的定义分析判断即可；对于D：根据奇偶性和单调性可得，结合恒成立问题分析求解. 【详解】因为对任意，满足， 对于选项A：令，可得，即，故A正确； 对于选项B：因为，且， 可得，即， 又因为函数在上单调，所以函数在上单调递增，故B错误； 对于选项C：设， 令，可得， 即，可得， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于选项D：因为，即， 可得， 又因为函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 可得，且，整理可得， 因为在内单调递增，则在内单调递减， 可得，则， 所以实数的取值范围是，故D正确； 故选：ACD. 79．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数，，则下列结论正确的有（    ） A．在上单调递增 B．为奇函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据和为增函数可直接判断的单调性；对于B，利用奇函数的定义即可判断；对于C和D，只需分别化简计算等式两边解析式即可判断. 【详解】对于A，由，因与在上均为增函数， 故在上单调递增，即A正确； 对于B，不妨记，函数定义域为， 且，即为奇函数，故B正确； 对于C，因，而， 故，即C错误； 对于D，因，， 故，即D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于给定函数，判断其单调性和奇偶性等性质的问题，一般从单调性和奇偶性定义出发进行推理判断，有些函数，还可根据其组成的函数单调性，直接判断其单调性，在判断等式时，需要整体处理意识. 80．（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数满足，当时，.则下列说法正确的是（    ） A． B．为增函数 C．为奇函数 D．若，当时，有解，则取值范围是 【答案】ABD 【分析】A选项，令得到，再令得；B选项，令，且得，B正确；C选项，令得，C错误；D选项，两边加1得，由B知，在R上单调递增，故，参变分离的在上有解，求出的最大值为，所以. 【详解】A选项，中得 ，解得， 中得 ，故，A正确； B选项，当时，， 中，令，且得 ， 因为，所以，故， 所以， 所以为增函数，B正确； C选项，中，令得 ，故， 故不是奇函数，C错误； D选项，两边加1得 ， 因为，， 所以， 当时，有解， 即时，有解， 由B知，在R上单调递增，故， 在上有解， 在上有解， 其中， ，故当，即时，取得最大值， 最大值为，所以， 则取值范围是，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：D选项中，两边加1得到 ，转化为时，有解，再结合函数单调性得到不等式，参变分离进行求解 81．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知函数的定义域为R，对称中心是，且满足，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于轴对称 C． D．若函数满足，则 【答案】AB 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质，结合对称性，周期性的性质和赋值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A，因为的对称中心是，且在有定义，所以， 因为，所以令，得到，故A正确， 对于B，因为的对称中心是，所以是奇函数， 得到，即， 而，则， 得到，故， 即是偶函数，则函数的图象关于轴对称，故B正确， 对于C，因为，所以， 则，故C错误， 对于D，因为，所以， 故，即是周期为的周期函数， 因为，所以， 则， 故是周期为的周期函数，而， ，，， 故， ， 因为，所以， 故， 即， 故， ，故D错误. 故选：AB 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助奇偶性，周期性，对称性等性质求解即可. $