第6单元 第25节 与圆有关的位置关系-【众相原创·赋能中考】2026年数学课堂精讲册（贵州专用）

第25节 与圆有关的位置关系 核心知识全梳理 教材·课标 知识点①点、直线与圆的位置关系 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 (设⊙0的半径为r,点P到圆心0的距离为d) (设⊙0的半径为r,圆心0到直线l的距离为d) 位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 位置关系 相交 ④ 相离 d与r的 d与r的 d① d② d>r d③ d=r d⑤ 关系 关系 图示 图示 ro d 直线与圆的 6 ⑦ 公共点个数 知识点2)切线的性质与判定（重点） 切线的性质 切线的判定 切线和圆只有一个公共点 和圆只有⑩ 个公共点的直线是圆的切线（定义） 经过半径的外端并且① 于这条半径的直线是圆的 圆的切线⑧ 于过切点的半径 切线（判定思路：已知公共点，连半径，证垂直） 如果圆心到一条直线的距离等于圆的② 那么这条 圆心到切线的距离等于⑨ 直线是圆的切线（判定思路：未知公共点，作垂直，证半径） 知识点3)切线长和切线长定理 内容 数学表达 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段 切线长 如图，PA,PB分别切 的长度，叫作这点到圆的切线长 ⊙O于A,B两点，则 切线长 从圆外一点可以作圆的两条切线，它们的切线长 PA=3 定理 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 ∠APO=∠BPO=④ ∠APB 知识点④三角形的内切圆和外接圆 图形 定义 圆心 相关结论 角：∠DOF+∠BAC= 三角 ∠BOC= 内心：三角形三 内心到三角形 6 形的 与三角形三边 条⑤ 三边的距离 90°+ 2 ∠BAC; 内切 都相切的圆 圆 的交点 相等 线段：0D=⑦ =8 105 图形 定义 圆心 相关结论 三角形 外心：三角形三 外心到三角形 角：∠BOC=2∠BAC; 经过三角形三 的外接 条边的四 三个顶点的距 线段：0A=20 个顶点的圆 圆 的交点 离相等 四 【知识拓展】三角形的内切圆的半径与三边关系：①直角三角形：=+C(利用切线长定理)，= ab a+b+c (利用等面积法)，如图1：②任意三角形：r 25△匹（利用等面积法），如图2 a+b+c 图1 图2 贵州考法变式练 教材·真题·课标 考点1点、直线与圆的位置关系 3.（2025遵义红花岗区一模)如图，AB为⊙0的 1.（人教九上P101T2改编)如图，在Rt△ABC 直径，E是AC的中点，BC垂直过点E的直线 中，∠BAC=90°，AB=6,BC=10,D是BC的中 于点D.求证：DE是⊙O的切线. 点，以A为圆心，r为半径作⊙A. (1)若r=6,则点B在⊙A ,点D在 ⊙A (填“内”“外”或“上”)；直线BC 与⊙A的位置关系是 (2)若r4,则直线BC与⊙4的位？美系 是 ;若r=3,则直线BC与⊙A的位置 关系是 考点3切线长和切线长定理 考点2切线的性质与判定(2025.23,2024.23， 4.(湘教九下P71例5改编)如图，P为⊙0外一 贵阳2年必考) 点，PA,PB分别切⊙O于点A,B,CD切⊙O于 2. (2021贵阳9题)如图，⊙0与正五边形ABCDE 点E,分别交PA,PB于点C,D 的两边AE,CD相切于A,C两点，则∠AOC的 度数是 B (1)若PA=6,则△PCD的周长为 (2)若∠P=60°，连接OA,OP,则∠A0P= A.144°B.130°C.129° D.108° 106 考点4三角形的内切圆和外接圆(2023.23) (3)连接OA,OB,判断四边形OAEB的形状， 5.（人教九上P103T14改编)设r为△ABC的内 并说明理由. 切圆半径，R为△ABC的外接圆半径. (1)若AB=10,AC=6,BC=8,则r= 2 R= D (2)若△ABC是等边三角形，且AB=2,则r= E ,R= 6.（2023贵州23题)如图，已知⊙0是等边三角 形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点 D,交⊙O于点E,连接EA,EB. (1)写出图中一个度数为30°的角： 图中与△ACD全等的三角形是 (2)求证：△AED∽△CEB; 方法模型精讲练 留切线的性质与判定(2025.23,2024.23，贵阳2年必考) 国方法总结 7.(人教九上P101T6改编)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的 一、切线的判定 平分线与BC相交于点D,点E在AB上，DE=DC,以D为圆心，DB 情形1：未知切点一作垂 长为半径作⊙D.判断AC与⊙D的位置关系，并说明理由 线，证半径 作法：当直线与圆没有明确 A 公共点时，过圆心向直线（待 证切线)作垂线段，证明垂线 段的长等于半径， 常用的证明线段相等的方法 有：角平分线的性质、全等三 角形的性质、等腰三角形的 性质。 情形2：已知公共点—连半 径，证垂直 8.(2025贵阳乌当区二模)如图，已知AB是⊙0的直径，C为⊙0上 作法：当直线和圆的公共，点 一点，∠OCB的平分线交⊙O于点D,点F在直线AB上，且DF⊥ 已知，连接圆心到公共点的 BC,垂足为E,连接AD 半径，证半径与直线垂直. (1)图中含90°的角时，可 (1)请写出一个与∠BCD相等的角： 考虑： (2)求证：DF是⊙O的切线. ①利用余角的性质进行等角 转换； ②利用平行线的性质证明 直角： ③证明含90°角的三角形与包 含切，点的三角形相似或全等. 107 9.(北师九下P93习题T1改编)如图，在△OAB中，OA=OB,⊙0经 (2)图中无90°的角时，可 过AB的中点C 考虑： (1)求证：直线AB是⊙0的切线； ①若图中含相关联的直径， (2)若⊙0的直径为8，AB=10,求OA的长. 作直径所对的圆周角； ②若图中有等腰三角形，利 用“三线合一”构造直角 二、与切线性质有关的证明 与计算 1.角度的计算 10.(2025贵阳南明区华附中学)如图，点A,B,C分别是⊙0上的三 由切线垂直于半径得直角， 由半径相等构造等腰三角 点，连接AC交线段OB于点D. 形，由直径所对圆周角为直 (1)若∠AOB=80°，∠A=20°，则∠0BC= 角等，进行角度的转化并 (2)若D是OB的中点，延长OB至点E,使得BE=OB,连接OC, 求解 CE,求证：CE=2CD; 2.线段的计算 (3)在(2)的条件下，若amA=子，AC=4,求CE的长。 (1)若题中含直角，构造直角 三角形，利用勾股定理求解； (2)若已知三角函数，构造直 角三角形或构造等角，通过 解直角三角形求解； (3)通过证相似三角形或全 等三角形，利用全等或相似 的性质求解。 ©链接：圆与相似三角形、全等三角形、锐角三角函数结合的综合 题见本书P158题型三 温馨提示请完成分层练习册P58~59习题 108(2)连接AC. ·E为BC的中点，AE⊥BC,AE垂直平分BC, .AC=AB,由(I)得AB=BC,.△ABC是等边三角形， .∠ABC=60°，.∠BCD=120°， ∴.∠EAF=360°-120°-90°-90°=60° 又.AE=AF,∴.△AEF是等边三角形， ·△4EF的面积=4AE=4X4=43 4 第23节正方形（含中点四边形) 核心知识全梳理 ①AD/BC②相等③90°④垂直平分⑤平分⑥4 ⑦对角线的交点⑧相等⑨垂直O相等①AC=BD 2AB=AD,∠DAB=90°（答案不唯一）BAC⊥BD④菱形 5矩形6正方形 贵州考法变式练 1.(1)45(2)67.5(3)①8242②3216③42 2.A3.B 4.(1)证明：.·四边形ABCD为正方形 .∴AB=AD,AB∥CD,∠A=∠D=90°. 又.MF∥AD,.四边形AMFD为矩形 .∠MFD=∠MFN=∠BMF=90°，AD=MF,AB=ME. :BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为 O,∴.∠BMO+∠MB0=∠FMW+∠BM0=90°， ∴.∠MBO=∠FMN. 在△ABE和△FMN中. |∠A=∠MFN, AB=MF. N∠ABE=∠FMN. ·.△ABE≌△FMN(ASA): (2)解：.∠MOB=∠A=90°，∠ABE是公共角， ∴.△BOM∽△BAE,∴.OM:AE=BO:BA .AB=8,AE=6,..BE=VAB+AE=10, 40=28E=50N6=5:8.0W=15 25 .:△ABE≌△FMN,∴.M=BE=10,∴.ON=MN-MO= 5.菱6.(1)A(2)正方形22 7.（1)证明略： (2)解：选择小红：DE∥AB,DFAC. ·.四边形AFDE是平行四边形 又.·∠BAC=90°，∴.四边形AFDE是矩形 (答案不唯一，选择一种证明即可) 【新教材素材】4 单元整合提升 易错题专练 1.5,6,7【变式】B2.C3.D【变式】B 4.2或10【变式】4或12 第六单元圆 第24节圆的相关概念与性质 核心知识全梳理 ①圆心②半径③直径④圆心⑤0A(或0B,0D) ⑥BD⑦ADB(或BAC,CAD,ABD,ADC)⑧AB(或BC C⑦，AD,AC)⑨∠AOB(或∠AOD)①∠BDC①圆心 2圆心B相等④相等⑤相等G相等⑦BC BBM 9CD相等①LADC②} ☒90°②4④180° 2 5∠BAD 贵州考法变式练 1.(1)2∠CAB∠DOB.∠DOA(2)劣优(3)6 (4)60° 2.D3.(1)①A②证明略.(2)C 4.(1)B(2)①4328②325.70 6.解：(1)①②为条件，③为结论，证明略：（答案不唯一） (2)连接BE, BC=6,.BD=3 AD=√AB-BD=√5-3=4， 由题意得AD⊥BC,BE⊥AC, SA =2 BCXAD=ACXBE, 由()得4C=A=5,即宁×6X4=X5B,解得B= 5 7.140°40° 第25节与圆有关的位置关系 核心知识全梳理 ①<②=③<④相切⑤>⑥1⑦0⑧垂直 ⑨半径四-①垂直卫半径BB75角平分 线0180°⑦0EB0F9垂直平分线②①0B①0C 贵州考法变式练 1.(1)上内相交(2)相切相离2.A 3.证明：连接OE交AC于点F E是AC的中点，.0E垂直平分AC,∠OFC=90° BC⊥DE于点D,AB为⊙O的直径， ∴.∠EDB=∠ACB=90°，∴.DE∥AC .∴.∠0ED=∠0FC=90° OE是⊙0的半径，且DE⊥OE,∴DE是⊙O的切线。 4.(1)12(2)60 525(2525 33 6.(1)∠1（答案不唯一）△BCD (2)证明略； (3)解：四边形OAEB是菱形.理由如下： :CE是⊙O的直径，△ABC是等边三角形 0A=0B=)CE,LCME=90°，L1E7∠ACB=30 13 六=子 同理可证BE=2CE,0A=0B=AE=BE, .四边形OAEB为菱形 7.AC与⊙D相切.理由略 8.(1)∠A(答案不唯一) (2)证明：连接0D, CD平分∠OCB,∴∠BCD=∠OCD. .OC=OD,.∴.∠0DC=∠OCD, ∴.∠BCD=∠ODC,∴.OD∥BC .BC⊥DF,即∠CEF=90°， ∴.∠ODF=∠CEF=90°，即OD⊥DF 又·OD是⊙O的半径，.DF是⊙O的切线 9.(1)连接0C,证明略；(2)0A=√4 10.(1)60° (2)证明：由题意得0C=OB,0B10C.1 0E20E2 ODOD 1 OC OD 1 D是0B的中点OB0C2心0E0c2 又.∠COD=∠EOC,∴.△OCD∽△OEC, 小0807=0m, (3)解：如解图，过点0作0F⊥AC于点F, 0A=OC,AC=4,∴.AF=CF= 在t△A0F中，an4=0E1 AF 2 ∴.0F=1 .OA=√OF+AF=√5 .0C=0B=0A=V5. :D是0B的中点，÷OD=DB=5 在R△0DF中，DF=V0D-OF-), 13 CD=CF-DF=2-2-2CE=2CD=3. 小专题6圆中最值及辅助圆问题 1.A2.8.183.24 4.3【解析】如解图，连接 CQ,CP,过点C作CH⊥AB 于点H,.·PQ是⊙C的切 H 线，CQ上PQ,PQ= √Cp-C0=Cp-3,当B CP⊥AB,即点P与点H重 合时，CP最小，此时PQ取 最小值，：△ABC为等边三角形，.∠B=60°，.CH BC·sinB=25,.PQ的最小值为√(2√3)2-3=3. 5.1006.2m7.358.2√13-4 14 9. 3 【解析】：△ABC 为等边三角形， ∠ABC=∠BAC=60°. AC=AB=2,.·∠PAB= ∠ACP,∴.∠PAC+ A B ∠ACP=60°，.∠APC=120°，∴.点P的运动轨迹是AC, 如解图，过点P作PD上AC于点D,当O,P,B共线时，直 线OB与AC的交点为D,此时PD的长度最大，即△APC 的面积最大dPA=PC,A0=)AC=1,LPAC=∠ACP四 0D=0·sm30-△APc面积的最大值为 1 3-3 105-11专 8 12.25 【解析】如解图，作 △AEG的外接圆⊙O,过点 A作AH⊥BD于点H,过点O 作OM⊥BD于点M,连接 OE,OG,OA∠ABC=B ∠AEF=90°，则A,B,F,E四点共圆.由题意知∠G0M= ∠EOM=∠EAG=∠DBC,tan∠cOM=tan∠DBC=3 , 设GM=3m,OM=4m,则GE=6m,0A=0G=5m,由S△AD =号，A0m:A机，得=号0M+0N≥n m≥ 12 GE=6m≥ 4 8 .5m+4m≥ 子4，BG智：△G的道积的最小值为 48 第26节 与圆有关的计算 核心知识全梳理 2,e ③2 ④ 360 ⑤√-r ⑥ml 贵州考法变式练 1.C【变式】180°2m2.C【变式】24m 3.8m4.(1)8√2120(2)27m 3w3 5.(1)30°(2)6 2 (3)2 (4君 6.C7.2m-23 8.(1)证明：连接0C,如解图， CD是⊙0的切线， ∴.∠DC0=90°，即∠OCB+∠DCP =90°. B 0 DE⊥OB,.∠DEB=90°， ∴.∠OBC+∠BPE=90°.